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【数学】2014版《6年高考4年模拟》:第四章 三角函数及三角恒等变换 第一节


【数学】2013 版《6 年高考 4 年模拟》 第四章 第一节 三角函数及三角恒等变换

三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式 第一部分 六年高考荟萃

2013 年高考题
1 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 浙 江 数 学 ( 理 ) 试 题 ( 纯 WORD 版 ) ) 已 知

? ? R, sin ? ? 2 cos? ?
A.

10 ,则 tan 2? ? 2
C. ?

4 3

B.

3 4
2

3 4

D. ?

4 3

答案:C 因为 ,又 sin α+cos α=1,
2

联立解得

,或

故 tanα=

=

,或 tanα=3,

代入可得 tan2α=

=

=﹣ ,

或 tan2α=

=

=

故选 C

2. (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案)) 4cos50 ? tan 40 ?
0 0

(

) B.

A. 2

2? 3 2

C. 3

D. 2 2 ?1

答案:C 【命题立意】本题考查两角和差的正弦公式以及倍角公式。

4 cos 500 ? tan 400 ? 4 cos 500 ?

sin 400 cos 400

?

4cos 500 cos 400 ? sin 400 4sin 400 cos 400 ? sin 400 ? cos 400 cos 400 2sin 800 ? sin 400 2sin(600 ? 200 ) ? sin(600 ? 200 ) ? cos 400 cos 400

?

3 3 cos 200 ? sin 200 2sin(60 ? 20 ) ? sin(60 ? 20 ) 2 ? ? 2 0 cos 40 cos 400
0 0 0 0

3 cos 400 ? ? 3 ,选 C. cos 400
3.(2013 年高考新课标 1(理))设当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2cos x 取得最大值,则

cos ? ? ______
答案: ?

2 5 . 5
( sinx﹣ cosx)= sin(x﹣α) (其中 cosα= ,sinα= ) ,

f(x)=sinx﹣2cosx=

因为 x=θ 时,函数 f(x)取得最大值, 所以 sin(θ﹣α)=1,即 sinθ﹣2cosθ= , 又 sin θ+cos θ=1,联立解得 cosθ=﹣
2 2



4. (2013 年高考四川卷 (理) ) 设 sin 2? ? ? sin ? , ? ? (

?
2

, ? ) ,则 tan 2? 的值是_________.

答案: 3 因为 sin2α=2sinαcosα=﹣sinα,α∈( 所以 cosα=﹣ ,sinα= 所以 tanα=﹣ 则 tan2α= , = = . = ,π) , ,

5 . ( 2013 年高考 上海卷(理 )) 若 cos x cos y ? sin x sin y ?

1 2 ,sin 2 x ? sin 2 y ? , 则 2 3

sin( x ? y) ? ________
答案: sin( x ? y ) ?

2 . 3

【解答】cos( x ? y ) ?

1 2 2 sin 2 x ? sin 2 y ? 2sin( x ? y ) cos( x ? y ) ? , n i( x ? )y ? . , 故s 2 3 3

6. (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对))已知 ? 是

第三象限角, sin a ? ? ,则 cot a ? ____________. 答案: 2 2 由 α 是第三象限的角,得到 cosα<0, 又 sinα=﹣ ,所以 cosα=﹣ 则 cotα= =2 =﹣

1 3

7.(2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理)(纯 WORD 版含答案))设 ? 为

第二象限角,若 tan(? ? 答案: ?

?

4

)?

1 ,则 sin ? ? cos ? ? ________. 2

10 5
)= = ,所以 tanθ=﹣ , =﹣ ,sinθ= = ,

因为 tan(θ+

因为 θ 为第二象限角,所以 cosθ=﹣

则 sinθ+cosθ=



=﹣



2012 年高考题
1.[2012· 湖北卷] 函数 f(x)=xcosx2 在区间[0,4]上的零点个数为( A.4 B.5C.6 D.7 答案: C )

π ? [解析] 令 f(x)=0, 得 x=0 或 cosx2=0, 由 x∈[0,4], 得 x2∈[0,16].因为 cos? ?2+kπ?

π 3π 5π 7π 9π =0(k∈Z),故方程 cosx2=0 中 x2 的解只能取 x2= , , , , ∈[0,16].所以零点个 2 2 2 2 2 数为 6.故选 C. 2.[2012· 辽宁卷] 已知 sinα-cosα= 2,α∈(0,π),则 tanα=( A.-1 B.- 答案:A 2 2 C. 2 2 D.1 )

[解析] 本小题主要考查同角三角函数基本关系的应用.解题的突破口为灵活应用 同角三角函数基本关系.∵sinα-cosα= 2? (sinα-cosα)2=2? 1-2sinαcosα=2? sinαcosα 1 sinαcosα 1 tanα 1 =- ? 2 =- ? tanα=-1.故答案选 A. 2 =- ? 2 2 sin α+cos α 2 tan α+1 2 C5 两角和与差的正弦、余弦、正切

3.[2012· 重庆卷] 设 tanα,tanβ 是方程 x2-3x+2=0 的两根,则 tan(α+β)的值为( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 答案: A [解析] 因为 tanα, tanβ 是方程 x2-3x+2=0 的两根, 所以 tanα+tanβ=3, tanα· tanβ tanα+tanβ 3 =2,所以 tan(α+β)= = =-3. 1-tanαtanβ 1-2 → 4.[2012· 安徽卷] 在平面直角坐标系中,点 O(0,0),P(6,8),将向量OP绕点 O 按逆时针方向 3π → 旋转 后得向量OQ,则点 Q 的坐标是( 4 )

A.(-7 2,- 2) B.(-7 2, 2) C.(-4 6,-2) D.(-4 6,2) 答案:A [解析] 本题考查三角函数的和角公式,点的坐标. 3 4 → 设∠POx=α,因为 P(6,8),所以OP=(10cosα,10sinα)?cosα= ,sinα= , 5 5 → ?θ+3π?,10cos?θ+3π??=(-7 2,- 2).故答案为 A. 则OQ=? 10cos 4? 4 ?? ? ? ? 5.[2012· 全国卷] 已知 α 为第二象限角,sinα+cosα= A.- 5 3 B.- 5 9 C. 5 5 D. 9 3 3 ,则 cos2α=( 3 )

答案:A [解析] 本小题主要考查三角函数中和角公式与二倍角公式的运用,解题的突破口 为原式两边平方后转化为二倍角结构及任何情况下均要考虑“符号看象限”. 由 sinα+cosα= 3 π 3π 3π 及 α 为第二象限角有 2kπ+ <α<2kπ+ (k∈Z),∴4kπ+π<2α<4kπ+ 3 2 4 2

2 5 (k∈Z).原式两边平方得 2sinαcosα=sin2α=- ,∴cos2α=- ,故选 A. 3 3 π π? 3 7 6.[2012· 山东卷] 若 θ∈? ?4,2?,sin2θ= 8 ,则 sinθ=( π π? 3 7 法一:∵θ∈? ?4,2?,sin2θ= 8 ,∴cos2θ=- 3 )A. 5 4 B. 5 C. 7 3 D. 4 4

答案:D [解析] 本题考查三角函数的二倍角公式,考查运算求解能力,中档题. 3 3 7?2 1-? =1-2sin2θ,解之得 sinθ= . 4 8 ? ?

? ?2sinθcosθ=3 7, 8 法二:联立? 2 2 ? ?sin θ+cos θ=1,

3 解之得 sinθ= . 4

π? 7.[2012· 湖南卷] 函数 f(x)=sinx-cos? ?x+6?的值域为( A.[-2,2] B.[- 3, 3] C.[-1,1] D.?-

)

?

3 3? , 2 2?

答案:B [解析] 考查三角函数化简求值,关键是三角函数的化简,三角公式的识记. π? 3 3 ? π? 所以函数 f(x)=sinx-cos?x+π?的 函数 f(x)=sinx-cos? ?x+6?=2sinx- 2 cosx= 3sin?x-6?, ? 6? 值域为[- 3, 3],故选 B. 1 8.[2012· 江西卷] 若 tanθ+ =4,则 sin2θ=( tanθ 1 1 )A. B. 5 4 1 C. 3 1 D. 2

答案:D [解析] 考查同角三角函数的关系、二倍角公式,以及“1”的代换及弦切互化等方 法.解题的突破口是通过“1”的代换,将整式转化为齐次分式,再通过同除以 cosθ 达到化切 tan2θ+1 1 2sinθcosθ 2tanθ 2 1 目的.∵ tanθ+ = =4,∴ sin2θ=2sinθcosθ= 2 = = ,故选 2 = 2 tanθ tanθ sin θ+cos θ tan θ+1 4 2 D. 9.[2012· 重庆卷] 设 tanα,tanβ 是方程 x2-3x+2=0 的两根,则 tan(α+β)的值为( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 答案: A [解析] 因为 tanα, tanβ 是方程 x2-3x+2=0 的两根, 所以 tanα+tanβ=3, tanα· tanβ tanα+tanβ 3 =2,所以 tan(α+β)= = =-3. 1-tanαtanβ 1-2 3 5 10.[2012· 重庆卷] 设△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a、b、c,且 cosA= ,cosB= , 5 13 b=3,则 c=________. 14 答案: 5 3 5 4 12 [解析] 因为 cosA= ,cosB= ,所以 sinA= ,sinB= ,因为 sinC=sin[180° 5 13 5 13

4 5 3 12 56 c b -(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= × + × = ,由正弦定理知 = , 5 13 5 13 65 sinC sinB c 3 14 即 = ,解得 c= . 56 12 5 65 13 11.[2012· 四川卷] 如图所示,正方形 ABCD 的边长为 1,延长 BA 至 E, 使 AE=1,连结 EC、ED,则 sin∠ CED=( ) 3 10 10 A. B. 10 10 C. 5 5 D. 10 15

答案:B [解析] 法一:由已知,∠ CED=∠ BED-∠ BEC=45° -∠ BEC, 1 1- 2 1 1 而结合图形可知 tan∠ BEC= ,∴ tan∠ CED=tan(45° -∠ BEC)= = , 2 1 3 1+ 2 ∴ sin∠ CED= 10 . 10

法二:由已知,利用勾股定理可得 DE= 2,CE= 5,又 CD=1, 2+5-1 3 10 10 利用余弦定理得:cos∠ CED= = ,∴ sin∠ CED= . 10 10 2× 2× 5 1 1 法三:同法二,得 DE= 2,CE= 5,又 CD=1,有 S△ CED= CD· AD= , 2 2 1 10 10 又 S△ CED= CE· EDsin∠ CED= sin∠ CED,对比得 sin∠ CED= . 2 2 10 12.[2012· 上海卷] 在△ ABC 中,若 sin2A+sin2B<sin2C,则△ ABC 的形状是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 答案:C [解析] 考查正弦定理和判断三角形的形状,考查考生的转化思想,关键是利用正 弦定理,把角转化边,再利用边之间的关系,判断三角形的形状.由正弦定理可把不等式转 a2+b2-c2 化为 a2+b2<c2,cosC= <0,所以三角形为钝角三角形.故选 C. 2ab

→ → 13.[2012· 湖南卷] 在△ ABC 中,AB=2,AC=3,AB· BC=1,则 BC=(

)

A. 3 B. 7 C.2 2 D. 23 答案:A [解析] 考查向量的数量积运算和解三角形,主要是余弦定理的运用,是此题的关 → → 键.由AB· BC=1 可得 2|BC|cos(180° -B)=1,即 2|BC|cosB=-1,又由三角形的余弦定理可 得 32=|BC|2+22-2× 2|BC|cosB, 把 2|BC|cosB=-1 代入, 解得 9=|BC|2+4+2, 即|BC|= 3, 故选 A. 14.[2012· 陕西卷] 在△ ABC 中,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 a2+b2=2c2,则 cosC 的最小值为( )A. 3 2 B. 2 2 1 1 C. D.- 2 2

答案:C [解析] 本小题主要考查余弦定理和不等式的知识,解题的突破口为利用余弦定理 a2+b2-c2 a2+b2 2ab 1 写出 cosC 的表达式,然后用基本不等式去计算即可.cosC= = ≥ = .故 2ab 4ab 4ab 2 选 C. 15.[2012· 天津卷] 在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 8b=5c,C=2B, 则 cosC=( 答案:A 7 7 )A. B.- 25 25 7 C.± 25 24 D. 25

[解析] 本题考查三角函数的倍角公式及正弦、余弦定理,考查运算求解能力,中

4? 4 档题.由正弦定理得 8sinB=5sinC,∵ C=2B,∴ cosB= ,∴ cosC=cos2B=2cos2B-1=2? ?5? 5
2

7 -1= . 25

π 4 π α+ ?= ,则 sin?2α+ ?的值为________. 16.[2012· 江苏卷] 设 α 为锐角,若 cos? 6 12 ? ? 5 ? ? 17 2 答案: 50 [解析] 本题考查三角函数求值问题.解题突破口为寻找已知角和所求角之间

π? 3 16 7 ? ? π?? 24 ? ? π?? 的整体关系. 由条件得 sin? ?α+6?=5,从而 sin?2?α+6??=25,cos?2?α+6??=2×25-1=25, π? π π? 24 2 7 2 17 2 ? 从而 sin? ?2α+12?=sin?2α+3-4?=25× 2 -25× 2 = 50 . 1 17.[2012· 北京卷] 在△ ABC 中,若 a=2,b+c=7,cosB=- ,则 b=________. 4 答案:4
2

[解析] 本题考查余弦定理和解三角形等基础知识,考查对数据的运算能力.

a +c2-b2 4+c-bc+b 1 1 4+ c-b cosB= =- ,可得 cosB= =- , =-1,8c-7b+4=0,结 2ac 4 4c 4 c a=2, ? ? 合 b+c=7,可得?b=4, ? ?c=3,

答案为 4.

18.[2012· 湖北卷] 设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c) =ab,则角 C=________. 2π 答案: [解析] 由已知条件(a+b-c)(a+b+c)=ab, 化简得 a2+b2-c2=-ab, 所以 cosC 3

a2+b2-c2 -ab 1 2π (0,π),所以 C= 3 . = = =- .又 C 是三角形的内角,则 C∈ 2ab 2ab 2 → → 19.[2012· 浙江卷] 在△ ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB· AC=________. 答案:-16 [解析] 本题主要考查平面几何的性质、平面向量的线性运算与数量积. → → → → → → → → → → → → →2 法一:AB· AC=(MB-MA)· (MC-MA)=MB· MC-MB· MA-MA· MC+MA =5× 5× cos180° - 5× 3× cos∠ BMA-3× 5× cos∠ AMC+32=-16,故应填-16. 法二:特例法:假设△ ABC 是以 AB、AC 为腰的等腰三角形,如图,

34+34-100 8 → → → → AM=3, BC=10, AB=AC= 34, cos∠ BAC= =- , AB· AC=|AB|· |AC|· cos∠ BAC 2× 34 17 =-16. [点评] 对平面向量进行正确的线性分解是解决本题的关键,同时注意向量的夹角之间的关 20.[2012· 安徽卷] 设△ ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,则下列命题正确的 是________(写出所有正确命题的编号). π π π ① 若 ab>c2,则 C< ;② 若 a+b>2c,则 C< ;③ 若 a3+b3=c3,则 C< ; 3 3 2 π π ④ 若(a+b)c<2ab,则 C> ;⑤ 若(a2+b2)c2<2a2b2,则 C> . 2 3 答案:① ② ③ [解析] 本题考查命题真假的判断,正、余弦定理,不等式的性质,基本不等 a2+b2 b a 1 式等.对于① ,由 c2=a2+b2-2abcosC<ab 得 2cosC+1> = + ≥2,则 cosC> ,因为 ab a b 2 π 0<C<π ,所 以 C< ,故 ①正确 ;对于 ②, 由 4c2 = 4a2 + 4b2 - 8abcosC<a2 + b2 + 2ab 得 3 a b? 1 π 2 2 ab(8cosC+2)>3(a +b )即 8cosC+2>3? ?b+a?≥6,则 cosC>2,因为 0<C<π,所以 C<3,故② a?3 ?b?3 a b ?a?3+?b?3<?a? 正确;对于③ ,a3+b3=c3 可变为? + = 1 ,可得 0< <1,0< <1 ,所以 1 = ? c? ? c? ? c? ? c? ? c? c c
2

b?2 π 1 1 1 2 2 2 2 +? 正确;对于④ ,(a+b)c<2ab 可变为 2× > + ≥ , ? c? ,所以 c <a +b ,故 C<2,故③ c a b ab

π (a2+b2)c2<2a2b2 可得 ab>c, 所以 ab>c2, 因为 a2+b2≥2ab>ab>c2, 所以 C< , ④ 错误; 对于⑤ , 2 a2+b2 2 a +b 1 1 2 1 1 1 π 可变为 2+ 2< 2, 即 2> , 所以 c2<ab≤ , 所以 cosC> ≥ , 所以 C< , 故⑤ 错误. 故 a b c c ab 2 2ab 2 3
2 2

答案为① ② ③ . 21.[2012· 福建卷 ] 已知 △ ABC 的三边长成公比为 2 的等比数列,则其最大角的余弦值为 ________.

答案: -

2 2 [解析] 根据题意设三角形的三边分别是: a、 a、 2a, 最大角所对的边是 2 4 2

2 a2+? a?2- 2a2 ?2 ? 2 a,根据大边对大角定理结合余弦定理得:cosα= =- ,所以最大角的 4 2 2× a× a 2 余弦值是- 2 . 4

22.[2012· 福建卷] 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: 2 (1)sin 13° +cos217° -sin13° cos17° ;(2)sin215° +cos215° -sin15° cos15° ; (3)sin218° +cos212° -sin18° cos12° ;(4)sin2(-18° )+cos248° -sin(-18° )cos48° ; 2 2 (5)sin (-25° )+cos 55° -sin(-25° )cos55° .(1)请从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 解:解法一: 1 1 3 (1)选择(2)式,计算如下:sin215° +cos215° -sin15° cos15° =1- sin30° =1- = . 2 4 4 3 (2)三角恒等式为 sin2α+cos2(30° -α)-sinαcos(30° -α)= . 4 证 明 如 下 : sin2α + cos2(30° - α) - sinαcos(30° - α) = sin2α + (cos30° cosα + sin30° sinα)2 - 3 3 1 3 1 sinα(cos30° cosα+sin30° sinα)=sin2α+ cos2α+ sinαcosα+ sin2α- sinαcosα- sin2α 4 2 4 2 2 3 3 3 = sin2α+ cos2α= . 4 4 4 解法二: (1)同解法一. 3 (2)三角恒等式为 sin2α+cos2(30° -α)-sinαcos(30° -α)= . 4 证明如下: sin2α + cos2(30°- α) - sinαcos(30°- α) = 1-cos2α 1+cos60° -2α + - sinα(cos30° cosα + 2 2

1 1 1 1 3 1 sin30° sinα)= - cos2α+ + (cos60° cos2α+sin60° sin2α)- sinαcosα- sin2α 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 3 = - cos2α+ + cos2α+ sin2α- sin2α- (1-cos2α)=1- cos2α- + cos2α= . 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 π? 23.[2012· 重庆卷] 设 f(x)=4cos? ?ωx-6?sinωx-cos(2ωx+π),其中 ω>0. 3π π? (1)求函数 y=f(x)的值域;(2)若 f(x)在区间? ?- 2 ,2?上为增函数,求 ω 的最大值. 解: (1)f(x)=4? 3 1 ?sinωx+cos2ωx=2 3sinωxcosωx+2sin2ωx+cos2ωx-sin2ωx ? 2 cosωx+2sinωx?

= 3sin2ωx+1.因-1≤sin2ωx≤1,所以函数 y=f(x)的值域为[1- 3,1+ 3]. π π? (2)因 y=sinx 在每个闭区间? ?2kπ-2,2kπ+2?(k∈Z)上为增函数,故 f(x)= 3sin2ωx+1(ω>

kπ π kπ π ? 0)在每个闭区间? ? ω -4ω, ω +4ω?(k∈Z)上为增函数. 3π π kπ π kπ π - , ??? - , + ?对某个 k∈ 依题意知? Z 成立,此时必有 k=0,于是 ? 2 2? ? ω 4ω ω 4ω?

?- 2 ≥-4ω, ?π π ?2≤4ω,



π

1 1 解得 ω≤ ,故 ω 的最大值为 . 6 6

24.[2012· 课标全国卷] 已知 a, b, c 分别为△ ABC 三个内角 A, B, C 的对边, acosC+ 3asinC -b-c=0.(1)求 A;(2)若 a=2,△ ABC 的面积为 3,求 b,c. 解:(1)由 acosC+ 3asinC-b-c=0 及正弦定理得 sinAcosC+ 3sinAsinC-sinB-sinC=0. 因为 B=π-A-C,所以 3sinAsinC-cosAsinC-sinC=0. π 1 π A- ?= .又 0<A<π,故 A= . 由于 sinC≠0,所以 sin? ? 6? 2 3 1 (2)△ ABC 的面积 S= bcsinA= 3,故 bc=4.而 a2=b2+c2-2bccosA,故 b2+c2=8. 2 解得 b=c=2. π? 25.[2012· 重庆卷] 设 f(x)=4cos? ?ωx-6?sinωx-cos(2ωx+π),其中 ω>0.(1)求函数 y=f(x)的 3π π? 值域;(2)若 f(x)在区间? ?- 2 ,2?上为增函数,求 ω 的最大值. 解: (1)f(x)=4? 3 1 ?sinωx+cos2ωx=2 3sinωxcosωx+2sin2ωx+cos2ωx-sin2ωx ? 2 cosωx+2sinωx?

= 3sin2ωx+1.因-1≤sin2ωx≤1,所以函数 y=f(x)的值域为[1- 3,1+ 3]. π π? (2)因 y=sinx 在每个闭区间? ?2kπ-2,2kπ+2?(k∈Z)上为增函数,故 f(x)= 3sin2ωx+1(ω> kπ π kπ π ? 0)在每个闭区间? ? ω -4ω, ω +4ω?(k∈Z)上为增函数. 3π π? ?kπ π kπ π ? 依题意知? ?- 2 ,2??? ω -4ω, ω +4ω?对某个 k∈Z 成立,此时必有 k=0,于是

?- 2 ≥-4ω, ?π π ?2≤4ω,



π

1 1 解得 ω≤ ,故 ω 的最大值为 . 6 6

π? 26.[2012· 广东卷] 已知函数 f(x)=2cos? ?ωx+6?(其中 ω>0,x∈R)的最小正周期为 10π.

?0,π?,f?5α+5π?=-6,f?5β-5π?=16,求 cos(α+β)的值. (1)求 ω 的值;(2)设 α,β∈ 3 ? 6 ? 17 ? 2? ? 5 ?
解: (1) 由 5 5 π 1 π 2π 1 6 5α+ π? = 2cos ? ?5α+3π?+ ? = 2cos ?α+ ? =- = 10π 得 ω = .(2)∵- = f ? 3 ? ? 6? ? 2? ω 5 5 ? ?5?

5 5 1 π 16 3 8 5β- π?=2cos? ?5β-6π?+ ?=2cosβ,∴ 2sinα, =f? sinα= ,cosβ= . 6 ? ? 6? 17 ? ?5? 5 17

?0,π?,∴ ∵ α,β∈ cosα= 1-sin2α= ? 2?

3?2 4 1-? ?5? =5,

sinβ= 1-cos2β=

8 ?2 15 4 8 3 15 13 1-? cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= × - × =- . ?17? =17.∴ 5 17 5 17 85 2 π cos2x+ +sin2x.(1)求 f(x)的最小正周期; 2 4

27.[2012· 安徽卷] 设函数 f(x)=

π? ?0,π?时,g(x)=1-f(x).求 g(x)在 (2)设函数 g(x)对任意 x∈ R,有 g? ?x+2?=g(x),且当 x∈ ? 2? 2 区间[-π,0]上的解析式. 解:(1)f(x)= π π π? 1-cos2x 1 1 2 ? 2? 2 cos?2x+4? ?+sin x= 2 ?cos2xcos4-sin2xsin4?+ 2 =2-2sin2x. 2

故 f(x)的最小正周期为 π.

?0,π?时,g(x)=1-f(x)=1sin2x,故① ?-π,0?时,x+π∈?0,π?.由于对任意 (2)当 x∈ 当 x∈ ? 2? ? 2 ? 2 2 2 ? 2?
π π 1 π 1 1 x+ ?=g(x),从而 g(x)=g?x+ ?= sin?2?x+ ??= sin(π+2x)=- sin2x. x∈ R,g? ? 2? ? 2? 2 ? ? 2?? 2 2

?-π,-π?时,x+π∈ ?0,π?,从而 g(x)=g(x+π)=1sin[2(x+π)]=1sin2x. ② 当 x∈ 2? ? ? 2? 2 2 ? ?2sin2x,x∈? ?-π,-2?, 综合① ② 得 g(x)在[-π,0]上的解析式为 g(x)=? π ? 1 ?-2sin2x,x∈? ?-2,0?.
28.[2012· 北京卷] 已知函数 f(x)= x-cosx sinx x .(1)求 f(x)的定义域及最小正周期; 1 π

(2)求 f(x)的单调递增区间. 解:(1)由 sinx≠0 得 x≠kπ(k∈ Z),故 f(x)的定义域为{x∈ R|x≠kπ,k∈ Z}. 因为 f(x)= x-cosx sinx x π 2x- ?-1, =2cosx(sinx-cosx)=sin2x-cos2x-1= 2sin? 4? ?

2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π. 2 π π? (2)函数 y=sinx 的单调递增区间为? ?2kπ-2,2kπ+2?(k∈Z). π π π π 3π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,x≠kπ(k∈ Z),得 kπ- ≤x≤kπ+ ,x≠kπ(k∈ Z). 2 4 2 8 8 π 3π kπ- ,kπ?和?kπ,kπ+ ?(k∈ 所以 f(x)的单调递增区间为? Z). 8 8? ? ? ? 29.[2012· 福建卷] 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: 2 (1)sin 13° +cos217° -sin13° cos17° ;(2)sin215° +cos215° -sin15° cos15° ; 2 2 2 2 (3)sin 18° +cos 12° -sin18° cos12° ;(4)sin (-18° )+cos 48° -sin(-18° )cos48° ; 2 2 (5)sin (-25° )+cos 55° -sin(-25° )cos55° . (1)请从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 解:解法一:(1)选择(2)式,计算如下: 1 1 3 sin215° +cos215° -sin15° cos15° =1- sin30° =1- = . 2 4 4

3 (2)三角恒等式为 sin2α+cos2(30° -α)-sinαcos(30° -α)= . 4 证 明 如 下 : sin2α + cos2(30° - α) - sinαcos(30° - α) = sin2α + (cos30° cosα + sin30° sinα)2 - 3 3 1 3 1 sinα(cos30° cosα+sin30° sinα)=sin2α+ cos2α+ sinαcosα+ sin2α- sinαcosα- sin2α 4 2 4 2 2 3 3 3 = sin2α+ cos2α= . 4 4 4 解法二: (1)同解法一. 3 (2)三角恒等式为 sin2α+cos2(30° -α)-sinαcos(30° -α)= . 4 证 明 如 下 : sin2α + cos2(30°- α) - sinαcos(30°- α) = 1-cos2α 1+cos60° -2α + - 2 2

1 1 1 1 3 1 sinα(cos30° cosα+sin30° sinα)= - cos2α+ + (cos60° cos2α+sin60° sin2α)- sinαcosα- 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 sin2α= - cos2α+ + cos2α+ sin2α- sin2α- (1-cos2α)=1- cos2α- + cos2α= 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 3 . 4 30.[2012· 安徽卷] 设函数 f(x)= 2 π cos2x+ +sin2x.(1)求 f(x)的最小正周期;(2)设函数 g(x)对 2 4

π? ?0,π?时,g(x)=1-f(x).求 g(x)在区间[-π,0]上的 任意 x∈ R,有 g? ?x+2?=g(x),且当 x∈ ? 2? 2 解析式. 解:(1)f(x)= π π π 1-cos2x 1 1 2 ? 2? 2 cos2xcos -sin2xsin ?+ cos?2x+4? + sin x = = - sin2x. 4 4? ? 2 2? 2 2 2

故 f(x)的最小正周期为 π.

?0,π?时,g(x)=1-f(x)=1sin2x,故 (2)当 x∈ ? 2? 2 2
π? ?-π,0?时,x+π∈ ?0,π?.由于对任意 x∈ ① 当 x∈ R,g? ? 2 ? ?x+2?=g(x),从而 2 ? 2? π? 1 ? ? π?? 1 1 g(x)=g? ?x+2?=2sin?2?x+2??=2sin(π+2x)=-2sin2x.

?-π,-π?时,x+π∈ ?0,π?,从而 g(x)=g(x+π)=1sin[2(x+π)]=1sin2x. ② 当 x∈ 2 ? ? ? 2? 2 2 ? ?2sin2x,x∈? ?-π,-2?, 综合① ② 得 g(x)在[-π,0]上的解析式为 g(x)=? π ? 1 ?-2sin2x,x∈? ?-2,0?.
31.[2012· 湖北卷] 已知向量 a=(cosωx-sinωx,sinωx),b=(-cosωx-sinωx,2 3cosωx).设 1 π

?1,1?. 函数 f(x)=a· b+λ(x∈ R)的图象关于直线 x=π 对称,其中 ω,λ 为常数,且 ω∈ ?2 ?
π ? ?0,3π?上 ,0 , (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)若 y=f(x)的图象经过点? 求函数 f ( x ) 在区间 5? ?4 ? ?

的取值范围. 解:(1)因为 f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2 3sinωx· cosωx+λ=-cos2ωx+ 3sin2ωx+λ π 2ωx- ?+λ. =2sin? 6? ? π? 由直线 x=π 是 y=f(x)图象的一条对称轴,可得 sin? 1, ?2ωπ-6?=± π π k 1 ?1,1?,k∈Z,所以 k=1,故 ω=5. 所以 2ωπ- =kπ+ (k∈ Z),即 ω= + (k∈ Z).又 ω∈ ?2 ? 6 2 2 3 6 6π 所以 f(x)的最小正周期是 . 5 π ? π ?π? ?5 π π? (2)由 y=f(x)的图象过点? ?4,0?,得 f?4?=0,即 λ=-2sin?6×2-6?=-2sin4=- 2,即 λ 5 π? 3π π 5 π 5π =- 2.故 f(x)=2sin? ?3x-6?- 2,由 0≤x≤ 5 ,有-6≤3x-6≤ 6 , 5 π? 1 5 π 所以- ≤sin? ?3x-6?≤1,得-1- 2≤2sin3x-6- 2≤2- 2. 2 3π? 故函数 f(x)在? ?0, 5 ?上的取值范围为[-1- 2,2- 2]. 32.[2012· 安徽卷] 设函数 f(x)= 2 π cos2x+ +sin2x.(1)求 f(x)的最小正周期; 2 4

π? ?0,π?时,g(x)=1-f(x).求 g(x)在 (2)设函数 g(x)对任意 x∈ R,有 g? ?x+2?=g(x),且当 x∈ ? 2? 2 区间[-π,0]上的解析式. 解:(1)f(x)= π π π 1-cos2x 1 1 2 ? 2? 2 cos2xcos -sin2xsin ?+ cos?2x+4? + sin x = = - sin2x. 4 4? ? 2 2? 2 2 2

故 f(x)的最小正周期为 π.

?0,π?时,g(x)=1-f(x)=1sin2x,故 (2)当 x∈ ? 2? 2 2
π? ?-π,0?时,x+π∈ ?0,π?.由于对任意 x∈ ① 当 x∈ R,g? ? 2 ? ?x+2?=g(x),从而 2 ? 2? π? 1 ? ? π?? 1 1 g(x)=g? ?x+2?=2sin?2?x+2??=2sin(π+2x)=-2sin2x.

?-π,-π?时,x+π∈ ?0,π?,从而 ② 当 x∈ 2? ? ? 2?
1 1 g(x)=g(x+π)= sin[2(x+π)]= sin2x. 2 2 综合① ② 得 g(x)在[-π,0]上的解析式为

? ?2sin2x,x∈? ?-π,-2?, g(x)=? π ? 1 ?-2sin2x,x∈? ?-2,0?.
33.[2012· 湖北卷] 已知向量 a=(cosωx-sinωx,sinωx),b=(-cosωx-sinωx,2 3cosωx).设

1

π

?1,1?. 函数 f(x)=a· b+λ(x∈ R)的图象关于直线 x=π 对称,其中 ω,λ 为常数,且 ω∈ ?2 ?

π ? ? 3π? (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)若 y=f(x)的图象经过点? ?4,0?,求函数 f(x)在区间?0, 5 ?上 的取值范围. 解:(1)因为 f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2 3sinωx· cosωx+λ=-cos2ωx+ 3sin2ωx+λ π? =2sin? ?2ωx-6?+λ. π? 由直线 x=π 是 y=f(x)图象的一条对称轴,可得 sin? 1, ?2ωπ-6?=± π π k 1 所以 2ωπ- =kπ+ (k∈ Z),即 ω= + (k∈ Z). 6 2 2 3

?1,1?,k∈Z,所以 k=1,故 ω=5.所以 f(x)的最小正周期是6π. 又 ω∈ ?2 ? 6 5
π ? π 5 π π π ,0 ,得 f? ?=0,即 λ=-2sin? × - ?=-2sin =- 2,即 λ (2)由 y=f(x)的图象过点? ?4 ? ?4? ?6 2 6? 4 5 π? 3π π 5 π 5π =- 2.故 f(x)=2sin? ?3x-6?- 2,由 0≤x≤ 5 ,有-6≤3x-6≤ 6 , 5 π? 1 5 π 所以- ≤sin? ?3x-6?≤1,得-1- 2≤2sin3x-6- 2≤2- 2. 2 3π? 故函数 f(x)在? ?0, 5 ?上的取值范围为[-1- 2,2- 2]. π π ? 34.[2012· 江西卷] 在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 A= ,bsin? ?4+C?- 4 π π ? csin? ?4+B?=a.(1)求证:B-C=2;(2)若 a= 2,求△ ABC 的面积. π π ? ?π ? ? ?π ? 解: (1)证明: 由 bsin? 应用正弦定理, 得 sinBsin? ?4+C?-csin?4+B?=a, ?4+C?-sinCsin?4+B? =sinA,sinB? 2 2 ? ? 2sinB+ 2cosB?= 2. sinC+ cosC -sinC 2 2 2 ? ? ?2 ? 2

整理得 sinBcosC-cosBsinC=1,即 sin(B-C)=1, 3 π 由于 0<B,C< π,从而 B-C= . 4 2 π 3π 5π π (2)由(1)知 B-C= ,又 B+C=π-A= ,因此 B= ,C= . 2 4 8 8 π asinB 5π asinC π 由 a= 2,A= ,得 b= =2sin ,c= =2sin , 4 sinA 8 sinA 8 1 5π π π π 1 所以△ ABC 的面积 S= bcsinA= 2sin sin = 2cos sin = . 2 8 8 8 8 2

图 1-4 35.[2012· 辽宁卷] 在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等差数列.

(1)求 cosB 的值;(2)边 a,b,c 成等比数列,求 sinAsinC 的值. 1 解:(1)由已知 2B=A+C,A+B+C=180° ,解得 B=60° ,所以 cosB= . 2 1 (2)(解法一)由已知 b2=ac,及 cosB= ,根据正弦定理得 sin2B=sinAsinC, 2 3 所以 sinAsinC=1-cos2B= . 4 (解法二) a2+c2-ac 1 由已知 b2=ac,及 cosB= ,根据余弦定理得 cosB= ,解得 a=c, 2 2ac 3 所以 A=C=B=60° ,故 sinAsinC= . 4 36.[2012· 全国卷] △ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 cos(A-C)+cosB=1, a=2c,求 C. 解:由 B=π-(A+C),得 cosB=-cos(A+C). 于是 cos(A-C)+cosB=cos(A-C)-cos(A+C)=2sinAsinC, 1 由已知得 sinAsinC= .① 由 a=2c 及正弦定理得,sinA=2sinC,② 2 1 1 1 π 由① 、② 得 sin2C= ,于是 sinC=- (舍去)或 sinC= .又 a=2c,所以 C= . 4 2 2 6 2 37.[2012· 浙江卷] 在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cosA= ,sinB= 5 3 cosC.(1)求 tanC 的值;(2)若 a= 2,求△ ABC 的面积. 2 5 解:(1)因为 0<A<π,cosA= ,得 sinA= 1-cos2A= . 3 3 又 5cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= (2)由 tanC= 5,得 sinC= 5 2 cosC+ sinC,所以 tanC= 5. 3 3

5 1 5 ,cosC= ,于是 sinB= 5cosC= . 6 6 6

a c 1 5 由 a= 2及正弦定理 = ,得 c= 3.设△ ABC 的面积为 S,则 S= acsinB= . sinA sinC 2 2 38.[2012· 课标全国卷] 已知 a, b, c 分别为△ ABC 三个内角 A, B, C 的对边, acosC+ 3asinC -b-c=0.(1)求 A;(2)若 a=2,△ ABC 的面积为 3,求 b,c. 解:(1)由 acosC+ 3asinC-b-c=0 及正弦定理得 sinAcosC+ 3sinAsinC-sinB-sinC=0. π? 1 因为 B=π-A-C,所以 3sinAsinC-cosAsinC-sinC=0.由于 sinC≠0,所以 sin? ?A-6?=2. π 又 0<A<π,故 A= . 3 1 (2)△ ABC 的面积 S= bcsinA= 3,故 bc=4.而 a2=b2+c2-2bccosA,故 b2+c2=8. 2 解得 b=c=2.

2011 年高考题
一、选择题

2 (a ? b) ? c2 ? 4 , 1. (重庆理 6) 若△ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边 a、 b、 c 满足 且 C=60°,

则 ab 的值为

4 A. 3
【答案】A

B. 8 ? 4 3

C. 1

2 D. 3

0<?<
2. (浙江理 6 )若

?

? ? 1 ? ? 3 - <?<0 cos( ? ? ) ? cos( ? ) ? 2, 2 4 3, 4 2 3 ,则 ,

cos( ??

?
2

)?

3 A. 3
【答案】C

?
B.

3 3

5 3 C. 9

?
D.

6 9

3.(天津理 6)如图,在△ ABC 中, D 是边 AC 上的点,且

AB ? CD, 2 AB ? 3BD, BC ? 2BD ,则 sin C 的值为
3 A. 3 6 C. 3
【答案】D 4.(四川理 6)在 ? ABC 中. sin A ? sin B ? sin C ? sin Bsin C .则 A 的取值范围是
2 2 2

3 B. 6 6 D. 6

?
A.(0, 6 ] 【答案】C 【解析】由题意正弦定理

?
B.[ 6 , ? )

?
C.(0, 3 ]

?
D .[ 3 , ? )

a 2 ? b2 ? c 2 ? bc ? b2 ? c 2 ? a 2 ? bc ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ? 1 ? cos A ? ? 0 ? A ? bc 2 3

5.(全国新课标理 5)已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线

y ? 2 x 上,则 cos 2? =

?
(A)

4 5

3 (B) 5 ?

3 (C) 5

4 (D) 5

【答案】B 6. (辽宁理 4) △ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, asinAsinB+bcos2A= 2a ,

b ? 则a
(A) 2 3 【答案】D (B) 2 2 (C) 3 (D) 2

? 1 ( +?) = 3 ,则 sin 2? ? 7.(辽宁理 7)设 sin 4
7 (A) 9 ?
【答案】A

1 (B) 9 ?

1 (C) 9

7 (D) 9

sin 2? 2 8.(福建理 3)若 tan ? =3,则 cos a 的值等于
A.2 【答案】D 二、填空题 B.3 C.4 D.6

9.(上海理 6)在相距 2 千米的 A . B 两点处测量目标 C ,若 ?CAB ? 75 , ?CBA ? 60 ,
0 0

则 A . C 两点之间的距离是 【答案】 6

千米。

10. (全国新课标理 16)?ABC 中,B ? 60?, AC ? 3, , 则 AB+2BC 的最大值为_________. 【答案】 2 7

c o s 2 ? ?? ? ?? ? 1 n s i ?? ? ? ? ? ? 0, ? sin ? ? ? cos ? 4 ? 的值为__________ ? ? 2 ?, 2 11. (重庆理 14) 已知 , 且 则

?
【答案】

14 2

12.(福建理 14)如图,△ABC 中, AB=AC=2, BC= 2 3 ,点 D 在 BC 边上,∠ADC=45°, 则 AD 的长度等于______。 2

【答案】 13. (北 京理 9 )在 ?ABC 中 。若 b=5 , a=_______________。

?B ?

?
4 , tanA=2 ,则 sinA=____________ ;

2 5 【答案】 5

2 10

? 5 14.(全国大纲理 14)已知 a∈( 2 , ? ),sinα= 5 ,则 tan2α=
4 【答案】 3 ?
15.(安徽理 14)已知 ?ABC 的一个内角为 120o,并且三边长构成公差为 4 的 等差数列,则 ?ABC 的面积为_______________. 【答案】 15 3

tan( x ?
16.(江苏 7)已知

?
4

) ? 2,

tan x 则 tan 2 x 的值为__________

4 【答案】 9
三、解答题 17.(江苏 15)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c

sin( A ?
(1)若

?
6

) ? 2 cos A,
求 A 的值;

1 cos A ? , b ? 3c 3 (2)若 ,求 sin C 的值.
本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形,考查运算求解能力。 解:(1)由题设知

sin A cos

?
6

? cos A sin

?
6

? 2 cos A, 从而 sin A ? 3 cos A, 所以 cos A ? 0


tan A ? 3 ,因为0 ? a ? ? , 所以 A ?

?
3

.

1 cos A ? , b ? 3c及a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, 得a 2 ? b 2 ? c 2 . 3 (2)由 B?
故△ABC 是直角三角形,且 18.(安徽理 18) 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n ? 2 个数构成递增的等比数列,将这 n ? 2 个数 的乘积记作

?
2

, 所以 sin C ? cos A ?

1 3.

Tn ,再令 an ? lg Tn, n≥1 . {an } 的通项公式;

(Ⅰ)求数列 (Ⅱ)设

bn ? tan an tan an?1 , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

本题考查等比和等差数列,指数和对数的运算,两角差的正切公式等基本知识,考查灵活运 用知识解决问题的能力,综合运算能力和创新思维能力. 解:(I)设

l1 , l 2 ,?, l n?2 构成等比数列,其中 t1 ? 1, t n?2 ? 100, 则
① ②

Tn ? t1 ? t 2 ??? t n?1 ? t n?2 , Tn ? t n?1 ? t n?2 ??? t 2 ? t1 ,
①× ②并利用

t1t n?3?i ? t1t n?2 ? 102 (1 ? i ? n ? 2),得

Tn2 ? (t1t n?2 ) ? (t 2t n?1 ) ??? (t n?1t 2 ) ? (t n?2t1 ) ? 102( n?2) ,? an ? lg Tn ? n ? 2, n ? 1.
(II)由题意和(I)中计算结果,知

bn ? tan( n ? 2) ? tan(n ? 3), n ? 1.
tan(k ? 1) ? tan k , 1 ? tan(k ? 1) ? tan k

tan1 ? tan(( k ? 1) ? k ) ?
另一方面,利用

tan( k ? 1) ? tan k ?

n n?2 k ?3

tan( k ? 1) ? tan k ? 1. tan 1

所以

S n ? ? bk ?? tan(k ? 1) ? tan k
k ?1

tan(k ? 1) ? tan k ? 1) tan1 k ?3 tan(n ? 3) ? tan3 ? ? n. tan1 ? ?(
n?2

19.(湖北理 16)

1 a ? 1.b ? 2.cos C ? . 4 设 ?ABC 的内角 A、B、C、所对的边分别为 a、b、c,已知
(Ⅰ)求 ?ABC 的周长 (Ⅱ)求

cos ? A ? C ?

的值

本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识, 同时考查基本运算能力。 (满 分 10 分)

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 4 ?
解:(Ⅰ)

1 ?4 4

? c ? 2. ? ?ABC 的周长为 a ? b ? c ? 1 ? 2 ? 2 ? 5.

1 1 15 cos C ? ,? sin C ? 1 ? cos 2 C ? 1 ? ( ) 2 ? . 4 4 4 (Ⅱ)
15 a sin C 15 ? sin A ? ? 4 ? c 2 8
a ? c,? A ? C ,故 A 为锐角,

? cos A ? 1 ? sin 2 A ? 1 ? (

15 2 7 ) ? . 8 8
7 1 15 15 11 ? ? ? ? . 8 4 8 8 16

? cos( A ? C ) ? cos A cos C ? sin A sin C ?

20.(湖南理 17) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 csinA=acosC. (Ⅰ)求角 C 的大小;

? 3 (Ⅱ)求 sinA-cos(B+ 4 )的最大值,并求取得最大值时角 A、B 的大小。
解析:(I)由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C. 因为 0 ? A ? ? , 所以

sin A ? 0.从而 sin C ? cos C.又 cos C ? 0, 所以 tan C ? 1, 则C ?

?
4

B?
(II)由(I)知

3? ? A. 4 于是

3 sin A ? cos( B ? ) ? 3 sin A ? cos(? ? A) 4 ? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ). 6 3? ? ? 11? ? ? ? 0? A? ,? ? A ? ? , 从而当A ? ? , 即A ? 时, 4 6 6 12 6 2 3
2 sin( A ?

?

?

?

) 6 取最大值 2.

? ? 5? 3 sin A ? cos( B ? ) A? ,B ? . 4 3 12 综上所述, 的最大值为 2,此时
21.(全国大纲理 17) △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 A—C=90° ,a+c= 2 b,求 C. 解:由 a ? c ? 2b 及正弦定理可得

sin A ? s iC n?

2 sB i n . ????3 分

又由于 A ? C ? 90?, B ? 180? ? ( A ? C ), 故

cos C ? s iC n?

2 sA in ?(C

)

? 2 sin(9 ?0 ?C 2 )

? 2 c o sC 2 .

????7 分

2 2 cos C ? sin C ? cos 2C , 2 2
cos(4 ?? 5C ? ) cC os 2 .

因为 0? ? C ? 90? , 所以 2C ? 45? ? C,

C ? 15?
22.(山东理 17)

cos A-2 cos C 2c-a = cos B b . 在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知

sin C (I)求 sin A 的值; 1 (II)若 cosB= 4 ,b=2, ?ABC 的面积 S。
解:

a b c ? ? ? k, (I)由正弦定理,设 sin A sin B sin C 2c ? a 2k sin C ? k sin A 2sin C ? sin A ? ? , k sin B sin B 则 b cos A ? 2 cos C 2sin C ? sin A ? . cos B sin B 所以
即 (cos A ? 2cos C )sin B ? (2sin C ? sin A) cos B , 化简可得 sin( A ? B) ? 2sin( B ? C ). 又 A? B ?C ?? , 所以 sin C ? 2sin A

sin C ? 2. 因此 sin A sin C ?2 (II)由 sin A 得 c ? 2 a.
由余弦定理

1 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B及 cos B ? , b ? 2, 4 1 得4=a 2 ? 4a 2 ? 4a 2 ? . 4
解得 a=1。 因此 c=2

1 cos B ? , 且G ? B ? ? . 4 又因为

sin B ?
所以

15 . 4

S?
因此

1 1 15 15 ac sin B ? ?1? 2 ? ? . 2 2 4 4

23.(陕西理 18) 叙述并证明余弦定理。 解 余弦定理: 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦 之积的两倍。或:在 ? ABC 中,a,b,c 为 A,B,C 的对边,有

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C
证法一 如图

a 2 ? BC ? BC
? ( AC ? AB) ? ( AC ? AB) ? AC ? 2 AC ? AB ? AB
2

2

2

? AC ? 2 AC ? AB COSA ? AB
? b2 ? 2bc cos A ? c2
2 2 2 即 a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2 同理可证 b ? a ? c ? 2ac cos B

2

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C
证法二 已知 ? ABC 中 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴,建立 直角坐标系,则 C (b cos A, b sin A), B(c,0) ,

? a 2 ? BC 2 ? (b cos A ? c) 2 ? (b sin A) 2

? b2 cos2 A ? 2bc cos A ? c2 ? b2 sin 2 A b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B
同理可证

b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B, c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C.
24.(浙江理 18)在 ?ABC 中,角 A.B.C 所对的边分别为 a,b,c.

1 2 ac ? b sin A ? sin C ? p sin B ? p ? R? , 4 . 已知 且 p?
(Ⅰ)当

5 ,b ? 1 4 时,求 a , c 的值;

(Ⅱ)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围; 本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力。满分 14 分。

5 ? a?c ? , ? ? 4 ? 1 ?ac ? , ? 4 (I)解:由题设并利用正弦定理,得 ?

1 ?a ? 1, ? ? ?a ? , 4 ? 1 或? c? , ? ? 4 ?c ? 1. 解得 ?
2 2 2 (II)解:由余弦定理, b ? a ? c ? 2ac cos B

? (a ? c) 2 ? 2ac ? 2ac cos B 1 1 ? p 2b 2 ? b 2 ? b 2 cos B, 2 2 3 1 即p 2 ? ? cos B, 2 2
3 0 ? cos B ? 1, 得p 2 ? ( , 2) 2 因为 ,

p ? 0, 所以
由题设知

6 ? p ? 2. 2

2010 年高考题
一、选择题 1.(2010 浙江理)(9)设函数 f ( x) ? 4sin(2 x ? 1) ? x ,则在下列区间中函数 f ( x ) 不 存在 . 零点的是

(A) ? ?4, ?2? 答案 A

(B) ? ?2,0?

(C) ?0, 2?

(D) ? 2, 4?

解析:将 f ?x ? 的零点转化为函数 g ?x ? ? 4 sin?2 x ? 1?与h?x ? ? x 的交点,数形结合可知答 案选 A,本题主要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点,突出了对转化思 想和数形结合思想的考察,对能力要求较高,属较难题 2.(2010 浙江理)(4)设 0<x< (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 答案 B 解析:因为 0<x<

?
2

1 ”是“ x sin x<1 ”的 ,则“ x sin x<
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

2

π 2 2 ,所以 sinx<1,故 xsin x<xsinx,结合 xsin x 与 xsinx 的取值范围 2

相同,可知答案选 B,本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义,以及转化思 想和处理不等关系的能力,属中档题 3.(2010 全国卷 2 文)(3)已知 sin ? ? (A) ?

2 ,则 cos( x ? 2? ) ? 3

1 1 5 5 (B) ? (C) (D) 9 9 3 3

【解析】B:本题考查了二倍角公式及诱导公式,∵ SINA=2/3,

cos(? ? 2? ) ? ? cos 2? ? ?(1 ? 2sin 2 ? ) ? ?


1 9
)

4.(2010 福建文)2.计算 1 ? 2sin 22.5 的结果等于(

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 3

D.

3 2

【答案】B 【解析】原式= cos 45 =

2 ,故选 B. 2

【命题意图】本题三角变换中的二倍角公式,考查特殊角的三角函数值 5.(2010 全国卷 1 文) (1) cos 300? ? (A) ?

3 2

(B)-

1 2

(C)

1 2

(D)

3 2

【答案】 C 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】 cos 300? ? cos ? 360? ? 60? ? ? cos 60? ?

1 2

6.(2010 全国卷 1 理)(2)记 cos(?80?) ? k ,那么 tan100? ?

1? k2 A. k

1? k2 B. k

C.

k 1? k
2

D. -

k 1? k2

二、填空题

tan(? ? 2a ) ? ? 1. (2010 全国卷 2 理) (13) 已知 a 是第二象限的角,
【答案】 ?

4 n t , 则a 3

a?



1 2

【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程,考查考生 的计算能力. 【 解 析 】 由 tan(? ? 2a ) ? ?

4 4 2 ta? n 4 2? ? ? ,解得 得 tan 2a ? ? , 又 t a n a 2 3 3 1 ? t a n? 3 1 1 tan ? ?? 或 ta ?n? ,又 2 a 是第二象限的角,所以 tan ? ? ? . 2 2

2.(2010 全国卷 2 文)(13)已知α 是第二象限的角,tanα =1/2,则 cosα =__________

2 5 5 【解析】 ?
tan ? ? ?


:本题考查了同角三角函数的基础知识

1 2 5 cos ? ? ? 2 ,∴ 5

3. ( 2010 全 国 卷 1 文 ) (14) 已 知

? 为 第 二 象 限 的 角 , sin a ?

3 , 则 5

tan 2? ?
答案 ?

.

24 7

【命题意图】 本小题主要考查三角函数值符号的判断、 同角三角函数关系、 和角的正切公式, 同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.

【解析】因为 ? 为第二象限的角,又 sin ? ? 所 tan(2? ) ?

2 tan ? 24 ?? 2 1 ? tan ? 7

3 4 sin ? 3 ?? , , 所以 cos ? ? ? , tan ? ? 5 5 cos ? 4

4. ( 2010 全 国 卷 1 理 ) (14) 已 知

? 为 第 三 象 限 的 角 , cos 2? ? ?

tan(

?
4

3 ,则 5

? 2? ) ?

.

三、解答题 1.(2010 上海文)19.(本题满分 12 分) 已知 0 ? x ?

?
2

,化简:

x ? lg(cos x ? tan x ? 1 ? 2sin 2 ) ? lg[ 2 cos( x ? )] ? lg(1 ? sin 2 x) . 2 2
解析:原式?lg(sinx?cosx)?lg(cosx?sinx)?lg(sinx?cosx) ?0.
2

2.(2010 全国卷 2 理)(17)(本小题满分 10 分)

?ABC 中, D 为边 BC 上的一点, BD ? 33 , sin B ?

5 3 , cos ?ADC ? ,求 AD . 13 5

【命题意图】 本试题主要考查同角三角函数关系、 两角和差公式和正弦定理在解三角形中的 应用,考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 【参考答案】

由 cos∠ADC=

>0,知 B<

.

由已知得 cosB=

,sin∠ADC=

.

从而 sin∠BAD=sin(∠ADC-B)=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB=

=

.

由正弦定理得

,所以

=

.

【点评】 三角函数与解三角形的综合性问题, 是近几年高考的热点, 在高考试题中频繁出现.

这类题型难度比较低,一般出现在 17 或 18 题,属于送分题,估计以后这类题型仍会保留, 不会有太大改变.解决此类问题,要根据已知条件,灵活运用正弦定理或余弦定理,求边角 或将边角互化. 3.(2010 全国卷 2 文)(17)(本小题满分 10 分)

ABC 中, D 为边 BC 上的一点, BD ? 33 ,sin B ?

5 3 , cos ?ADC ? ,求 AD 。 13 5

【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。 由 ?ADC 与 ? B 的差求出 ? BAD ,根据同角关系及差角公式求出 ? BAD 的正弦,在三角 形 ABD 中,由正弦定理可求得 AD。 4.(2010 四川理)(19)(本小题满分 12 分) 1 证明两角和的余弦公式 C? ?? : cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin? sin ? ; (Ⅰ)○ 2 由 C? ? ? 推导两角和的正弦公式 S? ?? : sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos ? sin ? . ○ (Ⅱ)已知△ABC 的面积 S ?

1 3 , AB ? AC ? 3 ,且 cos B ? ,求 cosC. 5 2

本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运 算能力。 解:(1)①如图,在执教坐标系 xOy 内做单位圆 O,并作出角 α 、β 与-β ,使角 α 的始 边为 Ox,交⊙O 于点 P1,终边交⊙O 于 P2;角 β 的始边为 OP2,终边交⊙O 于 P3;角-β 的 始边为 OP1,终边交⊙O 于 P4. 则 P1(1,0),P2(cosα ,sinα )

P3(cos(α +β ),sin(α +β )),P4(cos(-β ),sin(-β ))
由 P1P3=P2P4 及两点间的距离公式,得 [cos(α +β )-1] +sin (α +β )=[cos(-β )-cosα ] +[sin(-β )-sinα ] 展开并整理得:2-2cos(α +β )=2-2(cosα cosβ -sinα sinβ ) ∴cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ .????????4 分
2 2 2 2

? ? -α )=sinα ,sin( -α )=cosα 2 2 ? ? sin(α +β )=cos[ -(α +β )]=cos[( -α )+(-β )] 2 2 ? ? =cos( -α )cos(-β )-sin( -α )sin(-β ) 2 2
②由①易得 cos( =sinα cosβ +cosα sinβ ??????????????6 分

(2)由题意,设△ABC 的角 B、C 的对边分别为 b、c 则 S=

1 1 bcsinA= 2 2

AB ? AC =bccosA=3>0

∴A∈(0,

? ),cosA=3sinA 2
2

又 sin A+cos A=1,∴sinA=

2

10 3 10 ,cosA= 10 10

由题意,cosB=

3 4 ,得 sinB= 5 5

∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=

10 10 10 ??????????12 分 10

故 cosC=cos[π -(A+B)]=-cos(A+B)=- 5.(2010 天津文)(17)(本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中,

AC cos B ? 。 AB cos C

(Ⅰ)证明 B=C: (Ⅱ)若 cos A =-

1 ?? ? ,求 sin ? 4B ? ? 的值。 3 3? ?

【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角 的正弦与余弦等基础知识,考查基本运算能力.满分 12 分. ( Ⅰ ) 证 明 : 在 △ ABC 中 , 由 正 弦 定 理 及 已 知 得

s i n B cosB = .于是 s i n C cosC

sinBcosC-cosBsinC=0,即 sin(B-C)=0.因为 ?? ? B ? C ? ? ,从而 B-C=0. 所以 B=C. (Ⅱ)解:由 A+B+C= ? 和(Ⅰ)得 A= ? -2B,故 cos2B=-cos( ? -2B)=-cosA= 又 0<2B< ? ,于是 sin2B= 1 ? cos2 2B =

1 . 3

2 2 . 3

从而 sin4B=2sin2Bcos2B=

7 4 2 2 2 ,cos4B= cos 2 B ? sin 2 B ? ? . 9 9

所以 sin(4 B ?

?
3

) ? sin 4 B cos

?
3

? cos 4 Bsin

?
3

?

4 2 ?7 3 18

6.(2010 山东理)

7.(2010 湖北理) 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= cos(

?

? 1 1 ? x) cos( ? x), g ( x) ? sin 2 x ? 3 3 2 4

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合。

2009 年高考题
一、选择题 1.(2009 海南宁夏理,5).有四个关于三角函数的命题:

p1 : ? x ? R, sin 2 p3 : ? x ? ? 0, ? ? ,
其中假命题的是 A. p1 , p4 答案 A

x 1 2 x + cos = 2 2 2

p2 : ? x、y ? R, sin(x-y)=sinx-siny p4 : sinx=cosy ? x+y=

1 ? cos 2 x =sinx 2

? 2

B. p2 , p4

C. p1 , p3

D. p2 , p4

2..(2009 辽宁理,8)已知函数 f ( x ) =Acos( ? x ? ? )的图象如图所示, f ( ) ? ?

?

2

2 ,则 3

f (0) =(



A. ?

2 3

B.

2 3

C.-

1 2

D.

1 2

答案

C )

2 2 3.(2009 辽宁文,8)已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ? (

A. ? 答案

4 3
D

B.

5 4

C. ?

3 4

D.

4 5

4.(2009 全国 I 文,1) sin 585 °的值为 A. ? 答案

2 2
A

B.

2 2

C. ?

3 2

D.

3 2

5.(2009 全国 I 文,4)已知 tan a =4,cot ? = A.

7 11
B

B. ?

7 11

1 ,则 tan(a+ ? )= ( 3 7 7 C. D. ? 13 13



答案

6.(2009 全国 II 文,4) 已知 ?ABC 中, cot A ? ? A.

12 13

B.

5 13

C. ?

解析:已知 ?ABC 中, cot A ? ?

12 ? ,? A ? ( , ? ) . 5 2

5 13

12 , 则 cos A ? 5 12 D. ? 13

cos A ? ?

1 1 ? tan A
2

??

1 5 1 ? (? ) 2 12

??

12 13

故选 D.

7.(2009 全国 II 文,9)若将函数 y ? tan( ?x ? 后,与函数 y ? tan( ?x ? A.

?
4

)(? ? 0) 的图像向右平移
) D.

?

? 个单位长度 6

1 6
D

6 1 B. 4

) 的图像重合,则 ? 的最小值为(
C.

1 3

1 2

答案

8.(2009 北京文)“ ? ? A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 答案 A

?
6

”是“ cos 2? ?

1 ”的 2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析 本题主要考查.k 本题主要考查三角函数的基本概念、 简易逻辑中充要条件的判断. 属

于基础知识、基本运算的考查. 当? ?

?
6

时, cos 2? ? cos

?
3

?

2? ? 2k? ?

?
3

? ? ? k? ?

?
6

1 1 ,反之,当 cos 2? ? 时, 2 2

?k ? Z ? ,
?
6

或 2? ? 2k? ?

?
3

? ? ? k? ?

? k ? Z ? ,故应选 A.
1 ”的 2

9.(2009 北京理)“ ? ? ( )

?
6

? 2k? (k ? Z ) ”是“ cos 2? ?

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 答案 A

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析 本题主要考查三角函数的基本概念、 简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、 基 本运算的考查. 当? ?

?

?? ? 1 ? ? 2k? (k ? Z ) 时, cos 2? ? cos ? 4k? ? ? ? cos ? 6 3? 3 2 ?
1 ? ? 时,有 2? ? 2k? ? ? ? ? k? ? ? k ? Z ? , 2 3 6 ? ? ? k? ?

反之,当 cos 2? ? 或 2? ? 2k? ?

?
3

?

6

? k ? Z ? ,故应选 A.
12 ,则 cos A ? 5 12 D. ? 13

10.(2009 全国卷Ⅱ文)已知△ABC 中, cot A ? ? A.

12 13

B.

5 13

C. ?

5 13

答案:D

12 知 A 为钝角,cosA<0 排除 A 5 cos A 12 12 ? ? , 和 sin 2 A ? cos 2 A ? 1求得 cos A ? ? 选 D 和 B,再由 cot A ? sin A 5 13 ? 11.(2009 四川卷文)已知函数 f ( x) ? sin( x ? )( x ? R) ,下面结论错误 的是 .. 2
解析:本题考查同角三角函数关系应用能力,先由 cotA= ? A. 函数 f ( x) 的最小正周期为 2 ? B. 函数 f ( x) 在区间[0,

? ]上是增函数 2

C.函数 f ( x) 的图象关于直线 x =0 对称

D. 函数 f ( x) 是奇函数 答案 D 解析∵ f ( x) ? sin( x ?

?
2

) ? ? cos x ,∴A、B、C 均正确,故错误的是 D

【易错提醒】利用诱导公式时,出现符号错误。 12.(2009 全国卷Ⅱ理)已知 ?ABC 中, cot A ? ? A.

12 13

B.

5 13

解析:已知 ?ABC 中, cot A ? ?

12 ? ,? A ? ( , ? ) . 5 2

12 , 则 cos A ? ( ) 5 5 12 C. ? D. ? 13 13

cos A ? ?

1 1 ? tan A
2

??

1 5 1 ? (? ) 2 12

??

12 13

故选 D.

答案 D 13.(2009 湖北卷文)“sin ? = A.充分而不必要条件 C.充要条件 答案 A 解析 由 cos 2a ? 故选 A. 14.(2009 重庆卷文)下列关系式中正确的是( A. sin11 ? cos10 ? sin168
0 0 0 0

1 1 ”是“ cos 2? ? ” 的 ( 2 2



B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 1 1 1 2 2 可得 sin a ? ? ,故 sin a ? 是sin a ? 成立的充分不必要条件, 2 2 2 4


0 0

B. sin168 ? sin11 ? cos10
0 0

C. sin11 ? sin168 ? cos10
0 0

0

D. sin168 ? cos10 ? sin11

0

答案 C 解析 因为 sin160 ? sin(180 ?12 ) ? sin12 ,cos10 ? cos(90 ? 80 ) ? sin80 ,由于正
? ? 弦函数 y ? sin x 在区间 [0 ,90 ] 上为递增函数,因此 sin11 ? sin12 ? sin 80 ,即
? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

sin11? ? sin160? ? cos10?
二、填空题

15.(2009 北京文)若 sin ? ? ? 答案

4 , tan ? ? 0 ,则 cos ? ? 5

.

?

3 5
属于基础知识、基本运算的考查.
2 2

解析 本题主要考查简单的三角函数的运算.

3 3 ? 4? 由已知, ? 在第三象限,∴ cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ,∴应填 ? . 5 5 ? 5?
16.(2009 湖北卷理)已知函数 f ( x) ? f '( ) cos x ? sin x, 则 f ( ) 的值为

?

?

4

4

.

答案 1 解析 因为 f '( x) ? ? f '( ) ? sin x ? cos x 所以 f '( ) ? ? f '( ) ? sin

?

?

?

?
4

? f '( ) ? 2 ? 1 故 f ( ) ? f '( ) cos ? sin ? f ( ) ? 1 4 4 4 4 4 4
三、解答题 17.(2009 江苏,15)设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b . 分析 本小题主要考查向量的基本概念, 同时考查同角三角函数的基本关系式、 二倍角的正 弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力。

?

?

4

?

?

?

4

?

4

? cos

?
4

18.(2009 广 东 卷 理 ) (本小题满分12分) 已知向量 a ? (sin? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ?

?
2

).

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2

解:(1)∵ a 与 b 互相垂直,则 a ? b ? sin ? ? 2 cos? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? ,代入

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 得 sin ? ? ?

? 2 5 5 ,又 ? ? (0, ) , , cos? ? ? 2 5 5

∴ sin ? ?

2 5 5 . , cos? ? 5 5

(2)∵ 0 ? ? ?

?
2

,0 ?? ?

?
2

,∴ ?

?
2

? ? ?? ?

?
2

,则

cos(? ? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ? ) ?

3 10 , 10 2 . 2

∴ cos ? ? cos[? ? (? ? ? )] ? cos? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? ) ? 19.(2009 安徽卷理)在 ? ABC 中, sin(C ? A) ? 1 , sinB= (I)求 sinA 的值; (II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积.

1 . 3

本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识,考查运算求解能力。 (Ⅰ)由 C ? A ?

? ? B ? B 2 ,且 C ? A ? ?? B ,∴ A ? ? ,∴ sin A ? sin( ?) ? (cos 2 4 2 4 2 2
C

B B , sin? ) 2 2

2 ∴ sin A ?

1 1 3 (1 ? sin B) ? ,又 sin A ? 0 ,∴ sin A ? 2 3 3

(Ⅱ)如图,由正弦定理得

AC BC ? sin B sin A

A

B

AC sin A ∴ BC ? ? sin B

6? 1 3

3 3 ? 3 2 ,又 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B

?

3 2 2 6 1 6 ? ? ? ? 3 3 3 3 3 1 1 6 AC ? BC ? sin C ? ? 6 ? 3 2 ? ?3 2 2 2 3

∴ S?ABC ?

20.(2009 天津卷文)在 ?ABC 中, BC ? 5, AC ? 3, sin C ? 2 sin A

(Ⅰ)求 AB 的值。 (Ⅱ)求 sin( 2 A ?

?
4

) 的值。 AB BC ? ,于是 sin C sin A

(1)解:在 ?ABC 中,根据正弦定理,

AB ? sin C

BC ? 2 BC ? 2 5 sin A

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 (2)解:在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 cos A ? 2 AB ? AC
于是 sin A ? 1 ? cos2 A =

5 , 5
4 3 , cos 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A ? 5 5

从而 sin 2 A ? 2 sin A cos A ?

? ? ? 2 sin(2 A ? ) ? sin 2 A cos ? cos 2 A sin ? 4 4 4 10
【考点定位】本题主要考查正弦定理,余弦定理同角的三角函数的关系式,二倍角的正弦和 余弦,两角差的正弦等基础知识,考查基本运算能力。 21.(2009 四川卷文)在 ?ABC 中, A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 且 sin A ?

5 10 ,sin B ? 5 10

(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。
5 10 ,sin B ? 5 10

解(I)∵ A、B 为锐角, sin A ?

∴ cos A ? 1 ? sin A ?
2

2 5 3 10 , cos B ? 1 ? sin 2 B ? 5 10 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? . 5 10 5 10 2

cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?
∵ 0 ? A? B ?? ∴ A? B ?

?
4

????????????????6 分

(II)由(I)知 C ?

3? 2 ,∴ sin C ? 4 2



a b c ? ? 得 sin A sin B sin C

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b, c ? 5b
又∵ ∴ ∴

a ? b ? 2 ?1 2b ? b ? 2 ?1


b ?1

a ? 2, c ? 5

????????????????12 分

22.(2009 湖南卷文)已知向量 a ? (sin ? ,cos? ? 2sin ? ), b ? (1, 2). (Ⅰ)若 a / / b ,求 tan ? 的值; (Ⅱ)若 | a |?| b |,0 ? ? ? ? , 求 ? 的值。 解:(Ⅰ) 因为 a / / b ,所以 2sin ? ? cos ? ? 2sin ? , 于是 4sin ? ? cos ? ,故 tan ? ?

1 . 4

(Ⅱ)由 | a |?| b | 知, sin 2 ? ? (cos? ? 2sin ? )2 ? 5, 所以 1 ? 2sin 2? ? 4sin ? ? 5.
2

从而 ?2sin 2? ? 2(1 ? cos 2? ) ? 4 ,即 sin 2? ? cos 2? ? ?1, 于是 sin(2? ? 所以 2? ?

?
4

)??

? ? 9? 2 .又由 0 ? ? ? ? 知, ? 2? ? ? , 4 4 4 2

5? ? 7? ,或 2? ? ? . 4 4 4 4 ? 3? . 因此 ? ? ,或 ? ? 4 2 ?
23.(2009 天津卷理)在⊿ABC 中,BC= 5 ,AC=3,sinC=2sinA (I) 求 AB 的值: (II) 求 sin ? 2 A ?

?

? ?

??

? 的值 4?

本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两 角差的正弦等基础知识,考查基本运算能力。满分 12 分。 (Ⅰ)解:在△ABC 中,根据正弦定理,
AB BC ? sinC sin A

于是 AB=

sinC BC ? 2BC ? 2 5 sin A

(Ⅱ)解:在△ABC 中,根据余弦定理,得 cosA= 于是 sinA= 1 ? cos2 A ? 从而 sin2A=2sinAcosA= 所以 sin(2A5 5

AB2 ? AC2 ? BD2 2 5 ? 2 AB ? AC 5

4 3 2 2 ,cos2A=cos A-sin A= 5 5

? ? ? 2 )=sin2Acos -cos2Asin = 4 4 4 10

2008 年高考题
一、选择题 1.(2008 山东)已知 a,b,c 为 △ ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量

m ? ( 3, ?1),n ? (cos A, sin A) .若 m ? n ,且 a cos B ? b cos A ? csin C ,则角 A,B
的大小分别为( A. , 答案 C 解析 本小题主要考查解三角形问题. )

π π 6 3

B.

2π π , 3 6

C. ,

π π 3 6

D. ,

π π 3 3

3 cos A ? sin A ? 0 ,

?A?

?
3

; ? sin A cos B ? sin B cos A ? sin 2 C,

sin A cos B ? sin B cos A ? sin( A ? B) ? sin C ? sin 2 C ,
C?

? π . ? B ? .选 C. 本题在求角 B 时,也可用验证法. 2 6
3 ? sin 70 ?( 2 ? cos 2 10
C. 2 D. )

2.(2008 海南、宁夏)

A.

1 2

B.

2 2

3 2

答案 C 解析

3 ? sin 70 3 ? cos 20 3 ? (2cos 2 20 ? 1) ? ? ? 2 ,选 C 2 ? cos 2 10 2 ? cos 2 10 2 ? cos 2 10

二、填空题

1.(2008 山东)已知 a,b,c 为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 m=( 3,?1 ),

n=(cosA,sinA).若 m⊥n,且 acosB +bcosA=csinC,则角 B=
答案

? 6

解析 本题考查解三角形

? , sin A cos B ? sin B cos A ? sin C sin C , 3 ? ? sin A cos B ? sin B cos A ? sin( A ? B) ? sin C ? sin 2 C , C ? . ∴ B ? 。 2 6
3 cos A ? sin A ? 0 , A ?
(2007 湖南)在 △ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 a ? 1 ,b= 7 ,

c ? 3,C ?
答案

π ,则 B ? 3



5π 6

三、解答题

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 , 1.(2008 北京)已知函数 f ( x) ? cos x
(1)求 f ( x ) 的定义域; (2)设 ? 是第四象限的角,且 tan ? ? ?

?

4 ,求 f (? ) 的值. 3

解:(1)依题意,有 cosx?0,解得 x?k?+ 即 f ( x ) 的定义域为{x|x?R,且 x?k?+

? ,k?Z} 2

? , 2

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 =-2sinx+2cosx? f (? ) =-2sin?+2cos? (2) f ( x) ? cos x 4 4 3 由 ? 是第四象限的角,且 tan ? ? ? 可得 sin?=- ,cos?= 3 5 5 14 ? f (? ) =-2sin?+2cos?= 5
2.(2008 江苏)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边做两个锐角 ? , ? ,它们的 终边分别与单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为

?

2 2 5 , 10 5

(1) 求 tan(? ? ? ) 的值; 解

(2) 求 ? ? 2 ? 的值。

本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。由条件得

cos? ?

2 2 5 , , cos ?? 10 5

? 为锐角,

故 sin ? ? 0且 sin ? ?

7 2 5 。同理可得 sin ? ? , 10 5
1 。 2

因此 tan ? ? 7, tan ? ?

1 7? tan ? ? tan ? 2 =-3 。 (1) tan(? ? ? ) ? ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? 7 ? 1 2 1 ?3 ? 2 =-1 , (2) tan(? ? 2? ) ? tan[(? ? ? ) ? ? ] ? 1 1 ? (?3) ? 2 ? ? 3? 3? 0 ? ? ? , 0 ? ? ? , ? 0 ? ? ? 2? ? ,从而 ? ? 2 ? ? 。 2 2 2 4

第二部分

四年联考汇编

2013-2014 年联考题 一.基础题组 1.【张掖二中 2013—2014 学年度高三月考试卷(11 月)高
y ? 2sin(
三 数 学
(理科)

】函数

?
2

? 2 x) 是



) B. 最小正周期为

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 ? 的偶函数

? 的奇函数 2

D.最小正周期为

? 的偶函数 2

2.【黑龙江省佳木斯市第一中学 2013—2014 年度高三第三次调研试卷数学试卷(理) 】在
△ABC 中,AC= 7,BC=2,B=60°,则 BC 边上的高等于( A. 3 2 3 3 B. 2 C. 3+ 6 2 D. ) 3+ 4 39

3.【黑龙江省双鸭山一中 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题】将函数 y ? sin x 的 图象上所有的点向右平行移动

? 个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵 10


坐标不变),所得图象的函数解析式是( A. y ? sin(2 x ? C. y ? sin( ?

?
10

)

B. y ? sin(2 x ? D. y ? sin( ?

?
5 )

)

x ? ) 2 10

x 2

?

20

4.【黑龙江省双鸭山一中 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题】在 ?ABC 中,角

A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且 a cos B ? b cos A ?
时,角 C 的值为 .

1 c ,当 tan( A ? B) 取最大值 2

, t an B ∵ A、B 是 三 角 形 内 角 , 且 t an A 同号,
>, 0 t a n> B , 0 ∴ A、B 都 是 锐 角 , 即 t a n A

5.【吉林大学附属中学 2013-2014 学年上学期高三年级第一次摸底考试理科数学】若
sin 2 ? ? 2cos ? ? ?2 ,则 cos ? ? (



(A)1

(B)

1 2

(C) ?

1 2

(D)-1

6.【吉林大学附属中学 2013-2014 学年上学期高三年级第一次摸底考试理科数学】已知函 数 f ( x) ? 3sin x-cos x ,x∈R,若 f ( x) ≥1,则 x 的取值范围为 (A) {x | k? ? ≤x≤k? ? ? , k ? Z} 3 (C) {x | k? ?

?

(B) {x | 2k? ? ≤x≤2k? ? ? , k ? Z} 3

?

?
6

5 ≤x≤k? ? ? , k ? Z} 6

? 5 (D) {x | 2k? ? ≤x≤2k? ? ? , k ? Z} 6 6

7.【吉林大学附属中学 2013-2014 学年上学期高三年级第一次摸底考试理科数学】 △ ABC
b, c , a sin A sin B ? b cos2 A ? 2a ,则 的三个内角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,

b ? a

(A) 2 3

(B) 2 2

(C) 3

(D) 2

8.【吉林大学附属中学 2013-2014 学年上学期高三年级第一次摸底考试理科数学】如图,
△ ABC 中, 点 D 在 BC 边上, 且 AC ? 2 ,BC ? 2.5 , AD ? 1,BD ? 0.5 , 则 AB 的长为

.

A

B

D

C

【答案】 【解析】

6 2

试题分析:

9.【吉林大学附属中学 2013-2014 学年上学期高三年级第一次摸底考试理科数学】已知

? ,? 均为锐角,且 cos(? ? ? )=

5 10 ,sin(? ? ? ) ? ,则 2? = 5 10

.

10.【内蒙古巴彦淖尔市一中 2014 届高三上学期期中考试理科数学】已知

1 1 ? cos ? ? , cos(? ? ? ) ? ? 且? , ? ? (0, )则 cos(? ? ? )= ( ) 3 3 2
A. ?

1 2

B.

1 2

C. ?

1 3

D.

23 27

11.【内蒙古巴彦淖尔市一中 2014 届高三上学期期中考试理科数学】(本题满分 12 分) 已知 f ( x) ?

2 cos( x ?

?
12

)

(1)求 f ( ) 的值;

?

3

(2)若 cos ? ?

? 3 3? , ? ? ( , 2? ) ,求 f (? ? ) 的值. 6 5 2

12.【银川九中 2014 届高三年级第 4 次月考试卷(理科试卷)】函数

?? ?? f ( x) ? sin 2 x ? 3sin x cos x 在区间 ? , ? 上的最大值是( ?4 2?
A. 1 B.



1? 3 2

C.

3 2

D. 1 ? 3

二.能力题组 1.【张掖二中 2013—2014 学年度高三月考试卷(11 月)高
12 分) 已知函数 f ( x) ? 2a cos 2 x ? b sin x cos x ? 三 数 学
(理科)

】 (本小题满分

3 ? 1 3 , f( )? , , x∈R 且 f (0) ? 2 2 4 2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)函数 f(x)的图象经过怎样的平移才能使所得图象对应的函数成为偶函数?(列举出 一种方法即可).

2.

【黑龙江省大庆实验中学 2013--2014 学年度上学期期中考试高三理科数学试题】(本

小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (1 ?

1 ? ? ) sin 2 x ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) tan x 4 4

(1)求 f ( x ) 的最小正周期和单调区间; (2)若 x ? [

, ], 求 f ( x) 的取值范围; 12 2

? ?

3.【黑龙江省佳木斯市第一中学 2013—2014 年度高三第三次调研试卷数学试卷(理) 】 (本 小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? sin 2 ?x ? 2 3 sin ?x ? cos?x ? cos2 ?x ? ? , ( x ? R) 的图象关于直线

1 x ? ? 对称,其中 ?, ? 为常数,且 ? ? ( ,1) . 2
(1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)若 y ? f ( x) 的图象经过点 (

?

,0) ,求函数 f ( x) 在 x ? [0, ] 上的值域. 2 4

?

4.【黑龙江省双鸭山一中 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题】(本题满分 12 分) 已知向量 m ? (cos (1)若 x ? [0,

x x x , ?1), n ? ( 3 sin , cos 2 ) ,设函数 f ( x) ? m ? n +1 2 2 2 11 ,求 cos x 的值; 10

?
2

] , f ( x) ?

(2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 2b cos A ? 2c ? 3a ,求 f ( B ) 的取值范围.

∴ sin(B ?

?

1 )? (? , 0] , 即 6 2

f ( B) ? sin(B ?

?

1 1 )? ,? f ( B ) ? (0, ]. 6 2 2

考点:平面向量的坐标运算,和差倍半的三角函数,正弦定理的应用,三角函数的性质. 5.【吉林大学附属中学 2013-2014 学年上学期高三年级第一次摸底考试理科数学】已知函

x 1 数 f ( x) ? sin ,x ? R ,将函数 y ? f ( x) 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐不 2 2
变) ,得到函数 g ( x) 的图象,则关于 f ( x) ? g ( x) 有下列命题,其中真命题的个数是 ①函数 y ? f ( x) ? g ( x) 是奇函数; ②函数 y ? f ( x) ? g ( x) 不是周期函数; ③函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的图像关于点(π,0)中心对称;

④函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的最大值为 (A)1 (B)2

3 . 3

(C)3

(D)4

6.【吉林大学附属中学 2013-2014 学年上学期高三年级第一次摸底考试理科数学】(本小题 满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ,x ? R(? ? 0 , 0 ? ? ? ) ,的部分图象如图所示. 2 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调递增区间.

?

7.【吉林大学附属中学 2013-2014 学年上学期高三年级第一次摸底考试理科数学】(本小题 满分 12 分)
b, c ,设 S 为 △ ABC 的面积,满足 在 △ ABC 中,角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,
S? 3 2 (a +b 2-c 2 ). 4

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin A ? sin B 的最大值.

8.【银川九中 2014 届高三年级第 4 次月考试卷(理科试卷)】已知向量

1 a ? (sin x, ?1), b ? ( 3 cos x, ? ) ,函数 f ( x) ? (a ? b) ? a ? 2 . 2
(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)已知 a , b, c 分别为 ?ABC 内角 A 、 B 、 C 的对边, 其中 A 为锐角, a ? 2 3, c ? 4 且

f ( A) ? 1 ,求 A, b 和 ?ABC 的面积 S .

三.拔高题组 1.
【黑龙江省大庆实验中学 2013--2014 学年度上学期期中考试高三理科数学试题】(本

小题满分 12 分) 已知 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 的对边分别为 a, b, c ,若 a ? 1, 2cos C ? c ? 2b, (1)求角 A (2)求 ?ABC 周长的取值范围. 【答案】(1) A ? 【解析】

?
3

;(2)周长的取值范围是 (2,3] .

2.【吉林大学附属中学 2013-2014 学年上学期高三年级第一次摸底考试理科数学】(本小题 满分 12 分)
b) 成中心对称图形”的充要条件为“函数 已知真命题:“函数 y ? f ( x) 的图像关于点 P(a , y ? f ( x ? a) ? b 是奇函数”.

(Ⅰ)将函数 g ( x) ? sin( x ? ) ? x ? 2 ? ,x ? R 的图像向左平移 个单位,再向上平移 2 4 4 4 个单位,求此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数 g ( x) 图像对称中心 的坐标; (Ⅱ)求函数 h( x) ? log2

?

?

?

2? x 图像对称中心的坐标; 2x

(Ⅲ)已知命题:“函数 y ? f ( x) 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在 实数 a 和 b ,使得函数 y ? f ( x ? a) ? b 是偶函数”.判断该命题的真假,如果是真命题,请 给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命 题(不必证明). 【答案】(Ⅰ) g1 ( x) ? sin x ? x ,x ? R , ( , ? 2) ;(Ⅱ) (1 ,? 1) ;(Ⅲ)假命题, 修改后的 4 真命题: “函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? a 成轴对称图像”的充要条件是“函数

?

y ? f ( x ? a) 是偶函数”.

2012-2013 年联考题

1.【山东省潍坊市四县一区 2013 届高三 11 月联考(理)】将函数 y ? sin 2 x 的图象向右平 移

? 个单位,再向上平移 1 个单位,所得函数图象对应的解析式为 4 ? A. y ? sin( 2 x ? ) ? 1 B. y ? 2 cos2 x 4
C. y ? 2 sin 2 x D. y ? ? cos 2 x

【答案】C 【 解 析 】 函 数

y ? sin 2 x 的 图 象 向 右 平 移

y ? sin 2( x ? ) ? sin(2 x ? ) ? ? cos 2 x ,再向上平移 1 个单位,所得函数图象对应的解 4 2
析式为 y ? ? cos 2x ? 1 ? ?(1 ? 2sin 2 x) ? 1 ? 2sin 2 x ,选 C. 2.【山东省潍坊市四县一区 2013 届高三 11 月联考(理)】在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对边
? 分别为 a,b,c,且 c ? 4 2,B ? 45 ,面积 S ? 2 ,则 b 等于

?

?

? 个 单 位 得 到 4

A.

113 2

B.5

C. 41

D.25

【答案】B

【解析】因为 c ? 4 2,B ? 45 ,又面积
?

S?

1 1 2 ? acsin B ? ? 4 2 ? a ?2 ,解得 2 2 2 2 ? 25 ,所 2

a ? 1 ,由余弦定理知 b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B ,所以 b2 ? 1 ? 32 ? 2 ? 4 2 ?
以 b ? 5 ,选 B. 3. 【 山 东 省 烟 台 市 2013

届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 理 】 函 数

f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |?
向右平移

?
2

)的

部分图象如图示,则将 y ? f ( x) 的图象

? 个单位后,得到的图象解析式为 6

A. y ? sin 2 x 【答案】D

B. y ? cos 2 x

C. y ? sin( 2 x ?

2? ) 3

D. y ? sin( 2 x ?

?
6

)

【解析】由图象知 A=1,T= (

? f ( x) ? sin( 2 x ? y ? sin[ 2( x ?

?
6

11? ? 4 2? ? ? ? ? )? ? ? ? ,? ? ? 2,? 2 ? ? ? ? , ? ? ? 12 6 3 ? 6 2 6

), 将 f ( x) 的图象平移 ] ? sin( 2 x ?

?
6

)?

?
6

?
6

? 个单位后的解析式为 6

).. 故选 D.

4.【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试理】已知 sin 2? ? ?

24 ? ? ? ,? ? ? ? , 0 ? ,则 25 ? 4 ?

sin ? ? cos ? 等于
A. ?

1 5

B.

1 5

C. ?

7 5

D.

7 5

【答案】B 【解析】由 ? ? ? ?

? ? ? | sin ? |?| cos? |, ? sin ? ? cos ? , 0 ? 知 sin ? ? 0, cos? ? 0, ? 4 ?

1 ? 1 ? sin 2 x ? . 故选 B. 5
5.【山东省泰安市 2013 届高三上学期期中考试数学理】 sin 585? 的值为 A.

2 2

B. ?

2 2

C.

3 2

D. ?

3 2

【答案】B 【解析】 sin 585 ? sin 225 ? sin(180 ? 45 ) ? ? sin 45 ? ?

2 ,选 B. 2

6.【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试理】若 tan( ( A.2 【答案】D 【 解 析 】 由 ) B. ?

?
4

? ? ) ? 3 ,则 cot ? 等于

1 2

C.

1 2

D.-2

tan(

?
4

??) ? 3





tan ? ? tan[ ? ( ? ? )] ? 4 4
D.

?

?

t

?
4

? a

?
4

?? n

1 ? tan( ? ? ) 4

?

?

t a n ( 1? 3 11 ?? 1? 3 2 ,所以 cot ? ? tan ? ? ?2 选

)

7.【山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试理】在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分 别为 a、b、c,且 2c ? 2a ? 2b ? ab ,则△ABC 是(
2 2 2

) D.等边三角形

A.钝角三角形 【答案】A 【 解 析 】 由

B.直角三角形

C.锐角三角形

2c2 ? 2a 2 ? 2b2 ? ab

得 ,

1 a 2 ? b2 ? c2 ? 2

? , a 所 b 以

1 ? ab a 2 ? b2 ? c 2 1 cos C ? ? 2 ? ? ? 0 ,所以 90 ? C ? 1800 ,即三角形为钝角三角 2ab 2ab 4
形,选 A. 8.【山东省泰安市 2013 届高三上学期期中考试数学理】如图,设 A、B 两点在河的两岸, 一 测 量 者 在 A 的 同 侧 河 岸 边 选 定 一 点 C , 测 出 AC 的 距 离 为 50m ,

?ACB ? 45 , ?CAB ? 1050 ,则 A、B 两点的距离为
A. 50 3m B. 50 2m C. 25 2m

D.

25 2 m 2

【答案】B
0 【解析】因为 ?ACB ? 45 , ?CAB ? 105 ,所以 ?ABC ? 30 ,所以根据正弦定理可知,

AC AB 50 AB ? ? ,即 ,解得 AB ? 50 2m ,选 B. sin ABC sin ACB sin 30 sin 45
.9 【山东省泰安市 2013 届高三上学期期中考试数学理】 已知 sin ? ? cos ? ? 2, ? ? ? 0, ? ? , 则 tan ? 等于 A. ?1 【答案】A 【解析】由 sin ? ? cos ? ? 2 得,所以 B. ?

2 2

C.

2 2

D.1

? 2 2 sin ? ? cos ? ? 1 ,即 sin(? ? ) ? 1 ,所 4 2 2



x?

?
4

? 2 k? ?

?
2

,k ?Z







x ? 2 k? ?

tan ? ? tan(2k? ?

3? 3? ) ? tan ? ?1 ,选 A. 4 4

3? ,k ?Z 4







10. 【 山 东 省 泰 安 市

2013 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 数 学 理 】 函 数

f

? ? x ? ? s i ?n

? x? ? ?? ? ? ?

? ?? 若其图像向右平移 个单位后得 0? , ? ? 的最小正周期是 ? , 3 2?

到的函数为奇函数,则函数 f ? x ? 的图像 A.关于点 ?

?? ? , 0 ? 对称 ? 12 ?

B.关于直线 x ?

?
12

对称

C.关于点 ?

? 5? ? , 0 ? 对称 ? 12 ?

D.关于直线 x ?

5? 对称 12

【答案】D 【解析】函数的最小周期是

? ,所以 T ?

2?

? ? 2? ), 得到函数 f ( x) ? sin[2( x ? ) ? ? ] ? sin(2 x ? ? ? 3 3 3 2? ? 2? ? k? , k ? Z ,所以 ? ? ? k? ,因为 ? ? ,所以 此时函数为奇函数,所以有 ? ? 3 2 3 2? ? ? ? ? ? k? ? ? ,所以 f ( x) ? sin(2 x ? ) .由 2 x ? ? ? 2k? ,得对 当 k ? ?1 时, ? ?
f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,向右平移
称轴为 x ?

?

?? , 所 以 ? ?2 , 所 以 函 数

5? 5? ? k? ,当 k ? 0 时,对称轴为 x ? ,选 D. 12 12
2013

3

3

3

3

2

11. 【 山 东 省 实 验 中 学

届 高 三 第 一 次 诊 断 性 测 试 理 】 若

? ? , ? ? ( , ? ), 且 tan ? ? cot ? , 那么必有
2
A. ? ? ? ? 【答案】B

?
2

B. ? ? ? ?

3 ? 2

C. ? ? ?

D. ? ? ?

( 【解析】因为 cot ? = tan
以?

?
2

? ?) = tan (? ? ?

?
2

? ?) = tan (

3? ? ? ? ? ? ,而函数 y ? tan x 在 x ? ( , ? ) 上单调递增, 2 2 2 2 3? 3? 3? ? ?) ? ? ,即 ? ? ? ? 所以由 tan ? ? cot ? ,即 tan ? ?tan ( 可得 ? ? ,选 2 2 2 ? ? ? ? ?? ,
B. 12. 【 山 东 省 师 大 附 中 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 数 学 理 】 函 数

?

?

3? ? ? ?) ,因为 ? ? ? ? ,所 2 2

?? ? f ? x ? ? 1 ? 2sin 2 ? x ? ? , 则f 4? ?
A. ?

?? ? ? ?? ?6?
D.

3 2

B. ?

1 2

C.

1 2

3 2
? ) cx o?s 2 ? ( 4

【答案】A 【 解 析 】 f

x?1 ? ?

2 ?2 s i nx ?( 4

?

?

x) ? c o ? s , (? 2 x以 所 2

?

)

s i n 2

f(

?
6

) ??

s i ?n? 3

?

3

2

,选 A.

13.【山东省师大附中 2013 届高三上学期期中考试数学理】函数 y ? 2cos ? x ?
2

? ?

??

? ?1 是 4?

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 【答案】A 【解析】y ? 2 cos ( x ?
2

? 的奇函数 2

B.最小正周期为 ? 的偶函数 D.最小正周期为

? 的偶函数 2

?

) ? 1 ? cos 2( x ? ) ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x , 周期为 ? 的奇函数, 4 4 2

?

?

选 A. 14 【山东省师大附中 2013 届高三上学期期中考试数学理】 设 f ? x ? ? sin ? 2 x ? 的图像的一条对称轴的方程是 A. x ?

? ?

??

则 f ? x? ?, 6?

?
9

B. x ?

?
6

C. x ?

?
3

D. x ?

?
2

【答案】B 【解析】由 2 x ? 选 B.

?
6

?

?
2

? k? 得, x ?

?
6

?

k? ? , k ? Z ,所以当 k ? 0 时,对称轴为 x ? , 2 6

15【山东省师大附中 2013 届高三上学期期中考试数学理】把函数 y ? sin x ? x ? R? 的图象 上所有的点向左平移

? 个单位长度, 再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵 6
B. y ? sin ? 2 x ?

坐标不变),得到的图象所表示的函数为 A. y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

?, x? R 3?

? ?

??

?, x? R 3?

C. y ? sin ? 【答案】C

?? ?1 x ? ?, x? R 6? ?2

D. y ? sin ?

?? ?1 x ? ?, x? R 6? ?2

【 解 析 】 函 数 y ? sin x ? x ? R? 的 图 象 上 所 有 的 点 向 左 平 移

? 个单位长度,得到 6

y ? sin( x ? ) ,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到 6
的图象所表示的函数为 y ? sin( x ?

?

1 2

?
6

) ,选 C.
? ?

16 【山东省师大附中 2013 届高三上学期期中考试数学理】 为了得到函数 y ? cos ? 2 x ? 图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像

??

?的 3?

5? 12 5? B.向右平移 12 5? C.向左平移 6 5? D.向右平移 6
A.向左平移 【答案】A

个长度单位 个长度单位 个长度单位 个长度单位

【解析】因为 y ? sin 2 x ? cos(

?

? 2 x) ? cos(2 x ? ) 2 2

?

? cos[(2 x ?

5? ? 5? ? ?? ? ) ? ] ? cos[2( x ? ) ? ] , 所以为了得到函数 y ? cos ? 2 x ? ? 的图象, 6 3 12 3 3? ?

只需将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移

5? 个单位,选 B. 12

17【山东省师大附中 2013 届高三上学期期中考试数学理】已知函数 f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ? , 其中 0 ? ? ? 2? ,若 f ? x ? ? f ? A.

?? ? ? 对x ? R 恒成立,且 ?6?
D.

?? ? f ? ? ? f ?? ? ,则 ? 等于 ?2?

? 6

B.

5? 6

C.

7? 6

11? 6

【答案】C 【解析】由 f ? x ? ? f ?

? ? ? ?? ? ? 可知 6 是函数 f ( x) 的对称轴,所以又 2 ? 6 +? = 2 +k? ,所 ?6?

以?=

?

?? ? +k? ,由 f ? ? ? f ?? ? ,得 sin ?? ? ? ? ? sin ? 2? ? ? ? ,即 ? sin ? ? sin ? ,所 6 ?2?
7? ,选 C. 6

以 sin ? ? 0 ,又 0 ? ? ? 2? ,,所以 ? ? ? ? 2? ,所以当 k ? 1 时, ? =

18【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测理】函数 f ( x) ? x ? sin x ( x ? R) ( ) A.是偶函数,且在 (??, +?) 上是减函数 C.是奇函数,且在 (??, +?) 上是减函数 【答案】D B.是偶函数,且在 (??, +?) 上是增函数 D.是奇函数,且在 (??, +?) 上是增函数

)所 以 函 数 为 奇 函 数 。 函 数 的 导 数 【 解 析 】 因 为 f (? x) ? ? x ?s i nx ? ?f ( x , (??, +?) 上是增函数,选 D. f ' (x ) ? 1 ? c oxs? ,所以函数在 0
19【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测理】在 ?ABC中,A, B, C 的对边分 别为 a, b, c ,若 a cos C, b cos B, c cos A 成等差数列,则 B ? ( A . 【答案】C 【解析】因为 a cos C, b cos B, c cos A 成等差数列,所以 a cos C ? c cos A ? 2b cos B ,根 据正弦定理可得 即 ) D.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

2? 3

sin A cos C ? sin C cos A ? 2sin B cos B ,即 sin( A ? C ) ? 2sin B cos B ,

sin B ? 2sin B cos B ,所以 cos B ?

1 ? B ? ,选 C. ,即 2 3

20【山东省德州市乐陵一中 2013 届高三 10 月月考数学理】由下列条件解 ?ABC,其中有两 解的是( )
o

A. b ? 20, A ? 45 , C ? 80? C. a ? 14, c ? 16, A ? 45? 【答案】C

B. a ? 30, c ? 28, B ? 60? D.
a ? 12, c ? 15, A ? 120?

【解析】在 C 中, C sin A ? 16 ?

2 ? 8 2 ,且 C sin A ? a ? c ,所以有两解.选 C. 2
的三角形的最大角

21【 北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理)】边长为 与最小角的和是( A. 【答案】B 【解析】边 7 对角为 ? ,则由余弦定理可知 cos ? = 大角与最小角的和为 120 ,选 B. ) B. C. D.

52 ? 82 ? 72 1 = ,所以 ? =60 ,所以最 2? 5?8 2

22 【 山 东 省 师 大 附 中 2013 届 高 三 12 月 第 三 次 模 拟 检 测 理 】 设 函 数

?? ? f ? x ? ? sin ??x ? ? ? ? cos ?? x ? ? ? ? ? ? 0,| ? |? ? 的 最 小 正 周 期 为 ? , 且 2? ?
f ? ?x ? ? f ? x ? ,则(
A. f ? x ? 在 ? 0, C. f ? x ? 在 ? 0, 【答案】A 【解析】 因为 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? cos ?? x ? ? ? ? 期为 ? ,所以 T ? )

? ?

?? ??

? 单调递减 2?

B. f ? x ? 在 ? D. f ? x ? 在 ?

? ? 3? , ?4 4

? ? 单调递减 ?

? ?

? 单调递增 2?

? ? 3? ? , ? 单调递增 ?4 4 ?

2?

2 sin(? x ? ? ? ) 且函数的最小正周 4

?

?

? ? ,所以 ? ? 2 ,即函数 f ? x? ? 2 sin(2x ? ? ?

?

f ? ?x ? ? f ? x ? ,所以函数为偶函数,所以 ? ?
因 为

?
4

?

?
2

? k? , k ? Z ,即 ? ?
时 ,

?
4

4

) ,又函数

? k? ,k ?Z ,
, 所 以

| ? |?

?
2









k ?0

??

?
4

f ? x ? ? 2 sin(2 x ?
此时函数 f ? x ? ?

?

0 ? 2x ? ? , ? ) ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 cos 2 x , 当 0 ? x ? 时, 4 4 2 2

?

?

?

2 cos 2 x 单调递减,选 A.

23 【 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 二 次 诊 断 性 测 试 理 】 在 ?A B C 中 , 若 0 ? t a nA ? t a nB ? 1 ,那么 ?ABC 一定是 A.锐角三角形 C.直角三角形 B.钝角三角形 D.形状不确定

【答案】B 【 解 析 】 由 0 ? tan A ? tan B ? 1 , 可 知 tan A ? 0, tan B ? 0 , 即 A, B 为 锐 角 ,

tan A ? tan B ? 0 ,即 tan( ? ? C ) ? tan ? 1 ? tan A tan B 钝角,所以 ?ABC 为钝角三角形,选 B. tan( A ? B) ?

C 0 ? ,所以 tan C ? 0 ,所以 C 为

24 【 山 东 省 师 大 附 中 2013 届 高 三 12 月 第 三 次 模 拟 检 测 理 】 若 ? ? ?

?? ? ,? ? , ?2 ?

?? 1 ? tan ? ? ? ? ? , 则sin ? ? ( 4? 7 ?
A

)
C

3 5

B

4 5

?

3 5

D ?

4 5

【答案】A 【 解 析 】 由

t

?? 1 ? ? ? ? a? ? 4? 7 ?

n


,

1 ? ? ?1 tan(? ? ) ? tan 3 3 4 4 ?7 sin ? ? tan ? ? tan(? ? ? ) ? ?? 5 ,选 A. 4 4 1 ? tan(? ? ? ) tan ? 1 ? 1 4 ,所以解得 4 4 7

?

?

25【山东省临沂市 2013 届高三上学期期中考试理】 sin 330 等于

A.— 【答案】B

3 2

B.—

1 2

C.

1 2

D.

3 2

【解析】 sin 330 ? sin(360 ? 30 ) ? ? sin 30 ? ?
0

26【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试理】已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?) (其中

1 ,选 B. 2

A ? 0, ? ?

?
2

)的图象如图所示,则函数 f ( x ) 的解析式为

A. f ( x) ? sin(2 x ? C. f ( x ) ? sin(2 x ? 【答案】C

?
3

) )

B. f ( x ) ? sin(2 x ? D. f ( x ) ? sin(4 x ?

?
6

) )

?
3

?
6

【解析】由图象可知 A ? 1 ,

T 7? ? ? 2? ? ? ? , T ? ? ,即 ? ? ,所以 ? ? 2 ,所以 4 12 3 4 ?

f ( x) ? sin(2 x ? ? ) , f (
所以

7? 7? 7? ? ) ? sin(2 ? ? ? ) ? sin( ? ? ) ? ?1 ,即 sin( ? ? ) ? 1 , 12 12 6 6

?
6

?? ?

?
2

? 2k? , k ? Z ,即 ? ?

?
3

? 2k? , k ? Z ,又 ? ?

?
2

,所以 ? ?

?
3

,所以

f ( x) ? sin(2 x ? ) ,选 C. 3
27 【山东省临沂市 2013 届高三上学期期中考试理】 将函数 f ( x) ? sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度得到函数 g ( x) 的图象,则函数 g ( x) 图象的一条对称轴是 A. x ? ? 【答案】A

?

? 6

?
12

B. x ?

?
12

C. x ?

?
6

D. x ?

?
3

【解析】函数 f ( x) ? sin 2 x 的图象向右平移

? ? ? ,则 g ( x) ? sin 2( x ? ) ? sin(2 x ? ) ,由 6 3 6 ? ? 5? k? ? 2 x ? ? ? k? 得, x ? ? , k ? Z ,所以 k ? ?1 时, x ? ? ,选 A. 3 2 12 2 12
a? 的值为( 3

28【山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试 理科】 若点(a,9)在函数 y ? 3x 的图象上,则 tan )

A.0 【答案】D

B. ?

3 3

C.1

D. ? 3

a x 【 解 析 】 因 为 点 ( a,9) 在 函 数 y ? 3 的 图 象 上 , 所 以 3 ? 9 , 解 得 a ? 2 , 所 以

a? 2? tan ? tan ? ? 3 3

3 D. ,选

29 【 山 东 省 济 南 外 国 语 学 校 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 理 科 】 已 知 函 数

f ( x) ? 2sin(? x ? ? ), x ? R, 其 中 ? ? 0, ?? ? ? ? ?. 若 f ( x) 的 最 小 正 周 期 为 6? , 且 当
x?

?
2

时, f ( x ) 取得最大值,则(

) B. f ( x ) 在区间 [?3? , ?? ] 上是增函数 D. f ( x ) 在区间 [4? , 6? ] 上是减函数

A. f ( x ) 在区间 [?2? ,0] 上是增函数 C. f ( x ) 在区间 [3? ,5? ] 上是减函数 【答案】A

【解析】由 T ?

2?

1 ? ? ? ? ? ? ? ? 2k? ,所以 ? ? ? 2k? ,因为 ?? ? ? ? ? ,所以 3 2 2 3 ? 1 ? ? 1 ? ? ?? , f ( x) ? 2sin( x ? ) , 由 ? ? 2k? ? x ? ? ? 2k? , 得 3 3 3 2 3 3 2 5? ? 5? ? ? ? 6k? ? x ? ? 6k? ,函数的增区间为 [? ? 6k? , ? 6k? ] ,当 k ? 0 时,增区 2 2 2 2 5? ? , ] ,所以 f ( x) 在区间 [?2? ,0] 上是增函数,选 A. 间为 [? 2 2
数取得最大值,即 30 【山东省聊城市东阿一中 2013 届高三上学期期初考试 】若 sin2? ? 0 ,则角 ? 是 ( ) B.第二或第三象限角 D.第二或第四象限角

?

? 6? ,所以 ? ?

1 1 ? ,所以函数 f ( x) ? 2sin( x ? ? ) ,当 x ? 时,函 3 3 2

A.第一或第二象限角 C.第三或第四象限角 【答案】D

【解析】因为 sin2? ? 2sin ? cos ? ? 0 ,则角 ? 是第二或第四象限角,选 D 31【山东省德州市乐陵一中 2013 届高三 10 月月考数学理】 在△ABC 中,“ sin A ? sin B ” 是“ A ? B ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 【答案】C 【解析】在 ?ABC 中,sin A ? sin B ,则 A ? B ;若 A ? B ,则 sin A ?sin B .∴在 ?ABC 中,“ sin A ? sin B ”是“ A ? B ”的充要条件,故选 C. 32 【山东省德州市乐陵一中 2013 届高三 10 月月考数学理】已知 a 是实数,则函数 D.既不充分也不必要条件

f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能是( )

【答案】D

【解析】A 中,周期 T ?

2? ? 2? ,所以 a ? 1 ,函数的最大值为 1 ? a ? 2 ,所以 A 的图 a

象有可能.B 周期 T ?

2? ? 2? ,所以 a ? 1 ,函数的最大值为 1 ? a ? 2 ,所以 B 的图 a 2? ? 2? , a

象有可能.C 中当 a ? 0 时, 函数为 f ( x) ? 1 , 所以 C 的图象有可能.D 周期 T ?

所以 a ? 1 ,函数的最大值为 1 ? a ? 2 ,而 D 的图象中的最大值大于 2,所以 D 的图象 不可能,综上选 D. 33 【山东省德州市乐陵一中 2013 届高三 10 月月考数学理】 为了得到函数 y ? sin( 2 x ? 的图像,只需把函数 y ? sin( 2 x ?

?
6

2? ) 3

) 的图像

? 个单位长度 2 ? C.向左平移 个单位长度 4
A.向左平移 【答案】C

? 个单位长度 2 ? D.向右平移 个单位长度 4
B.向右平移

【解析】依题意,把函数 y ? sin(2 x ? 的图象,即函数 y ? sin(2 x ?

?
6

) 左右平移 a 各单位长得函数 y ? sin(2 x ? 2a ?

?
6

)

2? ? 2? ? ) 的图象,∴ 2a ? ? ,解得 a ? ,故选 C. 3 6 3 4

34【山东省德州市乐陵一中 2013 届高三 10 月月考数学理】给出下面的 3 个命题:(1)函 数 y ?| sin(2 x ?

?
3

) | 的最小正周期是

? 3? ? 3? ; (2)函数 y ? sin( x ? ) 在区间 ?? , 2 2 ? 2

? ?上 ?

单调递增;(3) x ? 的个数是 A.0

5? 5? ) 的图象的一条对称轴.其中正确命题 是函数 y ? sin(2 x ? 4 2
( B.1 C.2 ) D.3 C

【答案】C 【解析】函数 y ? sin(2 x ? 区间 [? ,

?
3

) 的最小正周期为

? 3? ) ? cos x ,在 ,①正确. y ? sin( x ? 2 2

3? 5? 5? 5? ) 上递增,②正确.当 x ? ? ) ? sin 5? ? 0 ,所以 时, y ? sin(2 ? 2 4 4 2

x?

5? 不是对称轴,所以③错误.所以正确的命题个数为 2 个,选 C. 4

35 【 山 东 省 滨 州 市 滨 城 区 一 中 2013 届 高 三 11 月 质 检 数 学 理 】 对 于 函 数

f ( x) ? 3 sin x ? cos x ,下列命题中正确的是
A. ?x ? R, f ( x) ? 2 C. ?x ? R, f ( x) ? 2 【答案】B 【解析】因为 f ( x) ? 3 sin x ? cos x ? 2sin( x ? 选 B. B. ?x ? R, f ( x) ? 2 D. ?x ? R, f ( x) ? 2





?
6

) ,所以 ?2 ? f ( x) ? 2 ,即 B 正确,

36 要得到函数 y ? 3 sin( 2 x ? ) 【 山东省滨州市滨城区一中 2013 届高三 11 月质检数学理】
的图象,可以将函数 的图象 个单位 (B) 沿 x 向右平移

π 4

(A) 沿 x 轴向左平移

个单位

(C) 沿 x 轴向左平移 个单位 (D) 沿 x 向右平移 【答案】B 【解析】 y ? 3sin(2x ?
函数

个单位

?
4

) ? 3sin[2(x ?

?
8

)],根据函数图象平移的“左加右减”原则,应该将

y ? 3sin 2 x 的图象向右平移

? 8

个单位.

37【 山东省滨州市滨城区一中 2013 届高三 11 月质检数学理】如图,为了测量某湖泊的两 侧 A,B 的距离,给出下列数据,其中不能唯一确定 A,B 两点间的距离是( )

A. C.

角 A、B 和边 b 边 a、b 和角 C

B. D.

角 A、B 和边 a 边 a、b 和角 A

【答案】D 【解析】 根据正弦定理和余弦定理可知当知道两边和其中一边的对角解三角形时, 得出的答

案是不唯一的。所以选 D. 38 【 山 东 省 滨 州 市 滨 城 区 一 中 2013 届 高 三 11 月 质 检 数 学 理 】 已 知 函 数

f ( x) ? sin x ? cos x, g ( x) ? 2sin x , g ( x) 的图象分别交于点 P 、 动直线 x ? t 与 f ( x ) 、 Q,

| PQ | 的取值范围是 ( )
A.[0,1] 【答案】C 【解析】 PQ ? g (t ) ? f (t ) ? sin t ? cos t ? 39 【 B.[0,2] C.[0, 2 ] D.[1, 2 ]

2 sin(t ? ) ,所以 0 ? PQ ? 2 ,选 C. 4
函数

?

山 东 省 滨 州 市 滨 城 区 一 中 2013 届 高 三 11 月 质 检 数 学 理 】

f ( x)? A s i? n(x ??

)A ? (

? 0? , 在 0x)? 和

x 1 ?处分别取得最大值和最小值,且 ? 1
)

对于任意 ? x1、x2 ? [?1,1] ( x1 ? x 2 )都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立则( x1 ? x2

A.函数 y ? f ( x ? 1) 一定是周期为 2 的偶函数 B.函数 y ? f ( x ? 1) 一定是周期为 2 的奇函数 C.函数 y ? f ( x ? 1) 一定是周期为 4 的奇函数 D.函数 y ? f ( x ? 1) 一定是周期为 4 的偶函数 【答案】D 【解析】 任意 ? x1、x2 ? [?1,1]( x1 ? x 2 ) 都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,所以函数在 [?1,1] x1 ? x2

上单调递增,又函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0)在x ? 1和x ? ?1 处分别取得 最大值和最小值,所以

f (1) ? A sin( ?? )? A , 即 s i n ( ? ? ? ) , 1 即 ? ? ? ? 2 k? , k ? Z , 所 以 2 2 2 2

?

T 2? ? ? 1 ? ( ?1) ? 2,所以 T ? 4 ,即 T ? ? 4, ? ? 。又 2 ? 2

?

?

?

? ? 2k? , k ? Z







f(

x ?)

y ? f ( x ? 1) ? A sin

?
2

(x ?1 ) =A cos
2013

?
2

As 2

?

i 为n x 奇











x 为偶函数,所以选 D.

40 【 山 东 省 师 大 附 中

届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 数 学 理 】 若

1 ? ?? a ? ? 0, ? , 且 sin 2 ? ? cos 2? ? ,则 tan ? 的值等于___________. 4 ? 2?
【答案】 3

2? 【 解 析 】 由 s i n ? ? c o s?
2

cos ? ?

1 ? ,所以 ? ? , tan ? ? 3 . 2 3

1 1 2 2 2 2 得 sin ? ? 1 ? 2sin ? ? 1 ? sin ? ? cos ? ? , 所 以 4 4

41 【 山东省滨州市滨城区一中 2013 届高三 11 月质检数学理】 已知 a ? (cosx,2) ,

?

? 2 ? ? b ? (2 sin x,3) , a // b ,则 sin 2 x ? 2 cos x ?
【答案】 ?

.

8 25

o? s 【 解 析 】 因 为 a // b , 所 以 3 c x

?

?

x4 ? s i ? ,n 即 t 0a x n

3 , 又 4

s i x n?2

2

2 2 sx i n x ? c o s x2 c o ? sx 2 t a n 2 x ?c o s 2 ? ?? 。 2 2 s i x n? c x o s ? x1 t a n

2 2 5

8

tan 42 【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试理】
【答案】 ?1 【解析】 tan

15? ? 4



15? ? ? ? tan(4? ? ) ? ? tan ? ?1 . 4 4 4

43【 山东省滨州市滨城区一中 2013 届高三 11 月质检数学理】设

a ? ? 1 ? x 2 dx
0

1

,对任意

2 x ? R , 不 等 式 a(cos x ? m) ? ? cos x ? 0 恒 成 立 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围

为 【答案】 ?? ?,?3?

.

【解析】根据定积分的几何意义知 a ? 为

?
4

,所以不等式 a(cos2 x ? m) ? ? cos x ? 0 可以化

?
4

2 (cos 2 x ? m) ? ? cos x ? 0 , 即 c o xs? m ?

4 c x? o恒 s 成 立 0 , 所 以

m ? cos2 x ? 4cos x 恒成立,又因为 cos2 x ? 4cos x ? (cos x ? 2)2 ? 4, ?1 ? cos x ? 1 ,所
2 以 cos x ? 4cos x 的最小值为 ?3, 所以 m 的取值范围为 (??, ?3].

44【北京市东城区普通校 2013 届高三 12 月联考数学(理)】已知 sin ? ? 象限角,则 tan ? 的值为 .

3 ,且 ? 为第二 5

【答案】 ?

3 4

【解析】因为 ? 为第二象限角,所以 cos ? ? ?

4 sin ? 3 , tan ? ? ?? 。 5 cos ? 4

2011-2012 年联考题
一、选择题 3 1.(2012· 三明模拟)已知 0<α<π,且 tan α=4,则 cos α 等于 3 A.-5 4 C.-5 解析 3 π ∵0<α<π,tan α=4>0,∴0<α<2, 3 B.5 4 D.5

sin α 3 由 tan α=cos α=4,且 sin2α+cos2α=1, 4 得 cos α=5. 答案 D

π π 2.(2012· 门头沟一模)在△ABC 中,已知∠A=4,∠B=3,AB=1,则 BC 为 A. 3-1 6 C. 3 解析 π π 5π ∵A=4,B=3,∴C=12, B. 3+1 D. 2

AB 由正弦定理可得 BC=sin C· sin A = π × sin 5π 4= 3-1. sin 12 1 A

答案

3.(2012· 济宁一模)在△ABC 中,AB= 3,AC=1,B=30° ,则△ABC 的面 积等于

3 A. 2 3 3 C. 2 或 4 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B,

3 B. 4 3 D. 2 或 3

解析

3 即 1=a2+3-2a 3× 2 , 化简得 a=1 或 a=2. 1 3 3 ∴S△ABC=2ac sin B= 4 或 2 . 答案 C

π? ? 4.(2012· 宜春模拟)设 A,B,C∈?0,2?,且 sin A-sin C=sin B,cos A+cos ? ? C=cos B,则 B-A 等于 π A.-3 π C.-6 解析 π B.3 π π D.3或3

由已知条件得:sin C=sin A-sin B,cos C=cos B-cos A,

1 两式平方相加,得 1=2-2cos(B-A),∴cos(B-A)=2. ∵sin C=sin A-sin B>0,∴sin A>sin B. π? ? 又∵A,B∈?0,2?,∴A>B.∴B-A<0. ? ? π ? π π? 又∵B-A∈?-2,2?,∴B-A=-3. ? ? 答案 A

5.如图所示,B、C、D 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C、D 两点测 得 A 点的仰角分别为 β 和 α(α<β),则 A 点距地面的高 AB 等于

A. C.

asin αsin β sin?β-α?

B.

asin αsin β cos ?β-α? acos αcos β cos ?β-α?

asin αcos β sin ?β-α?

D.

解析

AC AB=ACsin β,sin α=

DC DC = sin∠DAC sin ?β-α?

解得 AC= 答案 A

asin α asin αsin β ,∴AB= . sin ?β-α? sin ?β-α?

5 6.(2012· 临沂一模)在△ABC 中,a=4,b=2,5cos (B+C)+3=0,则角 B 的大小为 π A.6 π C.3 解析 π B.4 5π D. 6 3 由 5cos(B+C)+3=0 得 5cos A=3,cos A=5,

4 所以 sin A=5,因为 a>b, 所以 A>B,即 B 为锐角, a b 由正弦定理知sin A=sin B, 5 4 × bsin A 2 5 1 所以 sin B= a = 4 =2. π 所以 B=6,选 A. 答案 A

二、填空题 7.(2012· 青岛二模)若 tan α=2,则 sin αcos α=________. 解析 答案 sin αcos α= 2 5 sin αcos α tan α 2 =5. 2 2 = 2 sin α+cos α tan α+1

π 8. 在△ABC 中, 若 b=5, B=4, tan A=2, 则 sin A=________, a=________. 解析 因为在△ABC 中,tan A=2,所以 A 是锐角,

sin A 且cos A=2,sin2A+cos2A=1, 2 5 联立方程组,解得 sin A= 5 . a b 再由正弦定理,得sin A=sin B. 代入数据,解得 a=2 10. 答案 2 5 5 2 10

9.如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC=2 3,点 D 在 BC 边上,∠ADC= 45° ,则 AD 的长度等于________.

解析

1 由已知条件及三角函数的定义可得 sin C=2, 在△ADC 中利用正弦定

理即可求解. 3 1 在△ABC 中,∵AB=AC=2,BC=2 3,∴cos C= 2 ,∴sin C=2; AD 在△ADC 中,由正弦定理得,sin C= 答案 2 AC 2 1 ,∴AD= ×2= 2. sin ∠ADC 2 2

三、解答题 10.(2012· 沈阳模拟)如图已知 A,B,C 是一条直路上的三点,AB=1 km,

BC=2 km,从三点分别遥望塔 M,在 A 处看见塔在北偏东 60° ,在 B 处看见塔 在正东方向,在 C 处南偏东 60° ,求塔 M 到直线 ABC 的最短距离.

解析

由条件可知∠CMB=30° ,∠AMB=30° ,

又 AB=1 km,BC=2 km, 所以△CMB 和△AMB 的面积比为 2∶1, 即,所以 MC=2MA; 在△ACM 中,由余弦定理可得: 9=MC2+MA2-2· MC· MA· cos 60° ,MA= 3, △ACM 为直角三角形, M 到 ABC 的最短距离为 3. cos B b 11.在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且cos C=- . 2a+c (1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13,a+c=4,求 a 的值. 解析 (1)解法一 a b c 由正弦定理sin A=sin B=sin C=2R,

得 a=2Rsin A,b=2Rsin B, cos B b c=2Rsin C,代入cos C=- , 2a+c cos B 得cos C=- sin B , 2sin A+sin C

即 2sin Acos B+sin Ccos B+cos Csin B=0, 所以 2sin Acos B+sin(B+C)=0.

又 A+B+C=π, 所以 sin(B+C)=sin A. 所以 2sin Acos B+sin A=0. 1 又 sin A≠0,所以 cos B=-2. 2π 又角 B 为三角形的内角,所以 B= 3 . 解法二 a2+c2-b2 a2+b2-c2 由余弦定理 cos B= 2ac ,cos C= 2ab ,

a2+c2-b2 cos B b 2ab b 代入cos C=- ,得 2ac ·2 . 2 2=- 2a+c a +b -c 2a+c 整理,得 a2+c2-b2+ac=0, a2+c2-b2 -ac 1 所以 cos B= 2ac = 2ac =-2. 2π 又角 B 为三角形的内角,所以 B= 3 . 2π (2)将 b= 13,a+c=4,B= 3 代入余弦定理 b2=a2+c2-2ac· cos B, 2π 得 13=a2+(4-a)2-2a(4-a)· cos 3 , 整理,得 a2-4a+3=0,解得 a=1 或 a=3. 12.(2012· 广州模拟)已知△ABC 三个内角 A、B、C 的对边为 a、b、c,m= (a,cos B),n=(cos A,-b),a≠b,已知 m⊥n. (1)判断三角形的形状,并说明理由; sin A+sin B (2)若 y= sin Asin B ,试确定实数 y 的取值范围. 解析 (1)∵m⊥n,∴m· n=0,∴acos A-bcos B=0.

a b 由正弦定理知,sin A=sin B, ∴sin Acos A=sin Bcos B,∴sin 2A=sin 2B. ∵A,B∈(0,π),∴2A=2B 或 2A+2B=π. π ∴A=B(舍去),A+B=2. 所以三角形 ABC 是直角三角形.

sin A+cos A (2)∵sin B=cos A,∴y= sin Acos A . π? π? π ?π 3π? ? ? ∵sin A+cos A= 2sin?A+4?,A∈?0,2?,A+4∈?4, 4 ?. ? ? ? ? ? ? π? ? 2 ? ? ∴sin?A+4?∈? ,1?, ? ? ?2 ? ∴sin A+cos A∈(1, 2], t2-1 令 sin A+cos A=t∈(1, 2],sin Acos A= 2 , 2t 2 ∴x= 2 = . 1 t -1 t- t 1 ∵t- t 在(1, 2)单调递增, 1 1 2 ∴0<t- t ≤ 2- = 2 . 2 ∴x≥2 2,∵a≠b,故 x 的取值范围为(2 2,+∞).

2011 年联考题
题组一 选择题 1.(安徽省百校论坛 2011 届高三第三次联合考试理)

cos(
已知

3? 3 ? ? ?) ? , 且 | ? |? , 则 tan ? 2 2 2 等于 3 3 3 B. 3 C. 3 D.— 3





?
A. 答案 D.

2. (浙江省金丽衢十二校 2011 届高三第一次联考文)函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ? 60 ) 的最 大值是 A. 3 答案 A. ( )

3 B. 2

C.2

D.1

1 ? ? sin ? ? ? , ? ? (? , ) 3 2 2 , 3.(山东省莱阳市 2011 届高三上学期期末数学模拟 6 理)已知

3 sin(? ? ? ) sin( ? ? ? ) 2 则 的值是(



2 2 A、 9
答案 B.

2 2 9 B、 ?

1 C、 9 ?

1 D、 9

4.(湖南省嘉禾一中 2011 届高三上学期 1 月高考押题卷)在区间 [?1,1] 上随机取一个数

x, cos

1 2 的值介于 0 到 2 之间的概率为 ( 1 2 1 A. 3 B. ? C. 2

?x



2 D. 3

答案 D. 5. (湖北省补习学校 2011 届高三联合体大联考试题理)

cos(? ? ) ? 0, cos(? ? ? ) ? 0, 2 已知 下列不等式中必成立的是( tan
A.

?

)

?
2

? cot

?
2
B.

sin

?
2

? cos

?
2

tan
C. 答案 A.

?
2

? cot

?
2
D.

sin

?
2

? cos

?
2

?? ? f ( x) ? 3sin ? 2 x ? ? 3 ? 的图像为 C, ? 6.(河南省鹿邑县五校 2011 届高三 12 月联考理)函数
如下结论中正确的是 ( )

x?
A.图像 C 关于直线

?
6 对称

?? ? ? ,0? B.图像 C 关于点 ? 6 ? 对称 ? ? 5? ? ?? , ? f ( x ) C.函数 在区间 ? 12 12 ? 内是增函数

? D.由 y ? 3sin 2 x 的图像向右平移 3 个单位长度可以得到图像 C。
答案 C. 7. (河南省辉县市第一高级中学 2011 届高三 12 月月考理)若 cos ? ? 2sin ? ? ? 5, 则

tan ? ?

1 A. 2 ?
答案 B.

B.2

1 C. 2

D.-2

8. (北京四中 2011 届高三上学期开学测试理科试题) 已知

,则

等于( )

A.7

B.

C.

D.

答案 C. 9.(福建省三明一中 2011 届高三上学期第三次月考理) 已知函数 f ( x) ? cos x sin x( x ? R) ,给出下列四个命题: ①若 f ( x1 ) ? ? f ( x2 ),则x1 ? ? x2 ; ② f ( x) 的最小正周期是 2? ;

③ f ( x) 在区间

[?

? ?

, ] 4 4 上是增函数;

④ f ( x) 的图象关于直线

x?

3? 4 对称;

? 3 3? ? ? ?? , x ? ?? , ? ?? ?. 4 4 ? f ( x ) 6 3 ? ? ? ⑤当 时, 的值域为 其中正确的命题为 (



A.①②④ 答案 D.

B.③④⑤

C.②③

D.③④

10. (浙江省温州市啸秋中学 2010 学年第一学期高三会考模拟试卷) 函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的最小值是 A. ? 1 答案 B. 11.(浙江省嵊州二中 2011 届高三 12 月月考试题文) 函数 大值为 ( (A) 2 (C) 2 答案 B. ) (B) 2 ? 1 (D) 2 ? 1

1 B. 2 ?

1 C. 2

D. 1

y ? 2cos x ?sin x ? cos x ?

的最

4 sin ? ? ,sin ? cos? ? 0, 5 12. (山东省日照市 2011 届高三第一次调研考试文) 已知 则 sin 2? 的
值为

24 (A) 25 ?
答案 A.

12 (B) 25 ?

?
(C)

4 5

24 (D) 25

?
13. (福建省四地六校 2011 届高三上学期第三次联考试题理)已知

?
2

?? ?

?
2 ,且

sin? ? cos ? ? a ,其中 a ? ? 0,1? ,则关于 tan ? 的值,在以下四个答案中,可能正确的是
( )

A. ? 3 答案 C.

1 B.3 或 3

1 C. 3 ?

1 D. ? 3 或 3 ?

14.(甘肃省甘谷三中 2011 届高三第三次检测试题) tan 690° 的值为(
? 3 3 3 B. 3



A.

C. 3

D. ? 3

答案 A. 15. (甘肃省甘谷三中 2011 届高三第三次检测试题)

sin


?
2

? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? 4 3 4 B. 3

(? ? [0, ? ])

,则 tan ? ? (



?
A.

C. 0

4 D. 0 或 3 ?

答案 D. 16.(福建省四地六校 2011 届高三上学期第三次联考试题理)给出下面的 3 个命题:(1)
y ?| sin( 2 x ?

?

函数

? 3? 3? [? , ) y ? sin( x ? ) 2 上单调递 2 在区间 3 的最小正周期是 2 ; (2)函数
)|

x?
增;(3)

5? 5? y ? sin( 2 x ? ) 4 是函数 2 的图象的一条对称轴.

其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C. 17.(甘肃省甘谷三中 2011 届高三第三次检测试题)

?? ? f ( x) ? sin ? ? x ? ? (? ? 0) ?? ? 已知函数 的最小正周期为 ? ,则该函数的图象( ?? ? 0? ? , ? ? ? 对称 A.关于点 ?? ? 0? ? , ? ? ? 对称 C.关于点
x?
B.关于直线



? ? 对称 ? ? 对称

x?
D.关于直线

答案 A. 18 . ( 山 东 省 莱 阳 市 2011 届 高 三 上 学 期 期 末 数 学 模 拟 6 理 ) 已 知 函 数

? ? x? y ? A sin(? x ? ? ) ? k ( A ? 0) 的最大值是 4, 3是 最小值是 0, 最小正周期是 2 , 直线
其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是( )

y ? 4sin(4 x ? ) ? 2 6 A. y ? 2sin(4 x ? ) ? 2 3 C.

?

y ? 2sin(2 x ? ) ? 2 3 B. y ? 2sin(4 x ? ) ? 2 6 D.

?

?

?

答案 D. 19.(吉林省东北师大附中 2011 届高三上学期第三次模底考试理)

f ( x)? s i ? n (x ?
已知函数

?
4

) ? x( , R? ?

0)
的最小正周期为 ( )

? ,为了得到函数

g ( x) ? cos ? x 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象

? A. 向左平移 8 个单位长度 ? C. 向左平移 4 个单位长度
答案 A.

? B. 向右平移 8 个单位长度 ? D. 向右平移 4 个单位长度

3 2 20.(湖南省嘉禾一中 2011 届高三上学期 1 月高考押题卷)函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 图

2 c y ? ax2 ? bx ? 3 3 象如右图,则函数 的单调递增区间为(



A. (??, ?2] C. 答案 B.
[ ?2, 3]

B. [3, ??)
1 [ , ??) D. 2

21.(湖北省涟源一中、双峰一中 2011 届高三第五次月考理)下列函数中,周期为 ? ,且

?? ? ? ? ,? 在 ? 4 2 ? 上为减函数的是
y ? sin( x ?
A.





?
2

)
B.

y ? cos(2 x ?

?
2

)

y ? sin(2 x ? ) 2 C.
答案 C.

?

y ? cos( x ? ) 2 D.

?

22. (湖北省部分重点中学 2011 届高三第二次联考试卷)函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? ? ) 的图像 如图所示,

?? ? ? ? ? ,则 ? 的值为 (



?
A.

?
3
B.

? 2? 3

?
6 ?
D.

?
C.

?
3

或?

?
6

或?

5? 6

答案 A. 23.(黑龙江省佳木斯大学附属中学 2011 届高三上学期期末考试理) 函数 f ( x) ? 2cos x ? sin 2 x ?1
2

,给出下列四个命题

? 5? [ , ] (1)函数在区间 8 8 上是减函数;
x?
(2)直线

?
8 是函数图象的一条对称轴;

? (3)函数 f ( x) 的图象可由函数 y ? 2 sin 2x 的图象向左平移 4 而得到;
x ? [0, ] 2 ,则 f ( x) 的值域是 [0, 2] (4)若

?

其中正确命题的个数是 A.1 B.2 答案 B.

( C .3 D.4



24.(黑龙江省哈九中 2011 届高三期末考试试题理)将函数

y ? 3sin 2 x 的图像按向量

a ? (?

?
6

,1)
平移之后所得函数图像的解析式为 ( )

y ? 3sin(2 x ?
A.

?
3

)?1
B.

y ? 3sin(2 x ?
y ? 3sin(2 x ?
D.

?
3

)?1
)?1

?? ? y ? 3sin ? 2 x ? ? ? 1 6? ? C.
答案 A.

?
6

y ? sin(2 x ? ) 3 的图象是 25.(广西北海二中 2011 届高三 12 月月考试题理)
( A.关于原点成中心对称
?? ? ? ,0 ? C.关于点 ? 12 ? 成中心对称

?



B.关于

y 轴成轴对称
x?

?
12 成轴对称

D.关于直线

答案 D. 26 . ( 河 南 省 辉 县 市 第 一 高 级 中 学 2011 届 高 三 12 月 月 考 理 ) 已 知 函 数

f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (A ? 0 , ? ? 0 , ?? ? ? ? ? ) 的 部 分 图
象如图所示,则函数 f ( x ) 的解析式为

1 ? f ( x ) ? 2 sin( x ? ) 2 4 A. 1 3? f ( x) ? 2 sin( x ? ) 2 4 B. 1 ? f ( x) ? 2 sin( x ? ) 2 4 C. 1 3? f ( x) ? 2 sin( x ? ) 2 4 D.

答案 B. 27.(广东省高州市南塘中学 2011 届高三上学期 16 周抽考理)

1 ? a) x] ? cos[( 1 ? a) x] 的最大值为 2,则 f ( x) 的最小正周期为 已知函数 f ( x) ? a sin[(
( ) C. ? D. 2?

? A. 4
答案 C.

? B. 2

28.(北京龙门育才学校 2011 届高三上学期第三次月考)函数 A.最小正周期为 ? 的奇函数

y ? 2 cos 2 ( x ?

?
4

) ?1



( ) B.最小正周期为 ? 的偶函数

? C.最小正周期为 2 的奇函数
答案 A.

? D.最小正周期为 2 的偶函数
2

29. (福建省厦门外国语学校 2011 届高三 11 月月考理) 函数 f ( x) ? 2cos x ? sin 2 x ?1 给出下列四个命题



? 5? [ , ] (1)函数在区间 8 8 上是减函数;
x?
(2)直线

?
8 是函数图象的一条对称轴;

? (3)函数 f ( x) 的图象可由函数 y ? 2 sin 2x 的图象向左平移 4 而得到;
x ? [0, ] 2 ,则 f ( x) 的值域是 [0, 2] (4)若
其中正确命题的个数是 ( ▲ ) A.1 B.2 C .3 答案 B. D.4
sin 2 A ? 2 3,

?

30.(甘肃省甘谷三中 2011 届高三第三次检测试题) 若△ ABC 的内角 A 满足 则 sin A ? cos A =
15 3





A. 答案 A.

B.

?

15 3

5 C. 3

D.

?

5 3

31. (广东省清远市清城区 2011 届高三第一次模拟考试理)函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )(其

16 题图

A ? 0, ? ?
中 像( )

?

) 2 )的图象如图所示,为了得到 g ( x) ? sin 2 x 的图像,则只要将 f ( x) 的图

? A.向右平移 6 个单位长度 ? C.向左平移 6 个单位长度
答案 A.

? B.向右平移 12 个单位长度 ? D.向左平移 12 个单位长度

32. (广西北海二中 2011 届高三 12 月月考试题理) 函数 y ? sin 2 x 的图象按向 移后的解析式为 ( )

a ? ( ,?3) 6 平

?

y ? sin( 2 x ?
A

?
6

)?3

y ? sin( 2 x ? ) ? 3 6 B y ? sin( 2 x ? ) ? 3 3 D

?

y ? sin( 2 x ?
C

?
3

)?3

?

答案 D. 33 . ( 河 南 省 焦 作 市 部 分 学 校 2011 届 高 三 上 学 期 期 终 调 研 测 试 理 ) 已 知 函 数

,下面结论错误的是 A.函数 的最小正周期为 B.函数 是奇函数

C.函数 答案 D.

的图象关于直线

对称

D.函数

在区间

上是减函数

f ( x) ? 3 sin( 2 x ?
34.(贵州省遵义四中 2011 届高三第四次月考理))函数 以下三个命题中,正确的有( ①图象 C 关于直线 对称; )个 ②函数 f ( x) 在区间

?

) 3 的图象为 C ,

内是增函数;

③由 y ? 3 sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C . A.0 B.1 C.2 答案 C. 35.(河南省长葛第三实验高中 2011 届高三期中考试理) D.3

(?2 ? x ? 0) ?kx ? 1, ? y?? 8? 2 sin(?x ? ? ), (0 ? x ? ) ? 3 的图象如下图,则 ? 函数
k?
A.





1 1 ? , ? ? ,? ? 2 2 6 1 1 ? , ? ? ,? ? 2 2 3

k?
B.

1 ? k ? ? , ? ? 2, ? ? 2 6 C. k ? ?2, ? ? 2, ? ?
D. 答案 A. 填空题 36.(重庆市重庆八中 2011 届高三第四次月考文) 在 ?ABC 中,如果 sin A : sin B : sin C = 5 : 6 : 8 ,则此三角形最大角的余弦值是 答案 .

?
3

37.(重庆市南开中学高 2011 级高三 1 月月考文)

? ? (0, ? ), cos(? ? ? ) ? , 则 sin ? ?
若 。

3 5

答案

4 5;

38.(山东省日照市 2011 届高三第一次调研考试文)关于函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x 有下列

命题:①函数 y ? f ( x) 的周期为 π ;

②直线

x?

π 4 是 y ? f ( x) 的一条对称

π π ( ,0) y ? f ( x) y ? f ( x ) 轴; ③点 8 是 的图象的一个对称中心; ④将 的图象向左平移 4 个单位,

可得到 y ? 2 sin 2 x 的图象. 其中真命题的序号是

( . 把你认为真命题的序号都写上)

答案 ①③. 39 .(北京龙门育才学校 2011 届高三上学期第三次月考)已知 ? 是第二象限的角,

tan ? ? ?

1 2 ,则 cos? ? __________。

?
答案

2 5 5

40. (北京四中 2011 届高三上学期开学测试理科试题)

的值域为___________。

答案

f ( x) ? sin( 2 x ?
41. (北京五中 2011 届高三上学期期中考试试题理) 函数 的最小正周期为

?
6

) cos( 2 x ?

?
3

)

? 答案 2
42. (福建省安溪梧桐中学 2011 届高三第三次阶段考试理) 若 ? 是锐角, 且 cos ? 则 的值是 .

sin ? ?

?

?
6

??1 3,

2 6 ?1 6 答案
43.(福建省四地六校 2011 届高三上学期第三次联考试题理)已知 ? 为第二象限角,且 P

2 x ( x, 5 )为其终边上一点,若 cos ? = 4 则 x 的值为
答案 ? 3
?? 44.(甘肃省甘谷三中 2011 届高三第三次检测试题)已知 ? , ? ? ? 3? ? ,? ? 4 ? ,sin( ?

? ? )=-

3 ?? ? ? ? 12 , sin ? ? ? ? ? ? , cos?? ? ? 4 ?= 4 ? 13 则 5 ? ?
答案 45. (福建省安溪梧桐中学 2011 届高三第三次阶段考试理) 下图展示了一个由角的区间(0, ? )

?

56 65

到实数集 R 的映射过程: 区间(0, ? )中的角 ? 始边落在 OA 上,则终边对应半圆弧 AB 上的点 M,如图 1;将半圆弧 AB 围成一个椭圆,使两端点 A、B 恰好重合,如图 2;再将这个椭 圆放在平面直角坐标系中, 使其椭圆中心在 y 轴上, 点 A 的坐标为 与 x 轴交于点
M

(0,1) , 如图 3 中直线 AM

N (n,0)

,则 ? 的象就是 n,记作 f (? ) ? n .

B

O

A

下列说法中正确命题的序号是

.(填出所有正确命题的序号)

?1? f ? ? ?1 ① ?4? ;



f ? x?

是奇函数;



f ? x?
f ? x?

是定义域上的单调函数;



f ? x?

( ,0 ) 的图象关于点 2 对称 ;

?



的图象关于 y 轴 y 2 0 2 6 x

对称 答案 ③ ④ 46.(甘肃省甘谷三中 2011 届高三第三次检测试题) 函数

f ( x) ? A sin(?x ? ? )(A ? 0, ? ? 0 |)

的图象如图所示, .

则 f ?1? ? f ?2? ? f ?3? ? ? ? f ?2006? ? 的值等于 答案 3.

47.(广东省新兴惠能中学 2011 届高三第四次月考理)已知 ? 是第二象限角,

sin? ?

2 2 ,

sin(? ?
则 答案 0.

?
4

)?

简答题 48.(甘肃省甘谷三中 2011 届高三第三次检测试题)

?π ? ?π π? f ( x) ? 2sin 2 ? ? x ? ? 3 cos 2 x x ? ? , ? ?4 ? ?4 2? . (12 分)已知函数 ,
(I)求 f ( x ) 的最大值和最小值;(II)若不等式

f ( x) ? m ? 2

?π π? x?? , ? ? 4 2 ? 上恒成立, 在

求实数 m 的取值范围 答案 (1)3,2;(2)(1,4) 49.(山东省日照市 2011 届高三第一次调研考试文)(本小题满分 12 分)

f ( x) ? cos(
设函数

πx π πx ? ) ? cos 4 3 4 .

(Ⅰ )求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ )求函数 y ? f (?2 ? x) 在 [0, 2] 上的值域.

答案 解:(Ⅰ) f ( x ) =

cos

π π π π πx x cos ? sin x sin ? cos 4 3 4 3 4

π π 3 π 1 π sin x ? cos x sin( x ? ). 4 6 ??????4 分 4 2 4 = = 2

2π π 故 f ( x ) 的最小正周期为 T = 4 =8.
π π y ? f (?2 ? x) ? sin[ (?2 ? x) ? ] 4 6 (Ⅱ) sin( ?
=

??????????6 分

π π π π π ? x ? ) ? cos( x ? ) 2 4 6 = 4 6 . ??????9 分

0≤x≤2 ,

?

π π π 2π 1 π π 3 x? ?? cos( x ? ) 6≤4 6≤ 3 , 2≤ 4 6 ≤ 2 ,

?


π π 1 3 - cos( x ? ) 4 6 ≤2 2 ≤
[? 3 1 , ] 2 2 .

所以函数 y ? f (?2 ? x) 在 [0, 2] 上的值域为

??????12 分

50.(重庆市南开中学高 2011 级高三 1 月月考文) (13 分)

1 a ? (1, cos x), b ? ( ? ? sin x) 4 已知向量 x ? [0, ] 4 时,若 a ? b ,求 x 的值; (1)当
(2)定义函数 f ( x) ? a ? (a ? b), x ? R, 求f ( x) 的最小正周期及最大值。

?

答案

51.(湖南省嘉禾一中 2011 届高三上学期 1 月高考押题卷) ? ? ? f ( x) ? cos(2 x ? ) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4 已知函数 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和图象的对称轴方程
f ( x)

(Ⅱ)求函数

在区间

[?

, ] 12 2 上的值域

? ?

答案 解:(1)
? ?

f ( x) ? cos(2 x ? ) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

?

1 3 1 3 cos 2x ? sin 2 x ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos2 x 2 2 2 2

? 1 3 cos 2x ? sin 2 x ? cos 2x ? sin(2 x ? ) 6 2 2 ? ? k? ? 2? 2x ? ? k? ? (k ? Z ), 得x ? ? (k ? Z ) ∴周期T ? ?? 6 2 2 3 2 由
∴ 函数图象的对称轴方程为
x ? k? ?

?
3

(k ? Z )

(2)

x ? [?

? ? 5? , ],? 2 x ? ?[? , ] 12 2 6 3 6
?
? ?
? ?

? ?

f ( x) ? sin(2 x ? ) [? , ] [ , ] 6 在区间 12 3 上单调递增,在区间 3 2 上单调递减, 因为

所以


f (?

x?

?
3 时, f ( x) 取最大值 1

?
12



)??

? 3 ? 1 3 x?? ? f( )? ? f ( x ) 12 时, 2 2 2 ,当 取最小值 2
[?

所以 函数

f ( x)

在区间

? ? 3 , ] [? ,1] 12 2 上的值域为 2

52.(北京龙门育才学校 2011 届高三上学期第三次月考)(理科做)(本小题满分 13 分) 已知向量 a =

(sin2

?

6

x, cos2

?

6

x)



b ? (sin 2

?
6

x, ? cos 2

?
6

x),

g ( x) ? a ? b 。

(Ⅰ)求函数 g ( x ) 的解析式,并求其单调增区间; (Ⅱ)若集合 M ? { f ( x) | f ( x) ? f ( x ? 2) ? f ( x ? 1), x ? R} ,试判断 g ( x) 与集合 M 的关 系。

g ( x) ? sin 4
答案 解:(Ⅰ)

?
6

x ? cos 4
?
6

?
6

x
?
x 3 ,

? (sin2

?
6

x ? cos2

?
6

x) (sin2

?
6

x ? cos2

x) ? ? cos

2k? ?


?
3

x ? 2k? ? ? , k ? Z , 得6k ? x ? 6k ? 3, k ? Z ,

? g ( x) 的单调增区间为 [6k ,6k ? 3](k ? Z ).

(Ⅱ)

? g ( x) ? g ( x ? 2) ? ?[cos

?x
3

? cos(

?x
3

?

2? )] 3

? ?(cos

?x
3

? cos

?x
3

cos

1 ?x 3 ?x 2? ?x 2? ? sin ) ? sin sin ) ? ?( cos 2 3 2 3 3 3 3

, ? g ( x) ? M . 53.(甘肃省天水一中 2011 届高三上学期第三次月考试题理)(10分)求值(每小题 5 分)

? ? cos

?

3

( x ? 1) ? g ( x ? 1)

已知0 ? ? ?
(1).

?

3 5 ? ? ? ?, cos ? ? , sin(? ? ? ) ? ,求 sin ?和 cos ?的值。 2 5 13

1 sin x ? cos x ? ,x ? (0,π ) 5 (2)已知 ,求 cot x 的值。
答案 (10分)

3 ? 4 因为 cos ? ? , 0 ? ? ? ,所以 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? , 5 2 5 (1)解:
又因为 0 ? ? ?

? ? 3? 5 ? ? ? ?,所以 ? ? ? ? ? ,因为 sin(? ? ? ) ? ? 0, 2 2 2 13 12 所以 cos( ? ? ? ) ? ? 1 ? sin 2 (? ? ? ) ? ? , 13 16 cos ? ? cos[( ? ? ? ) ? ? ] ? cos( ? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? ) sin ? ? ? ? ? 。 65

sin x ? cos x ?
(2)解:由

1 1 24 1 ? 2sin x cos x ? , 2sin x cos x ? ? 5 ??(1),所以 25 25 ,

cos x ? 0 , 因为 x ? (0,π ) ,所以 sin x ? 0,

(sin x ? cos x) 2 ? 1 ? 2sin x cos x ? 1 ?

24 49 ? 25 25 ,

sin x ? cos x ?
所以

7 4 3 sin x ? , cos x ? ? 5 ??(2),联立(1)(2)解得 5 5,

cot x ?
所以

cos x 3 ?? sin x 4。

54.(浙江省嵊州二中 2011 届高三 12 月月考试题文) (本小题满分 14 分)已知 ?ABC 中的 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,定义向量

m ? 2sin B, ? 3

?

?,

B ? ? n ? ? cos 2 B, 2cos 2 ? 1? 2 ? 且 m / /n . ?
(Ⅰ)求函数

f ? x ? ? sin 2x cos B ? cos 2x sin B

的单调递增区间;

(Ⅱ)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积的最大值

答案

? ? ? 2 sin B(2 cos 2 B ? 1) ? ? 3 cos 2 B 2 解:(Ⅰ)? m // n


? sin 2B ? ? 3 cos2B

t an 2B ? ? 3

又? B 为锐角 ? 2B ? ?0, ? ?

? 2B ?

2? 3

?B ?

?
3

?? ? f ? x ? ? sin 2 x cos B ? cos 2 x sin B ? sin ? 2 x ? ? 3? ?
2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

? 5? ? ? k? ? , k? ? ? ? 12 12 ? . ∴函数的单调递增区间是 ?
?B ?
(Ⅱ)

7分

?
3

, b ? 2,由余弦定理cos B ?

a2 ? c2 ? b2 得 2ac

a 2 ? c 2 ? ac ? 4 ? 0
2 2 又? a ? c ? 2ac 代入上式得: ac ? 4 (当且仅当 a ? c ? 2 时等号成立.)

S ?ABC ?

1 3 ac s i n B? ac ? 3 2 4 (当且仅当 a ? c ? 2 时等号成立.)

14 分

55.(山东省莱阳市 2011 届高三上学期期末数学模拟 6 理)(本小题满分 12 分)

f ( x) ?
已知函数

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 , ( x ? R)

(I)求函数 f ( x ) 的最小值和最小正周期; ( II ) 设 ?ABC 的 内角 A, B, C 的 对边分 别为 a, b, c , 且 c ? 3 , f (C ) ? 0 , 若向 量

u v v m ? (1,sin A) 与向量 n ? (2,sin B) 共线,求 a , b 的值.
f ( x) ?
答案 解:(I)

? 3 1 ? cos 2 x 1 sin(2 x ? ) ? 1 sin 2 x ? ? 6 2 2 2=
T? 2? ?? 2 .

????3 分

则 f ( x ) 的最小值是-2,最小正周期是

????????6 分

f (C ) ? sin(2C ? ) ? 1 ? 0 sin(2C ? ) 6 6 =1, (II) ,则

?

?

0 ? C ? ? ,? 0 ? 2C ? 2? ,
? 2C ?

??

?
6

? 2C ?

?
6

?

11 ? 6 ,

?
6

?

? ? C? 3, 2,
与向量

????????????????8 分

向量

m ? ?1,sin A?

n ? ? 2,sin B?

共线

1 sin A ? ? 2 sin B , a 1 ? 由正弦定理得, b 2

??????????????????10 分



c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos
由余弦定理得, 由①②解得 a ? 1, b ? 2 .

?
3 ,即 3= a 2 ? b2 ? ab


?????????????????12 分

56.(湖北省补习学校 2011 届高三联合体大联考试题理) (12 分)设 a ? (cos x,1), b ? (sin x, 2) (1)若 a / / b ,求 (sin x ? cos x) 的值
2

(2)若 f ( x) ? (a ? b ) ? a ,求 f ( x ) 在 [0, ? ] 上的递减区间 答案 (1)

a / /b ? 2cos x ? sin x ? 0 ? tan x ? 2
2

2 (sin x? co xs ? )

sx in ?

2 2 2 x s i n x?c o 2 s x?c o s x? c o s x? ( t a nx?

2 tan

1)

?

1 9 (tan 2 x ? 2 tan x ? 1) ? 2 1 ? tan x 5

f ( x) ? cos 2 x ? sin x cos x ? 1 ? ?
(2)

2 ? 1 sin(2 x ? ) ? 2 4 2

2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

? k? ?

?
8

? x ? k? ?

3? 8

k?z

x ?[0, ? ]?令 k ? 0,1 得 f ( x) 在区间 [0, ? ] 上的递减区间是

[0,

3? 7? ],[ , ? ] 8 8

57.(福建省安溪梧桐中学 2011 届高三第三次阶段考试理)(本小题满分 13 分)

?π ? ,1? ? ?. 设函数 f ( x) ? m sin x ? cos x ( x ? R) 的图象经过点 ? 2
(Ⅰ )求 y ? f ( x) 的解析式,并求函数的最小正周期和单调递增区间

? 3 3 f ( ) ? 2 sin A (Ⅱ )若 12 ,其中 A 是面积为 2 的锐角 ?ABC 的内角,且 AB ? 2 ,
求 AC 和 BC 的长.

?π ? ,1? ? ? 答案 解:(Ⅰ) 函数 f ( x) ? m sin x ? cos x ( x ? R) 的图象经过点 ? 2
? m sin

?
2

? cos

?
2

?1

?m ? 1

………….2 分

? f ( x) ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) 4

?

…………………….4 分 …………………….5 分

? 函数的最小正周期 T ? 2?

2 k? ?


?
2

? x?

?
4

? 2k? ?

?
2 可得

2 k? ?

3? ? ? ? x ? ? 2 k? ? 4 4 4

? y ? f ( x) 的调递增区间为

[2k? ?

3? ? , 2k? ? ](k ? Z ) 4 4 ………………7 分

f ( ) ? 2 sin A (Ⅱ)因为 12 sin A ? sin


?

f ( ) ? 2 sin ? 2 sin A 3 即 12

?

?

?
3
…………………9 分

? 3 3 A? 3 ∵ A 是面积为 2 的锐角 ?ABC 的内角,?
S?ABC ? 1 3 AB AC sin A ? 3 2 2
2 2 2

………………….10 分

? AC ? 3

…………………….12 分

由余弦定理得: BC ? AC ? AB ? 2 ? AB ? AC cos A ? 7 …………………….13 分 58、(福建省三明一中 2011 届高三上学期第三次月考理)(本题满分 13 分)

y ? 0与函数 f ( x) ? 2 cos 2
A、 B 是直线

?x
2

? cos(?x ?

?
3

) ? 1(? ? 0)
图像的两个相邻交

| AB |?
点,且

?
2

.

(I)求 ? 的值;

(II)在锐角 ?ABC 中,a,b,c 分别是角 A,

3 f ( A) ? ? , c ? 3, ?ABC 2 B,C 的对边,若 的面积为 3 3 ,求 a 的值.
答案

59.(广东省华附、中山附中 2011 届高三 11 月月考理) (12 分)已知 f ( x) ?

cos

3x x 3x x cos ? sin sin ? 2 sin x cos x 2 2 2 2 ,

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期;

?? ? x ? ? ,? ? ? 2 ? ,求函数 f ( x) 的零点. (Ⅱ) 当
答案 解:(Ⅰ) f ( x) ? cos2 x ? sin 2 x =

2 cos( 2 x ?

?

) 4 …………………….4 分

故 T ? ? ???????????????????5 分

(Ⅱ)令 f ( x) ? 0 ,

2 cos(

?
4

? 2 x)

?? ? x ? ? ,? ? ?2 ? =0,又?

…… ………….7 分

?

5? ? 9? ? 3? ? ? 2x ? ? ? 2x ? 4 4 4 4 2 ????????????????9 分 x? 5? 8
函数 f ( x) 的零点是

x?



5? 8

……………. 12 分

60. ( 广 东 省 惠 州 三 中 2011 届 高 三 上 学 期 第 三 次 考 试 理 ) ( 12 分 ) 已 知 函 数

f ( x) ? sin( x ? ) ? sin( x ? ) ? cos x ? a(a ? R, a为常数) 6 6 .

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期;

? ? f ( x ) (Ⅱ)若函数 在[- 2 , 2 ]上的最大值与最小值之和为 3 ,求实数 a 的值.
f ( x) ? 2sin x cos
答案 解:(Ⅰ)∵

?
6

? cos x ? a

? 3 sin x ? cos x ? a

?? ? ? 2sin ? x ? ? ? a 6? ?
∴函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? 2?

????????4 分 ?????????6 分

? ? ?? ? ? 2? x ? ?? , ? ? ? x? ? ? 2 2 ? ,∴ 3 6 3 (Ⅱ)∵
x?
∴当

?
6 ?

??

?
3 ,即 x?

x??

?

? ?? f min ? x ? ? f ? ? ? ? ? 3 ? a ? 2? 2 时, ??8 分

x?


?
6

?
2 ,即

?

?? ? f max ? x ? ? f ? ? ? 2 ? a ?3? 3 时,

??10 分

由题意,有 (? 3 ? a) ? (2 ? a) ? 3 ∴ a ? 3 ?1 ??12 分

61.(河南省长葛第三实验高中 2011 届高三期中考试理)(本小题满分 12 分)

f ( x) ? sin( 2 x ?
已知函数

?
6

) ? sin( 2 x ?

?
6

) ? cos 2 x ? a(a ? R, a
为常数).

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x) 的单调递增区间;

x ? [0, ] 2 时, f ( x) 的最小值为 ? 2 ,求 a 的值. (3) 若
答案

?

∴当 x ? 0 时 f ( x) 取得最小值,

2 sin( ? ) ? a ? ?2 6 即 , ∴ a ? ?1 .
题组二 一、选择题

?

?????12 分

1. (成都市玉林中学 2010— 2011 学年度)函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 9 ,已知 f ( x) 在
3 2

x ? ?3 时取得极值,则 a =
(A)4 (B)3
3 2

(C)5
2

(D)2

? 答案 C. 解: f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 9 ? f ( x) ? 3x ? 2ax ? 3
? 由已知 x ? ?3 时, f ( x) ? 0 ? 3 ? 9 ? 2a ? 3 ? 3 ? 0 ? a ? 5
cos( ?
2.(成都市玉林中学 2010—2011 学年度) 故选 C

20? )? 3

1 3 (A) 2 (B) 2
答案 C.

1 (C)— 2

3 (D)— 2

3. (成都市玉林中学 2010—2011 学年度) 已知定义域为 R 的函数 f ( x ) 在 (8,??) 上为减函数, 且 y ? f ( x ? 8) 函数为偶函数,则 A. f (6) ? f (7) C. f (7) ? f (9) D. f (7) ? f (10) B. f (6) ? f (9)

答案 D.

?? ? y ? 2sin ? 2 x ? ? 3 ? 的图象是: ? 4.(成都市玉林中学 2010—2011 学年度)
(A)关于原点成中心对称
?? ? ? ,0 ? (C)关于点 ? 12 ? 成中心对称

(B)关于 y 轴成轴对称
x?

?
12 成轴对称

(D)关于直线

?? ? y ? 2sin ? 2 x ? ? 3? ? 答案 D. 解:因为
2x ?
若是关于中心对称:则 关于指定的点成中心对称;

?
3

? k? ? x ?

3k? ? ? ? (k ? Z ) x ? 0, x ? 6 12 ,所以不 ,故 k? ? ? (k ? Z ) 2 12

2x ?
若是关于轴对称:则

?
3

? k? ?

?
2

?x?

? k ? 0 时,对称轴为

x?

?
12
故选 D

5.(江西省 2011 届高三文)直角梯形 ABCD,如图 1,动点 P 从 B 点出发,由 B→C→D→ A 沿边运动,设动点 P 运动的路程为 x,Δ ABP 面积为 f ( x ) ,已知 f ( x ) 图象如图 2,则Δ ABC 面积为( ) D y C P A A.10 答案 B. 图1 B.16 B C.18 0 4 图2 D.32 9 14 x

6.(江西省 2011 届高三理)若函数 f(x)=x- 值范围是 A.[-1,+∞) 答案 A.

p p + 在(1,+∞)上是增函数,则实数 p 的取 x 2 D.(-∞,1]

B.[1,+∞) C.(-∞,-1]

?? ? y ? 2sin ? 2 x ? ? 3 ? 的图象是: ? 7.(四川省成都市玉林中学 2011 届高三理)
A.关于原点成中心对称
?? ? ? ,0 ? C.关于点 ? 12 ? 成中心对称

B.关于 y 轴成轴对称
x?

?
12 成轴对称

D.关于直线

?? ? y ? 2sin ? 2 x ? ? 3? ? 答案 解:因为
2x ?
若是关于中心对称:则 关于指定的点成中心对称;

?
3

? k? ? x ?

3k? ? ? ? (k ? Z ) x ? 0, x ? 6 12 ,所以不 ,故 k? ? ? (k ? Z ) 2 12

2x ?
若是关于轴对称:则

?
3

? k? ?

?
2

?x?

? k ? 0 时,对称轴为

x?

?
12
故选 D

? 8. (浙江省桐乡一中 2011 届高三理) 要得到函数 y=cos2x 的图象, 只需将函数 y=cos(2x- 3 )
的图象

?
(A)向右平移 3 个单位

?
(B)向左平移 3 个单位

?
(C)向右平移 6 个单位 答案 D.

?
(D)向左平移 6 个单位

9. (四川省成都外国语学校 2011 届高三 10 月文)同时具有性质:“①对任意 x ? R ,
f ( x ? ? ) ? f ( x)

恒成立;②图象关于直线

x?

?
3 对称;③在

[?

? ?

, ] 6 3 上是增函数”的函数可

以是( A.



f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

)

B. D.

f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

)

C. 答案 B.

f ( x) ? cos(2 x ?

?
3

)

f ( x) ? cos(2 x ?

?
6

)

3 10.(四川省成都外国语学校 2011 届高三 10 月文).已知函数 f ( x) ? x ? bx 的图象在点

A (1, f (1)) 处的切线的斜率为 4,则函数 g ( x) ? 3 sin 2x ? b cos 2x 的最大值是( A. 1 答案 B. B. 2 C. 2 D. 3



y ? sin x sin( x ?
11. (2011 湖南嘉禾一中) 别是 ( )

?
2

) ? sin

2? cos 2 x 3 的最大值 和最小正周期分

1? 3 A. 2
答案 D.

B.2,2π

C. 2 ,2π D.1,2π

12.(北京四中 2011 届高三上学期开学测试理科试题)函数 为 C,则下列论断中,正确论断的个数是( )

的图象

(1)图象 C 关于直线

对称;

(2)函数

在区间

内是增函数;

(3)由函数 A.0 答案 C. B.1

的图象向右平移 C.2 D.3

个单位长度可以得到图象 C.

? 13.(北京五中 2011 届高三上学期期中考试试题理)将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 4
个单位长度,向上平移 1 个单位长度,所得图象对应的函数解析式是( )

( A) y ? 2cos2 x
答案 A.

2 (B) y ? c o s x

2 (C ) y ? ? c o s x

( D) y ? ?2 c o2sx

f ( x) ? ?4 sin( 2 x ?
14. (福建省安溪梧桐中学 2011 届高三第三次阶段考试理) 将函数

?

) 4 的

1 ? 图象向右平移 个单位,再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的 2 倍,所得图象关于直线

x?

?
4 对称,则 ? 的最小正值为
3 ? B. 8
( )

1 ? A. 8

3 ? C. 4

D.

1 ? 2

答案 B. 15.(福建省惠安荷山中学 2011 届高三第三次月考理科试卷)

1 x 3? y? y ? cos( ? )( x ?[0,2? ]) 2 的交点个数是( ) 2 2 在同一直角坐标系中, 的图象和直线
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

答案 C. 16.(福建省惠安荷山中学 2011 届高三第三次月考理科试卷) 函数 f ( x) ? 2cos x ? sin 2 x ?1
2

,给出下列四个命题:

? 5? [ , ] (1)函数在区间 8 8 上是减函数;
x?
(2)直线

?
8 是函数图象的一条对称轴;

? (3)函数 f ( x) 的图象可由函数 y ? 2 sin 2x 的图象向左平移 4 而得到;
x ? [0, ] 2 ,则 f ( x) 的值域是 [0, 2] 。 (4)若
其中正确命题的个数是 ( A.1 B.2 答案 B. 二、填空题 ) C.3 D.4

?

?? ? f ?x ? ? 2 sin ? 3x ? ? 6 ? 的最小正周期 T ? ? 17.(江苏泰兴市重点中学 2011 届理)函数
2 ? 3 ,

答案

?? ? f ?x ? ? 3 sin x ? sin? ? x ? ?2 ? 在 x ? R 上的最 18.(江苏泰兴市重点中学 2011 届理)函数
小值等于 答案 -2。 19.(江苏泰兴市重点中学 2011 届理)函数 f ?x ? ? x ? 2 sin x 在 ?0, ? ?上的单调增区间为

{ ,? } 答案 3 ,
20 .(江苏泰兴市重点中学 2011 届理)已知函数 y ? f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时,

?

f ( x) ? x2 ? ax( a? R), f (2) ? 6 ,则 a ?
答案 5

_________

21.(江苏泰兴市重点中学 2011 届理)设函数 f ( x ) 是定义在 R 上以 3 为周期的奇函数,

若 f (1) ? 1 ,

f (2) ? 2 3,

2a ? 3 a ? 1 ,则 a 的取值范围是__________________________.

?1 ? a ?
答案

f ( x) ? lg

22.(江苏省 2011 届高三理)关于函数 ① 其图象关于 y 轴对称; ② 当

x2 ? 1 ( x ? 0) | x| ,有下列命题

x ? 0 时,

f ( x) 是增函数;当

x ? 0 时,

f ( x) 是减函数;

③ f ( x) 的最小值是 lg 2 ; ④ f ( x) 在区间(-1,0)、(2,+∞)上是增函数 ⑤ f ( x) 无最大值,也无最小值 其中所有正确结论的序号是 3 (?2,? ] 2 答案
π? ? f ( x) ? 3sin ? 2x ? ? 3 ? 的图象 ? 23.(湖南省嘉禾一中 2011 届高三上学期 1 月高考押题卷)函数

为 C ,如下结论中正确的是_______

(写出所有正确结论的编号) ①图象 C 关于直线
x? 11 π 12 对称;

? 2? ? 0? ? , ②图象 C 关于点 ? 3 ? 对称;

③函数

f ( x)

? ? 5? ? ?? , ? 在区间 ? 12 12 ? 内是增函数;

④由

y ? 3sin 2 x

? 的图角向右平移 3 个单位长度可以得到图象 C
2

答案 ①②③ 24. (四川成都市玉林中学 2010—2011 学年度) 已知函数 f ( x) ?| x ? 2ax ? b | ( x ? R) . 给 出下列命题:① f ( x) 必是偶函数;②当 f (0) ? f (2) 时, f ( x) 的图像必关于直线 x=1 对

2 2 称;③若 a ? b ? 0 ,则 f ( x) 在区间 [a, ? ?] 上是增函数; ④ f ( x) 有最大值 | a ? b | . 其

中正确的序号是 答案 ③ 解:①不恒为偶函数;



② f (0) ? f (2) ?| b |?| 4 ? 4a ? b |? b ? (4 ? 4a) ? 2b(4 ? 4a) ? b ,
2 2 2

所以 a ? 1或b ? 2a ? 2 ,若 f ( x) ?| x ? 2 x ? b | ( x ? R) ? 关于 x ? 1 对称,
2

若 f ( x) ?| x ? 2ax ? 2a ? 2 |? 不恒关于 x ? 1 对称;
2

③ a ? b ? 0 时,整个图象在 x 轴的上方(或顶点在 x 轴上)
2

f ( x) ?| x2 ? 2ax ? b |? x2 ? 2ax ? b ,故 f ( x) 在区间 [a, ? ?] 上是增函数;
④无最大值。(开口向上) 25.(成都市玉林中学 2010—2011 学年度)已知函数 f ( x) ?| x ? 2ax ? b | ( x ? R) .给出
2

下列命题:① f ( x) 必是偶函数;②当 f (0) ? f (2) 时, f ( x) 的图像必关于直线 x=1 对称;
2 2 ③若 a ? b ? 0 ,则 f ( x) 在区间 [a, ? ?] 上是增函数;④ f ( x) 有最大值 | a ? b | . 其中

正确的序号是 答案 ③ 解:①不恒为偶函数;



② f (0) ? f (2) ?| b |?| 4 ? 4a ? b |? b ? (4 ? 4a) ? 2b(4 ? 4a) ? b ,
2 2 2

所以 a ? 1或b ? 2a ? 2 ,若 f ( x) ?| x ? 2 x ? b | ( x ? R) ? 关于 x ? 1 对称,
2

若 f ( x) ?| x ? 2ax ? 2a ? 2 |? 不恒关于 x ? 1 对称;
2

③ a ? b ? 0 时,整个图象在 x 轴的上方(或顶点在 x 轴上)
2

f ( x) ?| x2 ? 2ax ? b |? x2 ? 2ax ? b ,故 f ( x) 在区间 [a, ? ?] 上是增函数;
④无最大值。(开口向上) 三、简答题

f ( x) ?
26. (江苏泰兴市重点中学 2011 届理) (本小题满分 14 分) : 已知函数

1 ? ax2 x ? b ?a ? 0?

是奇函数,并且函数 f ( x) 的图像经过点(1,3), (1)求实数 a , b 的值; (2)求函数 f ( x) 的值域

答案 解:(1)?函数
2

f ( x) ?

1 ? ax2 x ? b 是奇函数,则 f (? x) ? ? f ( x)

1 ? a?? x ? 1 ? ax2 ? ?? ,? a ? 0,? ? x ? b ? ? x ? b,? b ? 0 ? x?b x?b ???(3 分)
又函数 f ( x) 的图像经过点(1,3), ∴a=2 ??(6 分)

? f (1) ? 3,?

1? a ? 3,? b ? 0, 1? b

f ( x) ?
(2)由(1)知

1 ? 2x 2 1 ? 2 x ? ?x ? 0? x x ???(7 分)

当 x ? 0 时,

2x ?

1 1 1 ? 2 2x ? ? 2 2, 2x ? , x x x 当且仅当

x?


2 2 时取等号?(10 分)

当 x ? 0 时,

?? 2 x? ?

1 1 1 ? 2 ?? 2 x ? ? ? 2 2 ,? 2 x ? ? ?2 2 ?x ?x x

(?2 x) ?
当且仅当

1 2 , x?? ?x 即 2 时取等号?????(13 分)

综上可知函数 f ( x) 的值域为 ? ?,?2 2 ? 2 2,?? ????(12 分)

?

? ?

?

?1 ? a ? ?1, cos x ?, b ? ? , sin x ?, x ? ?0, ? ? ?3 ? 27.(江苏泰兴市重点中学 2011 届)(14 分)已知
sin x ? cos x (1)若 a // b ,求 sin x ? cos x 的值;
(2)若 a ? b ,求 sin x ? cos x 的值。 答案(本题满分 14 分)

a / / b ? sin x ?
解:(1)

1 1 cos x ? tan x ? 2 3 ????3 分

1 ?1 sin x ? cos x tan x ? 1 3 ? ? ? ? ?2 sin x ? cos x tan x ? 1 1 ?1 3 ????6 分

a?b?
(2)

1 1 ? sin x cos x ? 0 ? sin x cos x ? ? 3 3 ????8 分 5 3 ????10 分

? (sin x ? cos x) 2 ? 1 ? 2sin x cos x ?



x ? (0, ? )且 sin x cos x ? 0 ? x ? ( , ? ) ? sin x ? cos x ? 0 2 ??12 分

?

? sin x ? cos x ?

15 3 ??????14 分

28.(2011 湖南嘉禾一中)(本小题满分 12 分)

f ( x) ? sin( x ?
已知函数 (1)求常数 a 的值;

?
6

) ? sin( x ?

?
6

) ? cos x ? a
的最大值为 1.

(2)求 f ( x) 的单调递增区间; (3)求 f ( x) ≥ 0 成立的 x 的取值集合.

f ( x) ? 2 sin x cos
答案 (1)

?
6

? cos x ? a

? 3 sin x ? cos x ? a ? 2 sin( x ? sin( x ?


?
6

)?a

?
6

) ? 1时,

f ( x) max ? 2 ? a ? 1, 所以a ? ?1. ????????4 分
2k? ?
(2)令

?
2

? x?

?
6

? 2k? ?

?
2

,k ? Z,
??????6 分

2k? ?
解得:

2? ? ? x ? 2k? ? , k ? Z 3 3 [2k? ? 2? ? ,2k? ? ], k ? Z . 3 3 ????8 分

所以, f ( x) 的单调递增区间是

f ( x) ? 0得 sin( x ?
(3)由

?
6

)?

1 2 ,????????10 分

2k? ?
所以,

?
6

? x?

?
6

? 2l? ?

5? , k ? Z, 6

2k? ? x ? 2k? ?
解得:

2? ,k ? Z 3 {x | 2k? ? x ? 2k? ? 2? , k ? Z} 3 ??12 分

所以, f ( x) ? 0成立的x 的取值集合

29.(2011 湖南嘉禾一中)(本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? 1, (a ? R)
3 2

2 f ( x ) (1)若在 的图象上横坐标为 3 的点处存在垂直于 y 轴的切线,求 a 的值;
(2)若 f ( x) 在区间(-2,3)内有两个不同的极值点,求 a 取值范围; (3)在(1)的条件下,是否存在实数 m,使得函数 g ( x) ? x ? 5x ? (2 ? m) x ? 1 的
4 3 2

图象与函数 f ( x) 的图象恰有三个交点,若存在,试出实数 m 的值;若不存在,说明理由.

2 f ?( ) ? 0, 3 答案 解:(1)依题意,

? f ?( x) ? ?3x 2 ? 2ax,
2 2 ? 3( ) 2 ? 2 ? a ? ? 0, 3 3

? a ? 1 ??????????3 分
(2)若 f ( x) 在区间(—2,3)内有两个不同的极值点,

? 则方程 f ( x) ? 0 在区间(—2,3)内有两个不同的实根,

? ? ? 0, f ?(?2) ? 0, f ?(3) ? 0,?2 ?
3

a 9 ? 3, 解得 ? 3 ? a ? 且a ? 0 3 2

但 a=0 时, f ( x) ? ? x ? 1 无极值点,

9 (?3,0) ? (0, ) 2 ????????8 分 ∴a 的取值范围为
(3)在(1)的条件下,a=1,要使函数 f ( x)与g ( x) ? x ? 5x ? (2 ? m) x ? 1 的图象
4 3 2

恰有三个交点,等价于方程 ? x ? x ? 1 ? x ? 5x ? (2 ? m) x ? 1,
3 2 4 3 2

即方程 x ( x ? 4 x ? 1 ? m) ? 0 恰有三个不同的实根。
2 2

? x =0 是一个根,
2 ? 应使方程 x ? 4 x ? 1 ? m ? 0 有两个非零的不等实根,

由 ? ? 16 ? 4(1 ? m) ? 0,1 ? m ? 0, 解得m ? ?3, m ? 1??????12 分
4 3 2 ? 存在 m ? (?3,1) ? (1,??),使函数f ( x)与g ( x) ? x ? 5x ? (2 ? m) x ? 1 的图象恰

有三个交点??????????13 分 30. (成都市玉林中学 2010—2011 学年度) (本题满分 12 分)已知向量 a ? (cos x, 2cos x) , b

? (2cos x,sin ?? ? x ?)

,若 f ( x) ? a b+1 .(I)求函数

f ( x) 的解析式和最小正周期;

? ?? x ? ?0, ? ? 2 ? ,求 f ( x ) 的最大值和最小值. (II) 若
答案 解:(I)∵a ∴

? (cos x, 2cos x) , b ? (2cos x,sin ?? ? x?) ,
2

f ( x) ? a

·b+1 ? 2cos x ? 2cos x sin(? ? x) ? 1 ----------------2 分

? 1 ? cos 2 x ? 2 sin x cos x ? 1 ---------------------------------4 分 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 --------------------------------------6 分

? 2 sin( 2 x ? ) ? 2 4 . -------------------------------------------7 分

?

∴函数

f ( x) 的最小正周期

T?

2? ?? 2 .

--------------------------8 分

? ? ? 5? ? ? ?? 2x ? ? ? , ? ? x ? ?0, ? 4 ? 4 4 ? . ------------------------------------------------9 分 ? 2?, ∴ (II)

当2 x ?


?
4

?

?
2

,即x ?

?
8




f ( x)有最大值 2 ? 2 ;------------------11 分

当2 x ?

?
4

?

5? ? , 即x ? 时 4 2 , f ( x)有最小值1 -----------------------12 分

31. (四川成都市玉林中学 2010—2011 学年度) (本题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos x, 2cos x) , b

? (2cos x,sin ?? ? x ?)

,若 f ( x) ? a b+1 .(I)求函数

f ( x) 的解析式和最小正周期;

? ?? x ? ?0, ? ? 2 ? ,求 f ( x ) 的最大值和最小值. (II) 若
答案 解:(I)∵a ∴

? (cos x, 2cos x) , b ? (2cos x,sin ?? ? x?) ,
2

f ( x) ? a

·b+1 ? 2cos x ? 2cos x sin(? ? x) ? 1 ----------------2 分

? 1 ? cos 2 x ? 2 sin x cos x ? 1 ---------------------------------4 分 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 --------------------------------------6 分

? 2 sin( 2 x ? ) ? 2 4 . -------------------------------------------7 分

?

∴函数

f ( x) 的最小正周期 T ? 2 ? ? .

2?

--------------------------8 分

? ? ? 5? ? ? ?? 2x ? ? ? , ? ? x ? ?0, ? 4 ? 4 4 ? . ------------------------------------------------9 分 ? 2?, ∴ (II)

当2 x ?


?
4

?

?
2

,即x ?

?
8




f ( x)有最大值 2 ? 2 ;------------------11 分

当2 x ?

?
4

?

5? ? , 即x ? 时 4 2 , f ( x)有最小值1 -----------------------12 分
g ( x) ? ?bx a, b, c ? R

32 .(四川成都市玉林中学 2010 — 2011 学年度)(本题满分 14 分)已知二次函数

f ( x) ? ax2 ? bx ? c
a ? b ? c, f (1) ? 0 .

和一次函数



其中







(1)证明:函数 f ( x)与g ( x) 的图象交于不同的两点 A,B; (2)若函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x)在[2,3] 上的最小值为 9,最大值为 21,试求 a , b 的值; (3)求线段 AB 在 x 轴上的射影 A1B1 的长的取值范围. 答案 33.(1)由 g ( x) ? ?bx与f ( x) ? ax ? bx ? c得ax ? 2bx ? c ? 0,? f (1) ? a ? b ? c ? 0 ,
2 2

a ? b ? c,? a ? 0, c ? 0, 从而? ? b 2 ? 4ac ? 0, 即函数 f ( x)与g ( x) 的图象交于不同
的两点 A,B; ? ? 3 分 ( 2 )

b c ? ?a ? b, a ? b ? c, 即a ? c ? ?a ? b, 得2a ? ?b, ? ? 2, a

已知函数 F ( x) ? ax ? 2bx ? c 的对称轴为
2

x??

b a,
?????6 分 ??8 分

故 y ? F ( x) 在[2,3]上为增函数,

F (2) ? 3a ? 3b ? 9, F (3) ? 8a ? 5b ? 21, 解得a ? 2, b ? 1;

2b ? x1 ? x 2 ? ? ? ? a F ( x) ? ax2 ? 2bx ? c ? 0的两根为x1 , x 2 , 得? ?x x ? c ? 1 2 a ? (3)设方程
c 1 3 | A1 B1 |2 ?| x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 4[( ? ) 2 ? ], a 2 4 由a ? b ? c, b ? ?a ? c, 得a ? ?a ? c ? c, c 1 ? (?2, ? ), a 2

??9 分

??10 分

c c 1 3 1 c c 1 | A1 B1 | 2 ? h( ) ? 4[( ? ) 2 ? ], x ? ? , h( )在 ? (?2,? ) a a 2 4 的对称轴为 2 a a 2 上是减函 设

| A1 B1 | ? (3,12),得 | A1 B1 |? ( 3,2 3). 数,?
2

??12 分

34.(江苏泰兴市重点中学 2011 届)(14 分)设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为
2 a、b、c,且 3 b +3 c -3 a =4 2 bc .

2

2

(Ⅰ) 求 sinA 的值;

2sin( A ? )sin( B ? C ? ) 4 4 1 ? cos 2 A (Ⅱ)求 的值.
cos A ?
答案 解:(Ⅰ)由余弦定理得

?

?

b2 ? c 2 ? a 2 2 2 ? 2bc 3
1 3

0 ? A ? ? , 故 sin A ? 1 ? cos 2 A ?


2sin( A ? )sin(? ? A ? ) 4 4 ? 1 ? cos 2 A (Ⅱ)原式

?

?

2sin( A ? )sin( A ? ) 4 4 ? 2sin 2 A
2( 2 2 2 2 sin A ? cos A)( sin A ? cos A) 2 2 2 2 2sin 2 A

?

?

?

?

sin 2 A ? cos 2 A 2sin 2 A

7 ?? . 2
35.(江苏泰兴市重点中学 2011 届)(16 分)已知函数 f ( x) ? ax ? x ? bx (其中常数
3 2

a, b ? R ), g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇函数。
(1)求 f ( x ) 的表达式; (2)讨论 g ( x) 的单调性,并求 g ( x) 在区间
2

?1, 2? 上的最大值和最小值。

? 答案 解:(Ⅰ)由题意得 f ( x) ? 3ax ? 2x ? b ? 因此 g ( x) ? f ( x) ? f ( x) ? ax ? (3a ? 1) x ? (b ? 2) x ? b
2 2

因为函数 g ( x) 是奇函数,所以 g (? x) ? ? g ( x) ,即对任意实数 x ,有

a(? x)3 ? (3a ? 1)(? x)2 ? (b ? 2)(? x) ? b ? ?[ax3 ? (3a ? 1) x2 ? (b ? 2) x ? b]
从而 3a ? 1 ? 0, b ? 0 ,

1 1 a ? ? ,b ? 0 f ( x) ? ? x 2 ? x 2 . 3 3 解得 ,因此 f ( x ) 的解析表达式为 1 g ( x) ? ? x 2 ? 2 x 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,

? ? 所以 g ( x) ? ? x ? 2, 令g (x)=0
2

解得

x1 ? ? 2, x2 ? 2

? 则当 x ? ? 2或x> 2 时, g ( x) ? 0
从而 g ( x) 在区间 (??, ? 2] , [ 2, ??) 上是减函数,

当? 2 ? x ?

2时, g ?( x) ? 0 ,

从而 g ( x) 在区间 [? 2, 2] 上是增函数, 由前面讨论知, g ( x) 在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在 x ? 1, 2, 2 时取得,

5 4 2 4 g (1) ? , g ( 2) ? , g (2) ? 3 3 3 , 因 此 g ( x) 在 区 间 [1 , 2] 上 的 最 大 值 为 而 g (2) ?
4 4 2 g (2) ? . 3 3 ,最小值为
2

36.(江苏泰兴市重点中学 2011 届理)(本题满分 16 分)设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 在区间

??2, 2? 上的最大值、最小值分别是 M、m,集合 A ? ?x | f ( x) ? x? .

(1)若 A ? {1, 2},且 f (0) ? 2 ,求 M 和 m 的值; (2)若 A ? {1} ,且 a ? 1 ,记 g (a) ? M ? m ,求 g ( a ) 的最小值. 答案 27.(1)由 f (0) ? 2可知c ? 2, ???????????1 分 又

A ? ?1 , 2?,故1 , 2是方程ax2 ? (b ? 1) x ? c ? 0的两实根.

1-b ? 1+2= ? ? a ?? , c ?2= ? ? a ???????3 分

解得a ? 1, b ? ?2 ????4 分

? f ( x) ? x2 ? 2x ? 2 ? ( x ? 1)2 ? 1,

x ???2,2?

当x ? 1时,f ( x)min ? f (1) ? 1,即m ? 1 ???????????5 分 当x ? ?2时,f ( x)max ? f (?2) ? 10,即M ? 10. ???????????6 分
2 (2)由题意知,方程ax ? (b ? 1) x ? c ? 0有两相等实根x=2, x=1

1? b ? 1?1 ? ? ? a ? ?b ? 1 ? 2a ?2 ? c ? ? c?a a ∴ ? , 即?

???????????8 分

∴f(x)=ax2+(1-2a)x+a, x∈[-2,2]

1 4a ? 1 ? 1 ? 2a 其对称轴方程为 x= 2a

1 ?1 ? ? ? ,1? 又 a≥1,故 1- 2a ? 2 ? ???????????9 分
∴M=f(-2)=9a-2 ??????????10 分

f(
m=

2a ? 1 1 ) ? 1? 2a 4a

???????????11 分

1 g(a)=M+m=9a- 4 a -1

???????????14 分

31 63 又g (a)在区间?1, ??? 上为单调递增的, ?当a ? 1时,g (a)min ? . 4 ???16 分 = 4

2010 年联考题
题组二(5 月份更新)
一、填空题 1.(昆明一中一次月考理)在 ?ABC 中, ? A 、 ? B 、 ?C 所对的边长分别是 a 、 b 、 c . 满足 2a cos C ? c cos A ? b .则 sin A ? sin B 的最大值是 A、

2 2

B、 1

C 、 2

D、

1? 2 2

答案:C 2.(肥城市第二次联考)(文)已知函数 y ? sin x ,则(
2

).

(A) 有最小正周期为 2? (C) 有最小正周期为 答案 B

(B) 有最小正周期为 ? (D) 无最小正周期

? 2

3.(昆明一中三次月考理)已知 tan ? ? 2 ,则 A.-3 答案:A B.3

cos ? ? sin ? ? cos ? ? sin ?
C.2 D.-2

4. (安徽六校联考)函数 y ? tan?x (? ? 0) 与直线 y ? a 相交于 A 、 B 两点,且 | AB | 最小值为 ? , 则函数 f ( x) ? 3 sin ? x ? cos ? x 的单调增区间是( ) A. [2k? ? ,2k? ? ] (k ? Z )
6 6

?

?

B. [2k? ? ,2k? ?
3

?

2? ] (k ? Z ) 3 5? ] (k ? Z ) 6

C. [2k? ?

2? ? ,2k? ? ] (k ? Z ) 3 3

D. [2k? ? ,2k? ?
6

?

答案 B 5. (岳野两校联考)若 a, b, c 是三角形 ABC 的角 A 、 B 、 C 所对的三边,向量 )三角

m ? (a sin A ? b sin B, sin C) , n ? (?1, b ? c) ,若 m ? n ,则三角形 ABC 为(
形。 A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D.

不能确定

答案 C 6.(祥云一中三次月考理)Sin570°的值是 A.

1 2

B.

3 2

C.-

1 2

D. -

3 2

答案:C 二、填空题 1.(肥城市第二次联考)已知函数 y ? 2 sin(?x ? ? ) (0 ? ? ? ? ) 为偶函数, ( x1 ,2), ( x2 ,2) 为其图象上两点,若 x1 ? x2 的最小值为 ? ,则 ? ? ,? ? 。

解析: 由题意分析知函数 y ? 2 sin(?x ? ? ) 的周期为 T ? ? ,? ? ?

2?

?

? 2, 又因为函数

y ? 2 sin(?x ? ? ) (0 ? ? ? ? ) 为偶函数,所以必须变换成余弦函数形式,综合分析知

? ? 2, ? ?

?
2

。 .

2.(安庆市四校元旦联考)若 f ( x) ? sin ? ? cos x ,则 f ' (? ) 等于 答案 sin ? 3.(祥云一中月考理) tan 答案:2 4.(祥云一中月考理) cot 答案:2

?
12

? 3?



?
12

? 3?



3 ? 1? ? arccos ?? ? 2 ? 2? ? 5.(昆明一中四次月考理)求值 ? 1? arctan ? 3 ? arcsin? ? ? ? 2? arcsin

?

?

.

答案:

2 3

三、解答题

1.(岳野两校联考)(本小题满分 12 分)已知△ABC 的三个内角分别为 A、B、C,向量 m =

1 (sinB, 1 – cosB)与向量 n = (2,0)夹角 ? 的余弦值为 2 .

(1)求角 B 的大小; (2)求 sinA + sinC 的取值范围.

解:(1)m = m?n 2sin B B cos ? ? ? ? cos | m | ? | n | 2sin B ? 2 2 2 由题知,

(2sin

B B B B B B cos ,2sin 2 ) ? 2sin (cos ,sin ) 2 2 2 2 2 2

cos? ?

1 B 1 cos ? 2 ,故 2 2

?????????????3 分 B ? 2 ? ? 2 3 ∴ ∴B = 3 ????6 分

?
(2)sinA + sinC = sinA + sin( 3 =

?A

)

sin A ? sin

?
3

cos A ? cos sin A 3
A ? (0, ) 3

?

1 3 ? sin A ? cos A ? sin( A ? ) 2 3 =2

?

??????????10 分

? ? 2? ( , ) ∵A + 3 ∈ 3 3

3 ? ( ,1] ∴sin(A + 3 )∈ 2 (

3 ,1] 2 ∴sinA + sinC 的取值范围是 .

????????????????12 分

题组一(1 月份更新)
一、选择题 1.(2009 玉溪一中期末)若 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 是,则 ? 是( A.第一象限角 答案 C 2.(2009 滨州一模)(4)△ABC 中, AB ? 3, AC ? 1, ?B ? 30? ,则△ABC 的面积等于 B. 第二象限角 C. 第三象限角 ) D. 第四象限角

A.

3 2

B.

3 4

C.

3 或 3 2

D.

3 3 或 2 4

答案 D 3.(2009 昆明市期末)已知 tanα =2,则 cos(2α +π )等于 A. 答案 A 4.(2009 临沂一模)使奇函数 f(x)=sin(2x+θ )+ 3 cos(2x+θ )在[ ? 数的θ 值为 A、 ? 答案 D 5.(2009 泰安一模)若 ( D. ? )

3 5

B. ?

3 5

C.

4 5

4 5

?
4

,0]上为减函

?
3

B、 ?

?
6

C、
tan a ?

5? 6

D、

2? 3

1 10 ? ? ? ? , a ? ( , ), 则sin(2a+ )的值为 tan a 3 4 2 4

A.

?

2 10

B.

2 10

C

5 2 10

D.

7 2 10


6.(2009 茂名一模)角 ? 终边过点 (?1, 2) ,则 cos ? =(

A、 答案 C

5 5

B、

2 5 5

C、 ?

5 5

D、 ?

2 5 5

7.(2009 枣庄一模)已知 sin( A. ?

7 9

1 2? ? ? ) ? , 则 cos( ? 2? ) 的值是( ) 6 3 3 1 1 7 B. ? C. D. 3 3 9

?

8. ( 2009 韶 关 一 模 ) 电 流 强 度 I ( 安 ) 随 时 间 t ( 秒 ) 变 化 的 函 数

I ? A sin(?t ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?
度是 A. ?5 安 C. 5 3 安 答案 A B. 5 安 D. 10 安

?
2

) 的图象如右图所示,则当 t ?

1 秒时, 电流强 100

9.(2009 潍坊一模) sin 45 ? cos15 ? cos 225 ? sin15 的值为
0 0 0 0

(A) 答案 C

3 2

(B) -

1 1 (C) 2 2

3 (D) 2

10.(2009 深圳一模)已知点 P (sin 的值为 A. 答案 D

3 3 ? , cos ? ) 落在角 ? 的终边上,且 ? ?[0, 2? ) ,则 ? 4 4 5? 4 7? 4

? 4

B.

3? 4

C.

D.

二、填空题 11.(2009 聊城一模) 在 ?ABC 中, 角A, B, C所对的边分别为 a, b, c, 若其面积 S ?

1 2 (b ? c 2 ? a 2 ), 4

则?A =
答案



? 4
?
4 ? x) ? 3 ,则 sin 2 x 的值为 5


12.(2009 青岛一模)已知 sin( 答案

7 25

13.(2009 泰安一模)在 △ ABC 中,AB=2,AC= 6 ,BC=1+ 3 ,AD 为边 BC 上的高,则 AD 的 长是 答案 。

3

三、解答题 14. ( 2009 青 岛 一 模 ) 在 ?ABC 中 , a, b, c 分 别 是 ?A, ?B, ?C 的 对 边 长 , 已 知

2 sin A ? 3 cos A .
(Ⅰ)若 a ? c ? b ? mbc,求实数 m 的值;
2 2 2

(Ⅱ)若 a ?

3 ,求 ?ABC 面积的最大值.
2

解:(Ⅰ) 由 2 sin A ? 3 cos A 两边平方得: 2 sin A ? 3 cos A 即 (2 cos A ? 1)(cosA ? 2) ? 0 解得: cos A ?
2 2 2

1 ??????????3 分 2

而 a ? c ? b ? mbc可以变形为 即 cos A ?

b2 ? c2 ? a2 m ? 2bc 2

m 1 ? ,所以 m ? 1 ??????????6 分 2 2
1 3 ,则 sin A ? ??????????7 分 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 cos A ?



b2 ? c2 ? a2 1 ? ??????????8 分 2bc 2
2 2 2 2 2

所以 bc ? b ? c ? a ? 2bc ? a 即 bc ? a ??????????10 分 故 S ?ABC ?

bc a2 3 3 3 sin A ? ? ? ????????????12 分 2 2 2 4
4 . 5

15.(2009 东莞一模)在 △ ABC 中,已知 AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ? (1)求 sin B 的值; (2)求 sin ? 2 B ?

? ?

?? ? 的值. 6?

解:(1)由 cos A ? ?

4 3 可得 sin A ? 5 5

(----------2 分)

所以由正弦定理可得 sin B =

2 (---------5 分) 5

(2)由已知可知 A 为钝角,故得 cos B ?

21 (---------7 分) 5

从而 sin 2 B ? 2 sin B cos B ?

4 21 17 , cos2B ? 1 ? 2 sin 2 B ? , (---10 分) 25 25

所以 sin(2 B ?

?
6

)?

3 1 12 7 ? 17 (----------12 分) sin B ? cos B ? 2 2 50
x x x cos ? 3 cos 2 . 3 3 3

16.(2009 上海奉贤区模拟考)已知函数 f ( x) ? sin

(1)将 f ( x ) 写成 A sin(?x ? ? ) 的形式,并求其图象对称中心的横坐标; (2)如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b =ac,且边 b 所对的角为 x ,试求角 x 的范围及此时
2

函数 f ( x ) 的值域.

x x x f ( x) ? sin cos ? 3 cos 2 3 3 3
=

-------(1 分)

1 2x 3 2x 3 sin ? cos ? 2 3 2 3 2 2x ? 3 ? )? 3 3 2

-------(1 分)

= sin(

-------(1 分)

若 x 为其图象对称中心的横坐标,即 sin(

2x ? ? ? k? , 3 3 3 ? 解得: x ? k? ? (k ? Z ) 2 2
(2) cos x ? 即 cos x ?

2x ? ? ) =0, 3 3

-------(1 分)

-------(1 分) -------(1 分)

a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac ? ? , 2ac 2ac 2ac

-------(2 分)

1 ? ,而 x ? (0, ? ) ,所以 x ? (0, ] 。 2 3 2x ? ? 8? 2x ? 8? ? ? ( , ] , sin( ? ) ? [sin ,1] , 3 3 3 9 3 3 9

-------(2 分) -------(2 分)

所以 f ( x) ? [sin

8? 3 3 ? ,1 ? ] 9 2 2

------(2 分)

17. ( 2009 冠 龙 高 级 中 学 3 月 月 考 ) 知 函 数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) ( 其 中

? ? 0, ? ?
的距离为

?
2

2 ), g ( x) ? 2 sin x .若函数 y ? f ( x) 的图像与 x 轴的任意两个相邻交点间

? ? ,且直线 x ? 是函数 y ? f ( x) 图像的一条对称轴. 2 6

(1)求 y ? f ( x) 的表达式. (2)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间.

(1)由函数 y ? f ( x ) 的图像与 x 轴的任意两个相邻交点间的距离为

? 得函数周期为 ? , 2

?? ? 2
? ? 2k? ?

? 直线 x ?

? ? 是函数 y ? f ( x ) 图像的一条对称轴,? sin(2 ? ? ?) ? ?1 , 6 6 ? ? f (x) ? sin(2x ? ) . 6

? 7? ? ? 或 2k? ? , (k ? Z ) , ? ? ? , ? ? ? . 6 6 2 6

? ? (2) h(x) ? sin(2x ? ) ? cos 2x ? 1 ? sin(2x ? ) ? 1 6 6 ? 2k? ? ? ? ? ? 2x ? ? 2k? ? (k ? Z) , 2 6 2 ? ? ? x ? k? ? (k ? Z) . 6 3

即函数 h( x) 的单调递增区间为 k? ?

18.(2009 昆明市期末)如图△ABC,D 是∠BAC 的平分线 (Ⅰ)用正弦定理证明:

AB BD ? ; AC DC

(Ⅱ)若∠BAC=120°,AB=2,AC=1,求 AD 的长。 (Ⅰ)证明:设∠ADB=α ,∠BAD=β ,则∠ADC=180°-α ,∠CAD=β 由正弦定理得,在△ABD 中,

AB BD ? , sin ? sin ?



在△ACD 中,

AC DC ? , sin(180 ? ? ) sin ?
sin ? ? sin(180? ? ? ),



又 由①②③得: 分



AB BD ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4 AC DC

(Ⅱ)解:在△ABC 中,由余弦定理得

BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC cos?BAC
=4+1-2×2×1×cos120°=7. 设 BD=x,DC=y,则 故 BC= 7 2 0 0 9 0 2 0 9

x+y= 7
由(Ⅰ)得



x ? 2, 即x ? 2 y. y



联立④⑤解得

x?

2 7 7 ,y ? . 3 3

故 cos B ?

AB2 ? BC 2 ? AC 2 5 ? 2 AB ? BC 2 7

在△ABD 中,由余弦定理得

AD2 ? AB2 ? BD2 ? 2 AB ? BD cos?ABD
=4?( 所以 AD ? 分

2 7 2 2 7 5 4 ) ? 2? 2? ? ? . 3 3 2 7 9

2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 3


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