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2015届高考二轮数学文科金版学案专题复习课件4.2线性规划、基本不等式与不等式的证明


随堂讲义· 第一部分

知识复习专题

专题四 第二讲







线性规划、基本不等式与不 等式的证明

预测2015年高考中一定有线性规划小题,利用不 等式性质与基本不等式的小题也一般情况都会考

到,而基本不等式也可能在大题中求最值问题中
用到.但由于现有导数方法研究函数最值问题, 故直接利用基本不等式求最值机会变小,但仍然 有考到的可能,特别是在小题中可能性很大.

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主干 考点 梳理

考点1

线性规划问题

1.设出变量 x,y,列出变量 x , y的线性约 束条件,确定目标函数. 2.作出可行域和目标函数值为0的直线l.

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3.利用直线l确定最优解对应的点,从而求
出最优解.

主干 考点 梳理

考点2

基本不等式的应用问题
ab.

a+b 1.基本不等式: ≥ 2

,b>0. (1)基本不等式成立的条件:a ________ a=b 时取等号. (2)等号成立的条件:当且仅当________ 最小值 (3)应用:两个正数的积为常数时,它们的和有 ______ .两个正

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最大值. 数的和为常数时,它们的积有________
2.几个重要的不等式.

2ab ,b∈R). (1)a2+b2≥________(a
b a 2 (2) + ≥________( a 与 b 同号). a b

主干 考点 梳理

1 1 2 -2 a<0). (3)a+a≥________( a>0),a+a≤__________(
?a+b?2 ? (a,b∈R). (4)ab≤? ? 2 ?

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主干 考点 梳理

考点自测
2x+y≥4, ? ? 1.设 x,y 满足?x-y≥1, 则 z=x+y( ? ?x-2y≤2, A.有最小值 2,最大值 3 B.有最小值 2,无最大值 C.有最大值 3,无最小值 D.既无最小值,也无最大值

B )

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主干 考点 梳理

解析: 画出不等式表示的平面区域,如图, 由z=x+y,得y=-x+z,令z=0,画出y=
-x的图象,当它的平行线经过A(2,0)时,z 取得最小值,最小值为z=2,无最大值.故 选B.

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主干 考点 梳理

2 2 2 . 2.若 x>0,则 x+x的最小值为________

解析:

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2 2 ∵x>0?x+ ≥2 2,当且仅当 x= ?x= 2时取等号. x x

主干 考点 梳理
x+2y≤8, ? ? 3.(2014· 广东卷)若变量 x、y 满足约束条件?0≤x≤4, ? ?0≤y≤3, 则 z=2x+y 的最大值等于( C ) A.7 B.8 C.10 D.11

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主干 考点 梳理

x+2y≤8, ? ? 解析: 作出不等式组 ?0≤x≤4, 所表示的可行域 ? ?0≤y≤3, 如下图所示.

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主干 考点 梳理

直线x=4交直线x+2y=8于点A(4,2),作
直线l:z=2x+y,则z为直线l在y轴上的截 距,当直线经过可行域上的点A时,直线l 在y轴上的截距最大,此时z取最大值,即 zmax=2×4+2=10.故选C.

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主干 考点 梳理

4.(2014· 重庆卷)若 log4(3a+4b)=log2 ab,则 a +b 的最小值是( D ) A.6+2 3 B.7+2 3 C.6+4 3 D.7+4 3

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主干 考点 梳理

解析: 由题意,ab>0,且 3a+4b>0,所以 a>
0,b>0. 又 log4(3a+4b)=log2 ab,所以 3a+4b=ab, 4 3 所以a+b=1.
?4 3? 4b 3a 所 以 a + b = (a + b) ?a+b? = 7 + a + b ≥ 7 + ? ?

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2

4b 3a a · b =7+4 3,

4b 3a 当且仅当 a = b 时,等号成立.故选 D.

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高考 热点 突破

突破点1

不等式正、误的辨别与大小比较问题

例 1(1)设 a,b∈R,若 a-|b|>0,则下列不等式中正确 的是( C ) A.b-a>0 B.a3+b3<0

C.b+a>0 D.a2-b2<0 2 (2)已知 a> b>0,且 ab=1,设 c= ,p=logca,m= a+b
p<m<n logc(ab),n=logcb,则 m,n,p 的大小关系是________ .

栏 栏 目 目 链 链 接 接

高考 热点 突破 思路点拨:(1)可以根据a-|b|>0去掉绝对值号 得到a与b的大小关系,从而作出判断,亦可 以在a,b∈R的前提下取满足a-|b|>0的特殊

实数a,b验证.
(2)可以由已知先得到a,b,ab三者的大小关

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系,再判定c与1的大小关系,最后利用对数
函数的单调性比较大小.亦可以用特殊值法 比较.

高考 热点 突破

解析:(1)解法一 由 a-|b|>0,得 a>|b|,

∴-a<b<a,∴a+b>0 且 a-b>0, ∴b-a<0,A 错. a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
?? b?2 3 ? =(a+b)??a- ? + b2?>0,∴B 错. ?? 2? 4 ?

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而 a2-b2=(a-b)(a+b)>0,∴D 错.故选 C. 解法二(特殊值法) ∵a,b∈R 且 a-|b|>0, ∴取 a=2,b=-1.

高考 热点 突破

则 b-a=-1-2=-3<0,∴A 错. a3+b3=8-1=7>0,∴B 错. a2-b2=22-(-1)2=3>0,∴D 错.故选 C. (2)解法一 ∵a>b>0 且 ab=1, ∴a>1,0<b<1. ∴a>ab>b>0, 2 2 又 0<c= = < 1 a+ b a+ a 2 2 1 a·a = 1,

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高考 热点 突破

∴y=logcx 在(0,+∞)为减函数,∴p<m<n. 解法二(特殊值法) ∵a>b>0 且 ab=1, 1 2 4 ∴取 a=2,b= .∴c= = <1, 2 a+b 5 1 p=log42<0,m=log41=0,n=log4 >0, 2 5 5 5 ∴p<m<n.

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高考 热点 突破

规律方法

(1)判断不等式的正误,常利用不等式的
性质、基本不等式、函数的单调性和特殊值法、

作差法等.
(2) 比较大小常利用:①函数的单调性法; ②图象法;③不等式的性质或基本不等式法; ④作差法;⑤特殊值法.

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高考 热点 突破

?跟 踪 训 练

c c 1.设 a>b>1,c<0, 给出下列三个结论:①a>b; ②ac <bc;③logb(a-c)>loga(b-c). 其中所有的正确结论的序号是( D ) A.① C.②③ B.①② D.①②③

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高考 热点 突破

c c 解析: 由 a>b>1,c<0 得 > ,故① a b 正确;由幂函数的单调性知: ac<bc,故 ② 正确;由对数函数的单调性知: logb(a -c)>loga(b-c),故③正确.故选 D.

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高考 热点 突破

突破点2

线性规划问题

例2某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两

类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产
品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产 品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备 乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为 2 300 ________元.

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高考 热点 突破

解析: 设甲种设备需要生产x天, 乙种设备需 要生产y天, 该公司所需租赁费为z元,则z= 200x+300y,甲、乙两种设备生产A,B两类 产品的情况如下表所示: 产品 设备 甲设备 A类产 品 /件 5 B类产 品 /件 10 租赁 费 /元 200

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乙设备

6

20

300

高考 热点 突破

5x+6y≥50, ? ? ? ? 则满足的关系为?10x+20y≥140,即?x+2y≥14, ? ?x≥0,y≥0, ? ?x≥0,y≥0.

6 x+ y≥10, 5

作出不等式表示的平面区域,当 z=200x+300y 对应的 6 直线过两直线 x+ y=10,x+2y=14 的交点(4,5)时,目标 5 函数 z=200x+300y 取得最小值,为 2 300 元. 误区警示:本题易由于画图不准,而将顶点确定错.

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高考 热点 突破

规律方法 (1)线性规划问题一般有三种题型:一是求

最值;二是求区域面积;三是由最优解确定目标
函数的字母系数的取值范围. (2)解决线性规划问题首先要找到可行域,再 注意目标函数所表示的几何意义,数形结合找到 目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点), 但要注意作图一定要准确 , 整点问题要验证解 决.

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高考 热点 突破

?跟 踪 训 练 2.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知 生产甲产品1桶需耗A原料1千克,B原料2千克;生
产乙产品1桶需耗A原料2千克,B原料1千克.每桶 甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400 元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消 耗A,B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计 划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获 C 得的最大利润是( ) A.1 800元 B.2 400元

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C.2 800元 D.3 100元

高考 热点 突破 解析:设公司每天生产甲种产品 x 桶,乙种产品 y 桶,公

司共可获得利润为 z 元,则由已知,得 z=300x+400y,

? ?2x+y≤12, 且? x≥0, ? ? y ≥ 0,
x+2y≤12, 画可行域(如图所示),

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高考 热点 突破

3 z 目标函数 z=300x+400y 可变形为 y=- x+ ,这 4 400 是随 z 变化的一组平行直线.
? ?2x+y=12, ? ?x=4, 解方程组? 得? 即 A(4,4). ? ?x+2y=12, ? ?y=4,

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∴zmax=300×4+400×4=2 800.

高考 热点 突破

点评:解决线性规划题目的常规步骤:一列 (列出约束条件)、二画(画出可行域)、三作 (作目标函数变形式的平行线)、四求(求出最

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优解).

高考 热点 突破

突破点3

利用基本不等式求最值问题

例3下图所示的是自动通风设施,该设施
的下部ABCD是等腰梯形,其中AB=1米,梯 形的高为0.5米,CD=3米,上部CmD是个半 圆,固定点E为CD的中点.△EMN是由电脑 控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不

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通风),MN是可以沿设施边框上下滑动且始终
保持和CD平行的伸缩横杆.

高考 热点 突破

(1)设MN与AB之间的距离为x米,试将三角通

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风窗EMN的通风面积S(平方米)表示成关于x的函数S
=f(x). (2)当MN与AB之间的距离为多少米时,三角通 风窗的通风面积最大?并求出这个最大面积.

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解析:(1)①当 0≤x<1时,由平面几何知识,得 2
MN-1 x = ,所以 MN= 2(3 - 1)x+ 1 = 4x+ 1 , S = f(x) = 3-1 1 2
?1 ? 1 1 1 ·MN·?2-x?=-2x2+ x+ . 2 2 4 ? ?

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1 1 ②当 < x < 2 时, S = f(x) = × 2 2 2 9 ? 1?2 ? 1? -?x- ? ×?x-2?, 4 ? 2? ? ?

? 1? 9 ? 1?2 -?x- ? × ?x-2? = 4 ? 2? ? ?

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所以 S=f(x)=

? ? ? ? ?

? 1? 1 1 -2x2+ x+ ,x∈?0,2?, 2 4 ? ? ?1 ? 9 ? 1?2 ? 1? ? ? ? ? - x-2 × x-2 ,x∈?2,2?. 4 ? ? ? ? ? ?

1 1 1 (2)①当 0≤x< 时,f(x)=-2x2+ x+ = 2 2 4
? 1?2 9 9 1 ? ? -2 x-8 + ≤ ,当 x= 时,等号成立; 8 ? ? 32 32

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1 ②当 <x<2 时,f(x)= 2

9 ? 1?2 ? 1? -?x- ? ×?x- ?≤ 4 ? 2? ? 2 ?

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9 ? 1?2 ? 1?2 -?x- ? +?x- ? 4 ? 2? ? 2? 9 9 ? 1?2 ? 1?2 = ,当 -?x-2? =?x- 2? ,即 x 2 8 4 ? ? ? ? 2+ 3 2 = 时,等号成立. 4 2+ 3 2 9 所以当 x= 时,f(x)max= . 4 8 2+ 3 2 综上所述, 当 MN 与 AB 之间的距离为 x= 米时, 4 9 三角通风窗 EMN 的通风面积最大,最大面积为 平方米. 8

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规律方法 在利用基本不等式求最值时,要特别注意

“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中
“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式 的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件) 的条件,才能应用,否则会出现错误.而“定” 条件往往是整个求解过程中的一个难点和关 键.解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项,创 造应用均值不等式的条件.

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?跟 踪 训 练 3.为了保护环境,实现城市绿化.某房地产 公司要在拆迁地长方形ABCD上规划出一块长方形 地面建造公园,公园一边落在CD上,但不得越过

文物保护区△AEF的EF,问如何设计才能使公园
占地面积最大?并求这个最大面积(其中AB=200 m,BC=160 m,AE=60 m,AF=40 m).

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解析: 设 CG=x,矩形 CGPH 面积为 y.

2x-280 EN x-140 作 EN⊥PH 于点 N, 则 = ?EN= . 40 60 3 2x-280 760-2x ∴HC=160- = . 3 3

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760-2x 1 1 ?760? 2 y = x· = · 2x(760 - 2x)≤ ? 2 ? = 3 6 6? ? 72 200 . 3 当 2x=760-2x?x=190,即 CG 长为 190 m 时,最 72 200 大面积为 m2. 3

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小结反思

1.应用均值不等式解题常用到“和定积最大,积定 和最小” ,其解题步骤是“一正、二定、三相等” , “二定” 指含变数的两项的和(积)为常数,合理拆添项或拼凑因式 是常用的技巧,而拆和凑的前提是要求等号能够成立. 2.当用均值不等式求最值取不到等号时,常利用函 a 数 y=x+ (a>0)的单调性求解. x

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高考 热点 突破

1 3.注意函数 y=x+ (x<0)的单调性及推导方法. x 4. 线性规划问题应特别注意目标函数最值的几何 意义是与直线的截距符号相同还是相反. 5.作差法的依据是 a>b?a-b>0,证明中常用 到配方法、分解因式、均值不等式等方法;作商法的 a 依据是 a,b∈R+,a>b? >1,适用于指数、幂的 b 形式.

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