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2013届高考数学(理)第二轮强化训练套题 五 含答案


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高三理科数学第二轮强化训练套题(五)
班别______学号_______姓名______________得分_______
参考公式:球的表面积公式 S ? 4? R ,其中 R 是球的半径.
2

圆锥的侧面积公式 S ? ? rl ,其中为底面的半径, l 为母线长. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知是纯虚数, A. 2 i

z?2 是实数(其中 i 为虚数单位) ,则 z ? ( 1? i
B. i C. ? i D. ?2 i

)

2.对命题 p : A ? ? ? ? ,命题 q : A ?? ? A ,下列说法正确的是( A. p ? q 为真 B. p ? q 为假 C. ? p 为假 D. ? p 为真

)

3. 图1是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图, 若80分以上为优秀, 根据图形信息可知: 这次考试的优秀率为( A. 25% B. 30% C. 35% D. 40% )

频率 组距

4.若直线 ax ? 2by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) 始终平分圆

x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 8 ? 0 的周长,则
A. 1 B. 3 ? 2 2 C. 5

1 2 ? 的最小值为( a b
D. 4 2

) 图1 )

5.某器物的三视图如图 2 所示,根据图中数据可知该器物的表面积为( A. 4? B. 5? C. 8? D. 9?

6.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线中心在原点,焦点在 y 轴上,一条渐近线 方程为 x ? 2 y ? 0 ,则它的离心率为( A. 5 B. ) C. 3
2

5 2

D. 2 )

图2

7.若关于的不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 4a 有实数解,则实数的取值范围为( A. (??,1) U (3, ??) B. (1,3) C. (??, ?3) U (?1, ??) D. (?3, ?1)

8.若 a ? (a1, a2 ), b ? (b1, b2 ) ,定义一种向量积: a ? b ? (a1b1, a2b2 ) ,已知 m ? (2, ), n ? (

1 2

?
3

, 0) ,且点

P( x, y ) 在函数 y ? sin x 的图象上运动,点 Q 在函数 y ? f ( x) 的图象上运动,且点 P 和点 Q 满足:

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,则函数 y ? f ( x) 的最大值 A 及最小正周期 T 分别为( OQ ? m ? OP ? n (其中 O 为坐标原点) A. 2, ? B. 2, 4? C. )

1 ,? 2

D. , 4?

1 2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.在二项式 (2 x ? ) 的展开式中,若第 5 项是常数项,则 n ? _______.
n

1 x

(用数字作答) 10.已知等差数列 ?an ? 中,有

a11 ? a12 ? 10

? a20

?

a1 ? a2 ? ? a30 成立. 30

类似地,在等比数列 ?bn ? 中,有_____________________成立. 11.按如图 3 所示的程序框图运行程序后,输出的结果是 63 ,则判断框中的 整数 H ? _________.

? x 2 x ? [0,1] e ? 12.设 f ( x) ? ? 1 ,则 ? f ( x)dx ? _____. 0 x ? (1, e] ? ?x
13.在 ?ABC 中, a、b、c 分别为内角 A、B、C 所对的边,且 A ? 30 .
?

图3

现给出三个条件:① a ? 2 ; ② B ? 45? ;③ c ? 3b .试从中选出两个可以确定 ?ABC 的条件,并以 此为依据求 ?ABC 的面积.(只需写出一个选定方案即可)你选择的条件是 由此得到的 ?ABC 的面积为 . (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)如图 4, PT 为圆 O 的切线, T 为切点, T P O A (用序号填写); M

?ATM ?

?
3

,圆 O 的面积为 2? ,则 PA ?



15. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 ? ? 3 截直线

? ? cos(? ? ) ? 1 所得的弦长为
4



图4

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分)已知平面上三点 A(2,0) , B(0,2) , C (cos? , sin ? ) . (1)若 (OA ? OC )2 ? 7 (O 为坐标原点) ,求向量 OB 与 OC 夹角的大小; (2)若 AC ? BC ,求 sin 2? 的值.

17. (本小题满分12分)第16届亚运会将于2010年11月在广州市举行,射击队运动员们正在积极备战. 若
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某运动员每次射击成绩为10环的概率为

1 . 求该运动员在5次射击中, ( 1) 恰有3次射击成绩为10环的概率; 3

(2)至少有 3 次射击成绩为 10 环的概率; (3)记“射击成绩为 10 环的次数”为 ? ,求 E? .(结果用分数表示)

B 18. (本小题满分14分) 如图5, 已知 AB ? 平面 ACD ,DE ? 平面 ACD , △ ACD 为等边三角形, AD ? DE ? 2 AB , F 为 CD 的中点. (1)求证: AF // 平面 BCE ; (2)求证:平面 BCE ? 平面 CDE ; (3)求直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值. C F 图5 D

E A

19. (本小题满分14分)过点 P 0 (1,0) 作曲线 C : y ? x ( x ? (0, ??)) 的切线,切点为 Q 1 ,过 Q 1 作轴的垂线
3

交轴于点 P1 ,又过 P1 作曲线C的,切点为 Q2 ,过 Q2 作轴的垂线交轴于点 P 2 ,?,依次下去得到一系列点

Q1 , Q2 , Q3 ,?,设点 Qn 的横坐标为 an . 求数列 ?an ? 的通项公式。

20. (本小题满分14分) 已知圆 M :( x ? m) ? ( y ? n) ? r 及定点 N (1, 0) , 点 P 是圆 M 上的动点, 点Q
2 2 2

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在 NP 上,点 G 在 MP 上,且满足 NP =2 NQ , GQ · NP = 0 . (1)若 m ? ?1, n ? 0, r ? 4 ,求点 G 的轨迹 C 的方程。

21. (本小题满分 14 分)己知函数 f ( x) ?

1 . ( x ? 1) ln( x ? 1)

(1) 求函数 f ( x ) 的定义域;(2) 求函数 f ( x ) 的增区间。

压轴题(五)参考答案
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一、选择题:DCBB
二.填空题:9. 8 ; 12.

DAAD
10. 10 b11b12 ?b20 ? 30 b1b2 ?b30 ; 11. 5 ; 15. 4 2 .

4 ; 3

13.①②, 3 ? 1 (或①③, 3 ) ;

14. 3 2 ;

三.解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)∵ OA ? OC ? (2 ? cos?, sin ? ) , (OA ? OC)2 ? 7 , ∴ (2 ? cos? ) 2 ? sin 2 ? ? 7 , ∴ cos ? ? ??????? 2 分

1 . 2

??????? 4 分

又 B(0,2) , C (cos? , sin ? ) ,设 OB 与 OC 的夹角为 ? ,则:

cos? ?

OB ? OC OB OC

?

2 sin ? 3 , ? sin ? ? ? 2 2

∴ OB 与 OC 的夹角为 (2)

? 5 或 ?. 6 6

????? 7 分

AC ? (cos ? ? 2,sin ? ) , BC ? (cos?, sin ? ? 2) ,? 9 分
∴ AC ? BC ? 0 ,

由 AC ? BC , 可得 cos ? ? sin ? ?

1 ,①??????? 11 分 2 1 2 ∴ (cos ? ? sin ? ) ? , 4 3 3 ∴ 2 sin ? cos ? ? ? , sin 2? ? ? . ???????12 分 4 4
17. (本小题满分12分) 解:设随机变量 X 为射击成绩为 10 环的次数,则 X ~ B (5, ) .?2 分 (1)在 5 次射击中,恰有 3 次射击成绩为 10 环的概率为:

1 3

?1? ? 1? P( x ? 3) ? C ? ? ? ? ?1 ? ? ? 3? ? 3?
3 5

3

2

? 10 ?

1 4 40 ? ? ???4 分 27 9 243

(2)在 5 次射击中,至少有 3 次射击成绩为 10 环的概率为:

P( X ? 3) ? P( X ? 3) ? P( X ? 4) ? P( X ? 5)
3 2 4

????6 分
5 0

? 1? ?1? ? 1? ? 1? 3 ?1? 5 ?1? ? C5 ? ? ? ? ?1 ? ? ? C54 ? ? ? ? ?1 ? ? ? C5 ? ? ? ? ?1 ? ? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3?
? 40 10 1 17 ? ? ? . 243 243 243 81
????8 分

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(3)方法一:随机变量 X 的分布列为:

X
P

0

1

2

3

4

5

80 40 243 243 32 32 32 32 32 32 5 ? 1? ? 2? ? 3? ? 4? ? 5? ? 故 E( X ) ? 0 ? 243 243 243 243 243 243 3
?12 分 方法二:因为 X ~ B(5, ) ,所以 E ( X ) ? 18. (本小题满分 14 分) 解法一:(1) 证:取 CE 的中点 G , 连结 FG、BG . ∵ F 为 CD 的 中 点 , ∴

32 243

80 243

10 243

1 243

1 3

5 . ????12 分 3

1 DE . 2 ∵ AB ? 平面 ACD ,
且 GF ?

B

GF // DE
E

G

A

H DE ? 平面 ACD , ∴ AB // DE , ∴ GF // AB . C 1 F 又 AB ? DE , 2 ∴ GF ? AB . ∴四边形 GFAB 为平行四边形, 则 AF // BG . ∵ AF ? 平面 BCE , BG ? 平面 BCE , ∴ AF // 平面 BCE . ???? 4 分 (2) 证:∵ ?ACD 为等边三角形, F 为 CD 的中点, ∴ AF ? CD ∵ DE ? 平面 ACD , AF ? 平面 ACD , ∴ DE ? AF . 又 CD DE ? D , 故 AF ? 平面 CDE . ∵ BG // AF , ∴ BG ? 平面 CDE . ∵ BG ? 平面 BCE , ∴平面 BCE ? 平面 CDE . ????8 分 (3) 解:在平面 CDE 内,过 F 作 FH ? CE 于 H ,连 BH . ∵平面 BCE ? 平面 CDE , ∴ FH ? 平面 BCE . ∴ ?FBH 为 BF 和平面 BCE 所成的角. ????10 分 设 AD ? DE ? 2 AB ? 2a , 则 FH ? CF sin 45? ?

M

D

2 a, 2

BF ? AB 2 ? AF 2 ? a 2 ? ( 3a) 2 ? 2a ,
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在 R t△ FHB 中, sin ?FBH ?

FH 2 .????13 分 ? BF 4


∴直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值 解法二:设 AD ? DE ? 2 AB ? 2a , 建立如图所示的坐标系 A ? xyz , 则 A(a,0,0) B(0,0, a) C (2a, 0, 0)

2 ???14 分 4

D(a, 3a,0) E(a, 3a, 2a)
∵ F 为 CD 的中点,∴ F ? (1) 证:

?3 ? 3 a , a , 0 ? ?2 ?. 2 ? ?

?3 ? 3 AF ? ? ? 2 a, 2 a, 0 ? ? , BE ? a, 3a, a , BC ? ? 2a, 0, ?a ? , ? ? 1 BE ? BC , AF ? 平面 BCE , ∵ AF ? 2 ∴ AF // 平面 BCE . ????4 分 ?3 ? 3 a , 0 (2) 证:∵ AF ? ? a, ? ?2 ? , CD ? ?a, 3a, 0 , ED ? ? 0, 0, ?2a ? , 2 ? ?

?

?

?

?

?

?

∴ AF ? CD ? 0, AF ? ED ? 0 , ∴ AF ? CD, AF ? ED . ∴ AF ? 平面 CDE ,又 AF // 平面 BCE , ∴平面 BCE ? 平面 CDE . ????8 分

(3) 解:设平面 BCE 的法向量为 n ? ? x, y, z ? , 由 n ? BE ? 0, n ? BC ? 0 可得:

x ? 3 y ? z ? 0, 2x ? z ? 0 ,
取 n ? 1, ? 3, 2 .

?

?

????10 分

?3 ? 3 ? 2 a, 2 a, ? a ? ?, ? ? 设 BF 和平面 BCE 所成的角为 ? ,
又 BF ? ? 则 sin ? ?

| BF ? n | | BF | ? | n |

?

2a 2 ? . ????13 分 4 2a ? 2 2

∴直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为 19. (本小题满分14分) 解: (1)∵ y ? x ,∴ y? ? 3x .
3 2

2 . 4

???14 分

若切点是 Qn (an , an ) , 则切线方程为 y ? an ? 3an ( x ? an ) .
3 2

3

???????1 分

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当 n ? 1 时,切线过点 P 0 (1, 0) ,
3 即: 0 ? a1 ? 3a12 (1 ? a1 ) ,

依题意 a1 ? 0 .所以 a1 ?

3 . 2

???????2 分

当 n ? 1 时,切线过点 P n?1 (an?1 ,0) ,
3 2 即: 0 ? an ? 3an (an?1 ? an ) ,

依题意 an ? 0 ,所以 an ? 所以数列 ?an ? 是首项为 公比为

3 an ?1 (n ? 1) . ??????3 分 2

3 , 2
n

3 ?3? 的等比数列.所以 an ? ? ? . ????4 分 2 ?2?

(2)记 Sn ?

1 2 ? ? a1 a2

?

n ?1 n ? , an ?1 an

因为

1 2 1 , ? ? an 3 an ?1 2 1 2 Sn ? ? ? 3 a2 a3 ? n ?1 n . ? an an ?1
???????5 分

所以

两式相减, 得: Sn ?

1 3

1 1 ? ? a1 a2
2

?

1 n ? an an?1

2 ?2? ? ?? ? ? 3 ?3?
2? ?2? ?1 ? ? ? 3? ?3? ? ? 2 1? 3
n

?2? ? 2? ? ? ? ? n? ? ?3? ? 3?
? ? n ?1 ? ? ? n? 2 ? ? ? ?3?

n

n ?1

n ?1 ? ? 2 ?n ? ?2? ? 2 ?1 ? ? ? ? ? n ? ? . ?3? ? ? ?3? ? ?

???????7 分

∴ Sn ?

?a
i ?1

n

i

i

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n ?1 ? ? 2 ?n ? ?2? ? 6 ?1 ? ? ? ? ? 3n ? ? ?3? ? ? ?3? ? ?

?2? ? 6 ? 2(n ? 3) ? ? . ?3? ? 1? (3)证法 1: an ? ?1 ? ? ? 2?
0 n n

n

???????9 分

1 2?1? ? C ? C ? ? Cn ? ? ? 2 ?2?
1 n

2

?1? ?C ? ? ? 2?
n n

n

n 0 1?1? ? Cn ? Cn ? ? ? 1 ? (n ? 2) . 2 ?2?
???????14 分

证法 2:当 n ? 2 时,

5 2 ?3? 9 a2 ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? .???????10 分 4 2 ?2? 4
假设 n ? k 时,结论成立, 即 ak ? 1 ? 则 ak ?1 ?

2

k , 2

3 3? k ? 1 3 k 1 k k ?1 . ak ? ?1 ? ? ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? 2 2? 2? 2 2 2 2 2 2

即 n ? k ? 1 时.

k ?1 . 2 n 综上, an ? 1 ? 2 ak ?1 ? 1 ?
对 n ? 2, n ? N 都成立. 20. (本小题满分14分) 解: (1)
?

???????13 分

???????14分

NP ? 2NQ,?

∴点 Q 为 PN 的中点, 又

GQ ? NP ? 0 ,
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? GQ ? PN 或 G 点与 Q 点重合.
∴ | PG |?| GN | . ????2 分

又 | GM | ? | GN |?| GM | ? | GP |?| PM |? 4. ∴ 点 G 的轨迹是以 M , N 为焦点的椭圆, 且 a ? 2, c ? 1, ∴ b?

a 2 ? c2 ? 3,? G
x2 y2 ? ? 1. 4 3
????6 分

∴G 的轨迹方程是

(2)解:不存在这样一组正实数, 下面证明: 由题意,若存在这样的一组正实数, 当直线 MN 的斜率存在时,设之为 k , 故直线 MN 的方程为: y ? k ( x ? 1) ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , AB 中点 D( x0 , y0 ) , ????7 分

? x12 y12 ? ?1 ? ? 4 3 则? ,两式相减得: 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? 3 ? 4
( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ? 0 .????9 分 4 3
注意到

y1 ? y2 1 ?? , x1 ? x2 k

x ? x2 ? x0 ? 1 ? ? 2 且? ? y ? y1 ? y2 0 ? ? 2




3x0 1 ? , 4 y0 k



又点 D 在直线 MN 上,

? y0 ? k ( x0 ? 1) ,

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代入② 式得: x0 ? 4 . 因为弦 AB 的中点 D 在⑴ 所给椭圆 C 内, 故 ?2 ? x0 ? 2 , 这与 x0 ? 4 矛盾, 所以所求这组正实数不存在. 当直线 MN 的斜率不存在时, 直线 MN 的方程为 x ? 1 , 则此时 y1 ? y2 , x1 ? x2 ? 2 , 代入① 式得 x1 ? x2 ? 0 , 这与 A, B 是不同两点矛盾.综上,所求的这组正实数不存在. 21. (本小题满分 14 分) 解: (1)根据函数解析式得 ? ????14 分 ????13 分

?x ?1 ? 0 , ?x ?1 ? 1

解得 x ? ?1 且 x ? 0 . 函数 f ( x ) 的定义域是 x x ? R, x ? ?1且x ? 0 . ????3 分

?

?

(2)

f ( x) ?

1 , ( x ? 1) ln( x ? 1)

? f ?( x) ? ?

ln( x ? 1) ? 1 ????????5 分 ( x ? 1) 2 ln 2 ( x ? 1)

由 f ?( x) ? 0 得 ln( x ? 1) ? 1 ? 0.

??1 ? x ? e?1 ? 1.
函数 f ( x ) 的增区间为 (?1, e?1 ?1) . ???????8 分

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