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高中数学 (2.2.3 直线与平面平行的性质)示范教案 新人教A版必修2


2.2.3

直线与平面平行的性质
整体设计

教学分析 上节课已学习了直线与平面平行的判定定理,这节课将通过例题让学生体会应用线面平 行的性质定理的难度,进而明确告诉学生:线面平行的性质定理是高考考查的重点,也是最 难应用的两个定理之一.本节重点是直线与平面平行的性质定理的应用. 三维目标 1.探究直线与平面平行的性质定理. 2

.体会直线与平面平行的性质定理的应用. 3.通过线线平行与线面平行转化,培养学生的学习兴趣. 重点难点 教学重点:直线与平面平行的性质定理. 教学难点:直线与平面平行的性质定理的应用. 课时安排 1 课时 教学过程 复习 回忆直线与平面平行的判定定理: (1)文字语言:如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平 面平行.

(2)符号语言为:

(3)图形语言为:如图 1.

图1 导入新课 思路 1.(情境导入) 教室内日光灯管所在的直线与地面平行, 是不是地面内的所有直线都与日光灯管所在的 直线平行? 思路 2.(事例导入) 观察长方体(图 2) ,可以发现长方体 ABCD—A′B′C′D′中,线段 A′B 所在的直线与 长方体 ABCD—A′B′C′D′的侧面 C′D′DC 所在平面平行,你能在侧面 C′D′DC 所在平 面内作一条直线与 A′B 平行吗?

图2 推进新课

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新知探究 提出问题 ①回忆空间两直线的位置关系. ②若一条直线与一个平面平行,探究这条直线与平面内直线的位置关系. ③用三种语言描述直线与平面平行的性质定理. ④试证明直线与平面平行的性质定理. ⑤应用线面平行的性质定理的关键是什么? ⑥总结应用线面平行性质定理的要诀. 活动:问题①引导学生回忆两直线的位置关系. 问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力. 问题③引导学生进行语言转换. 问题④引导学生用排除法. 问题⑤引导学生找出应用的难点. 问题⑥鼓励学生总结,教师归纳. 讨论结果:①空间两条直线的位置关系:相交、平行、异面. ②若一条直线与一个平面平行, 这条直线与平面内直线的位置关系不可能是相交 (可用反证 法证明),所以,该直线与平面内直线的位置关系还有两种,即平行或异面. 怎样在平面内作一条直线与该直线平行呢 (排除异面的情况) ?经过这条直线的平面和 这个平面相交,那么这条直线和交线平行. ③直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为: 如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和 交线平行. 这个定理用符号语言可表示为:

这个定理用图形语言可表示为:如图 3.

图3 ④已知 a∥α ,a ? β ,α ∩β =b.求证:a∥b. 证明:

⑤应用线面平行的性质定理的关键是:过这条直线作一个平面. ⑥应用线面平行性质定理的要诀:“见到线面平行,先过这条直线作一个平面找交线”. 应用示例 思路 1 例 1 如图 4 所示的一块木料中,棱 BC 平行于面 A′C′.

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图4 (1)要经过面 A′C′内的一点 P 和棱 BC 将木料锯开,应怎样画线? (2)所画的线与面 AC 是什么位置关系? 活动:先让学生思考、讨论再回答,然后教师加以引导. 分析: 经过木料表面 A′C′内的一点 P 和棱 BC 将木料锯开,实际上是经过 BC 及 BC 外一点 P 作截面,也就是找出平面与平面的交线.我们可以由线面平行的性质定理和公理 4、 公理 2 作 出. 解: (1)如图 5,在平面 A′C′内,过点 P 作直线 EF,使 EF∥B′C′,

图5 并分别交棱 A′B′、C′D′于点 E、F.连接 BE、CF. 则 EF、BE、CF 就是应画的线. (2)因为棱 BC 平行于面 A′C′,平面 BC′与平面 A′C′交于 B′C′,所以 BC∥B′C′. 由(1)知,EF∥B′C′, 所以 EF∥BC.因此

BE、CF 显然都与平面 AC 相交. 变式训练 如图 6,a∥α ,A 是 α 另一侧的点,B、C、D∈a,线段 AB、AC、AD 交 α 于 E、F、G 点,若 BD=4,CF=4,AF=5,求 EG.

图6 解:A ? a,∴A、a 确定一个平面,设为 β . ∵B∈a,∴B∈β . 又 A∈β ,∴AB ? β . 同理 AC ? β ,AD ? β . ∵点 A 与直线 a 在 α 的异侧, ∴β 与 α 相交.
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∴面 ABD 与面 α 相交,交线为 EG. ∵BD∥α ,BD ? 面 BAD,面 BAD∩α =EG, ∴BD∥EG. ∴△AEG∽△ABD.

EG AF .(相似三角形对应线段成比例) ? BD AC AF 5 20 ∴EG= . ? BD ? ? 4 ? AC 9 9
∴ 点评:见到线面平行,先过这条直线作一个平面找交线,直线与交线平行,如果再需要过已 知点,这个平面是确定的. 例 2 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,求证另一条也平行于这个平面. 如图 7.

图7 已知直线 a,b,平面 α ,且 a∥b,a∥α ,a,b 都在平面 α 外. 求证:b∥α . 证明:过 a 作平面 β ,使它与平面 α 相交,交线为 c. ∵a∥α ,a ? β ,α ∩β =c, ∴a∥c. ∵a∥b,∴b∥c. ∵c ? α ,b ? α ,∴b∥α . 变式训练 如图 8,E、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、AD 的中点,平面 α 过 EH 分别交 BC、CD 于 F、G.求证:EH∥FG.

图8 证明:连接 EH. ∵E、H 分别是 AB、AD 的中点, ∴EH∥BD. 又 BD ? 面 BCD,EH ? 面 BCD, ∴EH∥面 BCD. 又 EH ? α 、α ∩面 BCD=FG, ∴EH∥FG. 点评:见到线面平行,先过这条直线作一个平面找交线,则直线与交线平行. 思路 2

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例 1 求证:如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条,那么它们的交线和这条直 线平行.如图 9.

图9 已知 a∥b,a ? α ,b ? β ,α ∩β =c. 求证:c∥a∥b.

证明: 变式训练 求证:一条直线与两个相交平面都平行,则这条直线与这两个相交平面的交线平行.

图 10 已知:如图 10,a∥α ,a∥β ,α ∩β =b, 求证:a∥b. 证明:如图 10,过 a 作平面 γ 、δ ,使得 γ ∩α =c,δ ∩β =d,那么有

点评:本题证明过程,实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理 4 的过程.这是证明线线平行的一种典型的思路. 例 2 如图 11,平行四边形 EFGH 的四个顶点分别在空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上,求证:BD∥面 EFGH,AC∥面 EFGH.

图 11 证明:∵EFGH 是平行四边形

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变式训练 如图 12, 平面 EFGH 分别平行于 CD、AB,E、F、G、H 分别在 BD、BC、AC、AD 上, 且 CD=a, AB=b,CD⊥AB.

图 12 (1)求证:EFGH 是矩形; (2)设 DE=m,EB=n,求矩形 EFGH 的面积. (1)证明:∵CD∥平面 EFGH,而平面 EFGH∩平面 BCD=EF, ∴CD∥EF.同理 HG∥CD,∴EF∥HG. 同理 HE∥GF,∴四边形 EFGH 为平行四边形. 由 CD∥EF,HE∥AB,∴∠HEF 为 CD 和 AB 所成的角. 又∵CD⊥AB,∴HE⊥EF. ∴四边形 EFGH 为矩形. (2)解:由(1)可知在△BCD 中 EF∥CD,DE=m,EB=n,

EF BE n .又 CD=a,∴EF= a. ? m?n CD DB HE DE 由 HE∥AB,∴ . ? AB DB m 又∵AB=b,∴HE= b. m?n
∴ 又∵四边形 EFGH 为矩形, ∴S 矩形 EFGH=HE·EF=

m n mn b? a? ab . m?n m?n ( m ? n) 2

点评:线面平行问题是平行问题的重点,有着广泛应用. 知能训练 求证:经过两条异面直线中的一条有且只有一个平面和另一条直线平行. 已知:a、b 是异面直线. 求证:过 b 有且只有一个平面与 a 平行. 证明:(1)存在性.如图 13,

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图 13 在直线 b 上任取一点 A,显然 A ? a. 过 A 与 a 作平面 β , 在平面 β 内过点 A 作直线 a′∥a, 则 a′与 b 是相交直线,它们确定一个平面,设为 α , ∵b ? α ,a 与 b 异面,∴a ? α . 又∵a∥a′,a′ ? α ,∴a∥α . ∴过 b 有一个平面 α 与 a 平行. (2)唯一性. 假设平面 γ 是过 b 且与 a 平行的另一个平面, 则 b ? γ .∵A∈b,∴A∈γ . 又∵A∈β ,∴γ 与 β 相交,设交线为 a″,则 A∈a″. ∵a∥γ ,a ? β ,γ ∩β =a″,∴a∥a″.又 a∥a′,∴a′∥a″. 这与 a′∩a″=A 矛盾. ∴假设错误,故过 b 且与 a 平行的平面只有一个. 综上所述,过 b 有且只有一个平面与 a 平行. 变式训练 已知:a∥α ,A∈α ,A∈b,且 b∥a.求证:b ? α . 证明:假设 b ? α ,如图 14,

图 14 设经过点 A 和直线 a 的平面为 β , α ∩β =b′, ∵a∥α , ∴a∥b′(线面平行则线线平行). 又∵a∥b,∴b∥b′,这与 b∩b′=A 矛盾. ∴假设错误.故 b ? α . 拓展提升 已知:a,b 为异面直线,a ? α ,b ? β ,a∥β ,b∥α ,求证:α ∥β . 证明:如图 15,在 b 上任取一点 P,由点 P 和直线 a 确定的平面 γ 与平面 β 交于直线 c, 则 c 与 b 相交于点 P.

图 15

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变式训练 已知 AB、CD 为异面线段,E、F 分别为 AC、BD 中点,过 E、F 作平面 α ∥AB. (1)求证:CD∥α ; (2)若 AB=4,EF= 5 ,CD=2,求 AB 与 CD 所成角的大小. (1)证明:如图 16,连接 AD 交 α 于 G,连接 GF,

图 16 ∵AB∥α ,面 ADB∩α =GF ? AB∥GF. 又∵F 为 BD 中点, ∴G 为 AD 中点. 又∵AC、AD 相交,确定的平面 ACD∩α =EG,E 为 AC 中点,G 为 AD 中点,∴EG∥CD.

(2)解:由(1)证明可知:

∵AB=4,GF=2,CD=2,∴EG=1,EF= 5 . 在△EGF 中,由勾股定理,得∠EGF=90°,即 AB 与 CD 所成角的大小为 90°. 课堂小结 知识总结:利用线面平行的性质定理将直线与平面平行转化为直线与直线平行. 方法总结:应用直线与平面平行的性质定理需要过已知直线作一个平面 ,是最难应用的 定理之一;应让学生熟记:“过直线作平面,把线面平行转化为线线平行”. 作业 课本习题 2.2 A 组 5、6. 设计感想 线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带,线面平行的判定是高考考查的重点.本 节的难点是应用线面平行的性质定理把线面平行转化为线线平行, 本节在选题时始终围绕这 个中心展开,针对性强,因此这节课目的突出,是一个精彩课例.另外,本节总结了应用线

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面平行性质定理的口诀,对学生的学习一定有很大帮助.

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