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解析几何的最值问题(一)


解析几何中求最值问题的基本方法
? 函数的思想方法

? 判别式法
? 利用基本不等式

? 数形结合
? 参数法

? 建立几何模型

x2 ? y2 ? 1 上过点 A(0,1)引 例1、椭圆 4
椭圆的任意一条弦 AB。 求:弦长 AB 的最大值。
Y

A(0,1)

O

X

B

x2 ? y2 ? 1 上过点 A(0,1)引椭圆的任意一条弦 AB。 例1、椭圆 4
求:弦长 AB 的最大值。
设 B(x,y),则 AB ? ?x ? 0? ? ?y ? 1? 。 解题思路: 2 2 ? 4? ? y? 1 把 x 代入,得出关于 y 的二次函数, 配方后求出的最大值。
2 2 2

设 B(x,y)为椭圆上的一点。

? AB ? ?x ? 0? ? ?y ? 1?
2 2

2

∵ B(x,y)在椭圆上, ? x2 ? 4?1 ? y2 ? 代入得: AB ? 4?1 ? y2 ? ? ?y ? 1?
2 2

Y

A(0,1)

? ?3 y ? 1 ? 16 ?? 1 ? y ? 1? 3 3 ?当y ? - 1 时, max ? 4 3 AB 3 3
2

? ?

O B

X

例2、直线 x+y-3=0 和抛物线 y2=4x 交于 A、B 两点。

求:在抛物线 AOB 上求一点 C ,
使 △ABC 的面积最大。
Y A D O X C B

例2、直线 x+y-3=0 和抛物线 y2=4x 交于 A、B 两点。
求:在抛物线 AOB 上求一点 C ,使 △ABC 的面积最大。

解:

设L:x+y+m=0与直线AB:x+y-3=0平行且为抛物线的切线。 点 C 为切点。

解方程组

?y2 ? 4x ?x ? y ? m ? 0 ? y2 ? 4y ? 4m ? 0 ?
Y A

? ? 16 ? 16m ? 0 ? m ? 1
当 m=1 时,
直线 L 到直线 AB 的距离为最大, 也是点 C 到直线 AB 的距离最大。 把 m=1 代入得:

O

D
X C B

? C? ,?2? 1

L

例3、直线 L 过点 P(2,1),它在两坐标轴上的截 距均为正值,若截距之和最小,求 L 的方程。

解: 设:点斜式方程 y ? 1 ? k?x ? 2?

Y L B

? ?2,1?
O A X

? 3 ? ? 1 ? ?? 2k? ? 3 ? 2 2 k
? 1 ? ?2k ? k ? ? 2 k 2 2 ?x ? 2? y ?1 ? ? 2

A 2 ? 1 ,0 B?0,1 ? 2k? k s ? 2 ? 1 ? 1 ? 2k k

?

?

k?0

? ?

例4、已知:实数 x、y 满足 求:

?x ? 1? ? ?y ? 2?
2

2

?5 。

S ? x ? 2y 的最值。

解:
Y

由 S ? x ? 2y 得

y ? 1x? 1S 2 2

O

? 1 s 为直线在y轴上的截距。 2 当 ? 1 s 取最小时,S 时取最大值。 2
此时,直线与圆相切。

.

X

圆心(1、-2)到直线的距离等于 5

? 1s 2

1 ?2?S 2 2 ? 5 4

5

?

S最小值 ? 0

S最大值 ? 10

例4、已知:实数 x、y 满足 ?x ? 1? ? ?y ? 2? ? 5 。
2 2

求: S ? x ? 2y 的最值。

解:

?x ? 1? ? ?y ? 2?
2

2

?5
Θ∈[0,2π)

设圆的参数方程 将之代入

{

x = 1 + 5 cos θ y = -2 + 5 sin θ
得:

S ? x ? 2y

s = 5 + 5(cosθ - 2 sinθ )

= 5 + 5 sin( + φ) θ

S最大值 ? 10

∵Θ∈[0,2π)

S最小值 ? 0

例5、在直线 x-y+1=0 上找一点 p ,使 p 点到 点 A(1,0), B(3,0)的距离之和最小。
Y

A1( -1,2)

P1
P

B( 3,0)

O

A( 1,0)

X

x-y+1=0

例5、在直线 x-y+1=0 上找一点 p ,使 p 点到 点 A(1,0), B(3,0)的距离之和最小。
y = -1 x -1 x +1 - y +0 +1= 0 2 2

如图,设 A1(x,y)是点 A 关于直线 x-y+1=0 的对称点。
则: Y
A1( -1,2)

{

A1(-1,2)

P
B( 3,0)

易知:要在直线上找一点 p 到点 A1,B 的距离之和最小,此点应 是直线 A1B 与直线的交点。
X

O A( 1,0)

P

(

x-y+1=0

1 , 4 3 3

)

Y
A( 1,5) P1

B( 8,3) A1( 4,2)

P

O

X

x-y+1=0

例6、 S ? x ? y ?
2 2

?x ? 1?

2

? y ? x ? ?y ? 1? ?
2 2 2

?x ? 1? ? ?y ? 1?
2

2

求:使 S 最小的 x 与 y 的值。

分析: 由题设的代数结构,联想到平面上两点间的距离。
可设:四个根号的几何意义分别为点P(x,y)到点O(0,0)、 A(1、0)、C(0,1)、B(1,1)四点的距离。
建立几何模型: Y C P O 原来的问题化归为:求到正方形四个顶点距离之和最小的点。

易知:到 A、C两点距离之和最小的点在线段 AC上。

B

到 O、B两点距离之和最小的点在线段 OB上。
∴ 所求的点就是 AC 与 OB 的交点:P 1 , 1 2 2 X

A

? ?

练习:

y2 1、求椭圆 x ? ? 1 上点到直线 L:y=2x-10 的距离 9 4
2

的最大值与最小值。 2、已知方程:

?x ? 2?

2

? y2 ? 3

y 求:满足这个方程的实数对(x,y)中, x 的最值。

小结
用代数方法讨论几何问题是解析几何的特点和手段。 对于解析几何中的极值问题的解决首先应 注意函数方法(参数法)的运用,将所求 对象表示成某个变量的函数,利用代数方 法来解决。 注意! 作为几何中的最值问题,往往利用平面几 何知识或图形意义,采取数形结合或不等 式的方法求解,可以避开代数形式的复杂 运算。 反过来,通过建立坐标系,构造图形也可 使某些不易处理的代数极值问题得到解决。

y2 1、求椭圆 x ? ? 1 上点到直线 L:y=2x-10 的距离 9 4
2

的最大值与最小值。
Y

L2
L1 L

O

X

2、已知方程:

y 求:满足这个方程的实数对(x,y)中, 的最值。 x
设:
Y

?x ? 2?

2

? y2 ? 3
y k ? ? y ? kx x
半径:r ?

圆心:(2,0)

3

当直线与圆相切时,斜率取到最值。

O

X

2k ? 0 ? 3?k?? 3 2 1? k

y ? max ? 3 x

y min ? ? 3 x

思考:
例、求函数

s ? x4 ? 5x2 ? 8x ? 25 ? x4 ? 3x2 ? 4
s?

的最大值。
2 2

提示:
?s ?
2

?x ? 4? ? ?x
2

2

? 3? ? x ? ?x ? 2?
2 2

设 y=x2 时

(为抛物线)
2 2

?x ? 4? ? ?y ? 3?

2

?

?x ? 0? ? ?y ? 2?
M’

建立几何模型: “抛物线 y=x2 上的动点M(x,y) 到两个定点A(4,3)、B(0,2) 的距离之差的最大值。” 易知:

Y

A
M
O

B
X

s ? MA ? MB ? AB ? 17

? Smax ? 17


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