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2018届高考理科数学第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ2-9


A 组 专项基础训练 (时间:20 分钟) 1.下表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据,它最可能的函数模型是( x y A.一次函数模型 C.指数函数模型 4 15 5 17 6 19 7 21 8 23 9 25 10 27 )

B.幂函数模型 D.对数函数模型

【解析】 根据已知数据可知,自变量每增加 1 函数值增加 2,因此函数值的增量是均 匀的,故为一次函数模型. 【答案】 A 2.(2017· 山西忻州一中等第一次联考)对任意的实数 x 都有 f(x+2)-f(x)=2f(1),若 y= f(x-1)的图象关于 x=1 对称,且 f(0)=2,则 f(2 016)+f(2 017)=( A.0 C.3 B.2 D.4 )

【解析】 y=f(x-1)的图象关于 x=1 对称,则函数 y=f(x)的图象关于 x=0 对称, ∴函数 f(x)是偶函数, 对于 f(x+2)-f(x)=2f(1), 令 x=-1, 则 f(-1+2)-f(-1)=2f(1), 则 f(1)-f(1)=2f(1)=0,即 f(1)=0,则 f(x+2)-f(x)=2f(1)=0,即 f(x+2)=f(x),则函数 f(x) 的周期是 2,又 f(0)=2,则 f(2 016)+f(2 017)=f(0)+f(1)=2+0=2,故选 B. 【答案】 B 3.(2017· 合肥调研)某工厂 6 年来生产某种产品的情况是:前 3 年年产量的增长速度越 来越快,后 3 年年产量保持不变,则该厂 6 年来这种产品的总产量 C 与时间 t(年)的函数关 系图象正确的是( )

【解析】 前 3 年年产量的增长速度越来越快,说明呈高速增长,只有 A,C 图象符合 要求,而后 3 年年产量保持不变,故选 A. 【答案】 A 4.(2017· 北京朝阳统一考试)设某公司原有员工 100 人从事产品 A 的生产,平均每人每 年创造产值 t 万元(t 为正常数).公司决定从原有员工中分流 x(0<x<100,x∈N*)人去进行 新开发的产品 B 的生产.分流后,继续从事产品 A 生产的员工平均每人每年创造产值在原 有的基础上增长了 1.2x%.若要保证产品 A 的年产值不减少,则最多能分流的人数是( A.15 C.17 B.16 D.18 )

【解析】 由题意,分流前每年创造的产值为 100t(万元),分流 x 人后,每年创造的产 值为(100-x)(1+1.2x%)t,
* ? ?0<x<100,x∈N , ? 则由 ?(100-x)(1+1.2x%)t≥100t, ?

50 解得 0<x≤ . 3 因为 x∈N*,所以 x 的最大值为 16. 【答案】 B 5.我国为了加强对烟酒生产的宏观管理,除了应征税收外,还征收附加税.已知某种 酒每瓶售价为 70 元,不收附加税时,每年大约销售 100 万瓶;若每销售 100 元国家要征附 加税 x 元(叫做税率 x%),则每年销售量将减少 10x 万瓶,如果要使每年在此项经营中所收 取的附加税额不少于 112 万元,则 x 的最小值为( A.2 C.8 B.6 D.10 )

x 【解析】 由分析可知,每年此项经营中所收取的附加税额为 104·(100-10x)· 70· , 100 x 令 104·(100-10x)· 70· ≥112×104,解得 2≤x≤8.故 x 的最小值为 2. 100 【答案】 A 6.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长 x 为________m.

x 40-y 【解析】 设内接矩形另一边长为 y,则由相似三角形性质可得 = ,解得 y=40 40 40 -x,所以面积 S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400(0<x<40),当 x=20 时,Smax= 400. 【答案】 20 7.(2017· 长春模拟)一个容器装有细沙 a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地 匀速漏出, t min 后剩余的细沙量为 y=ae
-bt

(cm3), 经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子,

则再经过________min,容器中的沙子只有开始时的八分之一. 【解析】 当 t=0 时,y=a,当 t=8 时,y=ae ∴e
-8b -8b

1 = a, 2

1 1 1 - - - = ,容器中的沙子只有开始时的八分之一时,即 y=ae bt= a,e bt= =(e 8b)3 2 8 8

=e

-24b

,则 t=24,所以再经过 16 min.

【答案】 16 8.西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销.在一年内, 根据预算得羊皮手套的年利润 L 万元与广告费 x 万元之间的函数解析式为 L= >0).则当年广告费投入________万元时,该公司的年利润最大. 4 2 51 x 8? 43 1? 4 x- ? (x>0).当 x- =0,即 x=4 + = - 【解析】 由题意得 L= -? 2 ?2 x? 2 2? x? x 时,L 取得最大值 21.5. 故当年广告费投入 4 万元时,该公司的年利润最大. 【答案】 4 B 组 专项能力提升 (时间:10 分钟) 9.有浓度为 90%的溶液 100 g,从中倒出 10 g 后再倒入 10 g 水称为一次操作,要使浓 度低于 10%,这种操作至少应进行的次数为(参考数据:lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1)( A.19 C.21 B.20 D.22 ) 51 ?x 8? - + (x 2 ?2 x ?

n+1 9 ?n+1 -1 ?9? 【解析】 操作次数为 n 时的浓度为? ,由 <10%,得 n+1> = ?10? ?10? 9 lg 10 -1 ≈21.8,∴n≥21. 2lg 3-1 【答案】 C 10.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从 这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长 x、y 应为( )

A.x=15,y=12 C.x=14,y=10

B.x=12,y=15 D.x=10,y=14

24-y x 5 【解析】 由三角形相似得 = ,得 x= (24-y), 4 24-8 20 5 ∴S=xy=- (y-12)2+180, 4 ∴当 y=12 时,S 有最大值,此时 x=15.

【答案】 A 11.某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍,且知病毒的繁殖规律为 y=ekt(其中 k 为常 数,t 表示时间,单位:小时,y 表示病毒个数),则 k=________,经过 5 小时,1 个病毒能 繁殖为________个. 1 【解析】 当 t=0.5 时,y=2,∴2=e k, 2 ∴k=2ln 2,∴y=e2tln 2, 当 t=5 时,y=e10ln 2=210=1 024. 【答案】 2ln 2 1 024 12.一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当 1 砍伐到面积的一半时, 所用时间是 10 年, 为保护生态环境, 森林面积至少要保留原面积的 , 4 已知到今年为止,森林剩余面积为原来的 (1)求每年砍伐面积的百分比; (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年? 【解析】 (1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0<x<1). 1 1 则 a(1-x)10= a,即(1-x)10= , 2 2 1 1? 10. 解得 x=1-? ?2? 1 1? 10. 即每年砍伐面积的百分比为 1-? ?2? (2)设经过 m 年剩余面积为原来的 m 1 1? 1 m 1 10=? ?2,所以 = , 即? ?2? ?2? 10 2 解得 m=5.故到今年为止,已砍伐了 5 年. (3)设从今年开始,最多还能砍伐 n 年, 则 n 年后剩余面积为 令 2 a(1-x)n. 2 2 2 ,则 a(1-x)m= a, 2 2 2 . 2

2 1 2 a(1-x)n≥ a,即(1-x)n≥ , 2 4 4 n 3

1? ?1? 所以? ?2?10≥?2?2, 即 n 3 ≤ , 10 2

解得 n≤15. 故今后最多还能砍伐 15 年.


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