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吉林省实验中学2015年高三第三次模拟考试数学(理)试题


一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1)复数
2i 的共轭复数为 1+i

(A)1+i

(B)1 ? i

(C) ?1+i

(D) ?1 ? i

(2)命题“对任意 x∈R,都有 x2≥0”的否定为 (A)对任意 x∈R,都有 x2<0 (C)存在 x0∈R,使得 x2 0≥0 (B)不存在 x∈R,使得 x2<0 (D)存在 x0∈R,使得 x2 0<0
1 x

(3)已知函数 f ( x) 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? ,则 f (?1) ? (A) ?2 (B)0 (C)1 (D)2

(4)设等比数列?an ? 中,前 n 项和为 Sn ,已知 S3 ? 8 , S6 ? 7 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? (A)
57 8

(B)

55 8

(C)

1 8

(D) ?

1 8

y 1

y= x

3

cos 2 ? 的值为 ? 2) , b ? (1 , cos ? ) ,且 a ? b ,则 sin2 ? ? (5)已知向量 a ? (sin ?,

(A)1

(B)2

(C)

1 2

(D)3
O

, 0≤y≤ 1? ,向区域内随机投 (6)如图,设区域 D ? ?( x,y) | 0≤x≤1

1

x

一点,且投入到区域内任一点都是等可能的,则点落到阴影区域 M ? ?( x,y) | 0≤x≤ 1 , 0≤y≤x3? 内的概率是 (A)
1 4

(B)

1 3

(C)

2 5

(D)

2 7

(7)设?,?,? 为平面, m ,n 为直线,则 m ? ? 的一个充分条件是 (A)? ? ?,? ? =n,m ? n (C)? ? ?,? ? ?,m ? ? (B)? ? =m,? ? ?,? ? ? (D) n ? ?,n ? ?,m ? ?

(8)过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于 P,Q 两点,若线段 PQ 中点的 横坐标为 3,|PQ|=10,则抛物线方程是 (A)y2=4x (B) y2=2x (C) y2=8x (D)y2=6x

(9)已知两个实数 a,b(a ? b) ,满足 aea ? beb .
1) ? 0 ,则下列命题正确的是 命题 p :ln a ?a ?ln b ?b ;命题 q :(a ?1)( b ?

(A)p 真 q 假

(B)p 假 q 真

(C)p 真 q 真

(D)p 假 q 假

第 1 页

(10)已知 E, F 分别是矩形 ABCD 的边 BC 与 AD 的中点,且 BC ? 2 AB ? 2 ,现沿 EF 将平面 ABEF 折起,使平面
ABEF ⊥平面 EFDC ,则三棱锥 A ? FEC 外接球的体积为

(A)

3 ? 3

(B)

3 ? 2

(C) 3?
? ?

(D) 2 3?

(11)若函数 f ( x) ? cos 2 x ? a sin x 在区间 ( , ) 是减函数,则的取值范围是
6 2

(A) ? 2, 4 ? (12)设双曲线

(B) ? ??, 2?

(C) ? ??, 4?

(D)? 4, ?? ?

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? 0,b ? 0? 的右焦点为 F,过点 F 作 x 轴的垂线 l 交两条渐近线于 A、B 两点,l 与双 a 2 b2

曲线的一个交点为 P,设 O 为坐标原点,若 OP ? mOA ? nOB
2 ? m,n ? R ? ,且 mn ? ,则该双曲线的离心率为 9

(A)

3 2 2

(B)

3 5 5

(C)

3 2 4

(D) 第Ⅱ卷

8 9

本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)盒子中装有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为 偶数的概率是_______(结果用最简分数表示) . (14)在 x(1+x)6 的展开式中,含 x3 项的系数为 (结果用数字表示) .

(15)已知函数 f (x)=|x-3|+1,g (x)=ax.若方程 f (x)=g (x)有两个不相等的实根,则实数的取值范围 是 .
S1 S S , 2 ,? , n ( n ? N ? , n ? 18)中最 a1 an a2

(16)设等差数列{an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 S17 ? 0 , S18 ? 0 ,则 大的项是 .

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? a ? b ,其中 a ? (2cos x , ? 3sin2 ) x , b ? (cos x,1) , x ? R . (Ⅰ)求 f ( x) 的单调递减区间; (Ⅱ)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, f ( A) ? ?1 , a ? 7 ,且向量 m ? (3,sin B) 与 n ? (2,sin C ) 共线,求边长 b 和 c 的值.
第 2 页

(18) (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥底面 ABCD,PA

P

F

=AB=1,AD= 3 ,点 F 是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移动. (Ⅰ)证明:无论点 E 在边 BC 的何处,都有 PE⊥AF; (Ⅱ)当 BE 为何值时,PA 与平面 PDE 所成角的大小是 45°? (19) (本小题满分 12 分) 现有 6 名学生,按下列要求回答问题(列出算式,并计算出结果) : (Ⅰ)6 人站成一排,甲站在乙的前面(甲、乙可以不相邻)的不同站法种数; (Ⅱ)6 人站成一排,甲、乙相邻,且丙与乙不相邻的不同站法种数; (Ⅲ)把这 6 名学生全部分到 4 个不同的班级,每个班级至少 1 人的不同分配方法种数; (Ⅳ)6 人站成一排,求在甲、乙相邻条件下,丙、丁不相邻的概率 . .. (20) (本小题满分 12 分) 如图所示,抛物线 C 1 :x2 =4 y 在点 A ,B 处的切线垂直相交于点 P,直线 AB 与椭圆 C2:
x2 y 2 ? ? 1 相交于 C,D 两点. 4 2
D A E C B

(Ⅰ)求抛物线 C1 的焦点 F 与椭圆 C2 的左焦点 F1 的距离; (Ⅱ)设点 P 到直线 AB 的距离为 d,是否存在直线 AB,使得|AB|,d,|CD|成等比数列?若存在,求出直线 AB 的 方程;若不存在,请说明理由.
y D A C
O

B x

P

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? x . (Ⅰ)求 f ( x) 的最大值; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? ax2 (a≥0) ,l 是曲线 y ? g ( x) 的一条切线,证明:曲线 y ? g ( x) 上的任意一点都不可能在直线l 的上方; (Ⅲ)求证: (1 ?
2 4 8 ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) 2?3 3? 5 5?9 [1 ? 2n ] ? e (其中 e 为自然 (2n ?1 ? 1)(2n ? 1)

对数的底数,n∈N*) .

第 3 页

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知△ABC 中, AB ? AC ,D 为△ABC 外接圆劣弧 AC 上的点(不与点 A、C 重合) ,延长 BD 至 E,延长 AD 交 BC 的延长线于 F. (Ⅰ)求证: ?CDF ? ?EDF ; (Ⅱ)求证: AB ? AC ? DF ? AD ? FC ? FB .
B C F A E

D

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 ?
s ?x ? t c o ? (t为参数,0≤α <π ) . n ?y ?1? t s i?

以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C的极坐标方程为: ρ cos2θ =4sinθ . (Ⅰ)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线l与曲线C交于不同的两点A、B,若|AB|=8,求α 的值.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | ,a ? R . (Ⅰ)当 a ? 4 时,求不等式 f ( x)≥5 的解集;
4 对任意 x ? R 恒成立,求 a 的取值范围. (Ⅱ)若 f ( x)≥

第 4 页

?? ?? ? ? 7 ? ? (Ⅱ)∵ f ? A? ? 1 ? 2 cos ? , ? 2 A ? ? ? ?1 ,∴ cos ? 2 A ? ? ? ?1 ,又 ? 2 A ? ?
? 3? ? 3?

3

3

3

∴2A ?

?
3

? ? ,即 A ?

?
3



∵ a ? 7 ,由余弦定理得 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? ?b ? c ?2 ? 3bc ? 7 . 因为向量 m ? (3,sin B) 与 n ? (2,sin C ) 共线,所以 2sin B ? 3sin C , 由正弦定理得 2b ? 3c ,∴ b ? 3, c ? 2 . (18)解: (Ⅰ)建立如图所示空间直角坐标系,则 P(0,0,1), B(0,1,0), F (0, , ), D( 3,0,0) . 设 BE ? x ,则 E ( x,1,0) ,所以 PE ? AF ? ( x,1, ?1) ? (0, , ) ? 0 ,即无论点 E 在边 BC 的何处,都有 AF ? PE . (Ⅱ)设 BE ? x ,平面 PDE 的法向量为 m ? ( p, q,1) ,由 ? ?
?m ? PD ? 0 ? ?m ? PE ? 0
1 1 2 2 1 1 2 2

得m ? (

1 3

,1 ?

x 3

,1)

而 AP ? (0,0,1) , 依题意得 PA 与平面 PDE 所成的角为 45°, 所以 sin 45? ?

2 m ? AP 1 1 ? , 即 , ? 2 m AP 1 x 2 2 ? (1 ? ) 3 3 z

解得 BE ? x ? 3 ? 2 或 BE ? x ? 3 ? 2 (舍)

P

F

A D x
第 5 页

B y E C

(19)解: (Ⅰ) A6 6 ? 360
2 1 (Ⅱ) A4 4 ? A2 ? C4 ? 192
2 2 1 1 1 1 C6 ? C4 ? C1 C3 4 2 ? C1 6 ? C3 ? C2 ? C1 ? A ? ? A4 4 4 ? 1560 2 3 A2 ? A A 2 2 3 3 2 A2 3 4 ? A3 ? A 2 ? 5 A2 ? A 5 2 5

1 2

(Ⅲ)

(Ⅳ) P ?

2k2+2 于是点 P(2k,-1)到直线 AB:kx-y+1=0 的距离 d= =2 1+k2. 1+k2

?y=kx+1, 由?x y ? 4 +2 =1,
2 2 2

得(1+2k2)x2+4kx-2=0,

(4 k ) 从而|CD|= 1+k 1 ? 2k 2

(4k)2-4(1+2k2)·(-2) = 1+k2 2 1+2k

8(1+4k2) , 1+2k2

同理,|AB|=4(1+k2) . 若|AB|,d,|CD|成等比数列,则 d2=|AB|·|CD|,即(2 1+k2)2=4(1+k2)· 1+k2
4 2

8(1+4k2) , 1+2k2

化简整理,得 28k +36k +7=0,此方程无实根,所以不存在直线 AB,使得|AB|,d,|CD|成等比数列.

第 6 页

(21)解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (?1, ?? ) , f ?( x) ?
1 x ,令 f ?( x) ?0 ,得 x ? 0 . ?1 ? ? x ?1 x ?1

当 ?1 ? x ? 0 时, f ?( x) ?0 ,∴ f ( x) 在 (?1,0) 上是增函数, 当 x ? 0 时, f ?( x) ?0 ,∴ f ( x) 在 (0, ??) 上是减函数, 故 f ( x) 在 x ? 0 处取得最大值 f ( x) ? 0 . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 g ( x) ? ln( x ? 1) ? ax2 ? x(a≥0) , 设 M ( x0 , g ( x0 )) 是曲线 g ( x) 上的一点, 则 y ? g ( x) 在点 M 处的切线方程为 y ? g ( x0 ) ? g ?( x0 )( x ? x0 ) , 即y ?(
1 ? 2ax0 ? 1)( x ? x0 ) ? f ( x0 ) , x0 ? 1
1 ? 2ax0 ? 1)( x ? x0 ) ? f ( x0 )] x0 ? 1

令 h( x) ? g ( x) ? [(

则 h?( x) ?

1 1 ? 2ax ? 1 ? ( ? 2ax0 ? 1) , x ?1 x0 ? 1

∵ h?( x0 ) ? 0 , h?( x) 在 (?1, ?? ) 上是减函数,
0 恒成立, ∴ h( x) 在 x ? x0 处取得最大值 h( x0 ) ? 0 ,即 h( x)≤

故曲线 y ? g ( x) 上的任意一点不可能在直线 l 的上方. (Ⅲ)由(Ⅰ)知 ln( x ? 1)≤x 在 (?1, ?? ) 上恒成立,当且仅当 x ? 0 时,等号成立, 故当 x ? ?1 且 x ? 0 时,有 ln( x ? 1) ? x , 又因为
2n 1 1 ? 2( n ?1 ? ) ,所以 ? 1)(2n ? 1) 2 ? 1 2n ? 1 [1 ? 2n ]} ? 1)(2n ? 1) ? ln[1 ? 2n ] (2n ?1 ? 1)(2n ? 1)

(2

n ?1

ln{(1 ?

2 4 8 )(1 ? )(1 ? ) 2?3 3? 5 5?9

(2

n ?1

? ln(1 ?

2 4 8 ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? )? 2?3 3? 5 5?9 ? 2n (2n ?1 ? 1)(2 n ? 1)

?

2 4 8 ? ? ? 2 ? 3 3? 5 5? 9

1 1 1 1 1 1 ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 2 3 3 5 5 9 1 1 2 ? 2( ? n ) ? 1 ? n ?1 2 2 ?1 2 ?1

?(

1 1 ? )] 2n?1 ? 1 2n ? 1

第 7 页

所以 (1 ?

2 4 8 )(1 ? )(1 ? ) ? [1? ? 2 ?3 3 ?5 5 ? 9 (2

n ?1

2n 1)(2 ?

n

] 1) ?

?e.



| AB |?| t1 ? t2 |? (

4sin ? 2 ?4 ) ? 4? ? 8, 2 cos ? cos 2 ?

∴ cos ? ? ? (24)解:

? 3? 2 ,则? ? 或 . 4 4 2

(Ⅰ)当 a ? 4 时,不等式 f ( x)≥5 为| x ? 1| ? | x ? 4 | ≥5 , 所以 ?
?x ? 1 ?1≤x≤4 ? x ? 4 或? 或? ,解得 x≤0 或 x≥5 , 5 ? ?2 x ? 5≥ ?3≥5 ?2 x ? 5≥5

故不等式 f ( x)≥5 的解集为{x|x≤0,或 x≥5}. (Ⅱ)因为 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | ≥ | ( x ? 1) ? ( x ? a) |?| a ? 1| (当 x ? 1 时等号成立) , 所以 f (x) min ? |a ? 1| ,由题意得| a ? 1| ≥4 ,解得 a≤ ? 3 或 a≥5 .

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