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10.6 圆锥曲线综合


第六节 考纲解读 圆锥曲线综合 1.掌握与圆锥曲线有关的最值、定值和参数范围问题. 2.会处理动曲线(含直线)过定点的问题. 3.会证明与曲线上的动点有关的定值问题. 4.会按条件建立目标函数, 研究变量的最值及取值范围问题, 注意运用数形结合法和几何法 求某些量的最值. 命题趋势研究 从内容上看,预测 2015 年高考主要考查两大类问题:一是根据条件,求出表示平面曲 线的方程;二是通过方程,研究平面曲线的性质,其热点有:①以客观题的形式考查圆锥曲 线的基本概念和性质;②求平面曲线的方程和轨迹;③圆锥曲线的有关元素计算、关系证明 或范围确定;④涉及圆锥曲线对称变换、最值或位置关系的有关问题. 从形式上看,以解答题为主,难度较大. 从能力要求上看,要求学生具备一定的数形结合、分析问题和解决问题及运算能力. 知识点精讲 一、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量— 函数—定值” ,具体操作程序如下: (1)变量----选择适当的量为变量. (2)函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数. (3)定值----化简得到的函数解析式,消去变量得到定值. 求定值问题常见的方法有两种: (1)从特殊情况入手,求出定值,再证明该定值与变量无关; (2)直接推理、计算,并在计算推理过程中消去变量,从而得到定值. 二、求最值问题常用的两种方法 (1)几何法:题中给出的条件有明显的几何特征,则考虑用几何图形性质来解决,这是 几何法. (2)代数法:题中给出的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标函数,再求该 函数的最值.求函数的最值常见的方法有基本不等式法、 单调性法、 导数法和三角换元法等, 这就是代数法. 三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视” (1)重视定义在解题中的作用(把定义作为解题的着眼点). (2)重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用. (3)重视根与系数的关系在解题中的作用(涉及弦长、中点要用根与系数的关系). 四、求参数的取值范围 据已知条件及题目要求等量或不等量关系,再求参数的范围. 题型归纳及思路提示 题型 150 平面向量在解析几何中的应用 思路提示 解决平面向量在解析几何中的应用要把几何特征转化为向量关系, 并把向量用坐标表示. 常见的应用有如下两个方面. b ? 0 ,钝角 ? a? b ? 0 (且 a, b 不反向), (1) 用向量的数量积解决有关角的问题.直角 ? a? 1 ?? ?? ? ? 锐角 ? a? b ? 0 (且 a, b 不同向). (2)利用向量的坐标表示解决共线问题. 一、利用向量的数量积解决有关夹角(锐角、直角、钝角)的问题 其步骤是:先写出向量坐标式,再用向量数量积的坐标公式 ?? ? ? ? ? cos ? a, b ?? x1 x2 ? y1 y2 2 2 x12 ? y12 x2 ? y2 例 10.44 过抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点 F 作直线交抛物线于 A,B 两点,O 为坐标原点. 求证:△ABO 的是钝角三角形. 分析 证明△ABO 的是钝角三角形常用的方法是利用余弦定理, 但用余弦定理来解决需计算 出 OB , OA , AB 的长, 显然较复杂.因为 O,A,B 不共线, 故可利用 OA? OB ? 0 来证明∠AOB >90°,从而得证. 解析 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,抛物线 x ? 2 py( p ? 0)