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离散型随机变量的期望与方差学习教材PPT课件


第十一章 第 概率与统计 讲 (第二课时) 题型4 ? 求随机变量的方差 1. 已知离散型随机变量ξ的分布列为 ξ P -1 1 2 0 1 3 1 1 6 ? 设η=2ξ+3,求Eη,Dη. ? 解:因为 1 1 1 E? ? ( ?1) ? ? 1 ? ? ? , 2 6 3 1? 1 ? 1? 1 ? 1? 1 5 ? D? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? , 3? 2 ? 3? 3 ? 3? 6 9 ? 7 20 ? 所以 E? ? 2 E? ? 3 ? ,D? ? 4 D? ? . 3 9 ? 点评:由随机变量的分布列直接按公式 2 2 2 计算可求得方差.对相关的两个随机变量ξ、 η,若满足一定关系式:η=aξ+b,则 E(aξ+b)=aEξ+b,D(aξ+b)=a2Dξ(或Dξ=Eξ 2-(Eξ)2). ? 设随机变量ξ具有分布 3,4,5,求E(ξ+2)2,D(2ξ-1),σ(ξ-1). ? 解:因为 1 P (? ? k ) ? k=1 , ,2, 5 1 1 1 1 1 E? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 3. 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 E? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 11. 5 5 5 5 5 1 1 1 2 D? ? ? 1 ? 3 ? ? ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? 3 ? 3 ? 2 ? ? 5 5 5 1 1 1 2 2 ? 4 ? 3 ? ? ? ? 5 ? 3 ? ? ? ? 4 ? 1 ? 0 ? 1 ? 4 ? ? 2. 5 5 5 2 ? 所以 E (? ? 2)2 ? E (? 2 ? 4? ? 4) ? E? 2 ? 4 E? ? 4 ? 11 ? 12 ? 4 ? 27. D(2? ? 1) ? 4 D? ? 8, ? (? ? 1) ? D(? ? 1) ? D? ? 2. 题型5 期望在实际问题中的决策作用 ? 2. 某突发事件,在不采取任何预防措施的 情况下发生的概率为0.3,一旦发生,将造 成 400 万元的损失 . 现有甲、乙两种相互独 立的预防措施可供采用 . 单独采用甲、乙预 防措施所需的费用分别为 45 万元和 30 万元, 采用相应预防措施后此突发事件不发生的 概率分别为0.9和0.85.若预防方案允许甲、 乙两种预防措施单独采用,联合采用或不 采用,请确定预防方案使总费用最少.(总费 用 = 采取预防措施的费用 + 发生突发事件损 失的期望值) ? 解:(1)不采取预防措施时,总费用即损失 期望值为400×0.3=120(万元); ? (2)若单独采取措施甲,则预防措施费用为 45万元,发生突发事件的概率为1-0.9=0.1, 损失期望值为400×0.1=40(万元),所以总 费用为45+40=85(万元); ? (3)若单独采取预防措施乙,则预防措施费 用为30万元,发生突发事件的概率为10.85=0.15,损失期望值为 400×0.15=60(万元),所以总费用为 30+60=90(万元); ? (4)若联合采取甲、乙两种预防措施,则预 防措施费用为45+30=75(万元),发生突发 事件的概率为(1-0.9)×(1-0.85)=0.015,损 失期望值为400×0.015=6(万元),所以总 费用为75+6=81(万元). ? 综上分析,选择联合采用甲、乙两种预防

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