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8.2.3


8.2.3 向量数乘运算及其几何意义

复习回顾:
1.向量加法三角形法则
特点:首尾相接
C

2.向量加法平行四边形 法则 特点:共起点 a C B
b
a ?b

a ?b
A

b

b

a



B
B

O

a

A

3.向量减法三角形法则

a
O

b b
a
A

BA ? a ? b

特点:共起点,连终点,方向指向被减向量

实际背景
一物体作匀速直线运动,一秒钟的位移对应 向量a , 那么在同方向上3秒的位移对应的向量用3a 表示,试画出该向量,看看它们有何关系?

a

3a

思考:已知非零向量 a , 作出 a ? a ? a 和 (?a) ? (?a) ? (?a) , 你能说明它们的几何意义吗?

a a
O A

长度放大3倍 ;方向相同

a
B

a

记作 3 a C
长度放大|-3| 倍;方向相反

OC ? OA ? AB ? BC ? a ? a ? a

?a
N M

?a ?a
Q

P

记作 -3a

PN ? PQ ? QM ? MN ? (? a )( ? ?a )( ? ?a )

一.数乘向量的定义
一个向量,这种运算叫做数乘向量,记作 ? a 它的长度和方向规定如下:
(1 )

一般地,我们规定实数λ 与向量 a 的乘积是



| ? a |?| ? || a |;

(2)当 ? ? 0时, ? a的方向与 a 的方向相同; 当 ? ? 0时, ? a的方向与 a 的方向相反。

特别的,当 ? ? 0 时, ?a
注意:1. ? a 仍然是向量;

? 0.

2.比较两个向量时,主要看它们的长度和方向

?a
数乘向量的几何意义就是把向量a 沿a 的方向或反 向放大了 ? 倍.当〈 沿 0 ?〈 1时,

方向放大或缩短.若 a ? 0 ,当 ? ? 1时,沿 a 的方

a

的方向缩短了 ?倍

? ? ?1时 ,沿 当

沿a 的反方向缩短了 ? 倍.由其几何意义可以看 出用数乘向量能解决几何中的相似问题.

a

1 ?〈0时, 的反方向放大了 ? 倍.当 ?〈

探究:实数与向量积的运算律
? ? 3(2a ) = 6 a

? a

? 2a

? 3(2a )
? 6a

() 1 ? (? a) ? (?? )a

探究:实数与向量积的运算律
(2 ? 3)a ? 2a ? 3a ?

? a

? 5a
? 2a

? 3a

() 2 (? ? ? )a ? ? a ? ? a

探究:实数与向量积的运算律

2(a ? b ) ? 2a ? 2b ?
2(a ? b ) ? 2a ? 2b

b

a

2a ? 2b

a ?b

2b
2a

() 3 ? (a ? b ) ? ?a ? ?b

三、实数与向量积的运算律
向量的数乘运算满足如下运算律:

?,?是实数,

(1)( ? ? a ) ? ( ?? )a; (2)( ? ? ? )a ? ? a ? ? a;

结合律 分配律

分配律 (3)? ( a ? b ) ? ? a ? ? b . 特别地:(? ?) a ? ? ? ?a ?
? a ? b ? ? a ? ?b 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算

?

?

例 计算:
(1) (2) (3)

? ?3? ? 4a

?12a

5b ? ? ? ? 2a ? 3b ? c ? ? ?3a ? 2b ? c ? ?a ? 5b ? 2c
3 a ?b ?2 a ?b ?a

?

注:向量与实数之间可以象多项式一 样进行运算.

小结: 1.实数与向量的数乘运算的定义
实数?与向量 a 的积是一个确定的向量,记为? a,
其方向和长度规定如下: (1) ? a ? ? a ;

(2) 当? ? 0, ? a 与 a 的方向相同; 当? ? 0, ? a 的方向与 a 的方向相反; 当? ? 0,? a ? 0.

小结:
2.实数与向量积的运算律
向量的数乘运算满足如下运算律:

() 1 ? (? a) ? (?? )a

结合律 分配律 分配律

() 2 (? ? ? )a ? ? a ? ? a

() 3 ? (a ? b ) ? ?a ? ?b

练习:

计算:(1) ( 2 2a ? 6b ? 3c) ? 3(?3a ? 4b ? 2c);   (2)已知3( x ? a) ? 2( x ? 2a) ? 4( x ? a ? b) ? 0    求 x.

解:()原式 1 ? 4a ? 12b ? 6c ? 9a ?12b ? 6c
(2) 原等式可化为 3x ? 3a ? 2 x ? 4a ? 4 x ? 4a ? 4b ? 0

? 13a

整理得  x ? 3a ? 4b ? 0

? x ? ?3a ? 4b

思考:
对于向量a与b,以及实数? 问题一:如果b ? ? a     那么,向量a与b是否共线?

问题二:如果向量a与b共线 (a ? 0)     那么, b ? ? a? 向量共线定理(重点)

向量a(a ? 0)与b共线,当且仅当有 唯一一个实数?,使b ? ? a .

例2.如图,已知任意两个向量 a、 b ,试作 OA ? a ? b,

OB ? a ? 2b, OC ? a ? 3b. 你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗?为什么?
C

解:

AB ? OB ? OA AC ? OC ? OA

a

b

3b

B

? a ? 2b - (a ? b) ? b ? a ? 3b - (a ? b) ? 2b
? AC ? 2 AB

2b

A

b
O

a

所以, A, B, C三点共线

练习:如图,已知AD=3AB,DE=3BC, 试判断AC与AE是否共线。
E

解: AE ? AD ? DE

? 3 AB ? 3BC ? 3( AB ? BC ) ? 3 AC
A

C B D

? AC与AE共线.

例3.如图, ABCD的两条对角线相交与点M , 且 AB ? a, AD ? b, 你能用a, b表示MA, MB, MC和MD.
D C
M

解 : 在 ABCD中. AC ? AB ? AD ? a ? b DB ? AB ? AD ? a ? b
b
A

1 1 1 1 ? MA ? ? AC ? ? (a ? b) ? ? a ? b 2 2 2 2 1 1 1 1 MB ? DB ? (a ? b) ? a ? b  
1 1 1 MC ? AC ? a ? b 2 2 2
2 2 2 2

a

B

1 1 1 1 MD ? ? MB ? ? DB ? ? (a ? b) ? ? a ? b 2 2 2 2

练习:
如图所示,D是 ABC的边AB上的中点,则向量CD ? (   A)
1 1 A. ? BC ? BA     B. ? BC ? BA  2 2 1 1 C. BC ? BA     D. BC ? BA 2 2

A
D

B

C

课堂小结:
一、①λ

a 的定义及运算律

②向量共线定理 (a ? 0) b=λa 向量a与b共线
二、定理的应用: 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 3. 证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD

A,B,C三点共线

AB与CD不在同一直线上

直线AB∥直线CD

练习:
1.下列各式叙述不正确的是( C ) A.b ? 3a(a为非零向量), 则a,b共线 3 B.m ? 3a ? 4b,n ? a ? 2b, 则m // n 2 C.若a,b共线, 则存在唯一的实数?使得a ? ? b. D.a ? b ? c ? 0,则a ? b ? ?c
2.在三角形ABC中,已知D是AB边上一点,若 AD=2DB, 1 CD= CA+? CB,则? ? ( A ) 3 2 1 1 2 A. B. C.D.3 3 3 3

3.已知一点o到平行四边形ABCD的3个顶点A, B , C的向量 分别为a , b, c , 则向量OD等于( B) A.a ? b ? c B .a ? b ? c C .a ? b ? c D .a ? b ? c

4. 已知四边形ABCD中,E、F分别是AD和BC的中点, 1 EF ? (AB ? DC) 求证: 2

5.求已知向量a(a ? 0)的单位向量.
6.设e1,是两个不共线的向量,而 e2 e1 ? 4e2和

2e1 ? ke2共线,求实数k的值.

 解: 向量e1 ? 4e2和2e1 ? ke2共线
  存在实数 ? ? , 使得2e1 ? ke2 ? ? (e1 ? 4e2 )

?? ? 2  由向量相等的条件,得 ? ? k ? ?4?

  ?  k ? ?8

练习:
名师一号P 79
7.在三角形ABC中,已知D是AB边上一点,若 AD=2DB, 1 CD= CA+? CB,则? ? (A) 3 2 1 1 2 A. B. C.D.3 3 3 3

作业:
P91 A组 9 11

思考题:
1.求已知向量a(a ? 0)的单位向量.
2.设e1,是两个不共线的向量,而 e2 e1 ? 4e2和

2e1 ? ke2共线,求实数k的值.

 解: 向量e1 ? 4e2和2e1 ? ke2共线
  存在实数 ? ?, 使得2e1 ? ke2 ? ?(e1 ? 4e2 )

?? ? 2  由向量相等的条件,得 ? ?k ? ?4?

   ? k ? ?8


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