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【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.2.1 椭圆的标准方程课后知能检测 新人教B版选修2-1


【课堂新坐标】 (教师用书)2013-2014 学年高中数学 2.2.1 椭圆的 标准方程课后知能检测 新人教 B 版选修 2-1

一、选择题 1.若方程 2+

x2 y2 =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 m 的取值范围是 m m+6
( )

A.m>3 C.m>3 或 m<-2 【解析】

B.m<-2 D.m>3 或-6<m<-2
2

? ?m >m+6 ∵椭圆的焦点在 x 轴上,∴? ?m+6>0 ?



∴m>3 或-6<m<-2. 【答案】 D 3 4 2.(2013·菏泽高二测试)已知椭圆过点 P( ,-4)和点 Q(- ,3),则此椭圆的标准方 5 5 程是( A. B. C. ) +x =1 25 +y =1 或 x + =1 25 25 +y =1 25

y

2 2

x2 x2

2

2

y2

2

D.以上都不对 【解析】 设椭圆方程为 mx +ny =1(m>0,n>0,m≠n), 9 ? ?25m+16n=1, 则? 16 ? ?25m+9n=1, ∴椭圆方程为 x + =1. 25 【答案】 A 3.(2013·西安高二检测)椭圆 + =1 上的点 M 到焦点 F1 的距离为 2,N 是 MF1 的中 25 9
1
2 2 2

m=1, ? ? ∴? 1 n= . ? ? 25

y2

x2

y2

点,则|ON|(O 为坐标原点)的值为( A.4 C.8

) B.2 D. 3 2

【解析】 由 + =1,知 a=5, 25 9 根据椭圆定义,|MF1|+|MF2|=2a=10, ∴|MF2|=10-2=8. 又 O 为 F1F2 中点,N 为 F1M 中点, 1 ∴ON 为△MF1F2 的中位线,所以|ON|= |MF2|=4. 2 【答案】 A 4. 已知 A(0, -1)、 B(0,1)两点, △ABC 的周长为 6, 则△ABC 的顶点 C 的轨迹方程是( A. + =1(x≠±2) 4 3 C. + =1(x≠0) 4 3 )

x2

y2

x2 y2 x2 y2

B. + =1(y≠±2) 4 3 D. + =1(y≠0) 4 3

y2 x2 y2 x2

【解析】 ∵2c=|AB|=2,∴c=1,∴|CA|+|CB|=6-2=4=2a, ∴顶点 C 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆(A、B、C 不共线).因此,顶点 C 的轨迹方程 + =1(y≠±2). 3 【答案】 B 5.(2013·吉林松原高二期末)已知椭圆 +y =1 的焦点为 F1、F2,点 M 在该椭圆上, 4 → → 且MF1·MF2=0,则点 M 到 x 轴的距离为( A. C. 2 3 3 3 3 B. ) 2 6 3

y2
4

x2

x2

2

D. 3

→ → → → 2 【解析】 由MF1·MF2=0,得 MF1⊥MF2,可设|MF1|=m,|MF2|=n,在△F1MF2 中,由 m +n =4c 得(m+n) -2mn=4c ,根据椭圆的定义有 m+n=2a,所以 2mn=4a -4c ,∴mn= 1 2 2b ,即 mn=2,∴S△F1MF2= mn=1.设点 M 到 x 轴的距离为 h,则: 2 1 3 ×|F1F2|×h=1,又|F1F2|=2 3,∴h= . 2 3 【答案】 C
2
2 2 2 2 2 2

二、填空题 6.已知 F1,F2 为椭圆 + =1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点,若|F2A| 25 9 +|F2B|=12,则|AB|=________. 【解析】 由椭圆的定义知:|F2A|+|F1A|+|F2B|+|F1B|=4a=20,∴|F1A|+|F1B|= |AB|=20-12=8. 【答案】 8 7.椭圆 + =1 的焦距是 2,则 m=________. m 4 【解析】 当焦点在 x 轴时,a =m,b =4,c =m-4,又 2c=2,∴c=1,∴m-4=1, ∴m=5;当焦点在 y 轴上时,a =4,b =m,∴c =4-m=1,∴m=3. 【答案】 3 或 5 8.过点(-3,2)且与 + =1 有相同焦点的椭圆的方程是________. 9 4 【解析】 ∵c =9-4=5, ∴设椭圆的方程为 2+
2 2 2 2 2 2 2

x2

y2

x2 y2

x2 y2

x2 y2 =1. 2 a a -5

∵点(-3,2)在椭圆上, 9 4 2 ∴ 2+ 2 =1,a =15. a a -5 ∴所求椭圆的方程为 + =1. 15 10 【答案】 三、解答题 9.设 F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左右焦点.设椭圆 C 上一点( 3, 到两焦点 F1,F2 的距离和等于 4,写出椭圆 C 的方程和焦点坐标. 【解】 ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为 4. ∴2a=4,a =4. ∵点( 3, 3 )是椭圆上一点, 2 3 2
2 2

x2

y2

+ =1 15 10

x2

y2

x2 y2 a b

3 ) 2



3

2

a2



b2

=1,∴b =3,∴c =1,

2

2

∴椭圆 C 的方程为: + =1. 4 3

x2 y2

3

焦点坐标分别为(-1,0),(1,0). 10.已知圆 B:(x+1) +y =16 及点 A(1,0),C 为圆 B 上任意一点,求 AC 的垂直平分 线 l 与线段 CB 的交点 P 的轨迹方程.
2 2

【解】 如图所示,连结 AP, ∵l 垂直平分 AC, ∴|AP|=|CP|, ∴|PB|+|PA|=|BP|+|PC|=4, ∴P 点的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆. ∵2a=4,2c=|AB|=2, ∴a=2,c=1,b =a -c =3. ∴点 P 的轨迹方程为 + =1. 4 3 11.已知椭圆的焦点在 x 轴上,且焦距为 4,P 为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2| 的等差中项. (1)求椭圆的方程; (2)若△PF1F2 的面积为 2 3,求 P 点坐标. 【解】 (1)由题意知,2c=4,c=2. 且|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8,即 2a=8,∴a=4. ∴b =a -c =16-4=12. 又椭圆的焦点在 x 轴上, ∴椭圆的方程为 + =1. 16 12 (2)设 P 点坐标为(x0,y0), 1 依题意知, |F1F2||y0|=2 3, 2 ∴|y0|= 3,y0=± 3, 代入椭圆方程 + =1,得 x0=±2 3, 16 12 ∴P 点坐标为(2 3, 3)或(2 3,- 3)或(-2 3, 3)或(-2 3,- 3).
2 2 2 2 2 2

x2 y2

x2

y2

x2 0

y2 0

4


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