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【课堂新坐标】2017年高考数学理科江苏版二轮专题复习与策略第1部分专题2第9讲三角恒等变换与解三角形


2017版高三二轮复习与策略

热 点 题 型 · 探 究

第9讲

三角恒等变换与解三角形

专 题 限 时 集 训

2017版高三二轮复习与策略

题型一| 三角变换与求值

2cos 10° -sin 20° (1)求值: =________. cos 20° (2)设 α 为锐角,若
? π? 4 cos?α+6?=5,则 ? ? ? π? sin?2α+12?的值为________. ? ?

11 4 3 π π (3) 若 cos(2α - β) =- 14 , sin(α - 2β) = 7 , 0<β< 4 <α< 2 ,则 α + β 的值为 ________.

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[解题指导]

(1)利用 10° =30° -20° ,然后利用三角恒等变换求解.

? π? π π (2)化 2α+12为 2?α+6?-4是关键. ? ?

(3)利用(2α-β)-(α-2β)=α+β,求出 cos(α+β)的值.
2cos 10° -sin 20° 17 2 π (1) 3 (2) 50 (3)3 [(1)由题意得: = cos 20° 2cos?30° -20° ?-sin 20° ? 3cos 20° +sin 20° ?-sin 20° = = 3. cos 20° cos 20°

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? ? π? 4 π? 3 cos?α+6?=5,∴sin?α+6?=5. ? ? ? ?

(2)∵α 为锐角且

? ? ? π? π? π? ∴sin?2α+12?=sin?2?α+6?-4? ? ? ? ? ? ?

=sin =

? π? 2?α+6?cos ? ?

? π? π π ? ? α + 6?sin 4 4-cos 2? ? ? π? 2? 2 ?2cos ?α+ ?-1? 6? 2? ? ?

? π? ? π? 2sin?α+6?cos?α+6?- ? ? ? ?

? 12 2 7 2 17 2 3 4 2? ?4?2 = 2×5×5- 2 ?2×?5? -1?= 25 - 50 = 50 . ? ? ? ?

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11 π 5 3 (3)∵cos(2α-β)=-14且4<2α-β<π,∴sin(2α-β)= 14 . 4 3 π π 1 ∵sin(α-2β)= 7 且-4<α-2β<2,∴cos(α-2β)=7. ∴cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)] =cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)· sin(α-2β) 11 1 5 3 4 3 1 =-14×7+ 14 × 7 =2. π 3π π ∵4<α+β< 4 ,∴α+β=3.]

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【名师点评】 三角恒等变换的基本思路

1.“化异为同”,“切化弦”,“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧.如 1 =cos2θ+sin2θ=tan 45° 等; “ 化异为同 ” 是指 “ 化异名为同名 ” , “ 化异次为同次 ” , “ 化异角为同 角”; α+β 2.角的变换是三角变换的核心,如 β=(α+β)-α,2α=(α+β)+(α-β), 2
? ? β? ?α =?α-2?-?2-β?等. ? ? ? ?

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5 3 1.设 α,β 都是锐角,且 cos α= 5 ,sin(α+β)=5,则 cos β=________.

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2 5 25 2 5 4 2 [依题意得 sin α= 1-cos α= 5 ,cos(α+β)=± 1-sin ?α+β?=± 5.
2

4 5 4 又 α,β 均为锐角,因此 0<α<α+β<π,cos α>cos(α+β),注意到5> 5 >-5,所以 4 cos(α+β)=-5. 4 5 3 2 5 cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-5× 5 +5× 5 = 2 5 25 .]

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1 1 2.(2016· 苏锡、常镇调研二)若 tan α=2,tan(α-β)=-3,则 tan(β-2α)= ________. 【导学号:19592029】

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1 -7 1 1 [∵tan(α-β)=-3,∴tan(β-α)=3.

∴tan(β-2α)=tan[(β-α)-α] tan?β-α?-tan α = 1+tan?β-α?tan α 1 1 3-2 = 1 1 1+3×2 1 =-7.]

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α 2α 3.已知 3tan2+tan 2=1,sin β=3sin(2α+β),则 tan(α+β)=________.
4 -3 α 2α [∵3tan2+tan 2=1, α 2tan2

2 ∴tan α= =3, α 1-tan22 由 sin β=3sin(2α+β)得 sin[(α+β)-α]=3sin[(α+β)+α].

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即 sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=3sin(α+β)cos α+3cos(α+β)sin α, 4 ∴tan(α+β)=-2tan α=-3.]

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? π? 1 2 4.已知 sin 2α=3,则 cos ?α-4?=________. ? ?
? π? 2 2 ?α- ?= 4? 3 [cos ? ? π? cos?α-2?+1 ? ?

2

sin 2α+1 2 = =3.] 2

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题型二| 利用正、余弦定理解三角形

(1)(2014· 江苏高考)若△ABC 的内角满足 sin A+ 2sin B=2sin C,则 cos C 的最小值是________. 1 (2)在△ABC 中,已知 2acos B=c,sin Asin B(2-cos C)=sin 2 +2,则△ABC
2C

为________三角形.

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[解题指导] 式求解.

(1)利用正弦定理得 a+ 2b=2c,然后利用余弦定理及均值不等

边化角 代入 (2)2acos B=c ――→ 得角的关系――→ 1 化简 sin Asin B(2-cos C)=sin + ――→求 sin A―→判断三角形的形状 2 2
2C

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6- 2 (1) 4 + 2b=2c. a2+b2-c2 由 余 弦 定 理 得 cos C = = 2ab 2 ≥
?3 2??1 2? ? a ?? b ?- ?4 ??2 ?
2 ? a + 2 b ? a2+b2- 4

(2)等腰直角

[(1)由 sin A+ 2sin B=2sin C,结合正弦定理得 a

2ab

3 2 1 2 2ab 4a +2b - 2 = 2ab

2ab 2

2ab

6- 2 = 4 ,

6- 2 所以 4 ≤cos C<1, 6- 2 故 cos C 的最小值为 4 .

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(2)依题意得 2sin Acos B=sin C=sin(A+B),2sin Acos B-sin(A+B)=sin(A- B)=0, 1 因此 B=A, C=π-2A, 于是有 sin A(2+cos 2A)=cos A+2, 即 sin2A(3-2sin2A)
2 2 2 3 - 2sin A 1 2 =1-sin A+2= , 2

1 2 解得 sin A=2,因此 sin A= 2 ,
2

π 又 B=A 必为锐角,因此 B=A=4,△ABC 是等腰直角三角形.]

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【名师点评】

解三角形的四种类型及求解方法:

(1)已知两角及一边,利用正弦定理求解; (2)已知两边及一边的对角,利用正弦定理或余弦定理求解,解的情况可能不 唯一; (3)已知两边及其夹角,利用余弦定理求解; (4)已知三边,利用余弦定理求解.

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1.在△ABC 中,若 a=2,B=60° ,b= 7,则 c=________.
3 [由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,得 7=4+c2-2c,解得 c=3,或 c= -1(舍去).]

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2.已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC 面积的最大值为________.

3 [因为 a=2,所以(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)· sin C 可化为(a+b)(sin A- sin B)=(c-b)· sin C,由正弦定理可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即 b2+c2-a2=bc, b2+c2-a2 bc 1 由余弦定理可得 cos A= 2bc =2bc=2. π 又 0<A<π,故 A=3,
2 2 1 b +c -4 2bc-4 又 cos A=2= 2bc ≥ 2bc ,所以 bc≤4,

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1 1 3 3 当且仅当 b=c 时取等号,由三角形面积公式知 S△ABC=2bcsin A=2bc·2 = 4 bc≤ 3, 故△ABC 面积的最大值为 3.]

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→ → → 3.设 G 是△ABC 的重心,且 7sin A· GA+3sin B· GB+3 7sin C· GC=0,则角 B 的大小为________.
π 3 → → → [因为 G 为△ABC 的重心,所以GA+GB+GC=0,

a b c 因此 7sin A=3sin B=3 7sin C,由正弦定理sin A=sin B=sin C,得 原式等价于 7a=3b=3 7c, a2+c2-b2 3c2 1 由余弦定理得 cos B= 2ac =6c2=2, π 又因为 B 为△ABC 的内角,故 B=3.]

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题型三| 解三角形的实际应用

(1)(2014· 全国卷Ⅰ)如图 9-1, 为测量山高 MN, 选择 A 和另一座山的 山顶 C 为测量观测点.从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60° ,C 点的仰角∠CAB =45° 以及∠MAC=75° ;从 C 点测得∠MCA=60° .已知山高 BC=100 m,则山高 MN=________m.

图 9-1

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(2)如图 9-2 所示,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏 西 30° 相距 10 海里 C 处的乙船,乙船立即朝北偏东 θ+30° 角的方向沿直线前往 B 处营救,则 sin θ=________.

图 9-2

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(1)150 21 (2) 7 [(1)根据题图,知 AC=100 2 m.

在△MAC 中,∠CMA=180° -75° -60° =45° . AC AM 由正弦定理得sin 45° =sin 60° ?AM=100 3 m. 3 MN 在△AMN 中,AM =sin 60° ,∴MN=100 3× 2 =150(m).

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(2)连结 BC.在△ABC 中,AC=10,AB=20,∠BAC=120° ,由余弦定理,得 BC2=AC2+AB2-2AB· AC· cos 120° =700, 21 BC AB ∴BC=10 7,再由正弦定理,得 =sin θ,∴sin θ= 7 .] sin∠BAC

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【名师点评】 应用解三角形知识解决实际问题的步骤:

(1)读题.分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解题中的有 关名词、术语,如坡度、仰角、俯角、方位角等; (2)图解.根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出; (3)建模.将所求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦定 理、余弦定理等有关知识正确求解; (4)验证.检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,得出正确答 案.

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1.如图 9-3 所示,为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度,在海岸上 选取距离为 1 km 的两个观察点 C,D,在某天 10:00 观察到该航船在 A 处,此时 测得∠ADC=30° , 3 min 后该船行驶至 B 处, 此时测得∠ACB=60° , ∠BCD=45° , ∠ADB=60° ,则船速为________ km/min. 【导学号:19592030】

图 9-3

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6 6 AD [在△ACD 中,有 sin?60° +45° ?

CD = , sin[180° -?60° +45° ?-30° ] 3+1 得 AD= 2 . BD 在△BCD 中,有sin 45° = CD , sin[180° -?60° +30° ?-45° ] 得 BD=1.

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在△ABD 中,有 AB =AD +BD -2AD· BDcos 1 3 ×1×2=2, 6 6 所以 AB= 2 ,故船速为 6 km/min.]

2

2

2

? 60° =? ? ?

3+1 3+1? ?2 2 +1 -2× 2 2 ? ?

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2.如图 9-4,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别是 67° , 30° ,此时气球的高是 46 m,则河流的宽度 BC 约等于________m.(用四舍五入法 将结果精确到个位.参考数据:sin 67° ≈0.92,cos 67° ≈0.39,sin 37° ≈0.60,cos 37° ≈0.80, 3≈1.73)

图 9-4

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60

46 [根据已知的图形可得 AB=sin 67° .在△ABC 中,∠BCA=30° ,∠BAC=

46 AB BC 37° ,由正弦定理,得sin 30° =sin 37° ,所以 BC≈2×0.92×0.60=60(m).]


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