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【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第2篇 第12节 定积分的概念及简单应用课时训练 理


【导与练】 (新课标) 2016 届高三数学一轮复习 第 2 篇 第 12 节 定 积分的概念及简单应用课时训练 理

【选题明细表】 知识点、方法 求定积分 定积分求面积 定积分的物理应用 由定积分求参数 综合应用 基础过关 一、选择题 1.设函数 f(x)= 则定积分 f(x)dx 等于( C ) 题号 1、2、7 4、8、13、16 3、5、12 6、9 10、11、14、15

(A) (B)2

(C) (D)

解析:

f(x)dx=

x dx+

2

1dx

= x

3

+x

= .故选 C.

2.(2014 厦门模拟)设函数 f(x)=x +ax 的导函数 f′(x)=2x+1,则 ( A ) (A) (B) (C) (D) 解析:f′(x)=mx +a=2x+1,得 m=2,a=1, 所以 f(x)=x +x,所以 f(-x)=x -x,
2 2 m-1

m

f(-x)dx 的值等于

1

所以

f(-x)dx=

(x -x)dx=( x - x ) = .故选 A.

2

3

2

3.如果 1 N 的力能拉长弹簧 1 cm,为了将弹簧拉长 6 cm,所耗费的功为( A ) (A)0.18 J (B)0.26 J (C)0.12 J (D)0.28 J

解析:由物理知识 F=kx 知,1=0.01k, ∴k=100 N/m, 则 W= 100xdx=50x
2

=0.18(J).故选 A.
x

4.(2014 合肥模拟) 如图,由函数 f(x)=e -e 的图象,直线 x=2 及 x 轴所围成的阴影部分的面 积等于( B )

(A)e -2e-1 (B)e -2e (C) (D)e -2e+1 解析:由已知得 S= f(x)dx= (e -e)dx=(e -ex) =(e -2e)-(e-e)=e -2e.故选 B.
2 x x 2 2 2 2

2

5.一质点运动时速度与时间的关系式为 v(t)=t -t+2,质点做直线运动,则此质点在时间[1,2] 内的位移为( (A) (B) A ) (C) (D)

解析:∵v(t)>0, ∴质点在[1,2]内的位移 s 即为 v(t)在[1,2]上的定积分, ∴s= v(t)dt

2

=

(t -t+2)dt

2

=

= . 故选 A. 6.(2014 中山模拟)已知 t>0,若 (A)2 解析: (B)3 (C)6 (D)8 1dx=x
2

(2x-1)dx=6,则 t 的值等于( B )

(2x-1)dx=

2xdx-

-x

=t -t=6 得 t=3 或 t=-2(舍去).故选 B.

2

二、填空题 7.(2014 昆明模拟) ( + ) dx=
2

.

解析:

(

+ ) dx=

2

(x+ +2)dx=( x +ln x+2x) = +ln .

2

答案: +ln 8.(2014 南宁模拟)在同一坐标系中作出曲线 xy=1 和直线 y=x 以及直线 y=3 的图象如图所示, 曲线 xy=1 与直线 y=x 和 y=3 所围成的平面图形的面积为 .

解析:所求区域面积为 S= 答案:4-ln 3

(3- )dx+

(3-x)dx=4-ln 3.

9.已知曲线 y=x 与直线 y=kx(k>0)所围成的曲边图形的面积为 ,则 k=

2

.

3

解析:由
2





则曲线 y=x 与直线 y=kx(k>0)所围成的曲边图形的面积为 (kx-x )dx=( x - x ) 即 k =8, ∴k=2. 答案:2 10.(2014 成都模拟)函数 y= (sin t+cos tsin t)dt 的最大值是 .
3 2 2 3

= - k= ,

3

解析:y=

(sin t+cos tsin t)dt

=

(sin t+ sin 2t)dt

=(-cos t- cos 2t)

=-cos x- cos 2x+

=-cos x- (2cos x-1)+

2

=- cos x-cos x+

2

=- (cos x+1) +2≤2, 当 cos x=-1 时取等号. 答案:2 三、解答题 11.已知 f(x)为二次函数,且 f(-1)=2,f′(0)=0, f(x)dx=-2,

2

4

(1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值. 解:(1)设 f(x)=ax +bx+c(a≠0), 则 f′(x)=2ax+b. 由 f(-1)=2,f′(0)=0, 得
2 2



∴f(x)=ax +2-a. 又 f(x)dx= (ax +2-a)dx
2

=[ ax +(2-a)x] =2- a=-2, ∴a=6,从而 f(x)=6x -4. (2)∵f(x)=6x -4,x∈[-1,1]. ∴当 x=0 时,[f(x)]min=-4; 当 x=±1 时,[f(x)]max=2. 12.做变速直线运动的质点的速度方程是 v(t)= (1)求该质点从 t=10 s 到 t=30 s 时所走过的路程; (2)求该质点从开始运动到运动结束共走过的路程. 解:(1)s1= v(t)dt= tdt+ 20dt=350(m). (单位:m/s).
2 2

3

(2)该质点从开始到结束需 100 s,走过的路程为 s2= v(t)dt

=

tdt+

20dt+

(100-t)dt

=1600(m). 能力提升

5

13.(2014 珠海模拟)由曲线 y=x 和直线 x=0,x=1,y=t (t 为常数且 t∈(0,1))所围成的图形 (阴影部分)的面积的最小值为( A ) (A) (B) (C) (D)

2

2

解析:由

得交点(t,t ).

2

故 S=

(t -x )dx+

2

2

(x -t )dx

2

2

=(t x- x ) +( x -t x)

2

3

3

2

= t -t + , 令 S′=4t -2t=0, 因为 0<t<1,所以 t= ,
2

3

2

易知当 t= 时,Smin= . 故选 A. 14.(2014 济宁一模)如图,长方形的四个顶点为 O(0,0),A(2,0), B(2,4),C(0,4),曲线 y=ax 经过点 B,现将一质点随机投入长方形 OABC 中,则质点落在图中阴 影区域的概率是 .
2

解析:∵y=ax 过点 B(2,4), ∴a=1,

2

6

∴所求概率为 1-

=1- × x

3

= .

答案: 15.(2014 重庆模拟)已知二次函数 f(x)=ax +bx+c,直线 l1:x=2,直线 l2:y= -t +8t(其中 0≤t ≤2,t 为常数).若直线 l1,l2 与函数 f(x)的图象以及 l2,y 轴与函数 f(x)的图象所围成的封闭 图形如图阴影所示.
2 2

(1)求 a,b,c 的值; (2)求阴影面积 S 关于 t 的函数 S(t)的解析式. 解:(1)由题图可知二次函数的图象过点(0,0),(8,0),并且 f(x)的最大值为 16,



解得

(2)由(1)得 f(x)=-x +8x, 由 得 x -8x-t(t-8)=0,所以 x1=t,x2=8-t. 因为 0≤t≤2, 所以直线 l2 与 f(x)的图象的交点坐标为(t,-t +8t). 由定积分的几何意义知 S(t)= [(-t +8t)-(-x +8x)]dx+
2 2 2 2

2

[(-x +8x)-(-t +8t)]dx

2

2

=[(-t +8t)x-(- +4x )] +

2

2

7

[(- +4x )-(-t +8t)x]

2

2

=- t +10t -16t+ .

3

2

所以 S(t)=- t +10t -16t+ (0≤t≤2). 探究创新 16.(2014 武汉模拟)曲线 y=x ,直线 y=x,y=3x 围成的图形的面积是
2 2

3

2

.

解析:作出曲线 y=x ,直线 y=x,y=3x 的图象,所求面积为图中阴影部分的面积. 解方程组 得交点(1,1),(0,0).

解方程组

得交点(3,9),(0,0),

因此,所求图形的面积为 S= (3x-x)dx+ (3x-x )dx
2

=

2xdx+

(3x-x )dx

2

=x

2

+( x - x )

2

3

=1+( ×3 - ×3 )-( ×1 - ×1 )

2

3

2

3

= .

8

答案:

9


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