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江西省吉安市第一中学2017届高三上学期第二次段考文数试题Word版含答案.doc


数学(文)试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
2 1.设 A ? x ? Z | x ? 2 , B ? y | y ? x ? 1, x ? A ,则 B 的元素个数是(

?

?

?

?



A.5

B.4

C.3

D.无数个 )

2.已知 i 为虚数单位,若复数 i?z ? 2 ? i ,则( A.1 B. 2 C. 3

D.2

3.根据如下的样本数据:

得到的回归方程为 y ? bx ? a ,则( A. a ? 0, b ? 0
0.1

) C. a ? 0, b ? 0 D. a ? 0, b ? 0

B. a ? 0, b ? 0
0.1

4.设 a ? 4 , b ? log4 0.1 , c ? 0.4 ,则( ) A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. a ? c ? b D. b ? c ? a )

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为( 5.已知三个数 2, m ,8 构成一个等比数列,则圆锥曲线 m 2
A.

2 2

B. 3

C.

2 6 或 2 2

D. )

2 或 3 2

6.已知 cos ? ? ? A.

1 25

7 ? ? , ? ? ? ?? ,0? ,则 sin ? cos ? ( 25 2 2 1 1 1 B. C. ? D. ? 5 5 5

7.按下图所示的程序框图运算:若输出 k ? 2 ,则输入 x 的取值范围是(



A. ? 20,25?

B. ? 30,57?

C. ? 30,32?

D. ? 28,57? 则 f ? x? 的 ? 的部分图象如图所示, 2?

8.已知函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ? 递增区间为( )

? ?

??

A. ? ?

5? ? ? ? ? 2k? , ? 2k? ? , k ? Z 12 ? 12 ?

B. ? ?

5? ? ? ? ? 2k? , ? 2 k? ? , k ? Z 6 ? 6 ?

C. ? ?

5? ? ? ? ? k? , ? k? ? , k ? Z 12 ? 12 ?

D. ? ?

5? ? ? ? ? k? , ? k? ? , k ? Z 6 ? 6 ?

? x ? y ?1 ? 0 ? 9.平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? 1 ? 0 ( a 为常数)表示的区域面积等于 3,则 a 的 ? ax ? y ? 1 ? 0 ?
值为( A.-5 ) B.-2 C.2 D.5

x2 y 2 10.已知 A, B, P 是双曲线 2 ? 2 ? 1 上的不同三点,且 AB 连线经过坐标原点,若直线 a b
PA, PB 的斜率乘积 k PA ?k PB ?
A.

2 ,则该双曲线的离心率 e ? ( 3
C.



5 2

B.

15 3

10 2

D. 2 )

11.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的各侧面中,面积最小值为(

A.

5 2

B.

3 2 2

C.

2 2
? g ? 0? x ?


D.

1 2

12.已知函数 g ? x ? 满足 g ? x ? ? g′ ?1? e

x ?1

1 2 x ,且存在实数 x0 使得不等式 2

2m ?1 ? g ? x0 ? 成立,则 m 的取值范围为(
A. ? ??, 2? B. ? ??,3? 第Ⅱ卷(共 90 分)

C. ?1, ?? ?

D. ?0, ???

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.设 a ? ? x,3? , b ? ? 2, ?1? ,若 a ? b ,则 2a ? b ? 14.若函数 f ? x ? 是周期为 4 的奇函数,且在 ? 0, 2? 上的解析式为

?

?

?

?

?

?



? x ?1 ? x ? , 0 ? x ? 1 ,则 f ? x? ? ? ? sin ? x,1 ? x ? 2
2 2

? 41 ? f?f ?? ? 6?



15.已知圆 C : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 1 和两点 A? ?m,0? ,B ? m,0?? m ? 0? , 若圆上存在点 P , 使得 ?APB ? 90? ,则 m 的取值范围是 .

16.已知 ?ABC 外接圆的圆心为 O ,且 OA ? 3OB ? 2OC ? 0 则 ?AOC ?

??? ?

??? ?

??? ?

?



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 已知 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和满足 an ? 0 , an 2 ? 2an ? 4Sn ? 3 . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和. an an ?1

18.(本小题满分 12 分)

某优质高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛”闲在本校进行初赛(满分 150 分) ,若该校有 100 名学生参加初赛,并根据初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图,计算这 100 名学生参加初赛成绩的中位数; (2)该校推荐初赛成绩在 110 分以上的学生代表学校参加竞赛,为了了解情况,在该校推 荐参加竞赛的学生中随机抽取 2 人, 求选取的两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同 组的概率. 19. (本小题满分 12 分) 如图,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, E 是 AC 中点.

(Ⅰ)求证:平面 BEC1 ? ACC1 A 1;

AB ? 2 ,求点 A 到平面 BEC1 的距离. (Ⅱ)若 AA 1 ? 2,
20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 W :

x2 y 2 3 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,其左顶点 A 在圆 O : x ? y ? 16 上. 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 W 的方程; (Ⅱ)若点 P 为椭圆 W 上不同于点 A 的点,直线 AP 与圆 O 的另一个交点为 Q ,是否存在 点 P ,使得

PQ AP

? 3 ?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

21.(本小题满分 12 分)

3 2 已知函数 f ? x ? ? 2 x ? 6 x ? 3a 2 ln x ? x ? 1 , ? a ? R? .

(1)当 a ? 0 时,求函数 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上的单调区间; (2)若函数 f ? x ? 存在两个极值点,求 a 的取值范围. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? x ? 1 ? t, ? ? x ? cos? , 2 ? 已知直线 l : ? ( t 为参数) ,曲线 C1 : ? ( ? 为参数). y ? sin ? . 3 ? ?y ? t. ? ? 2
(Ⅰ)设 l 与 C1 相交于 A, B 两点,求 AB ; (Ⅱ)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的

1 3 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到 2 2

曲线 C2 ,设点 P 是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? 2x ? 2 ? x ? 2 . (Ⅰ)求不等式 f ? x ? ? 2 的解集; (Ⅱ)若 ?x ? R , f ? x ? ? t ?
2

7 t 恒成立,求实数的取值范围. 2

试卷答案 一、选择题 1-5: CCBCD 二、填空题 13. 5 2 三、解答题 17.解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a12 ? 2a1 ? 4S1 ? 3 ? 4a1 ? 3,因为 an ? 0 ,所以 a1 ? 3 , 当 n ? 2 时, an 2 ? 2an ? an?12 ? 2an?1 ? 4Sn ? 3 ? 4Sn?1 ? 3 , 即 ? an ? an?1 ?? an ? an?1 ? ? 2 ? an ? an?1 ? ,因为 an ? 0 ,所以 an ? an?1 ? 2 所以数列 ?an ? 是 首项为 3,公差为 2 的等差数列,所以 an ? 2n ? 1. (Ⅱ)由(Ⅰ)知, bn ? 14. 6-10: CDCDB 11、12: DC

1 4

15. ? 4,6?

16.

2 ? 3

1? 1 1 ? ,所以数列 ?bn ? 的前 n 项 ? ? ? ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ? ? 1

和为 b1 ? b2 ? … ? bn ?

1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 1 ? 1 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? …? ? ?? ? ? ? 2 ?? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2n ? 1 2n ? 3 ? ? 6 4n ? 6

18.(Ⅰ)设初赛成绩的中位数为 x ,则:

?0.001? 0.004 ? 0.009? ? 20 ? 0.02 ? ? x ? 70? ? 0.5

? D, a? , ? D, b? , ? a, b?
共 15 个基本事件,其中符合题设条件的基本事件有 8 个. 故选取的这两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率为 P ?

8 . 15

19.证明;(Ⅰ)? ABC ? A 1B 1C1 是正三棱柱,∴AA 1 ? 平面ABC , BE ? 平面ABC ,

∴BE ? AA1 ,
? ?ABC 是正三角形, E 是 AC 中点,∴BE ? AC , AA1 ? AC ? A , AA1 ? 平面ABC , AC ?

平面ABC

∴BE ? 平面ACC1 A1 ,∴BE ? 平面BEC1 ,∴平面BEC1 ? 平面ACC1 A1
(Ⅱ)正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,

AA1 ? 2 , AB ? 2 ,因为 E 为 AC 中点,∴BE ? 2sin 60? ? 3
1 1 ?1 1 6 ? . VC1 ? ABE ? S?ABE ? CC1 ? ? ? ? ? 2 ? 3 ? ? 2 ? 3 3 ?2 2 6 ?
在直角 ?CEC1 中, CE ? 1 , CC1 ? 2 , C1E ? 3

? BE ? 平面ACC1 A1 , EC1 ? 平面ACC1 A1 ,∴BE ? EC1 .
∴S?BEC1 ? 1 1 1 3 BE ?EC1 ? ? BE ?EC1 ? ? 3 ? 3 ? .设点 A 到面 BEC1 的距离为 h . 2 2 2 2

1 3 6 6 ,∴h ? . ?VC1 ? ABE ? VA?BEC1 ,∴ ? h ? 3 2 6 3
(另解:用等体积法求解可视情况酌情给分)

2 2 20.解: (1) 因为椭圆 W 的左顶点 A 在圆 O : x ? y ? 16 上, 令 y ? 0, 得 x ? ?4 , 所以 a ? 4 .

又离心率为

3 c 3 2 2 2 ,所以 e ? ? ,所以 c ? 2 3 ,所以 b ? a ? c ? 4 . 2 a 2

x2 y 2 ? ? 1. 所以 W 的方程为 16 4
(2)设点 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,设直线 AP 的方程为 y ? k ? x ? 4? ,

? y ? k ? x ? 4? ? 与椭圆方程联立得 ? x 2 y 2 , ? ? 1 ? ? 16 4
2 2 2 2 化简得到 1 ? 4k x ? 32k x ? 64k ? 16 ? 0 ,因为-4 为方程的一个根,

?

?

所以 x1 ? ? ?4 ? ?

?32k 2 4 ? 16k 2 x ? ,所以 1 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

所以 AP ?

8 1? k 2 1 ? 4k 2
4k , 1 ? 4k 2

因为圆心到直线 AP 的距离为 d ?

所以 AQ ? 2 16 ? d 2 ? 2

16 8 . ? 2 1? k 1? k 2 AQ AP ?1 ,

因为

PQ AP

?

AQ ? AP AP
8

?

代入得到

2 PQ 1 ? 4k 2 3k 2 3 ? 1 ? k ?1 ? ? 1 ? ? 3? , 2 2 2 AP 8 1 ? k 1? k 1? k 1? k 2 1 ? 4k 2

显然 3 ?

PQ 3 ? 3 ,所以不存在直线 AP ,使得 ? 3. 2 1? k AP

3 21.解: (1)当 a ? 0 时, f ? x ? ? 2x ? 6x 的定义域为 ? 0, ??? ,

? f′ ? x? ? 6x2 ? 6 ? 6 ? x ?1?? x ?1? ,
当 x ? 1 时, f ′ ? x? ? 0 ;当 0 ? x ? 1 时, f ′ ? x? ? 0 .

∴ 函数 f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减,在 ?1, ?? ? 上单调递增.

(2)令 g ? x ? ? 2ln x ? x 2 ?1 , g′ ? x? ?

2 ? ? x ??1 ? x ? 2 ? 2x ? , x x

当 0 ? x ? 1 时, g′ ? x? ? 0 ;当 x ? 1 时, g′ ? x? ? 0 .

∴g ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减,∴g ? x ? ? g ?1? ? 0 .
∴f ? x ? ? 2 x3 ? 6 x ? 3a ? 2 ln x ? x 2 ? 1? ,

2 ? 6 ? x ? 1?? x ? 1?? x ? a ? . f′ ? x ? ? 6 x2 ? 6 ? 3a ? ? ? 2x ? ? x ?x ?
当 a ? 0 时, 0 ? x ? 1 ? f ′ ? x? ? 0 ; x ? 1 ? f ′ ? x? ? 0 , 函数 f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减,在 ?1, ?? ? 上单调递增,函数 f ? x ? 恰有一个极小值,不符 合题意. 当 0 ? a ? 1 时, a ? x ? 1 ? f ′ ? x? ? 0 , 0 ? x ? a 或 x ? 1 ? f ′ ? x? ? 0 , 函数 f ? x ? 在 ? 0, a ? 上单调递增, 在 ? a,1? 上单调递减, 在 ?1, ?? ? 上单调递增, 函数 f ? x ? 恰 有一个极大值一个极小值,符合题意. 当 a ? 1 时, f ′ ? x? ?

6 ? x ? 1?? x ?1? ? 0 ,函数 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增,既无极大值 x
2

也无极小值,不符合题意. 当 a ? 1 时, 1 ? x ? a ? f ′ ? x? ? 0 ; 0 ? x ? 1 或 x ? a ? f ′ ? x? ? 0 , 函数 f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增, 在 ?1, a ? 上单调递减, 在 ? a, ??? 上单调递增, 函数 f ? x ? 恰 有一个极大值一个极小值,符合题意. 综上所述, a 的取值范围是 ? 0,1? ? ?1, ??? . 22.(Ⅰ)直线的普通方程为 y ? 3 ? x ? 1? , C1 的普通方程 x ? y ? 1.
2 2

联立方程组 ?

?1 ? 3? ? y ? 3 ? x ? 1? , l B , ? ,解得 与 的交点为 , C A 1,0 ? ? ? ? 1 2 2 ?2 ? ,则 AB ? 1 . 2 x ? y ? 1, ? ? ? ?

1 ? x ? cos ? , ? 2 ? (Ⅱ)曲线 C2 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,故点 P 的坐标是 ? y ? 3 sin ? , ? ? 2

?1 ? 3 ? ? 2 cos ? , 2 sin ? ? ?, ? ?

从而点 P 到直线 l 的距离是 d ?

3 3 cos ? ? sin ? ? 3 2 2 2

?

3? ?? ? ? 2 sin ? ? ? ? ? 2 ? , ? 4 ? 4? ? ?

由此当 sin ? ? ?

? ?

??

6 ? ? ?1 时, d 取得最小值,且最小值为 4 4?

?

2 ?1 .

?

? ? x ? 4, x ? ?1 ? 23.解: (1) f ? x ? ? ?3 x, ?1 ? x ? 2 , ? x ? 4, x ? 2 ?
当 x ? ?1 , ? x ? 4 ? 2 , x ? ?6 ,∴x ? ?6 当 ?1 ? x ? 2 , 3 x ? 2 , x ?

2 2 ,∴ ? x ? 2 3 3

当 x ? 2 , x ? 4 ? 2 , x ? ?2 ,∴ x ? 2 综上所述 ? x | x ?

? ?

2 ? 或x ? ?6? . 3 ?
2

(2)易得 f ? x ?min ? f ? ?1? ? ?3 ,若 ?x ? R , f ? x ? ? t ? 则只需 f ? x ?min ? ?3 ? t ?
2

11 t 恒成立, 2

7 3 t ? 2t 2 ? 7t ? 6 ? 0 ? ? t ? 2 , 2 2

综上所述

3 ? t ? 2. 2


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