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数学高考解答题的题型及解法


数学高考解答题的题型及解法分析

一个值得深思的现象:
每年数学高考,总有一部分平时学得 好的学生未考好,也有许多平时学习中下 等的学生考得较好. 高考兵法:知彼知己

数学学科命题的依据:
循序渐进,平稳过渡,稳中求变,稳中求 新,以考试说 明为基础,力求体现“三基为 本,能力立意,有利选拔,注重 导向”的命 题指导思想。

数学学科命题的三个避免:
命题时力求做到“三个避免”,即尽量避免需要死记硬背的 内容,尽量避免呆板试题,尽量避免烦琐计算试题。

数学学科命题的三个反对,两个坚持:
三个反对: 反对死记硬背,反对题海战术, 反对猜题押题; 两个坚持: 坚持三基为本,坚持能力为纲。

数学高考题题型: 选择题 填空题 解答题

某班某次数学高考模拟题得分
70 60 50 40 30 20 10 0 选择 填空 解答 班平均分 120以上 100-120 100以下

数学解答题估计仍是六大题:
三角函数综合题 概率统计题 立体几何题 数列综合题 解析几何综合题 函数(不等式)综合题

一、三角函数综合题
1.可能出现的题型: (1)三角求值(证明)问题; (2)涉及解三角形的综合性问题; (3)三角函数图象的对称轴、周期、 单调区间、最值问题; (4)三角函数与向量、导数知识的交汇问题; (5)用三角函数工具解答的应用性问题。

2.解题 关键:进行必要的三角恒等变形.
其通法是: 发现差异(角度、函数、运算结构) 寻找联系(套用、变用、活用公式,注意技巧和方法) 合理转化(由因导果的综合法,由果探因的分析法) 其技巧有: 常值代换,特列是用“1”代换;项的分拆与角的配凑; 化弦(切)法;降次与升次;引入辅助角?。 3.考基础知识也考查相关的数学思想方法:如考三 角函数求值时考查方程思想和换元法。

2 例 :在?ABC中, A ? cos A ? 1 sin , 2 AC ? 2, AB ? 3, 求 t an A的值和?ABC的面积

思路分析1:
2 ? sin A ? cos A ? 2 cos( A ? 45?) ? , 2 1 ? cos( A ? 45?) ? . 2 (注: 到这一步得到了一个以 A”为未知数的三角方程 “ ) 又 ? 0? ? A ? 180?, ? A ? 45? ? 60?, 7? ? A ? 105? ( A ? ). 12 1? 3 ? t an A ? t an(45? ? 60?) ? ? 2 ? 3. 1? 3

思路分析2:
2 ? sin A ? co s A ? , (1) 2 1 2 ? (sin A ? co s A) ? . 2 1 ? 2 sin A co s A ? ? . 2 ? 0? ? A ? 1 8 0 , ? sin A ? 0, co s A ? 0. ? 3 2 ? (sin A ? co s A) ? 1 ? 2 sin A co s A ? . 2 6 ? sin A ? co s A ? ( 2) 2

? 2 (1) ?sin A ? cos A ? ? 2 (1)、2)联立可得方程组 ( ? ?sin A ? cos A ? 6 (2) ? 2 ? (注:到这一步得到一个 关于 sin A、 A的一个二元 cos 一次方程组) (1) ? (2)得 sin A ? 2? 6 2? 6 , (1) ? (2)得 cos A ? . 4 4

sin A ? t an A ? ? ?2 ? 3 . cos A

思路分析3:
? 2 ?sin A ? cos A ? 2 ? ?sin 2 A ? cos2 A ? 1 ?

(1) (2)

(注:到这一步得到一个 关于sin A、 A cos 的一个二元一次方程组 ) 2 cos A ? ? sin A (3) 2

sin A ? 把( 3)代入到( 2)得:
2

2 1 ? ?0 sin A 2 4 ( 注:代入消元后,得到 一个关于 sin A ) 2? 6 (舍 ). 4

的一个一元二次方程

2? 6 sin A ? , 或 sin A ? 4 2? 6 ? cos A ? . 4 sin A ? tan A ? ? ?2 ? 3. cos A

思路分析4:
? sin 2 A ? cos2 A ? 1, ? (sin A ? cos A)2 ? 2sin A cos A ? 1. 1 1 ? ? 2sin A cos A ? 1. ? 2sin A cos A ? ? . 2 2 1 2 tan A 1 ? sin 2 A ? ? . ? ?? . 2 2 1 ? tan A 2 (注:这是一个以 tan A 为元的分式方程)

tan A ? 4 tan A ? 1 ? 0, ? tan A ? ? 3 ? 2.
2

2 ? 3? ? sin A ? cos A ? , ? ? A ? . 2 2 4 ? tan A ? ?1. ? tan A ? ? 3 ? 2.

思路分析5:
? sin A ? cos A ? 2 2 sin( A ? 45?) ? , 2

1 ? sin( A ? 45?) ? . 2 ? A为?ABC的内角, 0? ? A ? 180?. ? 1 又 ? sin( A ? 45?) ? , ? 45? ? A ? 45? ? 180?. 2 3 ? cos( A ? 45?) ? ? . 2

3 ? t an(A ? 45?) ? ? . 3 t an A ? 1 3 ? ?? . 1 ? t an A 3 (注:这是一个以t an A为元的分式方程 ) ? t an A ? ? 3 ? 2.

思路分析6:
2 ? sin A ? cos A ? , 2 1 2 ? (sin A ? cos A) ? . 2 1 ? 2 sin A cos A ? ? . 2

3? ? 0? ? A ? 180?, sin A ? cos A ? ? A ? 2 4

?

如图, B点做BD垂直CA的延长线于E点, 过 BD AD ? sin A ? , cos A ? , AB AB BD AD 2 ? ? ? , AB AB 2 BD ? AD 2 ? ? , 3 2 3 ? BD ? AD ? 2 (1) 2 ? BD2 ? AD2 ? AB2 ? 9 ( 2)
D

B

A

? 3 BD ? AD ? 2 (1) ? (1)、 )联立可得 : ? (2 2 ? BD 2 ? AD 2 ? AB 2 ? 9 ( 2) ? (注:这是一个关于BD,AD的 二元一次方程组) 3( 6 ? 2 ) 4 3( 6 ? 2 ) AD ? 4 AD ? tan A ? ? ? ?2 ? 3. . BD BD ?
B

对于三角函数的图象和 性质问题解决 的策略是先将f ( x)化为 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ? B的形式, 然后再进一步研究。

例2: 求函数y ? sin 4 x ? 2 3 sin x cos x ? cos 4 x 的最小正周期和最小值; 并写出该函数在[0, ? ]上的单调增区间.

思路分析:

y ? sin x ? 2 3 sin x cos x ? cos x
4 4

? ? 3 sin 2 x ? cos2 x ? 2sin(2 x ? ) 6 2? 最小正周期 T ? ?? ? 最小值为 ? 2.

由2k? ? 即k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

( k ? z ),

?

5? 4? 当k ? 0, 1时得到原函数的两个增 区间[ ? , ], [ , ]. 6 3 6 3 , ] ? [0, ? ] ? [0, ]. 6 3 3 5? 4? 5? [ , ] ? [0, ? ] ? [ , ? ]. 6 3 6 则[?

6

? x ? k? ?

?
3

.

? ?

? ?

?

5? 所以该函数在区间0, ? ]上的增区间是 0, ], [ , ? ] [ [ 3 6

?

七 卜

二、概率与统计题
1、可能出现的题型是:

只涉及概率的问题; 概率与不等式综合; 概率与二次函数综合; 概率与数列求和综合; 概率与线性规划综合等。 2、解答概率统计题的关键是会正确求解以下六种事件的概率 (尤其是其中的(4)、(5)两种概率): (1)随机事件的概率,等可能性事件的概率。 (2)互斥事件有一个发生的概率。 (3)相互独立事件同时发生的概率。 (4)n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率。 (5)n次独立重复试验中在第k 次才首次发生的概率。 (6)对立事件的概率。

另外(1)要会用期望与方差计算公式进行相关运算; (2)要注意区分这样的语句: “至少有一个发生”、 “至多有一个发生”、 “恰好有一个发生”、 “都发生”、 “不都发生”、 “都不发生”、 “第k次才发生”,等。

1.掷一枚硬币,正、反两面出现的概率都是0.5,把这枚 硬币反复掷8次,这8次中的第n次中,假若正面出现,记an
例1 =1,若反面出现,记an=-1,令Sn=a1+a2+…+an

(1≤n≤8),在这种情况下,试求下面的概率:

(1)S2≠0且S8=2的概率;
(2)S4=0且S8=2的概率.

?S2 ≠0 ?a1 +a2 ≠0 解(1) ? 即? ∴分两类讨论如下: ?S8 =2 ? a1 +a2 +a3 ?+a8 =2

1°若 a1 =1=a2 ,则后六次 3 正 3 反,∴P1=(

1 2 3 1 3 1 5 ) ×C6( ) ×(1- )3= 2 2 2 64 1 2 1 1 1 1 3 ) ×C6( ) ×( )5 = 2 2 2 128

2°若 a1 =-1=a2 ,则后六次 5 正 1 反,∴P2 =( 13 故所求概率为P=P1+P2 = 128

?S4 =0 ?a1 +a2 +a3 +a4 =0 ? (2) 即? ∴前四次 2 正 2 反,后四次 1 反 3 正 ?S8 =2 ?a5 +a6 +a7 +a8 =2

故所求概率为P=C4 (

2

1 4 1 1 4 3 ) ·C4 ( ) = 2 2 32

三、立体几何题
1、可能出现的题型是: 以锥体或柱体为载体的线面之间位置关系的讨论; 有关角与距离计算. 2、解立体几何题的关键是运用化归思想: 一是定理之间的相互转化; 二是将空间图形转化为平面图形; 三是形数转化:立几问题代数化; 四是将新的问题情境纳入到原有的认结构中去。 3、在解立几题时,需要总结和提炼一些重要的解题方法: 构造法(分形与补形:线、面、体的添加与分割); 参数法(用参数x表示角与距离,将问题化为代数或三角问题); 分类法(将一个问题分为几个(种)小问题(情况),分而治之); 反证法(当正面解决出现困难时,不妨从反面入手); 向量法 (坐标法)。

例 1.如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB= 2,AF=1, M 是线段 EF 的中点. (1)求证 AM∥平面 BDE; . C 解 (1)如图建立空间直角坐标系.设 AC∩BD=N, 2 2 , ,0)、 2 2 D A F B E

连结 NE,则N(

E(0,0,1)

2 2 → ∴NE =(- ,- ,1). 2 2 2 2 , ,1), 2 2

又A( 2, 2,0)、M(

2 2 → ∴AM= (- ,- ,1) 2 2 → → ∴NE =AM且 NE 与 AM 不共线,

∩ 包

∴AE∥平面 BDE.

∩ 包

∴NE∥AM.又 NE

面 BDE , AM

面 BDE,

例 1.如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直, AB= 2,AF=1, M 是线段 EF 的中点. (2)求二面角 A-DF-B 的大小; 解 (2)∵AF⊥AB,AB⊥AD,

AF∩AD=A,∴AB⊥平面 ADF, → ∴AB=(- 2,0,0)为平面 DAF 的法向量. 2 2 → → 又∵NE·DB=(- ,- ,1)·(- 2, 2,0)=0, 2 2 2 2 2 2 → → NE·NF=(- ,- ,1)·( , ,1)=0, 2 2 2 2 → ∴NE⊥DB,NE⊥NF,∴NE⊥平面 BDF,即NE为平面 BDF 的法向量. 2 → → (- 2)×(- ) 2 AB·NE 1 → → 又∵cos〈AB,AE〉= = = , 2 → → 2· 2 |AB·NE| → → ∴AB与NE的夹角为 60°. 又由图可判定二面角 A-DF-B 的大小为锐角,

∴所求二面角 A-DF-B 的大小为 60°.

例 1 如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直, AB= 2,AF=1, M 是线段 EF 的中点. (3)试在线段 AC 上确定一点 P,使得 PF 与 CD 所成的角是 60°.

→ → 解 (3)设 P(t,t,0)(0≤t≤ 2),则PF=( 2-t, 2-t,1),CD= → ( 2,0,0).又∵PF与 CD 所成的角为 60°,∴ 1 2 3 2 = ,解之得t= 或 t= (舍去), 2 2 2 2 2 ( 2-t) +( 2-t) +1· 2 故点 P 为 AC 的中点. 注:亦可用线面关系法求解(略) |( 2-t)· 2|

四、解析几何题
1.解析几何研究的主要对象是直线、圆、圆锥曲线。 直线:以倾角、斜率、夹角、距离、平行与垂直、线性规 划等有关问题为基本问题,特别要熟悉有关点对称、直线对称 问题的解决方法; 圆:注意利用平几知识,尤其要用好圆心到直线的距离; 圆锥曲线:主要考查圆锥曲线的概念、性质和标准方程, 直线和圆锥曲线的位置关系等。 可能出现的题型是: (1)求参数范围或求最值的综合问题; (2)探求动点的轨迹问题; (3)有关定值、定点等的证明问题; (4)与向量综合、探索性问题。

2.解答解析几何题的关键是掌握坐标法: 建立坐标系,引入点的坐标,将几何问题化归为代数问 题,用方程的观点实现几何问题代数化解决。坐标法包括: “由形定式”和“由式论形”两大任务。 3.关于求曲线的方程: 一类是:曲线的形状明确,方程的形式为已知的某种标准 方程,方法是待定系数法; 另一类是:曲线的形状不明确,常用方法有 直译法 动点转移法 参数法 交轨法等

4.关于求解参数取值范围问题,其核心思路是: 识别问题的实质背景,选择合理、简捷的途径,建立不 等式(等式),借助于不等式、方程与函数的知识求解。 可利用的不等式(等式)有: (1)圆锥曲线特征参数a、b、c、e、p的特殊要求; (2)圆锥曲线上的动点的范围限制; (3)点在圆锥曲线的含焦点区域内(外)的条件; (4)题设条件中已给定某一变量的范围(要求另一变量的范围); (5)直线方程与圆锥曲线方程联立后产生的特征方程的根的 分布条件; (6)目标函数的值域; (7)平面几何知识,如对图形中某些特殊角、线段长度的要求。

5.其它一些解题经验: 将解答问题过程中的方程转化为圆锥曲线的标准方程, 可以看出其中的特征量、几何特征,进而引发出有效的解题 思维链; 平面几何的一些简单性质在解答某些解几题时,有时可 以起到化繁为简、化难为易的作用; 代入消元-建立一元二次方程-判别式-韦达定理-弦 长公式-中点坐标公式…,是很实用的解题路线图。 解题(书写)的过程往往吻合于作图步骤; 回归定义,出奇制胜。 向量既是工具,也是背景。

x2 y2 例 1 已知动点 P 与双曲线 - =1的两个焦点 F1 、 2 的距离之和 F 2 3 1 为定值 2a(a> 5),且 cos∠F1PF2 的最小值为- . 9 (1)求动点 P 的轨迹方程; → → (2)若已知 D(0,3),M、N 在动点 P 的轨迹上,且DM =λ DN , 求实数λ 的取值范围.

解(1)∵F1 (- 5,0)、F2 ( 5,0)且|PF1 |+|PF2 |=2a>|F1F2 | (a> 5) 2 2 x y ∴P 的轨迹为以 F1 、F2 为焦点的椭圆 E,可设 E: 2 + 2 =1 (其中 b2 =a2 -5) a b 在△PF1 F2 中,由余弦定理得 | PF1 | +| PF2 | -| F1F2 | 2a -10 cos∠F1 PF2 = = -1 2| PF1 | | PF2 | | PF1| | PF2 | | PF1 |+| PF2 | 2 2 又| PF1 |·| PF2 |≤( ) =a 2 2a2 -10 ∴当且仅当| PF1 |=| PF2 |时,| PF1 |·| PF2 |取最大值,此时 cos∠F1 PF2 取最小值 -1 2 a 2a2 -10 1 令 -1=- ?a2 =9 2 a 9 x2 y2 ∵c= 5 ∴b =4 故所求 P 的轨迹方程为 9 + 4 =1
2 2 2 2 2

→ → (2)设 N(s,t),M(x,y),则由DM =λ DN,可得(x,y-3)=λ (s,t-3) ∴x=λ s,y=3+λ (t-3)
2 2 (λ s) (λ t+3-3λ ) s t 而 M、N 在动点 P 的轨迹上,故 + =1且 + =1 9 4 9 4 2 2

(λ t+3-3λ ) -λ t 13λ -5 消去 S 得 =1-λ 2 解得t= 4 6λ 又| t |≤2 ∴| 13λ -5 1 |≤2,解得 ≤λ ≤5, 6λ 5 1 故λ 的取值范围是[ ,5] 5

2

2 2

五、数列题
1、数列多与函数、不等式、方程、三角函数、 解析几何等知识相交汇,可能出现的题型是: (1)数列内部的综合:等差与等比;数列与极限; 数列与数学归纳法; (2)数列与相关知识的综合:数列与函数、数列 与不等式、方程;数列与点列; 数列题能力要求较高:运算能力、归纳猜想能 力、转化能力、逻辑推理能力;

2、解法要领: (1)研究数列,关键是要抓住数列的通项,探求一个数 列的通项常用:观察法、公式法、归纳猜想法; (2)关于数列的求和,常用方法有 公式法、 错位相减法、 倒序相加法、 裂项法。 (3)关于等差(比)数列,要抓住首项和公差(比)这两个 基本元素。 (4)数列是特殊的函数,所以数列问题与函数、方程、不等 式有着密切的联系,函数思想、方程观点、化归转化、归纳猜 想、分类讨论在解题中多有体现。

例1 等差数列{an}的前n项的和为Sn,

已知S10 =100,S100=10, 求S110.
方法一 设等差数列的首项与公差分别为a1、d. 10? 9d ? 10a1 ? ? 100 ? ? 2 ? ?100a ? 100? 99d ? 10 1 ? 2 ? 用基本量

方法二

我们把 a1 ? a2 ? a3 ? …+a10 看作为一项,记为 A1 ,
这时s100 就是 A1 ? A2 ? …+ A10, 因为{an}是等差数列,所以{An}也是等差数列. 此数列的首项A1=100,设其公差D,由题意知:

所以有:

10 ? 9 10 A1+ D ? 10 , 又A1=100, 2

10 ? 9 D ? 10 , 10 ×100 + 2 解得: D=-22 ,
于是 A11=A1+10 D =100+ 10×(-22)=-120 ,

既,S110 = A1 ? A2 ? …+ A11=10+(-120)=-110 .
用整体

方法三

∵ sn =an2+bn,
s n an2 ? bn ? ? an ? b , ∴ n n 由于{an+b}也是等差数列,记为{bn},由已知

可得: b10=10 , b100=

10 100 ,

很快地计算{bn}的公差,

再求出b110 , 最后利用 s110=110×b110. 用转化

方法四

s100 ? s10 ? a11 ? a12 ? ? ? a100 ? 45(a11 ? a100 ), s110 110(a1 ? a110 ) ? ? 55(a11 ? a100 ) 2
用性质

方法五 用函数的思想方法(略)

例2. 把集合{2t+2s|0≤s<t,s,t∈Z}的元素由小到大 排列得到数列{an},例如a1=20+21=3, a2=20+22=5, a3=21+22=6, a4=20+23=9, a5=21+23=10, a6=22+23=12, ……把数列{an}的项依次写成塔形:
3 5 6 9 10 12

……

…… ……

(1) 写出塔形的第四、五行; (2) 求a100;

3

观察找规律

5 6 9 10 12 17 18 20 24

33

34

36

40

48

..............................................

第一行1个数,第二行2个数,……,第n行n个数,

1+2+3+……+n≥100≥ 1+2+3+……+n-1, 得n=14,
说明a100在第14行,每一行的第一个数分别为2+1,22+1,23+1, 24+1,25+1,26+1,……214+1, ∵前13行用了91个数.∴ a100在第14行的第9个数, a100 =214+1+1+2+4+8+16+32+64+128=16640.

理 性 思 维
(s,t)

(0,1) (0,2) (0,3) (0,4) …………(0,n)
(1,2) (1,3) (1,4) …………(1,n) (2,3) (2,4) …………(2,n)

(3,4) ………… (3,n)
………… (n-1,n)

17 18 20 24

33 34 36 40 48

(0,14) (1,14) n(n ? 1) (2,14) 1? 2 ? 3 ??? n ? ? 100, n ? 14, (3,14) 2 (4,14) a100 在第14列,第 列对应的二元数组为 14 (5,14) (6,14) (7,14) a100在第14列对应第9个数组, (8,14) (8,14) a100=214+28=16640. (9,14) (10,14) (11,14) (12,14) (13,14)

六、函数与不等式综合题
1、可能出现的题型: 函数的单调性,最值问题的探究; 函数与证明不等式综合; 求参数的取值范围; 构造函数与不等式的实际应用性问题; 涉及函数的不等式求解; 判断方程根的个数,等等。 2、解决函数、不等式综合题的必备知识是: 基本初等函数的定义域、值域、对应法则、图象及其它性质 (单调性、奇偶性、周期性、最值),不等式的基本性质。 3、研究函数性质及解不等式、证明不等式的基本方法要熟 练掌握,尤其是:构造函数、建立方程、挖掘不等式关系,含 参字母的分类讨论,比较法、分析法、综合法等。

4.特别注意利用导数研究函数: (1)利用导数求函数的单调区间; (2)利用导数与函数单调性的关系求字母的取 值范围; (3)利用导数研究函数的极值、最值; (4)利用导数证明不等式. (5)利用导数研究函数图象的交点.

5.二次函数是常青树

几个关系
1

f ?( x) ? 0 与 f (x) 为增函数的关系.

f ?( x) ? 0 能推出 f (x) 为增函数,但反之不一定.如函数 f ( x) ? x 3 在 (??,??)
上单调递增,但 f ?( x) ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 是 f (x) 为增函数的充分不必要条件.

2

f ?( x) ? 0 时, f ?( x) ? 0 与 f (x) 为增函数的关系.

若将 f ?( x) ? 0 的根作为分界点,因为规定 f ?( x) ? 0 ,即抠去了分界点,此 时 f (x) 为增函数, 就一定有 f ?( x) ? 0 . 所以当 f ?( x) ? 0 时, f ?( x) ? 0 是 f (x) 为增函数的充分必要条件. 3

f ?( x) ? 0 与 f (x) 为增函数的关系.

f (x) 为增函数,一定可以推出 f ?( x) ? 0 ,但反之不一定,因为 f ?( x) ? 0 ,即
为 f ?( x) ? 0 或 f ?( x) ? 0 . 当函数在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 , f (x) 为常数, 则 函数不具有单调性.所以 f ?( x) ? 0 是 f (x) 为增函数的必要不充分条件.

例1:(全国B卷文科第 21 题) 1 3 1 2 若函数f ( x ) ? x ? ax ? (a ? 1) x ? 1在区间(1, 4) 3 2 内为减函数,在区间(6, ?)上为增函数, ? 试求实数a 的取值范围。

f / ( x) ? x 2 ? ax ? a ? 1 1 4)内为减函数 ? f ( x)在区间(, ? 6 ? ? f ( x)在区间区间( , ?)为增函数 解法一:

x 2 ? ax ? a ?1 ? 0 的两个根为 ? 1 或 x ? a ?1. x
(1) 当a ? 1 ? 1时,函数 f / ( x ) ? x 2 ? ax ? a ? 1 是开口向上的抛物线,且与x轴的另一个 交点在1 的左侧,则在区间( , 1 4)内f / ( x ) ? 0, 那么在( , 1 4)内为增函数,不合题意.

y

( 2) 当1 ? a ? 1 ? 4时,函数f / ( x ) ? x 2 ? ax ? a ? 1 是开口向上的抛物线, 且与x轴的另一个 交点在1与4的之间,则在区间(, 1 4)内f / ( x ) ? 0, 不恒成立, 那么在(, 1 4)内不为减函数,不合 题意.

y

( 3) 当4 ? a ? 1 ? 6时,函数 f / ( x ) ? x 2 ? ax ? a ? 1 是开口向上的抛物线, 且与 x 轴的另一个 4与6的之间,则在区间( 1, 4)内 f / ( x ) ? 0, 交点在 / ? 在区间( 6, ? )内 f ( x ) ? 0, 都恒成立 , ? 4)内为减函数,在区间 (6, ? )内 那么在( 1, 为增函数 . 解得后 5 ? a ? 7 满足题意 .

( 4) 当a ? 1 ? 6时,函数 f / ( x ) ? x 2 ? ax ? a ? 1

是开口向上的抛物线, 且与x轴的另一个 ? ?)内f / ( x ) ? 0, 6, 交点在6的右侧,则在区间(
? 不恒成立 , 则在区间(6, ?)内为增函数不成立 . 不合题意.

y

0

1

4

6 a-1

x

解法二: f / ( x ) ? x 2 ? ax ? a ? 1 1 4)内为减函数 ? f ( x )在区间( , ? ? ? f ( x )在区间区间(6, ?)为增函数 ? f / ( x ) ? x 2 ? ax ? a ? 1区间( , 1 4)小于等于零 ? ?? / 2 ? ? f ( x ) ? x ? ax ? a ? 1区间(6, ?)大于等于零 ? ? f (1) ? 0 ?a ? R ? ? ? ? f (4) ? 0 ? ?a ? 5 ? 5 ? a ? 7 ? f (6) ? 0 ?a ? 7 ? ?


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