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数学第二轮专题复习七--函数与图象


专题七 函数与图象

⊙热点一:图象信息题 1.如图 Z77,二次函数 y=-x2-2x 的图象与 x 轴交于点 A,O,在抛物线上有一点 P, 满足 S△AOP=3,则点 P 的坐标是( )

图 Z77 A.(-3,-3) B.(1,-3) C.(-3,-3)或(-3,1) D.(-3,-3)或(1,-3) 2.(2013 年山东菏泽)

已知 b<0 时,二次函数 y=ax2+bx+a2-1 的图象是下列 4 个图 之一.根据图象分析,a 的值等于( )

A.-2 B.-1 C.1 D.2 ⊙热点二:代数几何综合题 1.(2013 年湖南永州)如图 Z78,已知二次函数 y=(x-m)2-4m2(m>0)的图象与 x 轴交 于 A,B 两点. (1)写出 A,B 两点的坐标(坐标用 m 表示); (2)若二次函数图象的顶点 P 在以 AB 为直径的圆上,求二次函数的解析式; (3)设以 AB 为直径的⊙M 与 y 轴交于 C,D 两点,求 CD 的长.

图 Z78

2.(2013 年四川资阳节选)如图 Z79,四边形 ABCD 是平行四边形,过点 A,C,D 作 2 抛物线 y=ax +bx+c(a≠0),与 x 轴的另一交点为 E,连接 CE,点 A,B,D 的坐标分别为 (-2,0),(3,0),(0,4). (1)求抛物线的解析式; (2)已知抛物线的对称轴 l 交 x 轴于点 F,交线段 CD 于点 K,点 M,N 分别是直线 l 和 x 轴上的动点,连接 MN,当线段 MN 恰好被 BC 垂直平分时,求点 N 的坐标.

图 Z79

⊙热点三:函数探索开放题 (2013 年四川雅安)如图 Z710(1), 已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(-3,0), B(1,0), C(0,3) 三点,其顶点为 D,对称轴是直线 l,l 与 x 轴交于点 H. (1)求该抛物线的解析式; (2)若点 P 是该抛物线对称轴 l 上的一个动点,求△PBC 周长的最小值; (3)如图 Z710(2),若 E 是线段 AD 上的一个动点(E 与 A,D 不重合),过 E 点作平行于 y 轴的直线交抛物线于点 F,交 x 轴于点 G,设点 E 的横坐标为 m,△ADF 的面积为 S. ①求 S 与 m 的函数关系式; ②S 是否存在最大值?若存在,求出最大值及此时点 E 的坐标; 若不存在,请说明理 由.

(1) 图 Z710

(2)

函数与图象

热点一 1.D 2.C 热点二 1.解:(1)∵y=(x-m)2-4m2, ∴当 y=0 时,(x-m)2-4m2=0. 解得 x1=-m,x2=3m. ∵m>0, ∴A,B 两点的坐标分别是(-m,0),(3m,0). (2)∵A(-m,0),B(3m,0),m>0, 1 ∴AB=3m-(-m)=4m,圆的半径为 AB=2m. 2 ∴OM=AM-OA=2m-m=m. ∴抛物线的顶点 P 的坐标为:(m,-2m). 又∵二次函数 y=(x-m)2-4m2(m>0)的顶点 P 的坐标为(m,-4m2), 1 ∴-2m=-4m2.解得 m1= ,m2=0(舍去). 2 1?2 ∴二次函数的解析式为 y=? ?x-2? -1, 3 即 y=x2-x- . 4 (3)如图 89,连接 CM.在 Rt△OCM 中, 1 ∵∠COM=90° ,CM=2m=1,OM=m= , 2 1?2 3 ∴OC= CM2-OM2= 12-? ?2? = 2 . ∴CD=2OC= 3.

图 89

图 90

2.解:(1)∵点 A,B,D 的坐标分别为(-2,0),(3,0),(0,4),且四边形 ABCD 是平行四 边形, ∴AB=CD=5,∴点 C 的坐标为(5,4). ∵点 A,C,D 在抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)上, 4a-2b+c=0, ? ? ∴?25a+5b+c=4, ? ?c=4. a=- , ? ? 7 解得? 10 b= , 7 ? ?c=4. 2

2 10 故抛物线的解析式为 y=- x2+ x+4. 7 7 (2)如图 90,连接 BD 交对称轴于 G,在 Rt△OBD 中,易求 BD=5,∴CD=BD,则∠ DCB=∠DBC. 又∵∠DCB=∠CBE,∴∠DBC=∠CBE. 过 G 作 GN⊥BC 于 H,交 x 轴于 N, 易证 GH=HN,∴点 G 与点 M 重合.

4 故直线 BD 的解析式 y=- x+4. 3 5 根据抛物线可知对称轴方程为 x= , 2 5 2 2 1 , ?,即 GF= ,BF= . 则点 M 的坐标为? ?2 3? 3 2 2 2 5 ∴BM= FM +FB = . 6 5 又∵MN 被 BC 垂直平分,∴BM=BN= . 6 23 ? ∴点 N 的坐标为? ? 6 ,0?. 热点三 a+b+c=0, ? ? 解:(1)由题意,得?9a-3b+c=0, ? ?c=3. a=-1, ? ? 解得?b=-2, ? ?c=3.

∴抛物线的解析式为:y=-x2-2x+3. (2)∵△PBC 的周长为 PB+PC+BC, ∵BC 是定值, ∴当 PB+PC 最小时,△PBC 的周长最小. ∵点 A、点 B 关于对称轴 l 对称, ∴连接 AC 交 l 于点 P,即点 P 为所求的点(如图 91).

图 91 ∵AP=BP, ∴△PBC 的周长最小是 PB+PC+BC=AC+BC. ∵A(-3,0),B(1,0),C(0,3), ∴AC=3 2,BC= 10. 故△PBC 周长的最小值为 3 2+ 10. (3)①∵抛物线 y=-x2-2x+3 顶点 D 的坐标为(-1,4),A(-3,0), ∴直线 AD 的解析式为 y=2x+6. ∵点 E 的横坐标为 m, ∴E(m,2m+6),F(m,-m2-2m+3). ∴EF=-m2-2m+3-(2m+6)=-m2-4m-3, 1 1 AH= AB= ×4=2, 2 2 1 1 1 1 ∴S=S△DEF+S△AEF= EF· GH+ EF· AG= EF· AH= (-m2-4m-3)×2=-m2-4m- 2 2 2 2 3. ②存在.∵S=-m2-4m-3=-(m+2)2+1. ∴当 m=-2 时,S 最大,最大值为 1. 此时点 E 的坐标为(-2,2).


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