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【红对勾】(新课标)2016高考数学大一轮复习 第七章 立体几何课时作业50 理 新人教A版


课时作业 50

利用空间向量证明平行与垂直

一、选择题 1.若直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,能使 l∥α 的是( A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1) 解析:若 l∥α ,则 a·n=0, D 中,a·n=1×0+(-1)×3+3×1=0,∴a⊥n. 答案:D 2.已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面 ABC 的一个单位法向量是( A.? 3 3? ? 3 , ,- ? 3 3? ?3 B.? 3 3? ? 3 ,- , ? 3 3? ?3 ) )

C.?-

? ?

3 3 3? , , ? 3 3 3?

D.?-

? ?

3 3 3? ,- ,- ? 3 3 3?

解析:因为 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1), → → 所以AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1). 经验证,当 n=?-

? ?

3 3 3? ,- ,- ?时, 3 3 3 ?

n·AB=
答案:D



3 3 3 3 → - +0=0,n·AC= +0- =0,故选 D. 3 3 3 3

→ → → 3.若AB=λ CD+μ CE,则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系是( A.相交 C.在平面内 B.平行 D.平行或在平面内

)

→ → → → → → 解析:∵AB=λ CD+μ CE,∴AB,CD,CE共面.则 AB 与平面 CDE 的位置关系是平行或在 平面内. 答案:D 4.如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2,AA1= 3,AD=2 2,P 为 C1D1 的中点,M 为 BC 的中点,则 AM 与 PM 的位置关系为( )

1

A.平行 B.异面 C.垂直 D.以上都不对 解析:

以 D 点为原点,分别以 DA,DC,DD1 所在直线为 x,y,z 轴,建立如图所示的空间直角 坐标系 D—xyz, 依题意,可得 D(0,0,0),P(0,1, 3),C(0,2,0),A(2 2,0,0),M( 2,2,0). → ∴PM=( 2,2,0)-(0,1, 3)=( 2,1,- 3), →

AM=( 2,2,0)-(2 2,0,0)=(- 2,2,0),
→ → ∴PM·AM=( 2,1,- 3)·(- 2,2,0)=0, → → 即PM⊥AM,∴AM⊥PM. 答案:C 5.如图,正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直,AB= 2,AF=1,M 在 EF 上,

且 AM∥平面 BDE.则 M 点的坐标为(

)

2

A.(1,1,1) C.? 2 ? ? 2 , ,1? 2 2 ? ?

B.? D.?

2 ? ? 2 , ,1? 3 ?3 ? 2 ? ? 2 , ,1? 4 4 ? ?

解析:设 AC∩BD=O,连接 OE,由 AM∥平面 BDE,且 AM? 平面 ACEF,平面 ACEF∩平面

BDE=OE,∴AM∥EO,
又 O 是正方形 ABCD 对角线交点, ∴M 为线段 EF 的中点. 在空间坐标系,E(0,0,1),F( 2, 2,1). 由中点坐标公式,知点 M 的坐标? 答案:C 2 ? ? 2 , ,1?. 2 ?2 ?

2 1 6.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别在 A1D,AC 上,且 A1E= A1D,AF= AC, 3 3 则( ) A.EF 至多与 A1D,AC 之一垂直 B.EF⊥A1D,EF⊥AC C.EF 与 BD1 相交 D.EF 与 BD1 异面 解析:以 D 点为坐标原点,以 DA,DC,DD1 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐 1? ?1 标系,设正方体棱长为 1,则 A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E? ,0, ?, 3 3? ?

? ? F? , ,0?,B(1,1,0),D1(0,0,1),
2 1

?3 3

?

A1D=(-1,0,-1),AC=(-1,1,0),
→ → 1? → ?1 1 EF=? , ,- ?,BD1=(-1,-1,1),





?3 3

3?

EF=- BD1,A1D·EF=AC·EF=0,
3

1→ 3





→ →

从而 EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.故选 B. 答案:B 二、填空题 7. 已知平面 α 内的三点 A(0,0,1), B(0,1,0), C(1,0,0), 平面 β 的一个法向量 n=(- 1,-1,-1).则不重合的两个平面 α 与 β 的位置关系是________. → → → → → → 解析:AB=(0,1,-1),AC=(1,0,-1),∴n·AB=0,n·AC=0,∴n⊥AB,n⊥AC, 故 n 也是 α 的一个法向量.又∵α 与 β 不重合,∴α ∥β . 答案:平行 → → 8. 已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点, 如果AB=(2, -1, -4), AD=(4,2,0), →

AP=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③AP是平面 ABCD 的法向量;④AP∥BD.
其中正确的是________. → → → → 解析:∵AB·AP=0,AD·AP=0. ∴AB⊥AP,AD⊥AP,则①②正确. → → 又AB与AD不平行, → ∴AP是平面 ABCD 的法向量,则③正确. → → → → 由于BD=AD-AB=(2,3,4),AP=(-1,2,-1), → → ∴BD与AP不平行,故④错误. 答案:①②③ 9.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别是棱 BC,DD1 上的点,如果 B1E⊥ 平面 ABF,则 CE 与 DF 的和的值为________.



→ →

解析:以 D1A1,D1C1,D1D 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,设 CE=x,

DF=y,则易知 E(x,1,1),B1(1,1,0),所以B1E=(x-1,0,1),又 F(0,0,1-y),B(1,1,1),
→ → → 所以FB=(1,1, y), 由于 AB⊥B1E, 故若 B1E⊥平面 ABF, 只需FB·B1E=(1,1, y)·(x-1,0,1) =0? x+y=1. 答案:1 三、解答题
4



10.如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC⊥BC,D 为 AB 的中点,AC=BC=BB1.求证:

(1)BC1⊥AB1; (2)BC1∥平面 CA1D. 证明:

如图,以 C1 点为原点,C1A1,C1B1,C1C 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐 标系. 设 AC=BC=BB1=2, 则 A(2,0,2), B(0,2,2), C(0,0,2), A1(2,0,0), B1(0,2,0), C1(0,0,0),

D(1,1,2).
→ → (1)由于BC1=(0,-2,-2),AB1=(-2,2,-2), → → 所以BC1·AB1=0-4+4=0, → → 因此BC1⊥AB1,故 BC1⊥AB1. (2)连接 A1C,取 A1C 的中点 E,连接 DE,由于 E(1,0,1), → → 所以ED=(0,1,1),又BC1=(0,-2,-2), 1→ → 所以ED=- BC1,又 ED 和 BC1 不共线, 2 所以 ED∥BC1,又 DE? 平面 CA1D,

BC?平面 CA1D,故 BC1∥平面 CA1D.

5

11.如图,已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,△ACD 为等边三角形,AD=DE=2AB,F 为 CD 的中点. (1)求证:AF∥平面 BCE; (2)求证:平面 BCE⊥平面 CDE. 证明:

设 AD=DE=2AB=2a,建立如图所示的坐标系 A—xyz,则 A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,

a),D(a, 3a,0),E(a, 3a,2a).
∵F 为 CD 的中点, 3 ?3 ? ∴F? a, a,0?. 2 2 ? ? 3 ? → → ?3 → → 1 → → (1)∵AF=? a, a,0?,BE=(a, 3a,a),BC=(2a,0,-a),∴AF= (BE+BC),又 2 2 ?2 ?

AF?平面 BCE,
∴AF∥平面 BCE. 3 ? → → ?3 → (2)∵AF=? a, a,0?,CD=(-a, 3a,0),ED=(0,0,-2a), 2 ?2 ? → → → → → → → → ∴AF·CD=0,AF·ED=0,∴AF⊥CD,AF⊥ED, ∵CD∩ED=D,∴AF⊥平面 CDE,又 AF∥平面 BCE, ∴平面 CDE⊥平面 BCE.

6

在四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,PD=DC,E,F 分别是 AB,

PB 的中点.
(1)求证:EF⊥CD. (2)在平面 PAD 内是否存在一点 G,使 GF⊥平面 PCB,若存在,请求出 G 的位置;若不存 在,请说明理由. 解:

如图,以 DA,DC,DP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,设 AD=a,

? ? ? ? 则 D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E?a, ,0?,P(0,0,a),F? , , ?. 2 2 2 2 ? ? ? ?
a a a a a? → → ? a → → → → (1)EF=?- ,0, ?,DC=(0,a,0).EF·DC=0,所以EF⊥DC,即 EF⊥CD. 2? ? 2
(2)假设点 G 存在.设 G(x,0,z),

a a? → ? a 则FG=?x- ,- ,z- ?, 2 2? ? 2
因为 GF⊥平面 PCB,则

a a? → → ? a 由FG·CB=?x- ,- ,z- ?·(a,0,0) 2 2? ? 2
=a?x- ?=0,得 x= ; 2 ? 2?

?

a?

a

a a? → → ? a 由FG·CP=?x- ,- ,z- ?·(0,-a,a) 2 2? ? 2
= +a?z- ?=0,得 z=0. 2 ? 2?

a2

?

a?

? ? 所以 G 点坐标为? ,0,0?,即 G 点为 AD 的中点. ?2 ?
a

7


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