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2014年高三文科数学一轮复习学案《双曲线》


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

制作人:xxxxxxxx

备课组长:xxxxxxxxxx

年级主任:________

制作时间:2013.5 学案编号 17

双曲线
一、知识梳理:
1、双曲线的定义:平面内到两定点 F1 , F2 的距离 做 ,定点间的距离叫 . 的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫

注意:⑴若 | PF 1 F2 |? 2c 其中 a ? 0, c ? 0 ,且 a、c 为常数. 1 | ? | PF 2 | ? 2a , | F ①若 2a ? 2c ,则点 P 的轨迹为 轨迹; ;②若 2a ? 2c ,则点 P 的轨迹为 . ;③若 ,则无

⑵ | PF1 | ? | PF2 |? 2a (不带绝对值 ),则点 P 的轨迹为 ..... 2、双曲线的方程: ①焦点在 x 轴上, 中心在原点的双曲线标准方程: ②焦点在 y 轴上, 中心在原点的双曲线标准方程: ③两种标准方程的一般形式 上;当 m ? 0 , n ? 0 时,双曲线的焦点在 ( 轴上. ( (

),焦点是 ),焦点是

, 其中 c ? , 其中 c ?

; . 轴

);当 m ? 0 , n ? 0 时,双曲线的焦点在

x2 y2 3、性质: 2 ? 2 ? 1 (a ? 0 , b ? 0) a b
①范围: x ?__________, y ? ___________; ②对称性: 双曲线既关于_______对称, 又关于_______对称; ③顶点:有___个顶点,坐标分别为:______,_____;④离心率: e ? , 且 e ?_________. ⑤渐近线: (注意:也可 求渐近线). 4、双曲线中常用结论: ①焦点三角形:双曲线上的一点 P , F1 , F2 是两个焦点,且 ?F1 PF2 ? ? ,则 S ?F1PF2 ②通径(过双曲线的焦点且垂直于长轴的弦)长度:_________________. ③若双曲线的一条渐近线方程为 y ? kx ,则另一条渐近线方程一定为_________,双曲线可设为______________.

? ___________.

④与

x2 y2 ? ? 1 有公共渐近线的双曲线可设为_____________________. a2 b2 x2 y2 ? ? 1 的关系:①点 P( x0 , y0 ) 在双曲线内 ? ________________; a2 b2

5、点 P( x0 , y0 ) 和双曲线

②点 P( x0 , y0 ) 在双曲线上 ? ________________;③点 P( x0 , y0 ) 在双曲线内 ? ________________. 6、直线与双曲线问题解法: ⑴直接法(通法):联立直线与双曲线方程,构造一元二次方程求解. 注意: ①联立的关于“ x ”还是关于“ y ”的一元二次方程?②直线斜率不存在时考虑了吗?③判别式验证了吗? ⑵设而不求(点差法):--------处理弦中点问题

不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海

步骤如下:①设点 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) ;②作差得 k AB ?

y 2 ? y1 ? ?? ;③解决问题. x2 ? x1

⑶弦长问题: A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) ,则 | AB |? _________________ ? _______________________.

二、典例精析:
1、双曲线的定义及应用: 例 1.已知动圆 M 与圆 C:( x ? 4) 2 ? y 2 ? 2 外切,又与圆 D:( x ? 4) 2 ? y 2 ? 2 内切,求动圆圆心 M 的轨迹方程。

变式 1. 已知 F1 ( ?5 , 动点 P 到 F1 的距离比到 F2 的距离多 6, 则点 P 的轨迹方程为 0) , 0) , F2 (5 , 2、双曲线的方程:



例 2.根据下列条件,求双曲线的方程:(1)以椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为顶点,顶点为焦点; 25 9

(2) 渐近线方程为 y ? ?

3 x2 y2 x, ? ? 1 有共同渐近线, ? 3) . 顶点间的距离为 6; (3) 与双曲线 且过点 A(2 3 , 2 16 9

变式 2.求与双曲线

x2 y2 ? ? 1 有公共焦点,且过点 (3 2 ,2) 的双曲线方程. 16 4

3、双曲线的几何性质:

x2 y 2 例 3.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点为 F1、F2,点 P 在双曲线的右支上,且 PF 1 ? 4 PF 2 ,则 a b
此双曲线的离心率的最大值为
2 珍惜现在,别在毫无意义的事情上浪费时间

变式 3.已知双曲线

4 x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线方程为 y ? x ,则该双曲线的离心率 e 为 3 m n



4、直线与双曲线: 例 4.已知双曲线方程为 2x 2 ? y 2 ? 2 与点 P(1,2) (1)求过点 P(1,2)的直线 l 的斜率 k 的取值范围,使直线与双曲线有一个交点,两个交点,没有交点。 (2)过点 P(1,2)的直线交双曲线于 A、B 两点,若 P 为弦 AB 的中点,求直线 AB 的方程;

x2 y 2 例 5.已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点为 F : (?2,0), F : (2,0), 点P(3, 7) ,在双曲线 C 上. a b
(1)求双曲线 C 的方程; (2)记 O 为坐标原点,过点 Q (0,2)的直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F,若 △OEF 的面积为 2 2, 求直线 l 的方程.

3 不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海

三、当堂练习:
1.动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是( A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线
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2.双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为 10 ,这双曲线的方程为_______________

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3.若曲线

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 4 ? k 1? k x2 ? y 2 ? 1 共焦点,且过点 Q(2,1) 的双曲线方程是( 4


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4.与椭圆

A.

x2 x2 x2 y2 y2 ? y 2 ? 1 B. ? y 2 ? 1 C. ?1 ? ? 1 D. x 2 ? 2 4 2 3 3


2 2 5.若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x ? y ? 6 的右支交于不同的两点,那么 k 的取值范围是(

A.( ?

15 15 ) , 3 3
2 2

B.( 0,

15 15 15 ) C.( ? ,0 ) D.( ? ,?1 ) 3 3 3
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6.双曲线 tx ? y ? 1 的一条渐近线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则这双曲线的离心率为___

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7.已知 F1 , F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1, (a ? b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线的左支交于 A、 a2 b2
) D. 3

B 两点,若 ?ABF2 是正三角形,那么双曲线的离心率为 ( A.

2

B.

3
2

C. 2

8.求直线 y ? x ? 1 被双曲线 x ?

y2 ? 1截得的弦长. 4

9.求过定点 (0,1) 的直线被双曲线 x ?
2

y2 ? 1截得的弦中点轨迹方程. 4

4 珍惜现在,别在毫无意义的事情上浪费时间

参考例题: 已知双曲线 C:
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ,点 P 是双曲线 C 上的一点, PF 1 ? PF 2 ? 0, a2 b2

且 PF1 ? 2 PF2 . (1)求双曲线的离心率 e ;
???? ???? ??? ? ???? ? 27 ? OP ? ? (2)过点 P 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于 P1 , P2 两点,若 OP , 2 PP 1 2 1 ? PP 2 ? 0 ,求 4 双曲线 C 的方程.

(1)设 PF2 ? r ,则 PF1 ? 2r ,∵ PF 1 ? PF 2 ,∴ F1 F2 ? ∴ e ? c ? 2c ?
a 2a F1 F2 PF1 ? PF2 ? 5.

PF1 ? PF2

2

2

? 5r,

(2)由(1)知 e ? 5 ,故

b ? e 2 ? 1 ? 2 ,从而双曲线的渐近线方程为 y ? ?2 x , a

依题意,可设 P( x, y), P 1 ( x1 ,2 x1 ), P 2 ( x2 ,?2 x2 ) , 由 OP1 ? OP2 ? x1 x 2 ? 4 x1 x 2 ? ?
9 27 ,得 x1 x2 ? . 4 4



2x ? x ? x? 1 2 ? ?2 x1 ? x2 ? 3x ? 0 ? 3 由 2PP ,解得 ? . 1 ? PP 2 ? 0 ,得 ? 4 x ? 2 x 4 x ? 2 x ? 3 y ? 0 1 2 ? 1 2 ?y ? ? 3 ?

∵点 P ( x, y ) 在双曲线

(2 x1 ? x2 ) 2 (4 x1 ? 2 x2 ) 2 x2 y2 ? ? 1 ? ?1, 上,∴ a2 b2 9a 2 9b 2
9 2 a . 8

又 b ? 2a ,上式化简得 x1 x 2 ?


x2 y2 ? ? 1. 2 8

由①②,得 a ? 2 ,从而得 b ? 2 2 .故双曲线 C 的方程为

双曲线专题练习一
一、填空题 1.椭圆
y2 y2 x2 x2 ? ? 1 的焦点相同,则 k= ? 2 ? 1 与双曲线 k 3 9 k y2 x2 ? ? 1 的渐近线为 9 4

。 。

2.双曲线

两渐近线夹角为

3.已知 F1、F2 为椭圆的两个焦点, A 为它的短轴的一个端点,若该椭圆的长轴长为 4 ,则△ AF1 F2 面积 的最大值为 . 4.过点(-6,3)且和双曲线 x2-2y2=2 有相同的渐近线的双曲线方程为 。

5 不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海

x2 y2 ? ? ?1 交于两点的直线斜率的取值范围是 5.过原点与双曲线 4 3 6、若双曲线 8kx 2 ? ky 2 ? 8 的一个焦点是(0,3),则 k 的值是

。 。

7. 已知直线 y=kx-1 与双曲线 x ? y ? 1 ,试列出实数 k 需满足的不等式组,使直线与双曲线交同支于两点,
2 2

8.点 P 是双曲线

y x o ? ? 1 上一点,F1、F2 是双曲线焦点,若?F1PF2=120 , 4 3

2

2

则?F1PF2 的面积 。 9.过点M(-2,0)的直线 L 与椭圆 x2+2y2=2 交于P1、P2两点,线段P1P2的中点为P,设直 线 l 的斜率为 k1(k1≠0),直线OP的斜率为 k2,则 k1k2 的值为______. 10.若对任意 k?R,直线 y ? k ( x ? 2) ? b 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 总有公共点,则 b 范围 。 11.若方程 x+k- 1 ? x 2 =0 只有一个解,则实数 k 的取值范围是______________。 x2 y2 ? 12.给出问题:F1、F2 是双曲线 =1 的焦点,点 P 在双曲线上.若点 P 到焦点 F1 的 16 20 距离等于 9,求点 P 到焦点 F2 的距离.某学生的解答如下:双曲线的实轴长为 8,由 ||PF1|-|PF2||=8,即|9-|PF2||=8,得|PF2|=1 或 17. 该学生的解答是否正确?若正确,请将他的解题依据填在下面空格内,若不正确, 将正确的结果填在下面空格内. 。 二、选择题 13.平面内有定点 A、B 及动点 P,设命题甲是“|PA|+|PB|是定值”,命题乙是 “点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆”,那么甲是乙的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 y ? 1 的右焦点 F2 作直线 l 交双曲线与 A 、 B 两点,若|AB|=4, 14. 经过双曲线 x 2 ? 2 则这样的直线存在的条数为 ( ) (A)4; (B)3; (C)2; (D)1 15.双曲线与其共轭双曲线有 ( ) A.相同的焦点 B. 相同的渐近线 C.相等的实轴长 D. 相等的虚轴长 2 2 x y ? ? 1 只有一个交点的直线的条数为 16.过点 P(3,4)与双曲线 c : ( ) 9 16 A.4 B. 3 C.2 D. 1 三、解答题 17.已知动圆与圆 C1:(x+5)2+y2=49 和圆 C2:(x-5)2+y2=1 都外切, (1)求动圆圆心 P 的轨迹方程。 (2)若动圆 P 与圆 C2 内切,与圆 C1 外切,则动圆圆心 P 的轨迹是 。 若动圆 P 与圆 C1 内切,与圆 C2 外切,则动圆圆心 P 的轨迹是 。 若把圆 C1 的半径改为 1,那么动圆 P 的轨迹是 。 (只需写出图形形状) 18.已知直线 y ? ax ? 1 与双曲线 3x 2 ? y 2 ? 1交于 A 、 B 点。 (1)求 a 的取值范围;(2)若以 A B 为直径的圆过坐标原点,求实数 a 的值; 1 (3)是否存在这样的实数 a ,使 A 、 B 两点关于直线 y ? x 对称?若存在, 2 请求出 a 的值;若不存在,说明理由。
6 珍惜现在,别在毫无意义的事情上浪费时间

解:
x 19.(1)椭圆 C: a 2 ?
2

y2 b2

? 1 (a>b>0)上的点 A(1, 3 2 )到两焦点的距离之和为 4,

求椭圆的方程; (2)设 K 是(1)中椭圆上的动点, F1 是左焦点, 求线段 F1K 的中点的轨迹方程; (3)已知椭圆具有性质:若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两点,P 是椭圆上任意一点, 当直线 PM、 PN 的斜率都存在并记为 kPM、 kPN 时, 那么 k PM ? k PN 是与点 P 位置无关的定值。 试对双曲线 写出具有类似特性的性质,并加以证明。 : 20. 已知双曲线方程为 2x 2 ? y 2 ? 2 , (1)求过点 P(1,2)的直线 l 的斜率 k 的取值范围,使直线与双曲线 有一个交点,两个交点,没有交点。 (2) 过点 P(1,2)的直线交双曲线于 A、B 两点,若 P 为弦 AB 的中点, 求直线 AB 的方程; (3)是否存在直线 l ,使 Q(1,1)为 l 被双曲线所截弦的中点?若存在, 求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由。 21、 已知中心在原点, 顶点 A1、 A2 在 x 轴上, 离心率 e=
21 的双曲线过点 P(6, 6) 3
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x2 a2

?

y2 b2

?1

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(1)求双曲线方程

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(2)

动直线 l 经过△A1PA2 的重心 G,与双曲线交于不同的两点 M、N,问 MN,证明你的结论
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是否存在直线 l,使 G 平分线段

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22.已知双曲线 x ?
2

y2 ? 1 ,问过点 A(1,1)能否作直线 l ,使 l 与双曲线交于 P、Q 两点,并且 A 为线段 PQ 的中点? 2

若存在,求出直线 l 的方程,若不存在,说明理由。

一、填空题 1. k= 2
5 。2. arccos 13 。 3.2.

x ? 4. 18
2

y2 9

?1

5 (??,?

3 ) ? ( 23 2

,??) .

6、-1

?1 ? k 2 ? 0 ? 。7. ? ? ? 0 ? x x ?0 ? 1 2

。8. 3 。

9. ? 1 . 2

10. [?

3, 3]

11. [-1,1) ? { 2 }

12. |PF2|=17。 二、选择题 13. ( B )14 ( B )15.( B )16C 三、解答题 17.已知动圆与圆 C1:(x+5)2+y2=49 和圆 C2:(x-5)2+y2=1 都外切, Y (1)求动圆圆心 P 的轨迹方程。 ? 解:(1)从已知条件可以确定圆 C1、C2 的圆心与半径。 两圆外切可得:两圆半径和=圆心距 动圆半径 r,依题意有 7+r=|PC1|,1+r=|PC2|, O 5 -5 2 两式相减得:|PC1|-|PC2|=6 <|C1C2|。 由双曲线定义得:点 P 的轨迹是以 C1、C2 为焦点的双曲线的右支。
7 不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海

X

x2 y2 ? ? 1 (x≥3) 9 16

(2)若动圆 P 与圆 C2 内切,与圆 C1 外切,则动圆圆心 P 的轨迹是 (双曲线右支) 若动圆 P 与圆 C1 内切,与圆 C2 外切,则动圆圆心 P 的轨迹是 (双曲线左支) 若把圆 C1 的半径改为 1,那么动圆 P 的轨迹是 。(两定圆连心线的垂直平分线) 18.已知直线 y ? ax ? 1 与双曲线 3x 2 ? y 2 ? 1交于 A 、 B 点。 (1)求 a 的取值范围; (2)若以 A B 为直径的圆过坐标原点,求实数 a 的值; (3)是否存在这样的实数 a ,使 A 、 B 两点关于直线 y ? 请求出 a 的值;若不存在,说明理由。
? y ? ax ? 1 解:(1)由 ? 2 消去 y ,得 (3 ? a 2 ) x 2 ? 2ax ? 2 ? 0 (1) 2 ?3 x ? y ? 1 ?3 ? a 2 ? 0 依题意 ? 即 ? 6 ? a ? 6 且 a ? ? 3 (2) ? ? 0 ?
1 x 对称?若存在, 2

2a ? x1 ? x 2 ? (3) ? ? 3 ? a2 (2)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 ? ? x x ? ? 2 ( 4) 1 2 ? 3 ? a2 ?

∵ 以 AB 为直径的圆过原点 但 y1 y2 ? a 2 x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? 1 由(3)(4), x1 ? x 2 ? ∴ (a 2 ? 1) ?
?2 3?a
2

∴ OA ? OB

∴ x1 x2 ? y1 y 2 ? 0

2a ?2 , x1 x 2 ? 2 3?a 3 ? a2

?a?

2a 3 ? a2

?1? 0

解得 a ? ?1 且满足(2)
1 1 x 对称,则直线 y ? ax ? 1 与 y ? x 垂直 2 2

(3)假设存在实数 a ,使 A、B 关于 y ? ∴ a?
1 ? ?1 ,即 a ? ?2 2

直线 l 的方程为 y ? ?2 x ? 1

将 a ? ?2 代入(3)得 x1 ? x2 ? 4 ∴ AB 中点的横坐标为 2 但 AB 中点 (2,?3) 不在直线 y ?
x 19.(1)椭圆 C: a 2 ?
2

纵坐标为 y ? ?2 ? 2 ? 1 ? ?3
1 1 x 上,即不存在实数 a ,使 A、B 关于直线 y ? x 对称。 2 2

y2 b2

? 1 (a>b>0)上的点 A(1, 3 2 )到两焦点的距离之和为 4,
8 珍惜现在,别在毫无意义的事情上浪费时间

求椭圆的方程;

(2)设 K 是(1)中椭圆上的动点, F1 是左焦点, 求线段 F1K 的中点的轨迹方程; (3)已知椭圆具有性质:若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两点,P 是椭圆上任意一点, 当直线 PM、 PN 的斜率都存在并记为 kPM、 kPN 时, 那么 k PM ? k PN 是与点 P 位置无关的定值。 试对双曲线 写出具有类似特性的性质,并加以证明。 解:(1) x4 ?
2

x2 a2

?

y2 b2

?1

y2 3

?1
2

(2)设中点为(x,y), F1(-1,0) K(-2-x,-y)在 x4 ? (3)设 M(x1,y1), N(-x1,-y1), P(xo,yo), xo≠x1 则
x1 2 yo ? b2 ( a ) 2 ?1
2

y2 3

? 1上 ?

( x ? 2) 2 4

?

y2 3

?1

x1 y12 ? b 2 ( a ) 2 ?1

2

k PM ? k PN ?

y0 ? y1 x0 ? x1

?

y0 ? y1 x0 ? x1

?

2 2 y0 ? y1 2 2 x0 ? x1

?

b2 (

x2 ? x2 0 1 a2

)

2 2 x0 ? x1

?

b2 a2

为定值.

20. 已知双曲线方程为 2x 2 ? y 2 ? 2 与点 P(1,2), (1)求过点 P(1,2)的直线 l 的斜率 k 的取值范围,使直线与双曲线 有一个交点,两个交点,没有交点。 (2) 过点 P(1,2)的直线交双曲线于 A、B 两点,若 P 为弦 AB 的中点, 求直线 AB 的方程; (3)是否存在直线 l ,使 Q(1,1)为 l 被双曲线所截弦的中点?若存在, 求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由。 解:(1)当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=1,与曲线 C 有一个交点.当 l 的斜率 存在时,设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1),代入 C 的方程,并整理得 2 (2-k )x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0 (*) (ⅰ)当 2-k2=0,即 k=± 2 时,方程(*)有一个根,l 与 C 有一个交点 (ⅱ)当 2-k2≠0,即 k≠± 2 时 Δ =[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k) ①当Δ =0,即 3-2k=0,k= 时,方程(*)有一个实根,l 与 C 有一个交点. ②当Δ >0,即 k< ,又 k≠± 2 ,故当 k<- 2 或- 2 <k< 2 或 2 <k< 时,方程(*)有两不 等实根,l 与 C 有两个交点. ③当Δ <0,即 k> 时,方程(*)无解,l 与 C 无交点. 综上知:当 k=± 2 ,或 k= ,或 k 不存在时,l 与 C 只有一个交点; 当 2 <k< ,或- 2 <k< 2 ,或 k<- 2 时,l 与 C 有两个交点; 当 k> 时,l 与 C 没有交点.
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2

9 不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海

(2)假设以 P 为中点的弦为 AB,且 A(x1,y1),B(x2,y2),则 2x12-y12=2,2x22-y22=2 两式相减得:2(x1 -x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=4 ∴2(x1-x2)=y1-y1 即 kAB=
y1 ? y 2 =1 x1 ? x 2

但渐近线斜率为± 2 ,结合图形知直线 AB 与有交点,所以以 P 为中点的弦为: y ? x ? 1 . (3)假设以 Q 为中点的弦存在,设为 AB,且 A(x1,y1),B(x2,y2),则 2x12-y12=2,2x22-y22=2 两式相减 得:2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1-x2)=y1-y1 即 kAB=
y1 ? y 2 =2 x1 ? x 2

但渐近线斜率为± 2 ,结合图形知直线 AB 与 C 无交点,所以假设不正确,即以 Q 为中点的弦不存 在. 21 已知中心在原点, 顶点 A1、 A2 在 x 轴上, 离心率 e=
21 的双曲线过点 P(6, 6) 3
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(1)求双曲线方程

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(2)

动直线 l 经过△A1PA2 的重心 G,与双曲线交于不同的两点 M、N,问 MN,证明你的结论
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是否存在直线 l,使 G 平分线段

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(1)如图,设双曲线方程为

x2 y2 ? =1 a2 b2
2

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由已知得
2

62 62 a 2 ? b 2 21 2 ? ? 1 , e ? ? ,解得 3 a2 b2 a2

y
N

P

a2=9,b2=12

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所以所求双曲线方程为

x y ? =1 9 12

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(2)P、A1、A2 的坐标依次为(6,6)、(3,0)、(-3,0),∴其重心 G 的坐标为(2,2) 假设存在直线 l,使 G(2,2)平分线段 MN,设 M(x1,y1),N(x2,y2) 则有
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A1 M

o

G A2

x

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2 2 ? x1 ? x2 ? 4 ? y ? y 12 4 ?12 x1 ? 9 y1 ? 108 4 , ? 1 2 ? ? ,∴kl= ∴l 的方程为 ? ? 2 2 3 x1 ? x2 9 3 ? y1 ? y2 ? 4 ? ?12 x2 ? 9 y2 ? 108

?12 x 2 ? 9 y 2 ? 108 4 ? y= (x-2)+2,由 ? ,消去 y,整理得 x2-4x+28=0 4 3 y ? ( x ? 2 ) ? 3 ?
22. 已知双曲线 x ?
2

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∵Δ =16-4×28<0,∴所求直线 l 不存在

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y2 ? 1 ,问过点 A(1,1)能否作直线 l ,使 l 与双曲线交于 P、Q 两点,并且 A 为线段 PQ 的 2

中点?若存在,求出直线 l 的方程,若不存在,说明理由。 错解 设符合题意的直线 l 存在,并设 P( x1 , x 2 ) 、 Q( x2 , y 2 )

? 2 y1 2 ? 1 (1) ? x1 ? ? 2 则? 2 ? x 2 ? y 2 ? 1 (2) 2 ? 2 ?

(1) ? ( 2) 得 ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 )

?

1 ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) (3) 2

因为 A(1,1)

10 珍惜现在,别在毫无意义的事情上浪费时间

为线段 PQ 的中点,

所以 ?

? x1 ? x2 ? 2 (4) ? y1 ? y 2 ? 2 (5)
k? y1 ? y 2 ?2 x1 ? x2

将(4)、(5)代入(3)得

x1 ? x 2 ?

1 ( y1 ? y 2 ) 2
其方程为 2 x ? y ? 1 ? 0

若 x1 ? x 2 , 则直线 l 的斜率

所以符合题设条件的直线 l 存在。

剖析 在(3)式成立的前提下,由(4)、 (5)两式可推出(6)式,但由(6)式不能推出(4)(5)两式,故应对所求直线进行检 验,上述错解没有做到这一点,故是错误的。 应在上述解题的基础上,再由

? y ? 2x ? 1 ? ? 2 y2 ?1 ?x ? 2 ?

得 2x 2 ? 4x ? 3 ? 0

根据 ? ? ?8 ? 0 ,说明所求直线不存在。

双曲线专题练习二
1. 过点 (2,?2) 且与双曲线
y2 x2 ? ?1 2 4 y2 x2 ? ?1 4 2
x2 ? y 2 ? 1 有公共渐近线的双曲线方程是( 2



A.

B.

x2 y2 ? ?1 4 2 x2 y2 ? ?1 2 4

C.

D.

2. 已知定点 A、B,且|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是( 1 3 7 A. B. C. D. 5 2 2 2 3. 设双曲线以椭圆 斜率为( A. ? 2 ) B. ?
4 3



x2 y2 ? ? 1 长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的 25 9

C. ?

1 2

D. ?

3 4

x2 y2 ? ? 1 右支上一动点,F 为该双曲线的右焦点,连结 AF 交双曲线于 B,过 B 作 4. 设 A 为双曲线 16 9

直线 BC 垂直于双曲线的右准线,垂足为 C,则直线 AC 必过定点( 41 18 22 A. ( ,0) B. ( ,0) C. (4,0) D. ( ,0) 10 5 5 5. 把曲线 C1:



x2 y2 ? ? 1 按向量 a ? (1,2) 平移后得曲线 C 2 ,曲线 C 2 有一条准线方程为 x ? 5 ,则 k 的 4 k

值为( ) A. ? 3 B. ? 2

C. 3

D. ? 3

11 不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海

6. 在 ?ABC 中,若 cos A cos B ? sin A sin B ,则方程 x 2 cos A ? y 2 cosC ? 1表示( A. 焦点在 x 轴上的椭圆 C. 焦点在 x 轴上的双曲线 7. 已知椭圆 B. 焦点在 y 轴上的椭圆 D. 焦点在 y 轴上的双曲线



x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) ? ? 1(m ? 0, n ? 0) 有相同的焦点 (?c,0) 和 与双曲线 a2 b2 m2 n2

(c,0) (c ? 0) ,若 c 是 a, m 的等比中项, n 2 是 2m 2 与 c 2 的等差中项,则椭圆的离心率是(



A.

3 3

B.

2 2

C.

1 4

D.

1 2

8. 设 e1 , e2 分别为具有公共焦点 F1 与 F2 的椭圆和双曲线的离心率,P 为两曲线的一个公共点,且满足
2 e12 ? e2 的值为( PF1 ? PF2 ? 0 ,则 (e1e2 ) 2

) D. 不确定

A. 1 二. 解答题

B.

1 2

C. 2

9. 已知双曲线 M 过点 P(4,

6 ) ,且它的渐近线方程是 x ? 2 y ? 0 。 2

(1)求双曲线 M 的方程; (2)设椭圆 N 的中心在原点,它的短轴是双曲线 M 的实轴,且 N 中斜率为 ? 4 的弦的中点轨迹恰好 是 M 的一条渐近线在 N 内的部分,试求椭圆 N 的方程。 10. 已知双曲线 C 的中心在原点,抛物线 y 2 ? 8x 的焦点是双曲线 C 的一个焦点,且双曲线 C 过点

( 2 , 3) 。
(1)求双曲线 C 的方程; (2)设双曲线 C 的实轴左顶点为 A,右焦点为 F,在第一象限内任取双曲线 C 上一点 P,试问是否 存在常数 ? (? ? 0) ,使得 ?PFA ? ??PAF 恒成立?并证明你的结论。 11. 双曲线的中心是原点 O,它的虚轴长为 2 6 ,相应于焦点 F (c,0)(c ? 0) 的准线 l 与 x 轴相交于点 A, 且 | OF |? 3 | OA | ,过点 F 的直线与双曲线交于 P、Q 两点。 (1)求双曲线的方程及离心率; (2)若 AP ? AQ ? 0 ,求直线 PQ 的方程。

12 珍惜现在,别在毫无意义的事情上浪费时间

12、已知点 N(1,2),过点 N 的直线交双曲线 x 2 ?

1 y2 ? 1 于 A、B 两点,且 ON ? (OA ? OB) (1)求直 2 2

线 AB 的方程;(2)若过 N 的直线 l 交双曲线于 C、D 两点,且 CD ? AB ? 0 ,那么 A、B、C、D 四点是否 共圆?为什么? 13、如图,点 F 为双曲线 C 的左焦点,左准线 l 交 x 轴于点 Q ,点 P 是 l 上的一点,已知 | PQ |?| FQ |? 1 , 且线段 PF 的中点 M 在双曲线 C 的左支上. (Ⅰ)求双曲线 C 的标准方程; (Ⅱ)若过点 F 的直线 m 与双曲线 C 的左右 两支分别交于 A 、 B 两点,设 FB ? ? FA ,当
? ? [6,??) 时,求直线 m 的斜率 k 的取值范围.
l
P
M
Q
O

y

F

A

x

B
m

【试题答案】 一. 1. A 解析:设与
x2 x2 ? y 2 ? 1 有公共渐近线的双曲线方程为 ? y 2 ? ? ,把点 (2,?2) 代入可求得 ? ? ?2 。 2 2

2. C 解析:P 点轨迹是以 A(左)、B(右)为焦点的双曲线的右支(如图)P 与双曲线右支顶点 M 重合 3 7 时 | PA | 最小,最小值为 a ? c ? ? 2 ? 。 2 2

3. C 解析:椭圆的长轴两端点和焦点分别为(5,0), (?5,0) ,(4,0), (?4,0) 设双曲线的方程为
x2 y2 a2 c ? 5 ? 4 , a2 ? b2 ? c2 ? ? 1 ,则有 , 2 2 c a b

∴ a 2 ? 20 , b 2 ? 5
1 故其渐近线为 y ? ? x 2 4. A 9 9 16 9 解析:(特殊值法)取 A(5, ), B(5,? ) ,则 C ( ,? ) 4 4 5 4
13 不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海

∴ 直线 AC 与 x 轴相交于点 ( 5. C

41 ,0) ,故选 A 10

解析:无论曲线 C1 为椭圆还是双曲线都可得到 c2 ? 4 ? k ,且由题意可知曲线中心由(0,0)?(1, 2)后,曲线 C 2 的一条准线为 x ? 5 ,可判定为 C 2 的右准线
a2 4 ? 1 ? 5 ,即 故 ? 1 ? 5 ,故 k ? 3 c 4?k

6. C 解析: cos A cos B ? sin A sin B ? cos(A ? B) ? 0 即 cos( ? ? C ) ? 0 ? cos C ? 0 ?
0? A?

?
2

?C ??

?

2 表示焦点在 x 轴上的双曲线,故选 C。 7. D ?c 2 ? am (1) ? 2 解析:由题意得 ?2n ? 2m 2 ? c 2 (2) ?c 2 ? m 2 ? n 2 (3) ?

, cos A ? 0 , x 2 cos A ? y 2 cosC ? 1

由(2)(3)可得 m ? 8. C

c c 1 ,代入(1)得椭圆的离心率 e ? ? ,故选 D。 2 a 2

解析:设 | PF 1 |? m, | PF 2 |? n 设椭圆的长轴为 2a1 ,双曲线的实轴长为 2 a 2 , | F1 F2 |? 2c

?m ? n ? 2a1 则? 2 ? 2m n ? 4a12 ? 4c 2 2 2 ?m ? n ? 4c ?m ? n ? 2a 2 2 ? 2m n ? 4c 2 ? 4a 2 ? 2 2 2 ?m ? n ? 4c
2 由此可得 4a12 ? 4c 2 ? 4c 2 ? 4a2 2 即 a12 ? a2 ? 2c 2

c 2 c ) ? ( )2 e ?e a a c c ? 1 2 2 ? 2 ,选 C 将 e1 ? , e2 ? 代入 a1 a2 (e1e2 ) c 2 ( ) a1 a 2
2 1 2 2 2

(

14 珍惜现在,别在毫无意义的事情上浪费时间

二. 9. 解析:(1)所求双曲线的方程为
x2 y2 ? ?1 10 5 2

(2)由(1)知双曲线的焦点在 x 轴上 ∴ 椭圆的焦点在 y 轴上 由于双曲线 M 的实轴长为 2 10 ∴ 设椭圆方程为
x2 y2 ? ? 1 (其中 a ? 10) 10 a 2

又设 N 中斜率为 ? 4 的弦的两端点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,其中点为 ( x, y )

? x12 ? ? ? 10 则? 2 ? x2 ? ? ? 10

y12 ? 1(1) a2 2 y2 ? 1(2) a2
a2 x 40

由(1)(2)得 y ?
a2 1 ? 40 2

∴ N 中斜率为 ? 4 的弦的中点的轨迹是直线 y ?

a2 x 在 N 内的部分。 40

根据题意得

∴ a 2 ? 20

x2 y2 ? ?1 ∴ 椭圆 N 的方程为 10 20

10. 解析:(1)由题意设双曲线方程为 又抛物线 y 2 ? 8x 的焦点是(2,0) 故 c2 ? a2 ? b2 ? 4 ② 由①②得 a 2 ? 1, b 2 ? 3 所以所求双曲线方程为 x 2 ?
y2 ?1 3

x2 y2 2 3 ? 2 ? 1 ,把 ( 2 , 3) 代入得 2 ? 2 ? 1 ① 2 a b a b

(2)假设存在适合题意的常数 ? (? ? 0) ,此时 F (2,0), A(?1,0) 先来考虑特殊情形下的 ? 值; 当 PF ? x 轴时,将 x ? 2 代入双曲线方程
15 不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海

解得 | y |? 3 因为 | AF |? 3 ,所以 ?PFA 是等腰直角三角形, ?PFA ? 90? , ?PAF ? 45? 此时 ? ? 2 以下证明当 PF 与 x 轴不垂直时, ?PFA ? 2?PAF 恒成立 设 P( x1 , y1 ) ,由于点 P 在第一象限内,所以直线 PA 的斜率存在,为 k PA ?

y1 x1 ? 1

因为 PF 与 x 轴不垂直,所以直线 PF 的斜率也存在,为 k PF ?

y1 x1 ? 2

所以 tan2?PAF ?
y12 ?1 3

2k PA 2( x1 ? 1) y1 2 tan?PAF ? ? 2 2 1 ? tan ?PAF 1 ? k PA ( x1 ? 1) 2 ? y12

因为 x12 ?

所以 y12 ? 3( x12 ? 1) ? 3( x1 ? 1)(x1 ? 1) 将其代入上式并化简得 tan2?PAF ?

2 y1 ? y1 ? ( x1 ? 1) ? 3( x1 ? 1) x1 ? 2 y1 x1 ? 2

因为 ?PFA ? ?PFx ? 180? ,所以 tan?PFA ? ?k PF ? ?

即 tan 2?PAF ? tan ?PFA ? ? 2? ? ? ? 因为 ?PFA ? (0, ) ? ( , ) , ?PAF ? (0, ) ? ( , ) 2 2 3 4 4 3 ? ? 2? 所以 2?PFA ? (0, ) ? ( , ) 2 2 3 所以 ?PFA ? 2?PAF 恒成立 F A 综合以上两种思路, 得存在常数 ? ? 2 , 使得双曲线 C 在第一象限内的任意一点 P, 使 ?P 恒成立。 11. 解:(1)由题意,设双曲线的方程为
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

? 2?P A F

?a 2 ? 6 ? c 2 ? 由已知 ? a2 c ? 3 ? ? c ?
所以双曲线的方程为 离心率 e ? 3

解得 a ? 3, c ? 3

x2 y2 ? ?1 3 6

16 珍惜现在,别在毫无意义的事情上浪费时间

(2)由(1)知 A(1,0),F(3,0) 当直线 PQ 与 x 轴垂直时,PQ 方程为 x ? 3 此时, AP ? AQ ? 0 ,应舍去 当直线 PQ 与 x 轴不垂直时,设直线 PQ 的方程为 y ? k ( x ? 3)
? x2 y2 ?1 ? ? 由方程组 ? 3 6 ? y ? k ( x ? 3) ?

得 (k 2 ? 2) x 2 ? 6k 2 x ? 9k 2 ? 6 ? 0 由于过点 F 的直线与双曲线交于 P、Q 两点,则 k 2 ? 2 ? 0 ,即 k ? ? 2 由于 ? ? 36k 4 ? 4(k 2 ? 2)(9k 2 ? 6) ? 48(k 2 ? 1) ? 0 ,即 k ? R ∴ k ? R 且 k ? ? 2 (*) 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,则

? 6k 2 x ? x2 ? 2 ?1? ? ? 1 k ?2 ? 2 ? x x ? 9k ? 6 ? 2 ? 1 2 ? k2 ?2 ?
由直线 PQ 的方程得 y1 ? k ( x1 ? 3) , y2 ? k ( x2 ? 3) 于是 y1 y2 ? k 2 ( x1 ? 3)(x2 ? 3) ? k 2 [ x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9] <3> ∵ AP ? AQ ? 0 ∴ ( x1 ? 1, y1 ) ? ( x2 ? 1, y2 ) ? 0

即 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? y1 y2 ? 0 <4> 由<1><2><3><4>得
2 9k 2 ? 6 6k 2 6k 2 2 9k ? 6 ? ?1? k ( 2 ? 3? 2 ? 9) ? 0 k2 ?2 k2 ?2 k ?2 k ?2

整理得 k 2 ?

1 2

∴ k ??

2 [满足(*)] 2

∴ 直线 PQ 的方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 或 x ? 2 y ? 3 ? 0

17 不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海

12、已知点 N(1,2),过点 N 的直线交双曲线 x 2 ?

1 y2 ? 1 于 A、B 两点,且 ON ? (OA ? OB) (1)求直 2 2

线 AB 的方程;(2)若过 N 的直线 l 交双曲线于 C、D 两点,且 CD ? AB ? 0 ,那么 A、B、C、D 四点 是否共圆?为什么? 解: (1) 设直线 AB: y ? k ( x ? 1) ? 2 代入 x 2 ?
y2 ? 1得 2

(2 ? k 2 ) x2 ? 2k (2 ? k ) x ? (2 ? k )2 ? 2 ? 0

(*)
2k (2 ? k ) 2 ? k2

令 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1、x2 是方程的两根 ∵
ON ? 1 (OA ? OB) 2



2 ? k 2 ? 0 且 x1 ? x2 ?



N 是 AB 的中点



x1 ? x2 ?1 2

∴ k (2 ? k ) ? ?k 2 ? 2 k = 1 ∴AB 方程为:y = x + 1 2 x ? ?1 或 x ? 3 (2)将 k = 1 代入方程(*)得 x ? 2 x ? 3 ? 0 由 y ? x ? 1 得 y1 ? 0 , y2 ? 4 A(?1, 0) , B ( 3, 4 ) ∵ CD ? AB ? 0 ∴ CD 垂直平分 AB ∴ CD 所在直线方程为
y ? ?( x ? 1) ? 2 即 y ? 3 ? x 代入双曲线方程整理得 x 2 ? 6 x ? 11 ? 0 令 C ( x3 , y3 ) , D( x4 , y4 ) 及 CD 中点



M ( x0 , y0 ) 则 x3 ? x4 ? ?6 , x3 ? x4 ? ?11 ,

∴ x0 ?

x3 ? x4 ? ?3 , 2

y0 ? 6

|CD| = 4 10 , | MC | ? | MD | ?

1 | CD | ? 2 10 2

| MA | ? | MB | ? 2 10 ,即 A、B、C、D 到 M 距离相等

∴ A、B、C、D 四点共圆 13、 如图, 点 F 为双曲线 C 的左焦点, 左准线 l 交 x 轴于点 Q , 点 P 是 l 上的一点, 已知 | PQ |?| FQ |? 1 , 且线段 PF 的中点 M 在双曲线 C 的左支上. (Ⅰ)求双曲线 C 的标准方程; (Ⅱ)若过点 F 的直线 m 与双曲线 C 的左右 两支分别交于 A 、 B 两点,设 FB ? ? FA ,当
? ? [6,??) 时,求直线 m 的斜率 k 的取值范围.
l
P
M
Q
O

y

F

A

x

B
m

解法一:(Ⅰ)设双曲线方程为 则 又 , ,∴ .





),

在双曲线上,∴ ,

. .∴双曲线方程为 ,可简化计算. ,m: , .由 ,则 ,得 . .

联立①②③,解得 注:对点 M 用第二定义,得 (Ⅱ) 由 ,设 ,得



18 珍惜现在,别在毫无意义的事情上浪费时间

∴ 由 得 ∴ ,

, , .∵ ,∴

. ,消去 ,函数 . , , 在



上单调递增,

又直线 m 与双曲线的两支相交,即方程 ∴ . ∴ ,故 .

两根同号,

x2 y 2 a2 解法二(Ⅰ)设所求双曲线为: 2 ? 2 ? 1 .其左焦点为 F(-c。0);左准线: x ? ? . c a b

由 | PQ |? 1 ,得 P( ?

a2 a2 b2 ,1);由 | FQ |? 1 ? c ? ? 1 ? ? 1 ? b2 ? c . ?1? c c c
2

c2 ? a2 ? ? ? c2 ? a2 1 ? 1 , ? .代入双曲线方程: ? ?1 FP 的中点为 M ? ? 2 2 c 2? 4c a 4c ?

? ? c 2 ? a 2 ? ? a 2c ? 4c 2 a 2 ? ? c 2 ? a 2 ? ? a 2c ? b 4 ? a 2c
2 2

? 2?

a2 根据(1)与(2) c ? a ? b ,? c ? ? 1 ? 2 .所求双曲线方程为 x2 ? y 2 ? 2 . c
2 2

? x ? ?2 ? t cos ? (Ⅱ)设直线 m 的参数方程为: ? .代入 x2 ? y 2 ? 2 得: y ? t sin ? ?

? ?2 ? t cos? ? ? ?t sin ? ? ? 2 ? t 2 cos 2? ? 4t cos? ? 2 ? 0

?3?

? ? ? 16 cos 2 ? ? 8 ? 2 cos 2 ? ? 1? ? 8 ? 0 ,方程(3)总有相异二实根,设为 当 cos 2? ? 0时,

4 cos ? ? t1 ? t2 ? ? ? cos 2? t1,t2 .那么 ? ? t ?t ? 2 1 2 ? cos 2? ?

? 4? .

??? ? ??? ? 已知直线 m 与双曲线 C 的左右两支分别交于 A 、 B 两点,∴ FB与FA 同向,

??? ? 2 2 ? t12 ? t1 ? t2 ? 1 t2 t1 t2 FB t2 ? ? ? 0 ,.于是: ? ? ? ? ? ? ?2 故? ? ??? ? t1 t2 t1t2 t1t2 FA t1
19 不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海

注意到 ? ?

1

?

在 ? ? [6,??) 上是增函数,
2

?t ? t ? ? 1 2
t1t2

2

? t ? t ? 49 1 ?2 ? 6? ? 1 2 ? 6 t1t2 6
2

?5?

4cos ? ? 2 (4)代入(5): 6 ? ? 48cos2 ? ? 49 ? 2cos2 ? ? 1? ? 50cos2 ? ? 49 ? ? ? 49 ? cos 2 ? cos 2 ? ? ?

? sec2 ? ?

50 1 1 1 ? tan 2 ? ? ? k ? 或k ? ? 49 49 7 7

∵双曲线 x2 ? y 2 ? 2 的渐近线斜率为 ?1 ,故直线 m 与双曲线 C 的左右两支分别交必须
1? ?1 ? ? ??? , 1? . k ? ? ?11 , ? .综合得直线 m 的斜率 k 的取值范围是 k ? ? ? ?1, 7? ?7 ? ?

20 珍惜现在,别在毫无意义的事情上浪费时间


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高三一轮复习 第42讲 双曲线 学案

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