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双曲线题型归纳之双曲线的性质


第 5 讲 双曲线 一、离心率 双曲线的离心率为: e ? c , e ? ?1 , ? ?? a 【例 1】1. 双曲线中心在原点,焦点在坐标轴上,离心率为 2 ,且过点 4, ? 10 ,求此 双曲线的方程; ? ? 【练习】与双曲线 x2 y2 ? ? 1 离心率相等,且过点 4 2 ? 6,2 的双曲线的方程. ? 【例 2】设 ?ABC 是等腰三角形, ?ABC ? 120? ,则以 A , B 为焦点且过点 C 的双曲线的离 心率为( 1? 2 A. 2 ) B. 1? 3 2 C.1 ? 2 D.1 ? 3 x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,点 A 在双曲线上, a 2 b2 AF1 5 且 AF2 ? x 轴,若 ) ? ,则双曲线的离心率等于( AF2 3 【练习】已知双曲线 A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 【例 3 】 双曲线 3? A. ?1, x2 y 2 b ? 0 ? 的两个焦点为 F1 、 F2 ,若 P 为其上一点,且 ? ? 1 ?a ? 0 , a 2 b2 PF1 ? 2 PF2 ,则双曲线离心率的取值范围为( ) B. ?1 ,3? ? ?? C. ? 3 , ? ?? D. ?3 , x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线 a 2 b2 与双曲线交于 A 、 B 两点,若 ?ABF2 为锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是 【练习】已知点 F1 、 F2 分别是双曲线 ( ) A. (1, ? ?) B. (1, 3) C. (1 , 2) D. (1, 1 ? 2) -1- 二、渐进线 求渐近线技巧:把标准方程中的 1 换为 0,得到: ( 1) x2 y2 b y2 x2 a ; ( 2 ) ? ? 0 ? y ? ? x ? 2 ?0? y ?? x. 2 2 2 a b a b a b 4 A2 F2 【例 4】根据下列条件,求双曲线方程: (1)与双曲线 x2 y 2 ? ? 1 有共同的渐近线,且过点 ?3, 2 3 ; 9 16 ? ? (2)经过点 ? ? 15 ? ,3 ? ,且一条渐近线方程为 4 x ? 3 y ? 0 . ?4 ? 【例 5】双曲线 A. 1 x2 y 2 ? ? 1(a ? 0 , b ? 0) 的焦点到渐近线的距离为 2 ,则 b 等于( a 2 b2 B. 2 C. 2 D. 2 2 ) 【练习】已知双曲线 为 y ? x ,点 P A. ?12 ? x2 y 2 ? ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,其一条渐近线方程 2 b2 3 ,y0 在该双曲线上,则 PF1 ? PF2 ? ( ) ? B. ?2 C. 0 D. 4 三、最值问题 【例 6】已知点 A(5,3) ,右焦点 F(2,0) ,在离心率为 2 的双曲线右支上求一点 P,使 | PA | ? | PF | 的值最小,并求出最小值. (思考,如果 P 在左支呢?) -2- y2 2 2 2 2 【练习】1.P 为双曲线 x - = 1 右支上一点,M、N 分别是圆( x+4) +y =4 和(x-4) + 15 y2 =1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为__________. 2. 已知双曲线 x2 ? y2 ? 1 的左顶点为 A1 ,右

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