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高中数学 椭圆 知识点与例题


椭圆
知识点一:椭圆的定义 第一定义:平面内一个动点 P 到两个定点 F1 、 F2 的距离之和为定值

( PF1 ? PF2 ? 2a ? F1 F2 ) ,这个动点 P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两
焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意:若 ( PF1 ? PF2 ? F1 F2 ) ,则动点 P 的轨迹为线段 F1 F2 ; 若 ( PF1 ? PF2 ? F1 F2 ) ,则动点 P 的轨迹不存在. 知识点二:椭圆的标准方程 1.当焦点在 x 轴上时,椭圆的标准方程:

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,其中 c 2 ? a 2 ? b 2 a2 b2

y2 x2 2 2 2 2.当焦点在 y 轴上时,椭圆的标准方程: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,其中 c ? a ? b . a b
注意:?只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆 的标准方程; ?在椭圆的两种标准方程中,都有 (a ? b ? 0) 和 c ? a ? b ;
2 2 2

?椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在 x 轴上时,椭圆的焦点坐标为 (c,0) , (?c,0) ; 当焦点在 y 轴上时,椭圆的焦点坐标为 (0, c ) , (0,?c) 题型一、椭圆的定义 1、方程

? x ? 2 ?2 ? y 2

?

? x ? 2 ?2 ? y 2

? 10 化简的结果是

2、若 ?ABC 的两个顶点 A? ?4,0? , B ? 4,0? , ?ABC 的周长为 18 ,则顶点 C 的轨迹方程是

x2 y2 ? ? 1 上的点 M 到焦点 F1 的距离为 2, N 为 MF1 的中点,则 ON ( O 为坐 3、椭圆 25 9
标原点)的值为( A.4 B.2 ) C.8 D.

3 2

4、椭圆

x2 y2 ? ? 1 两焦点为 F1、F2 , A ? 3,1? ,点 P 在椭圆上,则 PF1 ? PA 的最大值 25 16

为_____,最小值为 ___ 题型二、椭圆的标准方程 5、方程 Ax2+By2=C 表示椭圆的条件是 (A)A, B 同号且 A≠B (C)A, B, C 同号且 A≠B 6、若方程 (B)A, B 同号且 C 与异号 (D)不可能表示椭圆

x2 y2 ? ? 1, 5?k k ?3
. . . .

(1)表示圆,则实数 k 的取值是 (2)表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是 (3)表示焦点在 y 型上的椭圆,则实数 k 的取值范围是 (4)表示椭圆,则实数 k 的取值范围是 7、椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为 2 ,则 m = 4 m
2 2

8、已知椭圆 mx ? 3 y ? 6m ? 0 的一个焦点为(0,2)求 m 的值.

9、已知椭圆的中心在原点,且经过点 P?3, 0? , a ? 3b ,求椭圆的标准方程.

10、求与椭圆 4x ? 9 y ? 36 共焦点,且过点 (3, ?2) 的椭圆方程。
2 2

11、已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离分别为 过 P 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程.

4 5 2 5 和 , 3 3

12、中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过 A( 3 , ? 2) 和 B(?2 3 , 1) 两点的椭圆方程.

5 3 13、若椭圆的两焦点为(-2,0)和(2,0) ,且椭圆过点 ( ,? ) ,求椭圆方程. 2 2

题型三、焦点三角形 14 、 已 知 椭 圆 方 程

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? , 焦 点 为 F1 , F2 , P 是 椭 圆 上 一 点 , a 2 b2

?F1PF2 ? ? .求: ?F1 PF2 的面积

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 、F2 ,AB 是椭圆过焦点 F1 的弦, 15、 椭圆 则 ?ABF2 的周长是 9 25
16、设点 P 是椭圆 面积为



x2 y 2 ? ? 1 上的一点, F1 , F2 是焦点,若 ?F1PF2 是直角,则 ?F1 PF2 的 25 16



17、 已知椭圆 9x 2 ? 16y 2 ? 144, 焦点为 F1 、F2 ,P 是椭圆上一点. 若 ?F1 PF2 ? 60? , 求 ?PF 1 F2 的面积.

题型四、求轨迹方程 18、 ?ABC 的底边 BC ? 16 , AC 和 AB 两边上中线长之和为 30,求此三角形重心 G 的轨 迹和顶点 A 的轨迹.

19、已知动圆 P 过定点 A?? 3, 0? ,且在定圆 B: ?x ? 3? ? y 2 ? 64的内部与其相内切,求动
2

圆圆心 P 的轨迹方程.

20、已知圆 C : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 25及点A(1,0), Q 为圆上一点, AQ 的垂直平分线交 CQ 于

M ,求点 M 的轨迹方程.

21、已知圆 M : ( x ? 1) ? y ? 1 ,圆 N : ( x ? 1) ? y ? 9 ,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N
2 2 2 2

内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C .求 C 的方程;


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