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2014届广州高三数学(理科)复习周测训练2


高三数学(理科)复习周测训练(第 9 周 2)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的. 1.设 i 为虚数单位,则复数 A.

1 2 ? i 5 5
2

i 等于( 2?i 1 2 B. ? ? i 5 5

) C

. )
2

1 2 ? i 5 5

D. ?

1 2 ? i 5 5

2.命题 p : ?x ? R, x ? 1 ? 1, 则 ?p 是( A. ?x ? R, x ? 1 ? 1
2

B. ?x ? R, x ? 1 ? 1 D. ?x ? R, x ? 1 ? 1
2

C. ?x ? R, x ? 1 ? 1
2

3.已知 a ? (1,2), b ? (0,1), c ? (k ,?2), 若 (a ? 2b) ? c, 则 k ? ( A.2 B.8 C. ? 2 D. ? 8 4.某空间几何体的三视图及尺寸如图所示,则该几何体的体积是( A.2 B.1 C.

)

)

2 3

D.

1 3

5.为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛,老师将两人最近的 6 次数学测试的分数进行统

x乙 , 则下列 计,甲乙两人的得分情况如茎叶图所示,若甲乙两人的平均成绩分别是 x甲、
说法正确的是( )

A. x甲 ? x乙 , 乙比甲成绩稳定,应该选乙参加比赛 B. x甲 ? x乙 , 甲比乙成绩稳定,应该选甲参加比赛 C. x甲 ? x乙 , 甲比乙成绩稳定,应该选甲参加比赛 D. x甲 ? x乙 , 乙比甲成绩稳定,应该选乙参加比赛

?y ? x ? 6.已知实数 x、y 满足 ? x ? y ? 1, 则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为( ? y ? ?1 ?
A. ? 3 B.

)

1 2

C.5

D.6

7.已知集合 M ? {x || x ? 4 | ? | x ? 1 |? 5}, N ? {x | a ? x ? 6}, 且 M ? N ? (2, b), 则

a ?b ?(
A.6

) B.7 C .8
1

D.9

8.对于函数 y ? f ( x), 如果存在区间 [m, n], 同时满足下列条件:① f ( x) 存 [m, n] 内是单调 的;②当定义域是 [m, n] 时, f ( x) 的值域也是 [m, n], 则称 [m, n] 是该函数的“和谐区 间”.若函数 f ( x) ? A. (0,1)

a ?1 1 ? (a ? 0) 存在“和谐区间”,则 a 的取值范围是( a x 1 5 B. (0,2) C. ( , ) D. (1,3) 2 2

)

二、填空题(本大题共 7 个小题,其中第 14 题和第 15 题二选一,每小题 5 分,共 30 分) 9.已知函数 y ? f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? log 2 x, 则 f ( f ( )) 的值等于______. 10.已知抛物线 x ? 4 y 上一点 P 到焦点 F 的距离是 5,则点 P 的横坐标是_______.
2

1 4

11.函数 y ? sin x ? sin(x ?

?
3

) 的最小正周期为____,最大值是______.

12. 某学生在参加政、 史、 地三门课程的学业水平考试中, 取得 A 等级的概率分别为 、 、 , 且三门课程的成绩是否取得 A 等级相互独立,记 ? 为该生取得 A 等级的课程数,其分 布列如表所示,则数学期望 E? 的值为____.

4 3 2 5 5 5

?
P
13.观察下列不等式:① 第 5 个不等式为____. 14. (坐标系与参数方程)

0

1

2

3

6 125

a

b

4 125

1 1 1 1 1 1 ? ? 2, ③ ? 1, ② ? ? ? 3 ;…;则 2 2 6 12 2 6

在极坐标系中,设曲线 C1 : ? ? 2 sin ? 与 C2 : ? ? 2 cos? 的交点分别为 A、B,则线段 AB 的垂直平分线的极坐标方程为________. 15. (几何证明选讲) 如图, 圆 O 的直径 AB ? 9, 直线 CE 与圆 O 相切于点 C,AD ? CE 于 D, 若 AD ? 1, 设

?ABC ? ? , 则 sin ? ________.

2

三、解答题:本大题共 3 小题,满分 40 分,解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 如图,在 ?ABC 中, ?C ? 45 , D 为 BC 中点, BC ? 2. 记锐角 ?ADB ? ? , 且满足
o

cos 2? ? ?

7 ? 25

(1)求 cos? ; (2)求 BC 边上高的值.

17. (本题满分 14 分) 数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ? 2
n ?1

? 2, 数列 {bn } 是首项为 a1 , 公差为 d (d ? ? 0) 的等差数

列,且 b1、b3、b11 成等比数列. (1)求数列 {a n } 与 {bn } 的通项公式; (2)设 cn ? an , 求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . n

b

18. (本题满分 14 分) 如图所示,已知 AB 为圆 O 的直径,点 D 为线段 AB 上一点,且 AD ?

1 DB, 点 C 为圆 3

O 上一点,且 BC ? 3 AC , 点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D, PD ? DB. (1)求证: PA ? CD ; (2)求二面角 C ? PB ? A 的余弦值.

3

参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 9.? 1 10.? 4 11.2? , 3 12. 1 A 2 C 3 B 4 A 5 D 6 C 7 B 8 A

9 5

13.

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 5 2 6 12 20 30

14. ? sin(? ? 三、解答题

?
4

)?

2 (或? cos? ? ? sin ? ? 1) 2

15.

1 3

16.解:(1)因为 cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ? ?
2

9 7 , 所以 cos2 ? ? , 25 25 ? 3 因为 ? ? (0, ), 所以 cos? ? 5 2 4 o 2 法 1:(2)由(1)得 sin ? ? 1 ? cos ? ? , 因为 ?CAD ? ?ADB ? ?C ? ? ? 45 , 5
所以 sin ?CAD ? sin(? ?

?
4

) ? sin ? cos

?
4

? cos? sin

?
4

?

2 10

在 ?ACD 中,由正弦定理得:

CD AD ? , sin ?CAD sin ?C

2 CD ? sin ?C 1? 2 所以 AD ? ? ? 5. sin ?CAD 2 10 4 则高 h ? AD ? sin ?ADB ? 5 ? ? 4. 5 法 2:如图,作 BC 边上的高为 AH,在直角 ?ADH 中, DH 3 由(1)可得 cos? ? ? , 不妨设 AD ? 5m 则 DH ? 3m, AH ? 4m. AD 5
注意到 ?C ? 45 , 则 ?AHC 为等腰直角三角形,
?

所以 CD ? DH ? AH , 则 1 ? 3m ? 4m. 所以 m ? 1, 即 AH ? 4. 17.解:(1)当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 2 又 a1 ? S1 ? 2
1 ?1
n?1

? 2 n ? 2 n.

? 2 ? 2 ? 21 , 也满足上式
n

所以数列 {a n } 的通项公式为 an ? 2 .

b1 ? a1 ? 2, 设公差为 d,则由 b1、b3、b11 成等比数列,
4

得 (2 ? 2d ) ? 2 ? (2 ? 10 d ) , 解得 d ? 0 (舍去)或 d ? 3.
2

所以数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 3n ? 1. (2)由(1)可得 Tn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 1 2 3 n 2 2 2 2n

b

b

b

b

2

5

8

3n ? 1

5 8 3n ? 1 ? 2 ? ? ? n?1 ? 1 2 2 2 3 3 3 3n ? 1 两式相减得 Tn ? 2 ? 1 ? 2 ? ? ? n?1 ? 2 2 2 2n 2Tn ? 2 ?

3 1 (1 ? n?1 ) 3n ? 1 3n ? 5 2 Tn ? 2 ? 2 ? n ?5? n 1 2 2 1? 2
18.解:(1)连接 CO,由 3 AD ? DB 知,点 D 为 AO 的中点, 又因为 AB 为圆 O 的直径,所以 AC ? CB,
? 由 3 AC ? BC 知, ?CAB ? 60 ,

所以 ?ACO 为等边三角形,从而 CD ? AO. 因为点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D, 所以 PD ? 平面 ABC, 又 CD ? 平面 ABC,所以 PD ? CD. 由 PD ? AO ? D, PD ? 平面 PAB, AO ? 平面 PAB, 所以 CD ? 平面 PAB,又 PA ? 平面 PAB,所以 PA ? CD (2)过点 D 作 DE ? PB, 垂足为 E,连接 CE. 由(1)知 CD ? 平面 PAB,又 PB ? 平面 PAB, 所以 CD ? PB, 又 DE ? CD ? D, DE ? 平面 CDE, CD ? 平面 CDE, 所以 PB ? 平面 CDE, 又 CE ? 平面 CDE, 所以 CE ? PB. 所以 ?DEC 为二面角 C ? PB ? A 的平面角. 设 AD ? 1, 由(1)可知 CD ? 则 DE ?

3, PD ? DB ? 3, 所以 PB ? 3 2 ,

PD ? DB 9 3 2 ? ? , 2 PB 3 2

所以在 Rt?CDE 中, tan ?DEC ?

CD 3 6 ? ? , 3 DE 3 2 2

所以 cos ?DEC ?

15 15 5 , 即二面角 C ? PB ? A 的余弦值为 5 ?

5


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