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【数学】2.3 等差数列的前n项和 课件2(人教A版必修5)


第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和

创设情景 有一次,老师和高斯经过 建筑工地,建筑工地上放 着一堆圆木,从上到下每 层的数目分别为1,2,3, ??,100 . 老师问: 高斯,你知道共有多少 根圆木吗?
问题就是:计算1+ 2+ 3 +… + 99 + 100=?

高斯的算法
计算: 1+ 2+ 3 +… + 99 + 100 高斯算法的高明之处在于他发现这100 个数可以分为50组: 中间的一 首尾 第一个数与最后一个数一组; 组数是什 么呢? 配对 第二个数与倒数第二个数一组; 相加 第三个数与倒数第三个数一组,…… 法 每组数的和均相等,都等于101,50个 101就等于5050了。高斯算法将加法问题 转化为乘法运算,迅速准确得到了结果.




2

倒序相加法
? 3

计算: 1 ?
分析:这 其实是求 一个具体 的等差数 列前n项 和.

? ? ? (n ? 1) ? n ① n + (n-1) + (n-2) +…+ 2 +1 ②

(n ? 1) ? (n ? 1) ? ... ? (n ? 1) ? (n ? 1) ? n ? (n ? 1)
n ? (n ? 1) ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? n ? 2





高斯的算法妙处在哪里?这 种方法能够推广到一般等差数 列的前n项和吗?

合 作 探 究

如何才能将 等式的右边 已知等差数列{ an }的首项为a1,项数 是n,第n项为a ,求前n项和S . 化简?

? Sn ? a1 ? a2

n

? a3 ? ? ? an

n



? 2Sn ? ? a1 ? an ? ? ? a2 ? a n?1 ? ? ? a3 ? an?2 ? ? ? ? ? an ? a1 ?

Sn ? an ? a n ?1 ? an ?2 ? ? ? a1



又? a1 ? an ? a2 ? a n?1 ? a3 ? an?2 ? ? ? an ? a1
? 2Sn ? n(a1 ? an ) 即Sn ? n(a1 ? an ) 2 思考:还有别的推导方法吗?





倒序相加法

? Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? a1 ? ? a1 ? d ? ? ? a1 ? 2d ? ? ? ? ? a1 ? ? n ? 1? d ? ① ? ? 又 ? Sn ? an ? a n?1 ? an?2 ? ? ? a1
? an ? ? an ? d ? ? ? an ? 2d ? ? ? ? ? an ? ? n ? 1? d ? ② ? ?

已知等差数列{ an }的首项为a1,项数 是n,第n项为an,求前n项和Sn .

①+ ②得 ? 2Sn ? ? a1 ? an ? +? a1 ? an ? +? a1 ? an ? +… + ? a1 ? an ?

n(a1 ? an ) ? 2Sn ? n(a1 ? an ),即Sn ? 2

公 式 变 形

n(a1 ? an ) Sn ? 2

把 an ? a1 ? (n ?1)d 代入公式得

n(n ?1) Sn ? na1 ? d 2

求 和 公 式 等差数列的前n项和的公式:

公式记忆

n(a1 ? an ) Sn ? 2

含a1 和an

含a1 和d n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2 结构:由5个元素构成:a1, d , n, an , sn,

应用:可知三求一

公 式 记 忆
对比:我们可结合梯形的面积公式来记忆 等差数列前 n 项和公式.

a1

n an a1 n

n(a1 ? an ) Sn ? 2

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2
(n-1)d

将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.

a1

公 式 应用

根据下列条件,求出相应的 等差数列{an }的前n项和Sn . ()a1 ? 5, an ? 95, n ? 10; 1 (2)a1 ? 100, d ? ?2, n ? 50;
n(a1 ? an ) 10(5 ? 95) 解: ? Sn ? ? ? 500 ?1 2 2 n(n ? 1) 50 ? 49 解:2 ? Sn ? na1 ? d ? 50 ?100 ? ? (?2) ? 2 2 ? 2550

例 题 讲 解
例1、2000年11月14日教育部下发了《关于在 中小学实施“校校通”工程的通知》,某市据 此提出了实施“校校通”工程的总目标:从 2001年起用10年的时间,在全市中小学建成不 同标准的校园网。据测算,2001年该市用于 “校校通”工程的经费为500万元。为了保证 工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上 一年增加50万元。那么,从2001年起的未来10 年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多 少? 分析:①找关键句;②求什么,如何求?

解:依题意得,该市在“校校通”工程的经费每 年比上一年增加50万元,所以每年投入的资金构 成等差数列{an},且a1=500,d=50,n=10.
那么,到2010年(n=10),投入的资金总额为
S10 ? 10 ? 500 ? 10 ? ?10 ? 1? 2 ? 50 ? 7250 ? 万元 ?

答:从2001~2010年,该市在“校校通” 工程中的总投入是7250万元.

例 题 点 评
解决实际问题的步骤:
(1)仔细阅读题目,审清题意; (2)提取相关数学信息,建立数学模型(本题为等 差数列模型); (3)解决此数学模型所体现的数学问题(本题是根 据首项和公差选择前n项和公式进行求解);

(4)还原问题(回到实际问题中作答)。 易错方面: (1)审题不清(如:把前n项和与最后一项混淆)

(2)项数……

(3)忘记答或写单位

例 题 讲 解

例2、已知一个等差数列{an}的前10项的和是310, 前20项的和是1220,由这些条件能确定这个等差 分析:方 数列的前n项和的公式吗?
解:由题意知:S10=310,S20=1220,将 它们代入公式 S ? na ? n(n ? 1) d
n 1

? 10a1 ? 45d ? 310 得到 ? 解方程得 ? ? 20a1 ? 190d ? 1220 ?d ? 6 n(n ? 1) ? Sn ? n ? 4 ? ? 6=3n2 ? n 还有其它 2 方法吗?

2

程思想和 前n项和 公式相结 合 ?a1 ? 4

一 题 多 解

例2、已知一个等差数列{an}的前10项的和是310, 前20项的和是1220,由这些条件能确定这个等差 数列的前n项和的公式吗?
另解:S10 10(a1 ? a10 ) ? ? 310 ? a1 ? a10 ? 62 ① 2

S20

②-①得:a20 ? a10 ? 60,?10d ? 60; ? d ? 6,
(n ? 1 n ) 2 Sn ? a1n ? d ? 3n ? n 2

20(a1 ? a20 ) ? ? 1220 ? a1 ? a20 ? 122② 2

a1 ? 4

一 题 变 式

例2变式、已知一个等差数列{an}的前10项的和 是310,前20项的和是1220,由这些条件能确定这 个等差数列的前30项和的公式吗? 【另解】由等差数列的性质,可推得: a1 ? a 2 ? ? ? a10 a11 ? a12 ? ? ? a20 a21 ? a22 ? ? ? a30 成等差数列

? 2(s20 ? s10 ) ? s10 ? (s30 ? s20 )

解得:前30项的和为2730 .
上述方法没有列出方程求出具体的个别量, 点评: 而是恰当地运用数学中的整体思想来快速求出, 要注意体会这种思想在数学中的运用.

整 体 思 想

变 式 提 高

在一个等差数列中,已知a10 ? 10, 求S19.
19(a1 ? a19 ) 19(a10 ? a10 ) S19 ? ? ? 19a10 ? 19 ?10 ? 190 2 2

知 识 小 结
1.等差数列前n项和的公式; (两个)

n(a1 ? an ) Sn ? 2


n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2
倒序相加法

2.等差数列前n项和公式的推导方法—

3.公式的应用 (知三求一) ;

例 题 讲 解 2 ? 1 n, 求这个数列 例3.已知数列{an}的前n项和为Sn ? n 2 的通项公式,这个数列是等差数列吗?如果是,它的 首项与公差分别是什么?

解:Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an
2

1 1 1 2 a 当n >1时:n ? sn ? sn?1 ? n ? n ? [(n ? 1) ? (n ? 1)] ? 2n ? ① 2 2 1 2 3 a1 ? s1 ? 12 ? ? 1 ? 当n=1时: 也满足①式. 2 2 1 ? 数列{an }的通项公式为an ? 2n ? . 3 2 由此可知:数列{an}是以 为首项,公差为2的等差数列. 2

Sn?1 ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 (n ? 1)

变 式 训 练
2 ? 1 n ?1, 求这个数列 ?n

已知数列{an}的前n项和为Sn
当n >1时:

2

的通项公式.
1 1 2 1 an ? sn ? sn?1 ? n ? n ? 1 ? [(n ? 1) ? (n ? 1) ? 1] ? 2n ? ① 2 2 2 分 1 5 2 当n=1时:a1 ? s1 ? 1 ? ?1 ? 1 ? 不满足①式. 类 2 ?5 2 讨
2

? ?2 ?数列{an}的通项公式为:an ? ? ? 2n ? 1 ? 2 ? 点评:

(n ? 1)

(n ? 1)

(n ? 1) ?S1 已知前n项和Sn , 可求出通项公式:an ? ? ?Sn ? Sn?1 (n ? 1)

论 思 想

{a n }的前n项和为 s n ? pn 2 ? qn ? r ● 如果一个数列 其中p、q、r为常数,且p≠0,那么这个数列一定是等 差数列吗?如果是,它的首项和公差是什么?
(1)若r≠0,则这个数列一定不是等差数列.

(2)若r=0,则这个数列一定是等差数列. n(n ? 1) d 2 d sn ? na1 ? d ? n ? (a1 ? )n 2 2 2

常数项为 0的关于n 的二次型 函数
2

结论:数列是等差数列等价于

Sn ? An ? Bn

例 题 讲 解

2 4 例4. 已知等差数列5, ,3 ,的前n项和为Sn , 4 .... 7 7 求使得Sn最大的序号n的值.
【解析】由题意知,等差数列的公差为
Sn ? 5n ? n(n ? 1) 5 5 15 1125 (? ) ? ? ( n ? ) 2 ? 2 7 14 2 56
最接近的整数即7或8时, S n取最大值.

5 ? 7

15 于是,当n取与 2

函数思想

还有其它 方法吗?

例 题 讲 解 2 4 例4. 已知等差数列5, ,3 ,的前n项和为Sn , 4 .... 7 7 求使得Sn最大的序号n的值.
5 5 40 另解:an ? a1 ? (n ?1)d ? 5 ? (n ?1) ? (? ) ? ? n ? . 7 7 7 5 40 an ? ? n ? ? 0, 解得n ? 8,即a8 ? 0, a9 ? 0. 7 7 从等差数 ? 和是从第9项开始减小,而第8项为0, 列的通项 ? 前7项和前8项和最大. 公式出发 来分析

1.等差数列的前n项和公式
n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2 (n ? 1) ? S1 2.已知前n项和Sn , 可求出通项公式:an ? ?
n(a1 ? an ) Sn ? 2

? Sn ? Sn?1 (n ? 1) 3.推导等差数列前n项和公式方法:

4.本节基本思想:


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