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山东省威海市2013届高三上学期期末考试 理科数学 Word版含答案


绝密★启用并使用完毕前

高三理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题) 两部分, 5 页. 共 考试时间 120 分钟. 满 分 150 分.答题前,考生务必用 0.5 毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题 纸规定的位置.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

注意事项:每小题选出答案后,用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上. 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1.复数 z 满足 i ? z ? 1 ? z ,则 z ? (A) 1+ i (B) 1 ? i (C) ?
1 2 ? i 2

(D)

1 2

?

i 2

2.已知 R 为全集, A ? { x | (1 ? x )( x ? 2 ) ? 0} ,则 C R A ? (A) { x | x ? ? 2 或 x ? 1} (C) { x | ? 2 ? x ? 1} (B) { x | x ? ? 2 或 x ? 1}

(D) { x | ? 2 ? x ? 1} ? ? ? ? ? 3.已知 a ? (1, 2), 2 a ? b ? (3,1) ,则 a ? b ? (A) 2 (B) 3 (C) 4
频率 组距

(D) 5

4.有一个容量为 2 0 0 的样本,其频率分布直 方图如图所示,据图估计,样本数据在

? 8,1 0 ? 内的频数为
(A) 3 8 (C) 7 6 (B) 5 7

0.15

0.09

(D) 9 5
0.05 0.02 2 4 6 8 10 12 样本数据

5. { a n } 为等差数列, S n 为其前 n 项和,
a 7 ? 5, S 7 ? 2 1, S 1 0 ? 则

(A) 4 0

(B) 3 5

(C) 3 0
?
2

(D) 2 8
) 向左平移

(第 4 题图)

6.函数 f ( x ) ? sin ( 2 x ? ? ), (| ? |? 的最小值为 (A) ?
3 2

?
6

个单位后是奇函数,则函数 f ( x ) 在 ? 0 ,
?

?

? ? 上 2? ?

(B) ?

1 2

(C)

1 2

(D)

3 2

-1-

7.已知三个数 2, m , 8 构成一个等比数列,则圆锥曲线

x

2

?

y

2

? 1 的离心率为

m

2
2 2

(A)

2 2

(B) 3

(C)

2 2

或 3

(D)



6 2

8.若直线 y ? kx 与圆 ( x ? 2 ) ? y ? 1 的两个交点关于直线 2 x ? y ? b ? 0 对称,则 k , b 的值分
2 2

别为 (A) k ?
1 2 , b ? ? 4 (B) k ? ?

1 2

, b ? 4 (C) k ?

1 2

, b ? 4 (D) k ? ?

1 2

, b ? ?4

9.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积不可能是 (A) 1 (C) 2 (B) 1 .5 (D) 3 2
俯视图 (第 9 题图) 主视图 左视图

10.已知函数 f ( x ) 的定义域为 (3 ? 2 a , a ? 1) ,且 f ( x ? 1) 为 偶函数,则实数 a 的值可以是 (A)
2 3

(B) 2

(C) 4

(D) 6

11.从 0,1, 2, 3, 4, 5 ,六个数字中任取两个奇数和两个偶数, 组成没有重复数字的四位奇数, 有多 少种取法 (A) 7 2

(B) 8 4

(C) 144

(D) 1 8 0

12.对于函数 f ( x ) ,如果存在锐角 ? 使得 f ( x ) 的图象绕坐标原点逆时针旋转角 ? ,所得曲线 仍是一函数,则称函数 f ( x ) 具备角 ? 的旋转性,下列函数具有角 (A) y ?
x

?
4

的旋转性的是

(B) y ? ln x

(C) y ? ( ) x
2

1

(D) y ? x 2

第Ⅱ卷(非选择题
注意事项:

共 90 分)

1. 请用 0.5 毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置.书写的答案如需 改动,要先划掉原来的答案,然后再写上新答案. 2. 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效.在试题卷上答题无效. 3. 第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
-2-

13. (

x 2

?

1
3

) 的展开式中,常数项为___________.
8

x

14.

?

1 0

( e ? 2 x ) d x ? ____________________.
x

15.已知 x ? 0 ,则

x x ?4
2

的最大值为_________________.

16.已知 f ( x ) ? ?

? | lg x |, x ? 0 ?2
|x|

,x ? 0

,则函数 y ? 2 f ( x ) ? 3 f ( x ) ? 1 的零点的个数为_______个.
2

三、解答题(本大题共6小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.(本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中,角 A , B , C 所对应的边分别为 a , b , c , A , B 为锐角且 B ? A , s in A ?
5 5



sin 2 B ?

3 5

.

(Ⅰ)求角 C 的值; (Ⅱ)若 b ? c ?
5 ? 1 ,求 a , b , c 的值.

18. (本小题满分 12 分) 为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力,某学校高一年级举办了高中生安全知识与安 全逃生能力竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,预赛为笔试,决赛为技能比赛.先将所有 参赛选手参加笔试的成绩(得分均为整数,满分为 100 分)进行统计,制成如下频率分布表. 分数(分数段) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 合 计 频数(人数)
9

频率
x

y
16

0.38 0.32
s

z
p

1

(Ⅰ)求出上表中的 x, y, z , s, p 的值; (Ⅱ)按规定,预赛成绩不低于 90 分的选手参加决赛,参加决赛的选手按照抽签方式决 定出场顺序.已知高一·二班有甲、乙两名同学取得决赛资格. ①求决赛出场的顺序中,甲不在第一位、乙不在最后一位的概率; ②记高一·二班在决赛中进入前三名的人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望.

-3-

19.(本小题满分 12 分) 已知数列 ? a n ? , a 1 ? ? 5 , a 2 ? ? 2 ,记 A ( n ) ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n , B ( n ) ? a 2 ? a 3
? ? ? a n ? 1 ,C ( n ) ? a 3 ? a 4 ? ? + a n ? 2 ( n ? N ),若对于任意 n ? N , A ( n ) ,B ( n ) ,C ( n )
* *

成等差数列. (Ⅰ)求数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ) 求数列 ? | a n |? 的前 n 项和. 20.(本小题满分 12 分) 三棱锥 P ? A B C ,底面 A B C 为边长为 2 3 的正三角形,平面 P B C ? 平面 A B C ,
P B ? P C ? 2 , D 为 A P 上一点, A D ? 2 D P , O 为底面三角形中心.

P D

(Ⅰ)求证 D O ∥面 P B C ; (Ⅱ)求证: B D ? A C ; (Ⅲ)设 M 为 P C 中点,求二面角 M ? B D ? O 的余弦值. A

C O B

21.(本小题满分13分) 已知函数 f ( x ) ? a x ? b x 在点 (3, f (3)) 处的切线方程为 1 2 x ? 2 y ? 2 7 ? 0 ,且对任意的
3 2

x ? ? 0 , ? ? ? , f ? ( x ) ? k ln ( x ? 1) 恒成立.

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)求实数 k 的最小值; (Ⅲ)求证: 1 ?
1 2 ? 1 3 ?? ? 1 n ? ln ( n ? 1) ? 2 ( n ? N ).
*

22.(本小题满分 13 分) 已知圆的方程为 x ? y ? 4 ,过点 M ( 2 , 4 ) 作圆的两条切线,切点分别为 A1 、 A 2 ,直线
2 2

A1 A 2 恰好经过椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的右顶点和上顶点.

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设 A B 是椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 垂直于 x 轴的一条弦, AB 所在直线的方程为

x ? m (| m |? a 且 m ? 0 ), P 是椭圆上异于 A 、 B 的任意一点,直线 AP 、 BP 分别交定直线

-4-

l:x ?

a

2

于两点 Q 、 R ,求证 O Q ? O R ? 4 .

???? ??? ?

m

R
A

y

P
x

Q
B

O

高三理科数学参考答案
一、选择题

C C D C A ,A C A D B , B C
二、填空题 13. 7 14.
e?2

15.

1 4

16. 5

三、解答题 17.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ A 为锐角, sin A ?
5 5 5 5 2 2

∴ cos A ?

1?

1 5

?

2 5

--------------2 分

∵ B ? A , sin A ?

?

,∴ B ? 4 5

?

--------------3 分

∵ sin 2 B ?

3 5

,∴ co s 2 B ?

1?

9 25

?

4 5

∴ cos B ?

1 ? cos 2 B 2

?

3 10

, sin B ?

1 10
2 5 3 10 1 5

--------------4 分

c o s C ? ? c o s( A ? B ) ? ? c o s A c o s B ? sin A sin B ? ?

?

?

?

1 10

? ?

2 2

-5-

∴ C ? 135

?

--------------6 分
a sin A
1 10

(Ⅱ)由正弦定理

?

b sin B
2 2

?

c sin C

? k

--------------8 分

∴b ? c ?

5 ? 1= (

+

) k ,解得 k ?

10

--------------10 分

∴a ?

2 , b ? 1, c ?

5.

--------------12 分

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意知, x ? 0.18, y ? 19, z ? 6, s ? 0.12, p ? 50 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,参加决赛的选手共 6 人, ①设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件 A , 则 P ( A) ?
A5 + A 4 A 4 A 4 A6
6 5 1 1 4

--------------3 分 --------------4 分

?

7 10

所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为 ②随机变量 X 的可能取值为 0,1, 2
A3 A 4 A6
1 6 2 4

7 10

.

--------------6 分 --------------7 分

P ( X ? 0) ?

?

1 5



P ( X ? 1) ?

C 2 A3 A3 A 4 A6 A3 A 4 A6
6 2 4 6

1

1

4

?

3 5

,

P ( X ? 2) ?

?

1 5



--------------10 分

随机变量 X 的分布列为:
X
P

0
1 5 1 5 3 5

1
3 5 1 5

2
1 5

--------------11 分 因为 E X ? 0 ?
? 1? ? 2? =1 ,

所以随机变量 X 的数学期望为 1 . 19.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)根据题意 A ( n ) , B ( n ) , C ( n ) 成等差数列 ∴ A(n)+C (n) ? 2 B (n) 整理得 a n ? 2 ? a n ? 1 ? a 2 ? a1 ? ? 2 ? 5 ? 3

--------------12 分

--------------2 分

-6-

∴数列 ? a n ? 是首项为 ? 5 ,公差为 3 的等差数列 ∴ a n ? ? 5 ? 3( n ? 1) ? 3 n ? 8 (Ⅱ) | a n | ? ?
? ? 3 n ? 8, n ? 2 ? 3 n ? 8, n ?3

--------------4 分 --------------6 分 --------------8 分

记数列 ? | a n |? 的前 n 项和为 S n . 当 n ? 2 时, S n ?
n (5 ? 8 ? 3 n ) 2 ? ? 3n 2 ?
2

?

13 2 3n 2

n
2

当 n ? 3 时, S n ? 7 ?

( n ? 2 )(1 ? 3 n ? 8 ) 2

?

13 2

n ? 14

? 3 2 13 ? n ? n n? 2 ? 2 ? 2 综上, S n ? ? ? 3 n 2 ? 13 n ? 14 n ? 3 ?2 ? 2

--------------12 分

20.(本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)连结 A O 交 B C 于点 E ,连结 P E . ? O 为正三角形 A B C 的中心,∴ A O ? 2 O E , 且 E 为 B C 中点.又 A D ? 2 D P , ∴ DO ∥ PE , ∴ D O ∥面 P B C . --------------2 分 P D M --------------5 分
x
z

? D O ? 平面 P B C , P E ? 平面 P B C

--------------4 分

(Ⅱ)? P B ? P C ,且 E 为 B C 中点, ∴ P E ? B C , 又平面 P B C ? 平面 A B C , ∴ P E ? 平面 A B C ,

由(Ⅰ)知, D O ∥ P E , ∴ D O ? 平面 P B C , ∴ DO ? AC --------------6 分 连结 B O ,则 A C ? B O ,又 D O ? B O ? O , ∴ A C ? 平面 D O B ,∴ A C ? B D .--------------8 分

A

C O E B
y

(Ⅲ) (Ⅰ) 由 (Ⅱ) 知,E A , E B , E P 两两互相垂直, E 为 B C 中点, 且 所以分别以 E A , E B , E P 所 在 直 线 为
A (3, 0 , 0 ), B (0 ,
x, y, z

轴 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 如 图 , 则
2 3 ), C (0 , ? 3 , 0 ), M (0 , ? 3 1 , ) ------------9 分 2 2

3 , 0 ), P (0 , 0 ,1), D (1, 0 ,

∴ B M ? (0 , ?

???? ?

3 3 1 ???? , ), D B ? ( ? 1, 2 2

3, ?

2 3

)

-7-

2 ? ? ???? n ? DB ? ? x ? 3y ? z ? 0 ? ?? ? 3 ? 设平面 B D M 的法向量为 n ? ( x , y , z ) ,则 ? , ? ???? ? ?n ? BM ? ? 3 3 y ? 1 z ? 0 ? ? 2 2 ? 令 y ? 1 ,则 n ? ( ? 3 ,1, 3 3 ) . --------------10 分

由 ( Ⅱ ) 知 A C ? 平 面 D B O,∴ A C ? ( ? 3, ?
? ???? ∴ cos ? n, A C ? ? ? ???? n ? AC ? ???? ? | n || A C | 3 3? 3 ? 1 ? 27 ? 3 9?3
31 31

????

3,) 为 平 面 D B O 的 法 向 量 , 0
31 31

?



由图可知,二面角 M ? B D ? O 的余弦值为 21. (本小题满分13分) 解: (Ⅰ)将 x ? 3 代入直线方程得 y ? ?
9 2



--------------12 分

,∴ 2 7 a ? 9 b ? ?

9 2

① --------------1 分 --------------2 分

2 f ? ( x ) ? 3 a x ? 2 b x , f ? (3) ? ? 6 ,∴ 2 7 a ? 6 b ? ? 6 ②

①②联立,解得 a ? ? ∴ f (x) ? ?
1 3 x ?
3

1 3

,b ?

1 2

1 2

x

2

--------------3 分

2 2 (Ⅱ) f ? ( x ) = ? x ? x ,∴ ? x ? x ? k ln ( x ? 1) 在 x ? ? 0 , ? ? ? 上恒成立;

即 x ? x ? k ln ( x ? 1) ? 0 在 x ? ? 0 , ? ? ? 恒成立;
2

--------------4 分

设 g ( x ) ? x 2 ? x ? k ln ( x ? 1) , g (0 ) ? 0 , ∴只需证对于任意的 x ? ? 0 , ? ? ? 有 g ( x ) ? g (0 )
k x ?1 2x ? x ? k ?1
2

--------------5 分

g ?( x ) ? 2 x ? 1 ?

?

x ?1

, x ? ?0, ?? ?

设 h(x) ? 2 x2 ? x ? k ? 1, 1)当 ? =1 ? 8( k ? 1) ? 0 ,即 k ?
9 8
g ( x ) 在 ? 0, ? ? ? 单调递增,∴ g ( x ) ? g (0 )

时, h ( x ) ? 0 ,∴ g ? ( x ) ? 0 --------------6 分
2

2)当 ? =1 ? 8( k ? 1) ? 0 ,即 k ? 由 x1 ? x 2 ? ?
1 2

9 8

时,设 x1 , x 2 是方程 2 x ? x ? k ? 1 ? 0 的两根且 x1 ? x 2

,可知 x1 ? 0 ,

-8-

分析题意可知当 x 2 ? 0 时对任意 x ? ? 0 , ? ? ? 有 g ( x ) ? g (0 ) ; ∴ k ? 1 ? 0, k ? 1 ,∴ 1 ? k ?
9 8

--------------7 分 --------------8 分
2

综上分析,实数 k 的最小值为 1 .
2

(Ⅲ)令 k ? 1 ,有 ? x ? x ? ln ( x ? 1), 即 x ? x ? ln ( x ? 1) 在 x ? ? 0 , ? ? ? 恒成立; --------------9 分 令x ? ∴
1? 1 2 ? 1 3 ?? ? 1 n =1 ? ? 1? ? 2? ? 1? 1 2 2
2

1 n

,得

1 n

?

1 n
2

? ln (

1 n

? 1) ?

1 n
2

? ln ( n ? 1) ? ln n

--------------11 分

? ?

1 3 3 ?
2

?? ? ?? ? 1 2?3

1 n n
2

? (ln 2 ? ln 1) ? (ln 3 ? ln 2 ) ? ? ? (ln ( n ? 1) ? ln n ) ? ln ( n ? 1) 1 ( n ? 1) n ? ln ( n ? 1)

1
2

1
2

1
2

1 1? 2 1 n

?? ?

? ln ( n ? 1) ? 2 ? ln ( n ? 1)

∴原不等式得证. 22. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) 观察知, x ? 2 是圆的一条切线,切点为 A1 ( 2 , 0 ) , 设 O 为圆心,根据圆的切线性质, M O ? A1 A 2 , 所以 k A A ? ?
1 2

--------------13 分

--------------1 分 --------------2 分 --------------3 分

1 k MO

? ?

1 2


1 2

所以直线 A1 A 2 的方程为 y ? ?

( x ? 2) .

--------------4 分 --------------5 分 --------------6 分

线 A1 A 2 与 y 轴相交于 (0 ,1) ,依题意 a ? 2 , b ? 1 , 所求椭圆的方程为
x
2

? y ?1
2

4

(Ⅱ) 椭圆方程为
2 2

x

2

? y ?1
2

4

,设 P ( x 0 , y 0 ), A ( m , n ), B ( m , ? n ),
2 2

则有 x 0 ? 4 y 0 ? 4 ? 0 , m ? 4 n ? 4 ? 0 在直线 AP 的方程 y ? n ?
n ? y0 m ? x0 ( x ? m ) 中,令 x ?
4 m

--------------7 分 ,整理得

-9-

yQ ?

(m ? 4 ) y0 ? (4 ? m x0 )n
2

m (m ? x0 )
2

.



同理, y R ?

(m ? 4 ) y0 ? (4 ? m x0 ) n m (m ? x0 )
2

.



--------------9 分

① ? ②,并将 y 0 ? 1 ?
2 2 2

1 4

x0 , n ? 1 ?
2 2
2

1 4
2

m 代入得

2

yQ ? yR ?

(m ? 4 ) y0 ? (4 ? m x0 ) n m (m ? x0 )
2 2

( m ? 4 ) ? (1 ?
2 2

1

=

4 2 2 m (m ? x0 )

x0 ) ? (4 ? m x0 ) ? (
2 2

1 4

m ? 1)
2

=

( m ? 4 )( m ? x 0 )
2

2

m (m ? x0 )
2

2

=

(m ? 4)
2

m

2

.

--------------11 分
2 ???? ??? ? ? 4 m ? 12 12 16 ? ? 4 ? =1+ 2 而 O Q ? O R ? ? , yQ ? ? ? , y R ? ? 2 ? yQ ? y R = 2 m m ?m ? ?m ? m

--------------12 分

∵ | m |? 2 且 m ? 0 ,∴ 0 ? m ? 4 ,
2

12 m
2

?3

∴OQ ?OR ? 4

???? ??? ?

--------------13 分

- 10 -


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