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2014年精析巧用专题一类应用题的统一解法


一类应用题的统一解法 于兆敏 有关应用题中最值问题,在实际条件的约束下,不能仅靠使用重要不等式求 出最值,需要借助比较法,把问题转化为与端点值的大小关系问题。 例 1 某种印刷品,单面印刷,其版面(如图中阴影部分)排成矩形,版面 面积为 A, 它的左右两边都要留宽为 a 的空白, 上下两边都要留有宽为 b 的空白, 且印刷品左右长度不超过定值 l。问:如何选择尺寸(纸张也是矩形)

,才能使 印刷品所用纸张面积最小?从而使印刷的总用纸量最小。 b a b 图1 a 解:设版面左、右长为 x,上、下宽为 y 则有 A ? xy (x>0,y>0) 设每张印刷品所用纸张面积为 S 则 S ? ( x ? 2a )( y ? 2b) ? ( A ? 4ab) ? (2bx ? 2a ? (1)当 2a ? 2bx ? 2a ? aA ? l 时, b A ) (0 ? x ? l ? 2a) x A ? 4 abA , x aA A ,y ? 当且仅当 2bx ? 2a ? 时取“=”号,解得 x ? b x aA bA 即此时左右长为 2a ? ,上下宽为 2b ? b a bA a (2)当 2a ? aA ?l时 b aA b 因为 0 ? x ? l ? 2a ? 所以 (l ? 2a) ? x ? 0 aA aA ? ? aA b b 2A aA 所以 [b(l ? 2a ) ? ] ? (bx ? ) l ? 2a x b(l ? 2a ) x ? aA ? [(l ? 2a ) ? x ] ? ?0 ( l ? 2a ) x 且 bx ? (l ? 2a ) ? b ? 当 x ? l ? 2a 时取等号,即选择左、右尺寸为 l,上、下尺寸为 2b ? 纸量最小。 综上所述,当 2a ? 2b+ bA ; a A 用 l ? 2a aA aA ? l 时,选择左右尺寸为 2a ? 时,上、下尺寸为 b b 当 2a ? 最小。 例2 aA A ? l 时,选择左、右尺寸为 l,上、下尺寸为 2b ? 所用纸量 b l ? 2a 一船由甲地逆水匀速行驶至乙地,甲、乙两地相距 s(千米),水速 为常量 p(千米/时),船在静水中的最大速度为 q(千米/时)(q>p)。已知船 每小时燃料费用(以元为单位)与船在静水中速度 v(千米/时)的平方成正比, 比例系数为 k。 (I)把全程燃料费用 y(元)表示为静水中速度 v(千米/时)的函数,并指 出这个函数的定义域; (II)为了使全程燃料费用最小,船的实际前进速度应为多少? s 解:(I)依题意知船由甲地匀速行驶至乙地所用的时间为 ,全程燃料 v? p s 费用为: y ? kv 2 ? ,故所求函数及其定义域为: v? p y ? kv 2 ? s v2 ? ks ? ,v ? ( p,q ] v? p v? p (II)由题意知 k、s、v、p、q 均为正数,且 v>p,故有 p2 y ? ks[(v ? p) ? ? 2 p] v? p ? ks(2 p ? 2 p) ? 4 ksp p2 ,即 v ? 2 p 时上式取等号 v? p 若 2 p ? q ,则当 v ? 2 p 时,全程燃料费用 y 最小。 当且仅当 v ? p ? 若 2p>q,当 v ? ( p,q ] 时,有 v2 q2 ? ks ? v? p q? p (q ? v )( pq ? pv ? qv ) ? ks ? (v ? p)( q ? p) ks ? 因 p ? v ?

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