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北京市西城区2014届高三数学上学期期末考试试题 理


北京市西城区 2013 — 2014 学年度第一学期期末试卷高三数学 (理科)
2014.1 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.设集合 A ? {x | 0 ? x ? 2} , B ? {x | | x | ≤ 1} ,则集合 A (A) (0,1)

(B) (0,1] (C) (1, 2)

B?(

) (D) [1, 2)

2.已知复数 z 满足 z = (A) ?1

2i ,那么 z 的虚部为( 1? i
(B) ?i

) (C) 1 (D) i

3.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 若 a ? 3 , b ? 2 , cos( A ? B) ? 则c ?( (A) 4 ) (B) 15 (C) 3 )
开始 i=1,S=0

1 , 3

(D) 17

4.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为(

3 (A) 4 4 (B) 5 5 (C) 6
(D) 1

S?S?

1 i(i ? 1)

i=i+1

i≥5
是 输出 S 结束



5.已知圆 C : ( x + 1) + ( y - 1) = 1 与 x 轴切于 A 点,与 y 轴切于 B 点,设劣弧 ? AB 的中点为
2 2

M,则过点 M 的圆 C 的切线方程是(



(A) y = x + 2 (C) y = x - 2 +

2 2

(B) y = x + 1-

1 2

(D) y = x + 1-

2


6. 若曲线 ax 2 ? by 2 ? 1为焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a , b 满足( (A) a ? b
2 2

(B)

1 1 ? a b

(C) 0 ? a ? b

(D) 0 ? b ? a

7. 定义域为 R 的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) , 且当 x ? (0,1] 时,f ( x) ? x 2 ? x , 则当 x ? [?2, ?1] 时, f ( x) 的最小值为( (A) ? ) (B) ?

1 16

1 8

(C) ?

1 4

(D) 0

8. 如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 2 3 ,动点 P 在对角线 BD 1 上,过点 P 作垂直 于 BD1 的平面 ? ,记这样得到的截面多边形 (含三角形)的周长为 y,设 BP ? x, 则当 x ? [1,5] 时,函数 y ? f ( x) 的值域为( ) D (A) [2 6,6 6] (B) [2 6,18] (C) [3 6,18] (D) [3 6,6 6] 第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. A P B C A1 D1 B1 C1

B(?2, k ) , 9. 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 A(1,3) , 若向量 OA ? AB , 则实数 k ? _____.

10 . 若 等 差 数 列 {an } 满 足 a1 ?

1 , a4 ? a6 ? 5 , 则 公 差 d ? ______ ; 2

a2 ? a4 ? a6 ?

? a20 ? ______.

11.已知一个正三棱柱的所有棱长均相等,其侧(左)视图如图所示, 那么此三棱柱正(主)视图的面积为______.

2 侧(左)视图

12.甲、乙两名大学生从 4 个公司中各选 2 个作为实习单位,则两人所选的 实习单位中恰有 1 个相同的选法种数是______. (用数字作答)

13. 如图, B, C 为圆 O 上的两个点, P 为 CB 延长线上一点, PA 为圆 O 的切线, A 为切 点. 若 PA ? 2 , BC ? 3 ,则 PB ? ______;

AC ? ______. AB
O. C B A P

? x ? y≥0, ? 14.在平面直角坐标系 xOy 中,记不等式组 ? x ? y≤0, 所表示的平面区域为 D .在映射 ? x 2 ? y 2 ≤2 ?

?u ? x ? y, 的作用下,区域 D 内的点 ( x, y ) 对应的象为点 (u , v ) . T :? ?v ? x ? y
(1)在映射 T 的作用下,点 (2, 0) 的原象是 ;

(2)由点 (u , v ) 所形成的平面区域的面积为______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 3 cos ? x ,g ( x) ? sin(? x ? )(? ? 0) , 且 g ( x) 的最小正周期为 π . (Ⅰ)若 f (? ) ?

π 3

6 , ? ?[?π, π] ,求 ? 的值; 2

(Ⅱ)求函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的单调增区间.

16. (本小题满分 13 分) 以下茎叶图记录了甲、 乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩. 乙组记录中有一个 数字模糊,无法确认,假设这个数字具有随机性,并在图中以 a 表示. (Ⅰ)若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同,求 a 的值; (Ⅱ)求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率; (Ⅲ)当 a ? 2 时,分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学,记这两名同学数学成绩 之差的绝对值为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 甲组 8 2 2 8 9 0 1 a 乙组

17. (本小题满分 14 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60? ,四边形 BDEF 是矩形,平面 BDEF⊥平面 ABCD,BF=3, H 是 CF 的中点. (Ⅰ)求证:AC⊥平面 BDEF; (Ⅱ)求直线 DH 与平面 BDEF 所成角的正弦值; (Ⅲ)求二面角 H ? BD ? C 的大小. F D H C A B E

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? a)e ,其中 e 是自然对数的底数, a ? R .
x

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ? 1 时,试确定函数 g ( x) ? f ( x ? a) ? x 的零点个数,并说明理由.
2

19. (本小题满分 14 分) 已知 A, B 是抛物线 W : y ? x2 上的两个点,点 A 的坐标为 (1,1) ,直线 AB 的斜率为 k,

O 为坐标原点.
(Ⅰ)若抛物线 W 的焦点在直线 AB 的下方,求 k 的取值范围; (Ⅱ)设 C 为 W 上一点,且 AB ? AC ,过 B, C 两点分别作 W 的切线,记两切线的交 点为 D ,求 OD 的最小值.

20. (本小题满分 13 分) 设无穷等比数列 {an } 的公比为 q,且 an ? 0( n ? N* ) ,[an ] 表示不超过实数 an 的最大整 数(如 [2.5] ? 2 ),记 bn ? [an ] ,数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn . (Ⅰ)若 a1 = 4, q =

1 ,求 Tn ; 2

(Ⅱ)若对于任意不超过 2014 的正整数 n,都有 Tn = 2n + 1 ,证明: ( ) 2012 ? q ? 1 .

2 3

1

N (Ⅲ)证明: Sn = Tn ( n = 1, 2,3,L )的充分必要条件为 a1 挝

*

, q N* .

北京市西城区 2013 — 2014 学年度第一学期期末 高三数学(理科)参考答案及评分标准 2014.1 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.B 5.A 2.C 6.C 3.D 7.A 4.B 8.D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 4 11. 2 3 13. 1 10.

1 2

55

12. 24

2

14. (1,1)

π

注:第 10、13、14 题第一问 2 分,第二问 3 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为 g ( x) ? sin(? x ? )(? ? 0) 的最小正周期为 π , 所以 分 由 f (? ) ?

π 3

2? ? ? ,解得 ω ? 2 . |ω|

?????? 3

6 6 ,得 3 cos 2? ? , 2 2 2 , 2
?????? 4

即 cos 2? ? 分

所以 2? ? 2kπ ?

π , k ?Z . 4

因为 ? ?[?π, π] , 所以 ? ? {? 分

7π π π 7π , ? , , }. 8 8 8 8

?????? 6

(Ⅱ)解:函数 y ? f ( x) ? g ( x) ? 3 cos 2 x ? sin(2 x ? )

π 3 π π ? 3 cos 2 x ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin 3 3

?????? 8



1 3 ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2
π ? sin(2 x ? ) , 3
分 由 2kπ ? 分 解 得 . ?????? 10

π π π ≤2 x ? ≤2kπ ? , 2 3 2

?????? 11

kπ ?

5π π ≤x≤kπ ? 12 12

??????12 分 所以函数 y ? f ( x) ? g( x) 的单调增区间为 [kπ ? 分

5π π ,kπ ? ](k ? Z) . ???? 13 12 12

16. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:依题意,得 分 解得 a ? 1 . 分 (Ⅱ)解:设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件 A , 分 依题意 a ? 0,1, 2, 分 由(Ⅰ)可知,当 a ? 1 时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同, 所以当 a ? 2,3, 4, 分 ?????? 4 ?????? 3

1 1 (88 ? 92 ? 92) ? [90 ? 91 ? (90 ? a)] , 3 3

?????? 2

,9 ,共有 10 种可能.

?????? 5

,9 时,乙组平均成绩超过甲组平均成绩,共有 8 种可能.? 6

所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率 P( A) ? 分

8 4 ? . 10 5

?????? 7

(Ⅲ)解:当 a ? 2 时,分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,所有可能的成绩结 果有 3 ? 3 ? 9 种, 它们是: (88,90) , (88,91) , (88,92) , (92,90) , (92,91) , (92,92) ,

(92,90) , (92,91) , (92,92) ,
?????? 9 分 ?????? 10

则这两名同学成绩之差的绝对值 X 的所有取值为 0,1, 2,3, 4 . 分 因此 P ( X ? 0) ?

2 2 1 1 1 P( X ? 1) ? , P ( X ? 2) ? , P ( X ? 3) ? , P ( X ? 4) ? . , 9 9 3 9 9
?????? 11

分 所以随机变量 X 的分布列为:

X
P

0

1

2

3

4

2 9

2 9

1 3

1 9

1 9
? ? ? ? ? ? 12

分 所以 X 的数学期望 E ( X ) ? 0 ? 分 17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为四边形 ABCD 是菱形, 所以 AC ? BD . 分 因为平面 BDEF ? 平面 ABCD ,且四边形 BDEF 是矩形, 所以 ED ? 平面 ABCD , 分 又因为 AC ? 平面 ABCD , 所以 ED ? AC . ?????? 3 ?????? 2 ?????? 1

2 2 1 1 1 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? .????? 13 9 9 3 9 9 3

分 因为 ED

BD ? D ,
?????? 4

所以 AC ? 平面 BDEF . 分 (Ⅱ)解:设 AC

BD ? O ,取 EF 的中点 N ,连接 ON ,

因为四边形 BDEF 是矩形, O, N 分别为 BD, EF 的中点, 所以 ON //ED , 又因为 ED ? 平面 ABCD ,所以 ON ? 平面 ABCD , 由 AC ? BD ,得 OB, OC , ON 两两垂直. 所以以 O 为原点, OB, OC , ON 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,如图建立空间直 角坐标系. 5分 因为底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60 , BF ? 3 , 所以 A(0, ? 3,0) , B(1,0,0) , D(?1, 0, 0) , E (?1,0,3) , z E N ??????6 分 F D O A B x H C y ??????

F (1, 0,3) , C(0, 3,0) , H ( 1 , 3 , 3 ) . 2 2 2
因为 AC ? 平面 BDEF ,

所以平面 BDEF 的法向量 AC ? (0,2 3,0) . ????7 分 设直线 DH 与平面 BDEF 所成角为 ? , 由 DH ? ( ,

3 3 3 , ), 2 2 2
DH ? AC

3 3 3 ?0? ?2 3 ? ?0 7 2 2 2 ? ? 得 sin ? ?| cos ? DH , AC ?|? , 7 21 DH AC ?2 3 2
所以直线 DH 与平面 BDEF 所成角的正弦值为 分(Ⅲ)解:由(Ⅱ) ,得 BH ? (? ,

7 . 7

??????9

1 3 3 , ) , DB ? (2,0,0) . 2 2 2

设平面 BDH 的法向量为 n ? ( x1 , y1 , z1 ) ,

? 所以 ? n ? BH ? 0, ? ? ?n ? DB ? 0,
分 即?

??????10

? ?? x1 ? 3 y1 ? 3z1 ? 0, ? ?2 x1 ? 0,
??????11

令 z1 ? 1,得 n ? (0, ? 3,1) . 分 由 ED ? 平面 ABCD ,得平面 BCD 的法向量为 ED ? (0,0, ?3) , 则 cos ? n, ED ?? 分 由图可知二面角 H ? BD ? C 为锐角, 所以二面角 H ? BD ? C 的大小为 60 . 分

n ? ED n ED

?

0 ? 0 ? (? 3) ? 0 ? 1? (?3) 1 ?? . 2?3 2

??????13

?????? 14

18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为 f ( x) ? ( x ? a)e , x ? R ,
x

所以 f ?( x) ? ( x ? a ? 1)e .
x

?????? 2

分 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?a ? 1 . 分 当 x 变化时, f ( x ) 和 f ?( x ) 的变化情况如下: ?????? 3

x
f ?( x)

(??, ? a ? 1)

?a ? 1

(?a ? 1, ? ?)

?


0

?
↗ ?????? 5

f ( x)



故 f ( x ) 的单调减区间为 (??, ? a ? 1) ;单调增区间为 (?a ? 1, ? ?) .???? 6 分 (Ⅱ)解:结论:函数 g ( x) 有且仅有一个零点. 分 理由如下: 由 g ( x) ? f ( x ? a) ? x2 ? 0 ,得方程 xe 显然 x ? 0 为此方程的一个实数解. 所以 x ? 0 是函数 g ( x) 的一个零点. 当 x ? 0 时,方程可化简为 e
x ?a x ?a

?????? 7

? x2 ,

?????? 9 分

?x.

设函数 F ( x) ? e x?a ? x ,则 F ?( x) ? e x?a ?1 , 令 F ?( x) ? 0 ,得 x ? a . 当 x 变化时, F ( x) 和 F ?( x) 的变化情况如下:

x
F ?( x) F ( x)

(??, a)

a
0

( a, ? ? )

?


?


即 F ( x) 的单调增区间为 ( a, ? ? ) ;单调减区间为 (??, a ) . 所以 F ( x) 的最小值 F ( x)min ? F (a) ? 1 ? a . 分 因为 a ? 1 , 所以 F ( x)min ? F (a) ? 1 ? a ? 0 , 所以对于任意 x ? R , F ( x) ? 0 , 因此方程 e
x ?a

??????11

? x 无实数解.

所以当 x ? 0 时,函数 g ( x) 不存在零点. 综上,函数 g ( x) 有且仅有一个零点. ??????13



19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:抛物线 y ? x2 的焦点为 (0, ) . 分 由题意,得直线 AB 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) , 分 令 x ? 0 ,得 y ? 1 ? k ,即直线 AB 与 y 轴相交于点 (0,1 ? k ) . 分 因为抛物线 W 的焦点在直线 AB 的下方, 所以 1 ? k ? 解得 k ? 分 (Ⅱ)解:由题意,设 B( x1 , x1 ) , C ( x2 , x2 ) , D( x3 , y3 ) , 联立方程 ?
2 2

1 4

?????? 1

?????? 2

?????? 3

1 , 4
?????? 5

3 . 4

? y ? 1 ? k ( x ? 1), ?y ? x ,
2

消去 y ,得 x ? kx ? k ? 1 ? 0 ,
2

由韦达定理,得 1 ? x1 ? k ,所以 x1 ? k ? 1 . 分 同理,得 AC 的方程为 y ? 1 ? ? 分 对函数 y ? x 求导,得 y? ? 2 x ,
2

?????? 7

1 1 ( x ? 1) , x2 ? ? ? 1 . k k

?????? 8

所以抛物线 y ? x 在点 B 处的切线斜率为 2 x1 ,
2

2 所以切线 BD 的方程为 y ? x1 ? 2 x1 ( x ? x1 ) , 即 y ? 2 x1x ? x1 . ?????? 9 2


2 同理,抛物线 y ? x 在点 C 处的切线 CD 的方程为 y ? 2 x2 x ? x2 .?????? 10
2



? y ? 2 x1 x ? x12 , ? 联立两条切线的方程 ? 2 ? ? y ? 2 x2 x ? x2 ,
x1 ? x2 1 1 1 ? (k ? ? 2) , y3 ? x1 x2 ? ? k , 2 2 k k 1 1 1 ? k) . 所以点 D 的坐标为 ( ( k ? ? 2), 2 k k
解得 x3 ? 分 因此点 D 在定直线 2 x ? y ? 2 ? 0 上. 分 因为点 O 到直线 2 x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ? ??????12

??????11

| 2?0 ? 0 ? 2 | 22 ? 12

?

2 5 , 5
?????? 13

所以 OD ≥ 分 由 y3 ?

4 2 2 5 ,当且仅当点 D ( ? , ? ) 时等号成立. 5 5 5

1 2 1 ? 26 ? k ? ? ,得 k ? ,验证知符合题意. k 5 5

所以当 k ? 分

1 ? 26 2 5 时, OD 有最小值 . 5 5

??????14

20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由等比数列 {an } 的 a1 = 4 , q =

1 , 2
?????? 1

得 a1 = 4 , a2 = 2 , a3 = 1 ,且当 n > 3 时, 0 < an < 1 . 分 所以 b1 = 4 , b2 = 2 , b3 = 1 ,且当 n > 3 时, bn = [an ] = 0 . 分

?????? 2

?4, ? 即 Tn ? ?6, ?7, ?


n ? 1,
n ? 2,
?????? 3

n ≥ 3.

(Ⅱ)证明:因为 Tn ? 2n ? 1(n≤2014) , 所以 b1 = T1 = 3 , bn ? Tn ? Tn?1 ? 2(2≤n≤2014) . 分 因为 bn = [an ] , 所以 a1 ?[3, 4) , an ?[2,3)(2≤n≤2014) . 分 由 q? 分 因为 a2014 ? a2 q 所以 q
2012

?????? 4

?????? 5

a2 ,得 q ? 1 . a1

?????? 6

2012

?[2,3) ,



2 2 ? , a2 3
?????? 8

所以 分

2 2 1 ? q 2012 ? 1 ,即 ( ) 2012 ? q ? 1 . 3 3

(Ⅲ)证明: (充分性)因为 所以

a1 ? N* , q ? N* ,

an = a1qn- 1 N* ,

所以 bn = [an ] = an 对一切正整数 n 都成立. 因为 Sn = a1 + a2 + L + an , Tn = b1 + b2 + L + bn , 所以 Sn = Tn . 分
* (必要性)因为对于任意的 n ? N , Sn = Tn ,

?????? 9

当 n ? 1 时,由 a1 = S1 , b1 = T1 ,得 a1 = b1 ; 当 n≥2 时,由 an ? Sn ? Sn?1 , bn ? Tn ? Tn?1 ,得 an ? bn . 所以对一切正整数 n 都有 an ? bn .

由 bn ? Z , an > 0 ,得对一切正整数 n 都有 an ? 分 所以公比 q ? 分 假设 q ? N ,令 q =
*

N* ,

??????10

a2 为正有理数. a1

??????11

p * ,其中 p, r ? N , r 1 ,且 p 与 r 的最大公约数为 1. r

因为 a1 是一个有限整数, 所以必然存在一个整数 k (k ? N) ,使得 a1 能被 r 整除,而不能被 r 又因为 ak ? 2 ? a1q
k ?1

k

k ?1

整除.

?

a1 p k ?1 ,且 p 与 r 的最大公约数为 1. r k ?1
*

所以 ak + 2 ? Z ,这与 an ? N* ( n ? N )矛盾. 所以 q ? N? . 因此 a1 ? N* , q ? N . 分
?

?????13


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