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步步高2015高考数学(人教A理)一轮讲义:12.6离散型随机变量的均值与方差、正态分布


§ 12.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 X P (1)均值 称 E(X)=x1p1+x2p2+?+xipi+?+xnpn 为随机变量 X 的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取 值的平均水平. (2)方差 称 D(X)=∑ (xi-E(X))2pi 为随机变量 X 的方差,它刻

画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度, =
i 1 n

x1 p1

x2 p2

? ?

xi pi

? ?

xn pn

其算术平方根 D?X?为随机变量 X 的标准差. 2.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=aE(X)+b. (2)D(aX+b)=a2D(X).(a,b 为常数) 3.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若 X 服从两点分布,则 E(X)=__p__,D(X)=p(1-p). (2)若 X~B(n,p),则 E(X)=__np__,D(X)=np(1-p). 4.正态分布 (1)正态曲线:函数 φμ,σ(x)= ?x-μ?2 1 e- ,x∈(-∞,+∞),其中 μ 和 σ 为参数(σ>0,μ∈R).我们 2σ2 2πσ

称函数 φμ、σ(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线. (2)正态曲线的性质: ①曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交; ②曲线是单峰的,它关于直线 x=μ 对称; 1 ③曲线在 x=μ 处达到峰值 ; σ 2π ④曲线与 x 轴之间的面积为__1__; ⑤当 σ 一定时,曲线的位置由 μ 确定,曲线随着__μ__的变化而沿 x 轴平移,如图甲所示; ⑥当 μ 一定时,曲线的形状由 σ 确定,σ__越小__,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ__越 大__,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图乙所示.

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(3)正态分布的定义及表示
b 如果对于任何实数 a,b (a<b),随机变量 X 满足 P(a<X≤b)=?a φμ,σ(x)dx,则称随机变量 X 服从正态分

布,记作 X~N(μ,σ2). 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682_6; ②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954_4; ③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997_4.

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量,它不确定. ( √ )

(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离 变量平均程度越小. ( √ )

(3)正态分布中的参数 μ 和 σ 完全确定了正态分布,参数 μ 是正态分布的期望,σ 是正态分布的标准差. ( √ )

(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服 从正态分布. 1 2.设随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ=k)= (k=2,4,6,8,10),则 D(ξ)等于 5 A.5 答案 B 1 解析 ∵E(ξ)= (2+4+6+8+10)=6, 5 1 ∴D(ξ)= [(-4)2+(-2)2+02+22+42]=8. 5 3.设随机变量 X 服从正态分布 N(2,9),若 P(X>c+1)=P(X<c-1),则 c 等于( A.1 答案 B c+1+c-1 解析 ∵μ=2,由正态分布的定义知其图象关于直线 x=2 对称,于是 =2,∴c=2. 2 4.有一批产品,其中有 12 件正品和 4 件次品,有放回地任取 3 件,若 X 表示取到次品的件数,则 D(X) =________. 9 答案 16 1 1 解析 由题意知取到次品的概率为 ,∴X~B(3, ), 4 4
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( √

) ( )

B .8

C.10

D.16

)

B .2

C .3

D.4

1 1 9 ∴D(X)=3× ×(1- )= . 4 4 16 5.在篮球比赛中,罚球命中 1 次得 1 分,不中得 0 分.如果某运动员罚球命中的概率为 0.7,那么他罚球 1 次的得分 X 的均值是________. 答案 0.7 解析 E(X)=1×0.7+0×0.3=0.7.

题型一 离散型随机变量的均值、方差 例1 (2013· 浙江)设袋子中装有 a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规定:取出一个红球得 1 分,取出一

个黄球得 2 分,取出一个蓝球得 3 分. (1)当 a=3,b=2,c=1 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2 个球,记随机变量 ξ 为取出此 2 球所得分数之和,求 ξ 的分布列; 5 (2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球,记随机变量 η 为取出此球所得分数. 若 E(η)= , D(η) 3 5 = ,求 a∶b∶c. 9 思维启迪 首先列出随机变量 ξ 的所有可能的取值,然后计算 ξ 的每个取值的概率. (1)由题意得 ξ=2,3,4,5,6. 3×3 1 故 P(ξ=2)= = , 6×6 4 2×3×2 1 P(ξ=3)= = , 3 6×6 2×3×1+2×2 5 P(ξ=4)= = , 18 6×6 2×2×1 1 P(ξ=5)= = , 9 6×6 1×1 1 P(ξ=6)= = . 6×6 36 解 所以 ξ 的分布列为 ξ P (2)由题意知 η 的分布列为 1 2 3 a b c P a+b+c a+b+c a+b+c a 2b 3c 5 所以 E(η)= + + = , a+b+c a+b+c a+b+c 3 5?2 5 2 5 a b c 5 D(η)=? +?2-3? +?3- ?2· = . ?1-3? · ?· a+b+c ? a+b+c ? 3? a+b+c 9
? ?2a-b-4c=0, 化简得? ?a+4b-11c=0. ?

2 1 4

3 1 3

4 5 18

5 1 9

6 1 36

Η

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解得 a=3c,b=2c, 故 a∶b∶c=3∶2∶1. 思维升华 (1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值,写出随机变量的分 布列,正确运用均值、方差公式进行计算. (2)注意性质的应用: 若随机变量 X 的期望为 E(X),则对应随机变量 aX+b 的期望是 aE(X)+b,方差为 a2D(X). 袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的有 n 个(n=1,2,3,4).现从 袋中任取一球,ξ 表示所取球的标号. (1)求 ξ 的分布列、期望和方差; (2)若 η=aξ+b,E(η)=1,D(η)=11,试求 a,b 的值. 解 (1)ξ 的分布列为 ξ

0 1 2 3 4 1 1 1 3 1 P 2 20 10 20 5 1 1 1 3 1 ∴E(ξ)=0× +1× +2× +3× +4× =1.5. 2 20 10 20 5 1 1 1 3 1 2 2 D(ξ)=(0-1.5) × +(1-1.5) × +(2-1.5)2× +(3-1.5)2× +(4-1.5)2× =2.75. 2 20 10 20 5 (2)由 D(η)=a2D(ξ),得 a2×2.75=11,即 a=± 2. 又 E(η)=aE(ξ)+b, 所以当 a=2 时,由 1=2×1.5+b,得 b=-2. 当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4. ?a=2, ?a=-2, ? ? ∴? 或? ? ? ?b=-2, ?b=4. 题型二 二项分布的均值、方差 例2 (2012· 四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和 B,系统 A 和系统 B 在任意 1 时刻发生故障的概率分别为 和 p. 10 49 (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 ,求 p 的值; 50 (2)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ξ,求 ξ 的分布列及数学期望 E(ξ). 思维启迪 利用对立事件的概率公式表示(1)中概率可求 p. 解 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件 C,那么 1 49 1 1-P( C )=1- · p= ,解得 p= . 10 50 5 1 0? 1 ?3 (2)由题意,得 P(ξ=0)=C3?10? = , 1 000 1? 27 ? 1 ?2 ? P(ξ=1)=C1 3 10 × 1-10 = ? ? ? ? 1 000, 1 2 243 1 ? P(ξ=2)=C2 ×?1-10? 3× ? =1 000, 10 1 ?3 729 ? P(ξ=3)=C3 3 1-10 = ? ? 1 000.

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所以,随机变量 ξ 的分布列为 ξ P 0 1 1 000 1 27 1 000 2 243 1 000 3 729 1 000

故随机变量 ξ 的数学期望 1 27 243 729 27 E(ξ)=0× +1× +2× +3× = . 1 000 1 000 1 000 1 000 10 9 9 27 (或∵ξ~B(3, ),∴E(ξ)=3× = .) 10 10 10 思维升华 求随机变量 ξ 的期望与方差时,可首先分析 ξ 是否服从二项分布,如果 ξ~B(n,p),则用公 式 E(ξ)=np;D(ξ)=np(1-p)求解,可大大减少计算量. 假设某班级教室共有 4 扇窗户,在每天上午第三节课上课预备铃声响起时,每扇窗户或被敞 开或被关闭,且概率均为 0.5.记此时教室里敞开的窗户个数为 X. (1)求 X 的分布列; (2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭,班长就会将关闭的窗户全部敞开,否则维持原状不 变.记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为 Y,求 Y 的数学期望. 解 (1)∵X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,X~B(4,0.5), 14 1 ∴P(X=0)=C0 , 4( ) = 2 16 14 1 3 2 1 4 P(X=1)=C1 4( ) = ,P(X=2)=C4( ) = , 2 4 2 8 1 1 3 1 4 4 1 4 P(X=3)=C4( ) = ,P(X=4)=C4( ) = , 2 4 2 16 ∴X 的分布列为 X P (2)Y 的所有可能取值为 3,4,则 1 P(Y=3)=P(X=3)= , 4 3 P(Y=4)=1-P(Y=3)= , 4 1 3 15 ∴Y 的期望值 E(Y)=3× +4× = . 4 4 4 题型三 正态分布的应用 例3 在某次大型考试中, 某班同学的成绩服从正态分布 N(80,52), 现已知该班同学中成绩在 80~85 分的 0 1 16 1 1 4 2 3 8 3 1 4 4 1 16

有 17 人.试计算该班成绩在 90 分以上的同学有多少人. 思维启迪 本题主要考查正态分布及其应用,解题关键是要记住正态总体取值在区间(μ-σ,μ+σ],(μ -2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]内的概率值,将所给问题转化到上述区间内解决,同时要注意对称性的 运用和数形结合思想的应用. 解 依题意,由 80~85 分的同学的人数和所占百分比求出该班同学的总数,再求 90 分以上同学的人

数. ∵成绩服从正态分布 N(80,52),

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∴μ=80,σ=5,μ-σ=75,μ+σ=85. 于是成绩在(75,85]内的同学占全班同学的 68.26%. 1 由正态曲线的对称性知,成绩在(80,85]内的同学占全班同学的 ×68.26%=34.13%. 2 设该班有 x 名同学,则 x×34.13%=17, 解得 x≈50. 又 μ-2σ=80-10=70,μ+2σ=80+10=90, ∴成绩在(70,90]内的同学占全班同学的 95.44%. ∴成绩在(80,90]内的同学占全班同学的 47.72%. ∴成绩在 90 分以上的同学占全班同学的 50%-47.72%=2.28%. 即有 50×2.28%≈1(人),即成绩在 90 分以上的同学仅有 1 人. 思维升华 解答此类题目关键是利用正态曲线的对称性表示出所给区间的概率.利用对称性转化区间

时,要注意正态曲线的对称轴是 x=μ,只有在标准正态分布下对称轴才为 x=0. 在某次数学考试中,考生的成绩 ξ 服从正态分布,即 ξ~N(100,100),已知满分为 150 分. (1)试求考试成绩 ξ 位于区间(80,120]内的概率; (2)若这次考试共有 2 000 名考生参加,试估计这次考试及格(不小于 90 分)的人数. 解 (1)由 ξ~N(100,100)知 μ=100,σ=10.

∴P(80<ξ≤120)=P(100-20<ξ≤100+20)=0.954 4, 即考试成绩位于区间(80,120]内的概率为 0.954 4. (2)P(90<ξ≤110)=P(100-10<ξ≤100+10)=0.682 6, 1 ∴P(ξ>110)= (1-0.682 6)=0.158 7, 2 ∴P(ξ≥90)=0.682 6+0.158 7=0.841 3. ∴及格人数为 2 000×0.841 3≈1 683(人).

离散型随机变量的均值与方差问题

典例:(12 分)甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球,已知甲袋中共有 m 个球,乙袋中共有 2m 个球, 2 从甲袋中摸出 1 个球为红球的概率为 ,从乙袋中摸出 1 个球为红球的概率为 P2. 5 (1)若 m=10,求甲袋中红球的个数; 1 (2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后,从中摸出 1 个红球的概率是 ,求 P2 的值; 3 1 (3)设 P2= ,若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球,每次摸出 1 个球,并且从甲袋中摸 1 次,从乙袋中 5 摸 2 次.设 ξ 表示摸出红球的总次数,求 ξ 的分布列和均值. 思维启迪 (1)概率的应用, 知甲袋中总球数为 10 和摸 1 个为红球的概率, 求红球. (2)利用方程的思想, 列方程求解.(3)求分布列和均值,关键是求 ξ 的所有可能值及每个值所对应的概率. 规范解答
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(1)设甲袋中红球的个数为 x, 2 依题意得 x=10× =4. 5 2 m+2mP2 5 1 3 (2)由已知,得 = ,解得 P2= . 3m 3 10 (3)ξ 的所有可能值为 0,1,2,3. 3 4 4 48 P(ξ=0)= × × = , 5 5 5 125 2 4 4 3 1 4 56 P(ξ=1)= × × + ×C1 , 2× × = 5 5 5 5 5 5 125 2 1 4 3 ?1?2 19 P(ξ=2)= ×C1 , 2× × + × 5 = 5 5 5 5 ? ? 125 2 1?2 2 P(ξ=3)= ×? = . 5 ?5? 125 所以 ξ 的分布列为 ξ P 0 48 125 1 56 125 2 19 125 3 2 125

[3 分] [6 分]

[8 分]

[10 分] 48 56 19 2 4 所以 E(ξ)=0× +1× +2× +3× = . 125 125 125 125 5 [12 分]

求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤: 第一步:确定随机变量的所有可能值. 第二步:求每一个可能值所对应的概率. 第三步:列出离散型随机变量的分布列. 第四步:求均值和方差. 第五步:反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范. 温馨提醒 (1)本题重点考查了概率、离散型随机变量的分布列、均值.(2)本题解答中的典型错误是计算不 准确以及解答不规范.如第(3)问中,不明确写出 ξ 的所有可能值,不逐个求概率,这都属于解答不规范.

方法与技巧 1.均值与方差的常用性质.掌握下述有关性质,会给解题带来方便: (1)E(aξ+b)=aE(ξ)+b; E(ξ+η)=E(ξ)+E(η); D(aξ+b)=a2D(ξ); (2)若 ξ~B(n,p),则 E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p).

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2.基本方法 (1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解; (2)已知随机变量 ξ 的均值 、方差,求 ξ 的线性函数 η=aξ+b 的均值、方差和标准差,可直接用 ξ 的均 值、方差的性质求解; (3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如二项分布),可直接利用它们的均值、方差公式求解. 3.关于正态总体在某个区域内取值的概率求法 (1)熟记 P(μ-σ<X≤μ+σ),P(μ-2σ<X≤μ+2σ),P(μ-3σ<X≤μ+3σ)的值. (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1. ①正态曲线关于直线 x=μ 对称,从而在关于 x=μ 对称的区间上概率相等. ②P(X<a)=1-P(X≥a),P(x<μ-a)=P(X≥μ+a). (3)3σ 原则 在实际应用中,通常认为服从正态分布 N(μ,σ2)的随机变量只取(μ-3σ,μ+3σ]之间的值,取该区间外 的值的概率很小,通常认为一次试验几乎不可能发生.

失误与防范 1.在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式. 2.对于应用问题,必须对实际问题进行具体分析,一般要将问题中的随机变量设出来,再进行分析,求 出随机变量的分布列,然后按定义计算出随机变量的均值、方差.

A 组 专项基础训练 一、选择题 1.正态总体 N(1,9)在区间(2,3)和(-1,0)上取值的概率分别为 m,n,则 A.m>n C.m=n 答案 C 解析 正态总体 N(1,9)的曲线关于 x=1 对称,区间(2,3)与(-1,0)到对称轴距离相等,故 m=n. 2.已知某一随机变量 X 的分布列如下,且 E(X)=6.3,则 a 的值为 X P A.5 答案 C 解析 由分布列性质知:0.5+0.1+b=1,∴b=0.4. ∴E(X)=4×0.5+a×0.1+9×0.4=6.3,∴a=7. 3.(2013· 湖北) 如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同 B .6 C .7 4 0.5 D.8 a 0.1 9 b ( ) B.m<n D.不确定 ( )

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样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的油漆面数为 X,则 X 的均值 E(X) 等于 126 A. 125 168 C. 125 答案 B 解析 125 个小正方体中 8 个三面涂漆,36 个两面涂漆, 54 个一面涂漆,27 个没有涂漆, 54 36 8 150 6 ∴从中随机取一个正方体,涂漆面数 X 的均值 E(X)= ×1+ ×2+ ×3= = . 125 125 125 125 5 4.某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种 2 粒,补 种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为 A.100 答案 B 解析 记“不发芽的种子数为 ξ”, 则 ξ~B(1 000,0.1),所以 E(ξ)=1 000×0.1=100, 而 X=2ξ,故 E(X)=E(2ξ)=2E(ξ)=200. 5.一射手对靶射击,直到第一次命中为止,每次命中的概率都为 0.6,现有 4 颗子弹,则射击停止后剩余 子弹的数目 X 的期望值为 A.2.44 答案 C 解析 X 的所有可能取值为 3,2,1,0,其分布列为 X P 3 0.6 2 0.24 1 0.096 0 0.064 B.3.376 C.2.376 D.2.4 ( ) B.200 C.300 D.400 ( ) ( 6 B. 5 7 D. 5 )

∴E(X)=3×0.6+2×0.24+1×0.096+0×0.064 =2.376. 二、填空题 6.从装有 3 个红球、2 个白球的袋中随机取出 2 个球,设其中有 X 个红球,则随机变量 X 的分布列为 X P 答案 0.1 0.6 0.3 C2 2 解析 P(X=0)= 2=0.1, C5 C1 C1 6 C2 3· 2 3 P(X=1)= 2 = =0.6,P(X=2)= 2=0.3. C5 10 C5 1 7.已知随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ=k)= k-1,k=1,2,3,?,n,则 P(2<ξ≤5)=________. 2 7 答案 16 1 1 1 7 解析 P(2<ξ≤5)=P(ξ=3)+P(ξ=4)+P(ξ=5)= + + = . 4 8 16 16
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0

1

2

8.已知某次英语考试的成绩 X 服从正态分布 N(116,64),则 10 000 名考生中成绩在 140 分以上的人数为 ________. 答案 13 解析 由已知得 μ=116,σ=8. ∴P(92<X≤140)=P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4, 1 ∴P(X>140)= (1-0.997 4)=0.001 3, 2 ∴成绩在 140 分以上的人数为 13. 三、解答题 9.某超市为了响应环保要求,鼓励顾客自带购物袋到超市购物,采取了如下措施:对不使用超市塑料购 物袋的顾客, 超市给予 9.6 折优惠; 对需要超市塑料购物袋的顾客, 既要付购买费, 也不享受折扣优惠. 假 设该超市在某个时段内购物的人数为 36 人,其中有 12 位顾客自己带了购物袋,现从这 36 人中随机抽 取两人. (1)求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率; (2)设这两人中享受折扣优惠的人数为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望. 解 (1)设“两人都享受折扣优惠”为事件 A,

“两人都不享受折扣优惠”为事件 B, C2 11 C2 46 12 24 则 P(A)= 2 = ,P(B)= 2 = . C36 105 C36 105 因为事件 A,B 互斥, 11 46 57 19 则 P(A+B)=P(A)+P(B)= + = = . 105 105 105 35 19 故这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是 . 35 (2)据题意,得 ξ 的可能取值为 0,1,2. 1 46 C1 48 12C24 其中 P(ξ=0)=P(B)= ,P(ξ=1)= 2 = , 105 C36 105 11 P(ξ=2)=P(A)= . 105 所以 ξ 的分布列为 0 46 P 105 46 48 11 70 2 所以 E(ξ)=0× +1× +2× = = . 105 105 105 105 3 ξ 1 48 105 2 11 105

10.为了某项大型活动能够安全进行,警方从武警训练基地挑选防爆警察,从体能、射击、反应三项指标 进行检测,如果这三项中至少有两项通过即可入选.假定某基地有 4 名武警战士(分别记为 A、B、C、 2 2 1 D)拟参加挑选,且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为 , , .这三项测试能否通过相互之间没 3 3 2 有影响. (1)求 A 能够入选的概率; (2)规定:按入选人数得训练经费(每入选 1 人,则相应的训练基地得到 3 000 元的训练经费),求该基地 得到训练经费的分布列与数学期望.
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(1)设 A 通过体能、射击、反应分别记为事件 M、N、P,则 A 能够入选包含以下几个互斥事件:

MN P ,M N P, M NP,MNP. ∴P(A)=P(MN P )+P(M N P)+P( M NP)+P(MNP) 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 12 2 = × × + × × + × × + × × = = . 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 18 3 2 所以,A 能够入选的概率为 . 3 (2)记 ξ 表示该训练基地得到的训练经费,则 ξ 的所有可能值为 0,3 000,6 000,9 000,12 000. 2?4 1 P(ξ=0)=? ?1-3? =81, ?2??1?3 8 , P(ξ=3 000)=C1 4 3 3 = ? ?? ? 81 ?2?2?1?2=24, P(ξ=6 000)=C2 4 3 ? ? ?3? 81 32 3?2?3?1? P(ξ=9 000)=C4?3? ?3?= , 81 2 16 4? ? 4 P(ξ=12 000)=C4 ?3? =81, ξ 的分布列为 3 000 6 000 8 24 P 81 81 8 24 32 16 E(ξ)=3 000× +6 000× +9 000× +12 000× 81 81 81 81 =8 000(元). 所以,该基地得到训练经费的数学期望为 8 000 元. B 组 专项能力提升 1.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概率为 c(a、b、c∈(0,1)), 2 1 已知他投篮一次得分的均值为 2,则 + 的最小值为 ( ) a 3b 32 28 14 16 A. B. C. D. 3 3 3 3 答案 D 解析 由已知得,3a+2b+0×c=2, 2 即 3a+2b=2,其中 0<a< ,0<b<1. 3 2 1 3a+2b?2 1 ? + 又 + = a 3b 2 ?a 3b? 1 2b a 10 2b a 16 2b a =3+ + + ≥ +2 · = ,当且仅当 = ,即 a=2b 时取“等号”,又 3a+2b=2,即 3 a 2b 3 a 2b 3 a 2b 1 1 2 1 16 当 a= ,b= 时, + 的最小值为 ,故选 D. 2 4 a 3b 3 2.若 p 为非负实数,随机变量 ξ 的分布列如下表,则 E(ξ)的最大值为________,D(ξ)的最大值为________. ξ P 答案 3 1 2 0 1 -p 2 1 p 2 1 2 ξ 0 1 81 9 000 32 81 12 000 16 81

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3 1 解析 E(ξ)=p+1≤ (0≤p≤ );D(ξ)=-p2-p+1≤1. 2 2 3.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面 2 试的概率为 ,得到乙、丙两公司面试的概率均为 p,且三个公司是否让其面试是相互独立的,记 X 为 3 1 该毕业生得到面试的公司个数.若 P(X=0)= ,则随机变量 X 的数学期望 E(X)=________. 12 5 答案 3 1 1 1 解析 由题意知 P(X=0)= (1-p)2= ,∴p= . 3 12 2 随机变量 X 的分布列为 X P 1 1 5 1 5 E(X)=0× +1× +2× +3× = . 12 3 12 6 3 0 1 12 1 1 3 2 5 12 3 1 6

4.马老师从课本上抄录一个随机变量 ξ 的分布列如下表: x P(ξ=x) 1 ? 2 ! 3 ?

请小牛同学计算 ξ 的数学期望.尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断定这 两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案 E(ξ)=________. 答案 2 解析 设“?”处的数值为 x,则“!”处的数值为 1-2x,则 E(ξ)=1· x+2×(1-2x)+3x=x+2-4x+3x=2. 5.某保险公司新开设一项保险业务,规定该份保单,在一年内如果事件 E 发生,则该公司要赔偿 a 元, a 在一年内如果事件 E 发生的概率为 p, 为使该公司收益期望值等于 , 公司应要求该保单的顾客缴纳的 10 保险金为________元. a?10p+1? 答案 10 解析 设随机变量 X 表示公司此项业务的收益额,x 表示顾客交纳的保险金,则 X 的所有可能值为 x, x-a,且 P(X=x)=1-p,P(X=x-a)=p, a?10p+1? a 所以 E(X)=x(1-p)+(x-a)p= ,得 x= . 10 10 2 6.(2013· 福建)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为 ,中奖 3 2 可以获得 2 分;方案乙的中奖率为 ,中奖可以获得 3 分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机 5 会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为 X,求 X≤3 的概率; (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分 的数学期望较大? 解 2 2 方法一 (1)由已知得,小明中奖的概率为 ,小红中奖的概率为 ,且两人中奖与否互不影响. 3 5

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记“这 2 人的累计得分 X≤3”的事件为 A, 则事件 A 的对立事件为“X=5”, 2 2 4 因为 P(X=5)= × = , 3 5 15 11 所以 P(A)=1-P(X=5)= , 15 11 即这 2 人的累计得分 X≤3 的概率为 . 15 (2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为 X1,都选择方案乙抽奖中奖次数为 X2,则这两人选择方 案甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 E(3X2). 2 2 由已知可得,X1~B(2, ),X2~B(2, ), 3 5 2 4 2 4 所以 E(X1)=2× = ,E(X2)=2× = , 3 3 5 5 8 12 从而 E(2X1)=2E(X1)= ,E(3X2)=3E(X2)= , 3 5 因为 E(2X1)>E(3X2), 所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大. 2 2 方法二 (1)由已知得,小明中奖的概率为 ,小红中奖的概率为 ,且两人中奖与否互不影响. 3 5 记“这 2 人的累计得分 X≤3”的事件为 A, 则事件 A 包含有“X=0”,“X=2”,“X=3”三个两两互斥的事件, 2 2 1 2 2 2 2 2 2 因为 P(X=0)=(1- )×(1- )= ,P(X=2)= ×(1- )= ,P(X=3)=(1- )× = , 3 5 5 3 5 5 3 5 15 11 所以 P(A)=P(X=0)+P(X=2)+P(X=3)= , 15 11 即这 2 人的累计得分 X≤3 的概率为 . 15 (2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 X1,都选择方案乙所获得的累计得分为 X2,则 X1, X2 的分布列如下:

X1 P

0 1 9

2 4 9

4 4 9

X2 P

0 9 25

3 12 25

6 4 25

1 4 4 8 9 12 4 12 所以 E(X1)=0× +2× +4× = ,E(X2)=0× +3× +6× = . 9 9 9 3 25 25 25 5 因为 E(X1)>E(X2), 所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.

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