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数学理卷·2014届广东省中山市华侨中学高三上学期第四次模拟考试试卷(2013.12)


2014 届中山市华侨中学高三四模考试试卷 数学(理科)
本试卷共 4 页,20 题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按 以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将答题卡交回。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 设 U ? ??1, 2, 3, 4, 5? , A ? ??1,5? , B ? ?2, 4? ,则 B ? ? A. {2} 2. 复数 B. {1, 3, 4, 5} C. {2, 3, 4} ) D.3

?

U

A? ? ( )
D. {2, 4}

2 ? 3i ( i 是虚数单位)的实部和虚部的和是( 1? i A.4 B.6 C.2

? x?0 ? y?0 ? 3. 已知 x 、 y 满足 ? ,则 2 x ? y 的最大值为( ? 2x ? y ? 0 ? ?x ? 3y ? 5 ? 0 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6



4. 沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为(



5. 已知 a ? (3, log 2 15) , b ? (2, log 2 3) , c ? (2, log 2 m) ,若 ( a ? b) ? c ,则 m 的值为( A. 25 B.

?

?

?

?

?

?



5

C. 10

D.

1 25


6. 甲乙等 5 个人站成一排,若甲乙两人之间恰有 1 个人,则不同站法有( A.18 种 B.24 种 C.36 种 D.48 种

第 1 页 共 10 页

7. 曲线 y ?

2 与直线 y ? x ? 1 及 x ? 4 所围成的封闭图形的面积为( x
D. 4 ? 2 ln 2



A. 2 ln 2 B. 2 ? ln 2 C. 4 ? ln 2

8.把已知正整数 n 表示为若干个正整数(至少 3 个,且可以相等)之和的形式,若这几个正 整数可以按一定顺序构成等差数列,则称这些数为 n 的一个等差分拆.将这些正整数的不同 排列视为相同的分拆.如: (1,4,7)与(7,1,4)为 12 的相同等差分拆.正整数 27 的 不同等差分拆有( A. 9 )个. Ks5u B. 10 C. 11 D. 12

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.
9. (1 ? x) 的展开式中 x 2 的系数是
4
2 10. 等 比 数 列 {an } 中 , a1 ? 2 , 且 a3 a6 ? 2a4 , 则 数 列 {an } 的 前 n 项 和 公 式 是

Sn ?
11. 已知 ? ? (?

.

?
2

, 0) , sin ? ? ?

10 ,则 tan ? 的值为 10

D

E

C

12.如图,正方形 ABCD 的边长为 1, 点 E 是 CD 的中点,则 AE ?AB 的值为 Ks5u 13.一个几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为 A B

??? ? ??? ?

14. 函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ? x ? a , x ? R 的最小值为 3 ,则 a 的值为

三.解答题。本大题共 6 小题,满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和 演算步骤。
15.(本小题满分 14 分) 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1.(1)求异面直线 BA1 与 CC1 所成角的 大小; (2)求证: A1C ? 平面 BC1 D ; (3)求三棱锥 C ? BDC1 的表面积 . ...

第 2 页 共 10 页

Ks5u A1 B1 C1 D1

A

D

B C 16.(本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? A cos(? x ?

?
6

) ? 3 ( A ? 0 , ? ? 0 , x ? R )的最大值是 5,周期为 ? .

(0 , (1)求 A 和 ? 的值; (2)若 ? ?

?
3

, f (? ) ? )

21 ? ,求 f (? ? ) 的值. 5 12

17.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD ,底面 ABCD 是直角梯形, AB ? CD ,

?ADC ? 90? , AB ? 2 , AD ? 4, DC ? 3 , PA ? 5 , E ? PC , AC ? BD ? F .(1) 若 CE 3 ? ,求证: EF ? 平面 PAB ;(2)若 FE ? PC ,求二面角 E ? DB ? C 的平面角的余弦 EP 2
值. P

E

A D 18.(本小题满分 12 分) F

B C

由于浓酸泄漏对河流形成了污染,现决定向河中投入固体碱。1 个单位的固体碱在水中逐步 溶化,水中的碱浓度 y (个浓度单位)与时间 x (个时间单位)的关系为

3 ? 24 ? ? x ? 8, 0 ? x ? ? ? x?3 2 y?? 。只有当河流中碱的浓度不低于 1(个浓度单位)时,才 3 23 ? 23 ? 1 x , ?x? ? 2 6 ? 12 2
能对污染产生有效的抑制作用。Ks5u (1)如果只投放 1 个单位的固体碱,则能够维持有效抑制作用的时间有多长?

第 3 页 共 10 页

(2)当河中的碱浓度开始下降时,即刻第二次投放 1 个单位的固体碱,此后,每一时刻河 中的碱浓度认为是两次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和, 求河中碱浓度可能取得的最大 值. 19.(本题满分 14 分)

4Sn ? an ?1 ? n 2 ? 2n ? 1 . n 1 1 1 1 5 (1)求 a2 ; (2)求数列 {an } 的通项公式; (3)求证: ? ? ??? ? a1 a2 a3 an 4
数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ,对任意 n ? N * , Ks5u

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x) ? x 2 ? 3x ? 3 e x ,其定义域为 ? ?2, t ? (t ? ?2) , (1)当 t ? 2 时时,求函数 f ( x) 的极大值; (2)求证:对于任意的 t ? ?2 ,总存在 x0 ? ? ?2, t ? ,满足 样的 x0 的个数。

?

?

f ?( x0 ) 2 ? (t ? 1) 2 ,并确定这 x0 3 e

第 4 页 共 10 页

参考答案及评分建议
题号 答案 1 D 2 C 3 B 4 B 5 A 6 C 7 D 8 C

二、填空题 9. 6 10. 2n ?1 ? 2 11. ?

1 3

12.

1 2

13.

1 14. ?2 3

15.(1).解:面直线 BA1 与 CC1 所成角为 45? ----------------4 分 (2)------------------------------------------------10 分 (3)

3? 3 --------------------------------14 分 2

16.解: (1)? A ? 3 ? 5 ,? A ? 2 -----------------2 分 Ks5u

?

2?

?

? ? ,? ? ? 2 -------------------------------4 分

(2) ? f ( x) ? 2 cos(2 x ?

?
6

)?3

? f (? ) ? 2 cos(2? ?

21 ? 3 ,? cos(2? ? ) ? ----------------6 分 6 5 6 5 ? ? ? 5? ? ? ? (0, ) ,? 2? ? ? ( , ) 3 6 6 6

?

)?3?

? sin(2? ?

?
6

) ? 1 ? cos 2 (2? ?

?

3 4 ) ? 1 ? ( ) 2 ? -----------------8 分 6 5 5

? cos 2? ? cos[(2? ?

?
6

)?

?
6

] ? cos(2? ?

?
6

) cos

?
6

? sin(2? ?

?
6

) sin

?
6

?

3 3 4 1 3 3 ? 4 ----------------------------------10 分 ? ? ? ? 5 2 5 2 10

? f (? ?

?
12

) ? 2 cos 2? ? 3 ? 2 ?

3 3?4 3 3 ? 19 ?3? 10 5

? f (? ?

?
12

)?

3 3 ? 19 ----------------------------------12 分 5
P

17.(1)证明:? AB ? DC 且

DC 3 CF 3 ? ,? ? ------1 分 AB 2 FA 2
E

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A F

B

在 ? PAC 中,?

CE CF 3 ? ? ,? EF ? PA ------2 分 EP FA 2

? EF ? 平面 PAB , PA ? 平面 PAB , EF ? PA

? EF ? 平面 PAB ------4 分
解:(2)取 FC 的中点 G,连结 EG,过 G 作 GO ? BD 于 O,连结 EO. 在 ? DAC 中, AC ?

O

G

AD 2 ? DC 2 ? 42 ? 32 ? 5 , CF ? 3, AF ? 2

在 ? FEC 中,? FE ? EC , ?FCE ? 45?, G 为 FC 的中点,? EG ? AC ,? EG ? PA

? PA ? 平面 ABCD, ? EG ? PA ,? EG ? 平面 ABCDKs5u

? EG ? 平面 ABCD, BD ? 平面 ABCD, ? EG ? BD
? BD ? GO, BD ? EG, EG ? GO ? G , EG, OG ? 平面 EGO, ? BD ? 平面 EOG
? BD ? 平面 EOG, OE ? 平面 EOG, ? BD ? OE ? ?EOG 为二面角 E ? DB ? C 的平面角------------------------------9 分 1 3 EG ? FC ? 2 2
在 ? BDC 中, BD ? 由

AD 2 ? AB 2 ? 42 ? 22 ? 2 5

CD ? AD 3 ? 4 3 1 1 ? ? CD ? AD ? BD ? 2GO 得, GO ? 2 2 2 BD 4 5 5
3 3 9 )2 ? ( )2 ? 2 5 2 5

OE ? OG 2 ? EG 2 ? (

3 cos ?EOG ? OG ? OE 2 5 ? ------------------------------13 分 9 3 2 5
2 .------------------------------14 分 3
z P

`二面角 E ? DB ? C 的平面角的余弦值为

方法(二)建立如图所示的坐标系 A(0, 0, 0) , B(0, 2, 0) , C (4,3, 0) , D(4, 0, 0) , P(0, 0,5)

??? ? 2 ???? 8 6 8 6 ? AF ? AC ? ( , , 0) ,? F ( , , 0) -----------------5 分 5 5 5 5 5 ??? ? ????? ? ??? ? ??? ? ??? ? 设 PE ? ? PC ,则 AE ? ? PC ? AP ? (4? ,3? ,5 ? 5? )
? 点 E 的坐标为 (4? ,3? ,5 ? 5? )
A
第 6 页 共 10 页

E

B F C

y

D x

??? ? 8 6 FE ? (4? ? ,3? ? ,5 ? 5? ) 5 5 ??? ? ??? ? 8 6 FE ?PC ? 4(4? ? ) ? 3(3? ? ) ? 5(5 ? 5? ) ? 0 5 5 7 ? ? -------------------------------------------7 分 10 ??? ? ? 6 9 3 ??? FE ? ( , , ) , DB ? (?4, 2, 0) -----------------8 分 Ks5u 5 10 2 ?? ? 设 n1 ? ( x, y, z ) 是平面 EBD 的法向量

?? ? ??? ? ? n1 ?BD ? ?4 x ? 2 y ? 0 ?? ? ? n ,取 ,则 , x ? 1 ?? ? ??? ? y ? 2, z ? ? 2 ? 1 ? (1, 2, ?2) ------------10 分 6 9 3 ?n1 ?FE ? x ? y ? z ? 0 5 10 2 ? ?? ? n2 ? (0, 0,1) 是平面 BDC 的法向量------------------------------------------11-分
由 0 ? 1 ? 0 ? 2 ? 1 ? (?2) ?

?? ? ?? ? 0 2 ? 0 2 ? 12 ? 12 ? 2 2 ? (?2) 2 cos ? n1 , n2 ) 得

?? ? ?? ? 2 cos ? n1 , n2 ) ? ? --------------------------------------------------------13 分 3 因为`二面角 E ? DB ? C 的平面角是锐角,所以, 2 `二面角 E ? DB ? C 的平面角的余弦值为 -----------------14 分 3

? 24 ? ? x ? 8 ? 1 ?1 ? x ? 3 ? 3 ? x?3 ? 18.解: (1) ? ?? 3 ? 1 ? x ? --------2 分 2 0? x? ?0 ? x ? 3 ? ? 2 ? ? 2 ? 23 1 ? x ?1 ? 3 11 ? 12 2 ? ? x ? -------------4 分 ? 2 6 ? 3 ? x ? 23 ? 6 ?2
综上,得 1 ? x ?

11 -------------5 分 6 11 5 ? 1 ? ----6 分 6 6

即若 1 个单位的固体碱只投放一次,则能够维持有效抑制作用的时间为 (2)当 0 ? x ?

24 ? ( x ? 3) 2 3 ?0 时, y ? ? 2 ( x ? 3) 2

y??

24 ? x ? 8 单调递增------7 分 ( x ? 3)

当 2 ? x ? 4 时, y ?

23 1 ? x 单调递减-------------8 分 11 2 3 , 2

所以当河中的碱浓度开始下降时,即刻第二次投放 1 个单位的固体碱,即 x ?

第 7 页 共 10 页

3 3 ? 0? x? ? ? ? 2 2 3 由? 得 ? x ? 3, 当 x ? 3 时, 第一、 二次投放的固体碱的浓度均在下降 (或 2 ? 3 ? x ? 23 ? 6 ? 2
降为 0).所以最大浓度发生的时间位于区间 ( ,3] ---------9 分 当

3 2

3 ? x ? 3时 2

? ? ? ? 23 1 24 3 y? ? x ? ?? ? ( x ? ) ? 8? ------------------10 分 12 2 2 ? (x ? 3) ? 3 ? ? 2 ? 3 3 24 41 41 5 ? ? (x ? ) ? ? ? ?12 ? ? ----------11 分 3 3 2 2 3 3 x? 2 5 3 16 5 故当且仅当 x ? ? , 即x ? 时, y 有最大值 .-------------------12 分 3 3 2 2 x? 2
19. (方法一)解: (1)由

4 ?1 ? a2 ? 12 ? 2 ? 1 得 a2 ? 8 -------2 分 1

(2)当 n ? 2 时, 4 S n ?1 ? (n ? 1)an ? (n ? 1)n 2 ○ 1

4 S n ? nan ?1 ? n(n ? 1) 2

○ 2

○ 1 ?○ 2 整理得 nan ?1 ? ( n ? 3) an ? n(3n ? 1) -------4 分

a2 a1 3 ?1 ? 1 ? ? ,所以对于任意正整数 n 都有-------5 分 2 ? 3 ? 4 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4
an ?1 an 3n ? 1 -------6 分 ? ? (n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) n(n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)(n ? 2)(n ? 3)


an ? bn , n(n ? 1)(n ? 2)

则当 n ? 2 时, bn ? bn ?1 ?

3n ? 2 1 1 1 1 ? 5( ? )?( ? ) --7 分 n(n ? 1)(n ? 2) n ?1 n ? 2 n n?2

bn ? b1 ? (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ? (b4 ? b3 ) ? ? ? (bn ? bn ?1 )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 5[( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 3 4 4 5 n ?1 n ? 2 2 4 3 5 n n?2
第 8 页 共 10 页

1 1 1 1 1 1 5 1 4 ? 5( ? )] ? [( ? ? ? )] ? ? ? 3 n?2 2 3 n ?1 n ? 2 6 n ?1 n ? 2

bn ? 1 ?

1 4 n2 ? ? -------9 分 n ? 1 n ? 2 (n ? 1)(n ? 2)

an ? n3 ,而 a1 ? 1 ? 13 ,所以数列 {an } 的通项公式是 an ? n3 .-------10 分
(方法二) 解: (1)由

4 ?1 ? a2 ? 12 ? 2 ? 1 得 a2 ? 8 -------2 分 1

a1 ? 1 , a2 ? 8 , a3 ? 27 ,所以数列数列 {an } 的通项公式是 an ? n3 .-----4 分
下面用数学归纳法证明该结论成立: (a)当 n ? 1, 2 结论显然成立 (b)假设当 n ? k (k ? N , k ? 2) 时结论成立,即 ak ? k 3 -----5 分
*

当 n ? 2 时, 4 S n ?1 ? (n ? 1)an ? (n ? 1)n 2 ○ 1 ○ 1 ?○ 2 整理得 nan ?1 ? ( n ? 3) an ? n(3n ? 1) 所以 ak ?1 ?

4 S n ? nan ?1 ? n(n ? 1) 2

○ 2

-----7 分 Ks5u

k (3k ? 1) ? (k ? 3)ak ? k 3 ? 3k 2 ? 3k ? 1 ? (k ? 1)3 k

也就是说,当 n ? k ? 1 时结论也成立,-----9 分 根据(a) (b)可知,对于任意 n ? N , an ? n3 ----10 分
*

(3)当 n ? 1 时,不等式成立,-----11 分 当 n ? 2 时, an ? n3 ? (n ? 1)n(n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? )?( ? ) an (n ? 1)n(n ? 1) 2 n ? 1 n ? 1 n n ?1 1 1 1 1 ? ? ??? ? a1 a2 a3 an

-----12 分

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [ ( ? ) ? ( ? )] ? [ ( ? ) ? ( ? )] ? ? ? [ ( ? )?( ? )] 2 1 3 2 3 2 2 4 3 4 2 n ?1 n ?1 n n ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1?[ ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )] ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 1 3 2 4 n ?1 n ?1 2 3 3 4 n n ?1

5 1 5 1 1 1 1 1 1 1 ? Ks5u ? 1? ( ? ? ? )?( ? )? ? 2 1 2 n n ?1 2 n ?1 4 2n(n ? 1) 4
综上所述,

1 1 1 1 5 ? ? ??? ? .-----14 分 a1 a2 a3 an 4
第 9 页 共 10 页

20.解: f ?( x) ? (2 x ? 3)e ? ( x ? 3 x ? 3)e ? ( x ? x)e ----1-分
x 2 x 2 x

(1) 由 f ?( x) ? ( x ? x)e ? 0 得 x ? 0 ,或 x ? 1 -----2 分
2 x

当 x 变化时, f ?( x) 、 f ( x) 的变化情况如下表

x
f ?( x)

(?2, 0)

0

(0,1)

1

(1, 2)

?

0
极大值

?

0
极小值

?

f ( x)

f ( x) 的极大值为 f (0) ? 3 .-----4 分
(2)

f ?( x0 ) 2 2 2 ? x0 ? x0 ,所以 x0 ? x0 ? (t ? 1) 2 -----5 分 x0 3 e

设 g ( x) ? x 2 ? x ?

2 (t ? 1) 2 3 2 2 g (?2) ? 6 ? (t ? 1) 2 ? ? (t ? 2)(t ? 4) -----6 分 3 3 2 1 g (t ) ? t (t ? 1) ? (t ? 1) 2 ? (t ? 2)(t ? 1) -----7 分 Ks5u 3 3

○ 1 当 t ? 4 ,或 ?2 ? t ? 1 时, g ( ?2) ? g (t ) ? 0 ,所以 g ( x ) ? 0 在 ( ?2, t ) 上有解,且只有一 解;-----9 分 ○ 2 当 1 ? t ? 4 时, g ( ?2) ? 0 且 g (t ) ? 0 ,而 g (0) ? ?

2 (t ? 1)2 ? 0 ,所以 g ( x) ? 0 在 3

(?2, t ) 上有解,且有两解;-----11 分
○ 3 当 t ? 1 或 t ? 4 时, g ( x ) ? 0 在 ( ?2, t ) 上有解,且只有一解;-----13 分 综上所述,对于任意的 t ? ?2 ,总存在 x0 ? ? ?2, t ? ,满足

f ?( x0 ) 2 ? (t ? 1) 2 x0 3 e

当 t ? 4 或 ?2 ? t ? 1 时,有唯一的 x0 适合题意,当 1 ? t ? 4 时,有两个 x0 适合题意 -----14 分

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