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高中数学人教A版选修4-5 1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式 同步训练6


1.1.3 三个正数的算术-几何平均不等式 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.函数 y ? 3x ? (A)6 12 (x>0)的最小值是( x2 ) (C)9 ) (C)12 (D) 12 3 5 ) (D)12 (B) 6 6 2.已知 x+2y+3z=6,则 2x+4y+8z 的最小值为( (A) 3 3 6 (B) 2 2 3.( ·大连高二检测)函数 y=x4(2-x2)(0<x< 2 )的最大值是( (A)0 (B)1 (C) 16 32 (D) 27 27 1 1 1 4.设 a,b,c∈R+,且 a+b+c=1,若 M ? ( ? 1)?( ? 1)?( ? 1), 则必有( ) a b c 1 1 (A)0≤M< (B) ≤M<1 (C)1≤M<8 (D)M≥8 8 8 5.已知 x∈R+,有不等 式: x ? 1 1 4 x x 4 x x 4 ? 2 x ? ? 2, x ? 2 ? ? ? 2 ? 3 3 ? ? 2 ? 3, …. 启发我们可以推广 x x x 2 2 x 2 2 x a * ? n ? 1 (n∈N ),则 a 的值为( xn 结论为: x ? (A)nn ) (D)2n+1 1 的定义 x2 (B)2n (C)n2 6.(易错题)已知函数 f(x)=x2+bx+c(b,c∈R,且为常数)和 g ? x ? ? 2x ? 1 [ , 2] . 如果当自变量取同一值时,函数 f(x)与 g(x)有相同的最小值,那 域均为 2 1 [ , 2] 么函数 f(x)在 上的最大值是( ) 2 5 13 (A) (B) (C)4 (D)8 4 4 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) x y 7.若 x,y∈R+且 xy=1,则 ( ? y)( ? x) 的最小值是________. y x 1 8.若记号“*”表示求两个实数 a 与 b 的算术平均的运算,即 a * b ? a?b , 则两边 2 均含有运算“*”和“+” ,且对任意 3 个实数 a,b,c 都能成立的一个等式可以是 __________. 9.已知点 P 为边长为 2 3 的等边三角形内一点, 它到三边距离为 x,y,z,则 x,y,z 满足关系式为________,x2+y2+z2 的最小值为________. 三、解答题(每小题 14 分,共 28 分) 10.(1)求函数 y ? x 2 ? 3 (x>0)的最小值; x (2)求函数 y=x2(a-x)(x>0,a 为大于 x 的常数)的最大值. 11.设 a,b,c∈R+,求证: 【挑战能力】 1 1 1 ? ? ? abc ? 2 3. a 3 b 3 c3 (18 分)如图(1)所示, 将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四 边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,如图(2)所示,求这个正 六棱柱容器容积的最大值. 2 答案解析 1【解析】选 C. y ? 3x ? 12 3x 3x 12 3x 3x 12 ? ? ? 2 ? 3 3 ? ? 2 ? 9, 2 x 2 2 x 2 2 x 3 12 当且仅当 x ? 2 , 即 x=2 时取等号. 2 x 【变式训练】函数 y ? 4x 2 ? 【解析】 16 的最小值是________. (x ? 1)2 2 y ? 2(x 2 ? 1) ? 2(x 2 ? 1) ? 16 16 ? 4 ? 3 3 2(x 2 ? 1)?

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