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函数的表示法(学生版)


源于名校,成就所托
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知识精要
(一)解析法
用等式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法,这个等式称为函数的解 析式(或函数 关系式) 。如 s=60t, y ?

x ? 2 ,A=π r2 等。

简单明了,能从解析式了解函数与自变量之间的关系,简单明了,便于理论上的分析 与研究,但 求对应值时需要逐个计算,且有的函数无法用解析式表示。

(二)列表法
用表格形式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法。 从表格中直接找到自变量对应的函数值, 查找方便, 但无法将自变量与函数值的全部 对应值都 列出来,且难以看出规律。

(三)图像法
用图像来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法。 函数与自变量的对应关系、函数的变化情况及趋势能够很直观地显示出来,但从图 像上找自变量与函数的对应值一般只能是近似的,且只能反映出变量间关系的一部分而 不是全体。

(四)三种表示法的相互联系与转化
由函数的解析式画函数的图像,一般分为“列表、描点、连线”三个步骤,通常称 作描点作图法。 同样,函数图像中点的坐标或表格中自变量与函数的对应值,也是函数解析式所表 示的方程的一个解。

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精解名题
例一 暑假后学校食堂采用了凭磁卡刷卡消费的形式,小王 9 月 1 日购买磁卡并充值 80 元, 每天中午在学校用餐,每次花 3.5 元。设小王用餐次数为 x,求当月卡内余额 y(元)与 x 的 函数关系式。已知小王每周在校 5 天,问:之后小王每月充值 80 元是否够用? 解:根据题意,函数关系式为 y=80-3.5x 9 月份在校时间最多 22 天,至月底,卡内余额至少为 y=80-3.5×22=3>0,之后,即使 不计法定假 日,每月在校时间最多 23 天,故每月充值 80 元已经够用。

例二 已知 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=BC=8cm,矩形 MNPQ 的长和宽分别为 9cm 和 2cm, 点 P 和点 A 重合,NP 和 AC 在一条直线上,如图。Rt△ABC 不动,矩形 MNPQ 沿射线 NP 以每 秒 1cm 的速度向右移动。设移动 x(2<x≤8)s 后,矩形 MNPQ 与△ABC 重叠部分的面积为 y cm2,求 y 与 x 之间的函数关系式。 分析与解:有关图形变换问题,通常结合图形进行探索:移动 x s 后,点 P 移动了 x cm。不 难发现,当 x=2 时,QP=AP=2cm,点 Q 在 AB 上(如图 1) ;当 x=8 时,点 P 与 C 重合。故当 2<x≤8 时,两图形重叠部分为直角梯形 APQR(如图 2).作 RS⊥AC 于 S,易得 RQ=SP=x-2, 所以 y=

1 ?x ? x ? 2?? 2 ,即 y=2x-2. 2

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例三 小明晚饭以后外出散步,碰见同学,交谈了一会,返回途中在读报栏前看了一会报。 图中是据此情境画出小明离家距离与时间函数关系的图像,请据此回答下列问题: (1)小明是在什么地方碰到同学的,交谈了多长时间? (2)读报栏大约离家多少距离? (3)小明在哪一段路程中走的最快? 分析与解:函数图像中,平行于 x 轴的部分表示离家的 距离不变,对应于小明两次停留时间。这部分点的纵坐 标表示离家距离,横坐标表示离家时间,故(1)小明在离家 800 米处碰到同学,交谈了大 约 10 分钟时间; (2)读报栏大约离家 400 米; (3)小明在看报之后回家,用 5 分钟行走了 400 米,这段路程中走得最快。

例四 小蕾在过 14 岁生日的时候, 看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重如下表, 你能看出 小蕾各周岁时的体重是如何变化的吗?在哪一段时间内体重增加较快? 周岁 体重 (kg) 1 7.9 2 12.2 3 15.6 4 18.4 5 20.7 6 23.0 7 25.6 8 28.5 9 31.2 10 34.0 11 37.6 12 41.2 13 44.9

解:小蕾平均每年增加 3.08kg,在 3 周岁前增加较快,之后稍减慢,10 周岁以后又增加较 快,年增加体重均超过 3.5kg。

巩固练习
1.选择题 (1)某水库在汛期当水库内贮满水时,泄洪闸会自动打开,到水库内剩下一半水量时停止 排水;当水库再次注满水后,又一次自动将水量排剩一半。假设水库的进水量和排水量都是 匀速的,这一过程中水库的存水量 v 与时间 t 之间函数关系的大致图像是( )

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(2)小张第一次离家到县城上学,假期回家写了一首小诗: “首次离家今日返,父亲早早到车 站,父子见面细端详,双双高兴把家还。 ”若用 y 表示小张和父亲行进中离开家的距离,用 x 表示父亲离家的时间,则与诗意大致吻合的图像是( )

2.一个水池容积为 100m3, 若每小时注水 q m3,注满全池需要 t 小时, 求 q 与 t 的函数关系式, 写出自变量 t 的取值范围。

3.画出函数 y ?

1 2 x ? 3 的图像 2

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4.若点 P(-2,m)是函数 y=-x2+1 与 y=kx+5 图像的公共点,求 m、k 的值。

5.某商场文具部的某种毛笔每支售价 25 元,书法练习本每本售价 5 元。该商场为促销制定 了两种优惠方法。A 种方法:购买一支毛笔赠送一本书法练习本;B 种方法:按购买金额打 九折付款。某校为书法兴趣小组购买这种毛笔 10 支,书法练习本 x(x≥10)本.分别求出两 种优惠方法下实际付款金额 y(元)与 x(本)之间的函数关系式。

6.在同一坐标平面内画出函数 y ?

x 2 ( x ? 0)与y ? ( x ? 0) 的图像。根据图像回答: 2 x

(1)当 x 取何值时,两个函数的值相等? (2)当 x 取何值时,第一个函数的值大于第二个函数的值?

7.小明暑假到黄岗山旅游,导游提醒大家要多带一件衣服,并介绍当地山区气温会随海拔高 度的增加而下降。沿途小明利用随身带的登山表测得以下数据: 海拔高度 ( x m) 气温 y(℃) 400 28.6 500 28.0 600 27.4 700 26.8 ? ?

(1)观察和分析已知数据,探索 y 与 x 之间的函数关系式并验证; (2)如果小明告诉你山顶的气温为 18.1℃,你能求出黄岗山的海拔高度大约是多少吗?

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8.小明早晨从家骑车到学校,先上坡后下坡,行程情况如图所示,若返回时,上、下坡的速 度不变,则小明从学校骑车回家用的时间是多少?

9.“龟兔赛跑” 讲述了这样的故事: 领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟, 骄傲起来, 睡了一觉, 当它醒来时, 发现乌龟快到终点了, 于是急忙追赶, 但为时已晚, 乌龟还是先到达了终点?, 用 s1、s2 分别表示乌龟和兔子所行的路程,t 为时间,则下列图像中与故事相吻合的是( )

10.小刚、爸爸、爷爷同时从家中出发到达同一目的地后立即返回,小刚去时骑自行车,返 回时步行;爷爷去时步行,返回时骑自行车;爸爸往返都步行,三个人步行的速度不等,小 刚与爷爷骑自行车的速度相等, 每个人行走路程与时间的关系分别是下面图形中的一个。 走 完一个往返,小刚用 分,爸爸用 分,爷爷用 分。

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11.某单位为响应政府发出的全民健身的号召,打算在长和宽分别为 20 米和 11 米的矩形大 厅内修建一个面积为 60 平方米的矩形健身房 ABCD, 该健身房的四周墙壁中有两侧沿用大厅 的旧墙壁(如图所示) ,已知装修旧墙壁的费用为 20 元/平方米,新建(含装修)墙壁的费 用为 80 元/平方米。设健身房的高为 3 米,一面旧墙壁 AB 的长为 x 米,修建健身房墙壁的 总投入为 y 元。 (1)求 y 与 x 的函数解析式。 (2)为了合理利用大厅,要求自变量 x 必须满足条件:8≤x≤12.当投入的资金为 4800 元 时,问利用旧墙壁的总长度为多少?

12.某港湾某日受热带风暴影响,其风力变化记录如下表: t(时) T(级) 0 2 4 3.5 8 7 12 9 16 10 20 11 24 8

(1)用横轴表示时间 t,用纵轴表示风力 T,建立直角坐标平面,并在平面内描绘出表中 所对应的各个点,然后用线段从左到右顺次连接; (2)根据图像说明: ①哪段时间里风力持续增强?其持续的时间是几小时?哪个时间风力最强? ②哪段时间里风力明显减弱?其持续的时间是几小时?哪个时间风力最弱?

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13.某市城建部门经过长期市场调查发现,该市年新建商品房面积 P(万平方米)与市场新 房均价 x(千元/平方米)之间存在函数关系 P=25x;年新房销售面积 Q(万平方米)与市场新 房均价 x(千元/平方米)之间的函数关系为 Q ?

120 ? 10 x

(1) 如果年新建商品房的面积与年新房销售面积相等, 求市场新房均价和年新房销售总额; (2)在(1)的基础上,如果市场新房均价上涨 1 千元,那么该市年新房销售总额是增加还 是减少?变 化了多少?

14.某水电站的蓄水池有 2 个进水口,1 个出水口,每个进水口进水量与时间的关系如图甲 所示,出水口出水量与时间的关系如图乙所示。已知某天 0 点到 6 点,进行机组试运行,试 机时至少打开一个水口,且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示,根据图像说明:

(1)进水口单位时间内进水量是多少?出水口单位时间内出水量是多少? (2)求 0 点到 3 点这段时间水池内水量 y 与时间 x 的函数解析式及定义域; (3)求 3 点到 4 点这段时间水池内水量 y 与时间 x 的函数解析式及定义域; 试说明 4 点到 6 点这段时间内进出水口的开放情况。

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