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高中数学课件:第一章 1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征


读教材·填要点

第 一 章
立 体 几 何 初 步

1.1

1.1. 2

课前预习·巧设计

小问题·大思维

空 间 几 何 体

棱柱 、棱 锥和 棱台 的结 构特 征

考点一
名师课堂·

一点通

考点二 考点三 解题高手
NO.1课堂强化

创新演练·大冲关

No.2课下检测

[读教材·填要点] 1.多面体

(1)多面体的结构特征:
多面体是由若干个 平面多边形 所围成的几何体. (2)多面体的相关概念:围成多面体的各个多边形叫 面 做多面体的

棱 ;相邻两个面的公共边叫做多面体的



棱与棱的公共点叫做多面体的顶点;连接不在同一个面上 的两个顶点的线段叫做多面体的 对角线 .

(3)凸多面体:把一个多面体的任意一个面延展为平面,

如果其余的各面都在这个平面的
就叫做凸多面体.

同一侧 ,则这样的多面体

(4)多面体的分类:多面体按照围成它的 面的个数分别 叫做四面体、五面体、六面体……. (5)几何体的截面:

一个几何体和一平面相交所得的 平面图形 (包含它的
内部 ),叫做这个几何体的截面.

2.棱柱 (1)棱柱的主要特征:

棱柱有两个面 互相平行 ,而其余每相邻两个面的交线
都 互相平行 . (2)棱柱的相关概念: 棱柱的两个互相平行的面叫做棱柱的 底面 ;其余各面 叫做棱柱的 侧面 ;两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;两个

底面所在平面间的距离叫做棱柱的 高 .

(3)棱柱的分类: ①按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做

三棱柱、四棱柱、五棱柱……
②棱柱又分为斜棱柱和直棱柱: 侧棱与底面 不垂直 的棱柱叫做斜棱柱;侧棱与底 面 垂直 的棱柱叫做直棱柱;底面是正多边形的直棱柱 叫做正棱柱.

(4)棱柱的表示:
棱柱用表示两底面的对应顶点的字母或都用一条对角线端 点的两个字母来表示.如上、下底面分别是△A′B′C′、△ABC 的三棱柱,可表示为棱柱ABC-A′B′C′或棱柱AC′. (5)一些特殊的四棱柱: 底面是平行四边形的棱柱叫做 平行六面体;侧棱与底面垂 直的平行六面体叫做 直平行六面体 ;底面是矩形的直平行六面

体是 长方体 ;棱长都相等的长方体是 正方体.

3.棱锥
(1)棱锥的主要结构特征: 棱锥有一个面是 多边形 ,其余各面都是有一个公共顶 点的三角形. (2)棱锥的有关概念:

棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的 侧面 ;各侧
面的公共顶点叫做棱锥的 顶点 ;相邻两侧面的公共边叫做 棱锥的 侧棱 ;多边形叫做棱锥的 底面 ;顶点到底面的距 离叫做棱锥的 高 .

(3)棱锥的表示:

棱锥用表示 顶点 和底面各顶点 的字母或者用表示
顶点 和底面的 一条对角线端点 的字母来表示. (4)棱锥的分类: 棱锥按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做 三棱锥、四棱锥、五棱锥.

(5)正棱锥及其斜高:
如果棱锥的底面是 正多边形 ,它的顶点又在过底面中 心 的垂线上,则这个棱锥叫做正棱锥,侧面等腰三角形底 边上的高叫做棱锥的 斜高 .

4.棱台 (1)棱台及其相关概念: 棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面间的部分叫

做 棱台 .原棱锥的底面和截面分别称做棱台的 下底面 、
上底面 ,其他各面叫做棱台的 侧面 .相邻两侧面的公共 边叫做棱台的 侧棱 ,两底面间的距离叫做棱台的 高 .

(2)正棱台及其斜高: 由 正棱锥 截得的棱台叫做正棱台,侧面等腰梯形的

高叫做正棱台的 斜高 .
(3)棱台的表示: 棱台可用表示 上、下底面 的字母或用一条对角线端 点的两个字母来表示.

[小问题·大思维]

1.有两个面互相平行,其余各面都是
平行四边形的几何体一定是棱柱吗? 提示:不一定是棱柱.如图所示的 几何体满足此说法,但是不满足棱 柱的定义.

2.长方体是不是四棱柱?直四棱柱是不是长方体?
提示:长方体是四棱柱,直四棱柱不一定是长方体, 底面是矩形的直四棱柱是长方体. 3.棱锥最少有几个面和几条棱? 提示:面数最少的棱锥是三棱锥,它具有四个面,六

条棱.
4.底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥吗? 提示:不一定.如果棱锥的底面是正多边形,且它的顶 点在过底面中心且与底面垂直的直线上,就是正棱锥.

5.我们知道棱锥有一个面是多边形,其余各面都是三角

形.那么,有一个面是多边形,其余各面都是三角形
的多面体一定是锥棱吗?

提示:不一定.如图所示的多面体,它
有一个面是多边形,其余各面都是三角 形,但是它不满足棱锥定义中的“其余 各面是有一个公共顶点的三角形”,所 以它不是棱锥.

6.棱台的各个侧面是什么图形?
提示:梯形且两侧棱为梯形的两腰.

[研一题]

[例1] 下图所示的多面体是不是棱台?

[自主解答]

根据棱台的定义,可以得到判断一个

多面体是不是棱台的标准有两个:一是共点,二是平行,
即各侧棱延长线要交于一点,上、下两个底面要平行,

二者缺一不可.据此,在图(1)中多面体侧棱延长线不相
交于同一点,不是棱台;图(2)中多面体不是由棱锥截得 的,不是棱台;图(3)中多面体虽是由棱锥截得的,但截 面与底面不平行,因此也不是棱台.

[悟一法] 由给出的空间几何体图形判断空间几何体的类型时, 要严格依照定义,从图中索取相关的线索,进而得出判 断结论.

[通一类]

1.如图将装有水的长方体水槽固定底
面一边后将水槽倾斜一个小角度, 则倾斜后水槽中的水形成的几何体是 A.棱柱 C.棱柱与棱锥组合体 B.棱台 D.不能确定 ( )

解析:固定底面一边倾斜后,上、下两面为平行四边形,
且仍然平行,其余四面的交线分别平行,符合柱体特征, 故为棱柱. 答案:A

[研一题]
[例2] 给出下列几个命题: ①棱柱的侧面都是平行四边形; ②棱锥的侧面为三角形,且所有侧面都有一个公共顶点; ③多面体至少有四个面; ④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点. 其中,假命题的个数是 ( )

A.0
C.2

B.1
D.3

[自主解答]

显然命题①、②均是真命题.对于命题

③,显然一个图形要成为空间几何体,则它至少需有四个

顶点,因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形,当有
四个顶点时,易知它可围成四个面,因而一个多面体至少 应有四个面,而且这样的面必是三角形,故命题③是真命 题. 对于命题④,棱台的侧棱所在的直线就是截得原棱锥

的侧棱所在的直线,而棱锥的侧棱都有一个公共的点,它
便是棱锥的顶点,故棱台的侧棱延长交于一点正确. [答案] A

[悟一法]

只有理解并掌握棱柱、棱锥、棱台的概念及结构特征,
才能正确做出判断. (1)棱柱有两个主要结构特征:一是有两个面互相平行; 二是各侧棱都平行,各侧面都是平行四边形. (2)棱锥有两个主要结构特征:一是有一个面是多边形,

其余各面都是有一公共顶点的三角形.
(3)棱台的上、下底面平行相似,各侧棱延长交于一点.

[通一类]

2.下列四个命题中,真命题的个数是

(

)

①底面是矩形的平行六面体是长方体;②棱长相等的 直四棱柱是正方体;③有两条侧棱都垂直于底面一边 的平行六面体是直平行六面体;④对角线相等的平行 六面体是直平行六面体. A.1个 C.3个 B.2个 D.4个

解析:①不正确.除底面是矩形外还应满足侧棱与底面垂

直才是长方体.
②不正确.当底面是菱形时就不是正方体. ③不正确.是两 条侧棱垂直于底面一边而非垂直于底面,故不一定是直平 行六面体. ④正确.因为对角线相等的平行四边形是矩形,由此可以

推测此时的平行六面体是直平行六面体.
答案:A

[研一题] [例 3] 已知正三棱锥 V-ABC, 底面边长为 8, 侧棱长

为 2 6,计算它的高和斜高.
[自主解答] 如图所示,设 O 是底面

中心,连接 AO 并延长交 BC 于点 D,连 接 VD,则 D 为 BC 的中点, ∴△VAO 和△VCD 是直角三角形. ∵底面边长为 8,侧棱长为 2 6,

3 8 ∴AO= 3 ×8=3 3,CD=4, ∴VO= VA -AO =
2 2

8 2 2 ?2 6? -?3 3? =3 6.
2

VD= VC2-CD2= ?2 6?2-42=2 2. 2 即正三棱锥的高是3 6,斜高为 2 2.

[悟一法] (1)正棱锥中基本量的计算要借助构造的直角三角形, 如本题中的Rt△VAO、Rt△VOD、Rt△VCD等.它们包

含了正棱锥的侧棱长、高、斜高、底面边长的一半,底
面外接圆半径和内切圆半径. (2)正棱台的高、相应边心距之差的绝对值和斜高组 成一个直角三角形;高、侧棱和底面相应的外接圆半径 之差的绝对值也组成一个直角三角形.有关空间几何图

形的计算,常常转化为平面几何图形的计算解决.

[通一类] 3.正三棱台的上、下底面边长及高分别为1、2、2,

计算它的斜高. 解:设正三棱台ABC-A1B1C1上、
下底面中心分别为O1、O、BC、 B1C1的中点分别为D、D1, 则D1D为正三棱台的斜高. 因为正三棱台的上、下底面边长及高分别为1、2、2,

3 所以 O1D1= 6 ,OD= 3 3 ,O1O=2. 作 D1E⊥AD,垂足为 E, 3 则在 Rt△D1ED 中,D1E=2,ED= 6 , ∴D1D= 32 7 3 2 +? 6 ? = 6 .
2

7 3 故斜高为 6 .

如图所示,过BC的截面截去长方体的

一角,所得的几何体是不是棱柱?
[错解] 不是棱柱,因为几何体的

上、下底面虽然平行,但不全等,侧面 也不全是平行四边形.

[错因]

几何体是否为棱柱,应结合棱柱定义中的两

个关键,上面几何体可以换一种放置方式,错误的原因是
对定义理解不透彻. [正解] 当截面恰好过A1D1时,就是三棱柱,当截面

如图中所示位置时,所得几何体也是棱柱,是四棱柱,此 时底面视为面A1ABE和面D1DCF.


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