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高二数学圆锥曲线与导数


一、导数
f ( x ? ?x) ? f ( x) 1.导数的概念:f′(x)= lim ,导函数也简称导数. ?x ? 0 ?x
2.导数的几何意义和物理意义 几何意义:曲线 f(x)在某一点(x0,y0)处的导数是过点(x0,y0)的切线斜率. ⑴函数 f(x)在点 x0 处有导数,则函数 f(x)的曲线在该点处必有切线,且导数值是该切线的斜 率;但函数 f(x)的曲线在点 x0 处有切线,函数 f(x)在该点处不一定可导。如 f(x)= x 在 x=0 有切线,但不可导。 ⑵函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义是指:曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率,即曲 线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率是 f′(x0),切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0) 例:1.(2004 年湖南,13)过点 P(-1,2)且与曲线 y=3x2-4x+2 在点 M(1,1)处 的切线平行的直线方程是______。 2 2.点 P 在曲线 y=x3-x+ 上移动,设点 P 处切线的倾斜角为 ? ,求 ? 的范围. 3 3.求导公式:C′=0(C 为常数) ; (xn)′=nxn 1;(sinx)′=cosx;(cosx)′=-sinx; (ex)′=ex;(ax)′=axlna;(lnx)′=


1 1 ;(logax)′= logae?? x x

4.运算法则 如果 f(x) 、g(x)有导数,那么[f(x)±g(x) ]? = f ? (x)±g′(x) , [c·f(x) ]? =c f ? (x) ;(uv)′=u′v+uv′;(

u u ?v ? uv? )′= (v≠0). v v2

5.导数的应用: (一).用导数求函数单调区间的一般步骤. ⑴确定函数 f(x)的定义区间; ⑵求函数 f(x)的导数 f′(x); ⑶令 f′(x)>0,或者“ ? 0 ”所得 x 的范围(区间)为函数 f(x)的单调增区间; 令 f′(x)<0,或者“ ? 0 ”得单调减区间. 特别注意:已知函数式求其单调性与已知单调区间求参数的范围的区别。 例:1.已知 a>0,函数 f(x)=x3-ax 在[1,+∞)上是单调增函数,则 a 的最大值是 A.0 B.1 C.2 D.3 2..若函数 y=- 3.设 f(x)=x3-

4 3 x +bx 有三个单调区间,则 b 的取值范围是________. 3

x2 -2x+5.(1)求 f(x)的单调区间; 2 (2)当 x∈[1,2]时,f(x)<m 恒成立,求实数 m 的取值范围.
(二).用导数求函数极值与最值的一般步骤. 1.若函数 f(x)有导数,它的极值可在方程 f ? (x)=0 的根处来考查, 求函数 y=f(x)的极值方法如下: ①求函数的定义域②求导数 f ? (x) ;③求方程 f ? (x)=0 的根; ④检查 f ? (x) 在方程 f ? (x) =0 的根的左右的值的符号, 如果左负右正, 那么函数 y=f (x) 在这个根处取得极小值;如果左正右负,那么函数 y=f(x)在这个根处取得极大值.

2.比较函数在闭区间[a,b]内所有的极值,以及 f(a)和 f(b) ,最大者为最大值, 最小者为最小值. 点评:分类讨论是高考的热点之一,要揣摩其分类的原因和标准。 例:1.直线 y=a 与函数 f(x)=x3-3x 的图象有三个互不相同的公共点,求 a 的取值范围. (06.山东卷)设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a ? -1,求f(x)的单调区间。 四、定积分: 1.定积分定义:

?

b

a

f ( x)dx ? lim ?
i ?1

n

b?a f (? i ) ,(一般了解即可) n

2.定积分的几何意义: 当 f(x) 在 ?a, b? 上大于 0 时,

?

b

a

f ( x)dx 表示由直线 x ? a, x ? b(a ? b), y ? 0 ,和曲线
b

y ? f(x) 所围成曲边梯形的面积; 当 f(x) 在 ?a, b? 上小于 0 时, ? f ( x)dx 表示由直线 a

x ? a, x ? b(a ? b), y ? 0 ,和曲线 y ? f(x) 所围成曲边梯形的面积的相反数.
注意:有些定积分可通过几何意义求出,如求

?

0

?2

0 1 4-x2 dx ,因为 ? 4-x2 dx 表示 圆的 ?2 4

面积,故

?

0

?2

4-x2 dx = ? .
b b b

3.定积分的性质: ① ③

]dx = ? f1 ( x)dx ? 2 x) ?a kf ( x)dx ? k ?a f ( x)dx ;② ?a[f1 ( x) ? f( a

b

?

b

a

f 2 ( x)dx

?

b

a

f ( x)dx = ? f ( x)dx + ? f ( x)dx
a c

c

b

(其中 a ? c ? b )

4.微积分基本定理:

?

b

a

f ( x)dx = F ( x ) b a ? F (b ) ? F ( a ) (其中 F ?( x) ? f ( x) ).
二、圆锥曲线

2 例:1.计算由直线 y ? x ? 4 与曲线 y ? 2 x 所围成的平面图形的面积

1.圆锥曲线的两个定义:椭圆中,与两个定点 F 1 ,F 2 的距离的和等于常数 2 a , 2 a 一定要 大于 F1 F2 ,当常数等于 F1 F2 时,轨迹是线段 F 1 F 2 ,当常数小于 F1 F2 时,无轨迹;双 曲线中,与两定点 F 1 ,F 2 的距离的差的绝对值等于常数 2 a ,且此常数 2 a 一定要小于|F 1 F
2

|,定义中的“绝对值”与 2 a <|F 1 F 2 |不可忽视。若 2 a =|F 1 F 2 |,则轨迹是以 F 1 ,F 2

为端点的两条射线,若 2 a ﹥|F 1 F 2 |,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示 双曲线的一支。 抛物线的定义:平面上到定点的距离等于到定直线的距离的动点的轨迹。

特别要注意:解题时要尽量多的考虑使用定义。 例: 1. 已知定点 F1 (?3,0), F2 (3,0) ,在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的是 A. PF 1 ? PF 2 ? 4 C. PF 1 ? PF 2 ? 10 B. PF 1 ? PF 2 ? 6 D. PF1
2

? PF2

2

? 12

2 2 2 2 2.方程 ( x ? 6) ? y ? ( x ? 6) ? y ? 8 表示的曲线是_____

3.已知点 Q(2 2 ,0) 及抛物线 y ?

x2 上一动点 P(x,y),则 y+|PQ|的最小值是 4

2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置 的方程) : ( 1 )椭圆:焦点在 x 轴上时 (a ? b ? 0 ) 。 例:已知方程

x2 y2 y2 x2 a ? b ? 0 ? ? 1 ? y ( ) ;焦点在 轴上时 =1 a2 b2 a2 b2

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则 k 的取值范围为 3? k 2? k

(2)双曲线: 焦点在 x 轴上:

x2 y2 y2 x2 ? ? y =1 , 焦点在 轴上: =1 ( a ? 0, b ? 0 ) 。 a2 b2 a2 b2

例: 1.双曲线的离心率等于

x2 y2 5 , 且与椭圆 ? 则该双曲线的方程_______ ? 1 有公共焦点, 9 4 2

F2 在坐标轴上, 2.设中心在坐标原点 O , 焦点 F1 、 离心率 e ?
则 C 的方程为_______

2 的双曲线 C 过点 P(4,? 10) ,

(3)抛物线:开口向右时 y ? 2 px( p ? 0) ,开口向左时 y ? ?2 px( p ? 0) ,开口向上时
2 2

x2 ? 2 py( p ? 0) ,开口向下时 x2 ? ?2 py( p ? 0) 。
3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断) : (1)椭圆:由 x
2

,y
2

2

分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。
2

(2)双曲线:由 x

,y

项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;

(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 例:1.已知方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是 m ?1 2 ? m

特别提醒: (1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点 F 1 ,F 2 的位置,

是椭圆、 双曲线的定位条件, 它决定椭圆、 双曲线标准方程的类型, 而方程中的两个参数 a , b , 确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先

c 最大,c ? a ? b 。 要判断开口方向; (2) 在椭圆中,a 最大,a ? b ? c , 在双曲线中,
2 2 2 2 2 2

4.圆锥曲线的几何性质: (1)椭圆(以

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )为例) :①范围: ?a ? x ? a, ?b ? y ? b ;②焦 a2 b2

点:两个焦点 (?c, 0) ;③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0) ,四个顶 点 (? a, 0), (0, ?b) ,其中长轴长为 2 a ,短轴长为 2 b ;④准线:两条准线 x ? ?

a2 ; ⑤ c

离心率: e ?

c ,椭圆 ? 0 ? e ? 1 , e 越小,椭圆越圆; a
x2 y2 10 ,则 m 的值是; ? ? 1 的离心率 e ? 5 m 5

例 1.若椭圆

(2)双曲线(以

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )为例) :①范围: x ? ?a 或 x ? a, y ? R ;② a 2 b2

焦点:两个焦点 (?c, 0) ;③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0) ,两个 顶点 (? a, 0) ,其中实轴长为 2 a ,虚轴长为 2 b , ⑤离心率: e ?

c ,双曲线 ? e ? 1 , a

等轴双曲线 ? e ?

2 ,⑥两条渐近线: y ? ?

b x。 a

例 1.双曲线的渐近线方程是 3x ? 2 y ? 0 ,则该双曲线的离心率等于; 2.双曲线 ax ? by ? 1的离心率为 5 ,则 a : b =
2 2



3.设双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)中,离心率 e∈[ 2 ,2],则两条渐近线夹角θ 的取值 a2 b2

范围是________ ; (3) 抛物线 (以 y ? 2 px( p ? 0) 为例) : ①范围:x ? 0, y ? R ; ②焦点: 一个焦点 (
2

p , 0) , 2

其中 p 的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴 y ? 0 ,没有对称中心,

只有一个顶点(0,0) ;④准线:一条准线 x ? ?
2

p ; 2

例 1.设 a ? 0, a ? R ,则抛物线 y ? 4ax 的焦点坐标为________; 5.直线与圆锥曲线的位置关系: (1)相交: ? ? 0 ? 直线与椭圆相交; ? ? 0 ? 直线与双曲线相交,但直线与双曲线相 交不一定有 ? ? 0 ,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点, 故 ? ? 0 是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件; ? ? 0 ? 直线与抛物线相交, 但直线与抛物线相交不一定有 ? ? 0 ,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交 且只有一个交点,故 ? ? 0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。 例 1.直线 y―kx―1=0 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是 5 m

2.过双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点,若│AB︱=4,则这样的直线 1 2

有_____条; (2)相切: ? ? 0 (3)相离: ? ? 0 特别提醒: (1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切 和相交。 如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点; 如果直线 与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点; (2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平 行于对称轴的直线。 例 1.过点 ( 2,4) 作直线与抛物线 y ? 8x 只有一个公共点,这样的直线有____;
2

2.过点(0,2)与双曲线
2

x2 y2 ? ? 1 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______; 9 16

3.过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、 Q 两点, 若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p 、

q ,则

1 1 ? ? _______; p q
2

4.已知抛物线方程为 y ? 8x ,若抛物线上一点到 y 轴的距离等于 5,则它到抛物线的焦点 的距离等于____;若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4,则点 M 的坐标为_____; 5.抛物线 y ? 2 x 上的两点 A、B 到焦点的距离和是 5,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为
2

______; 8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:常利用第一定义 和正弦、余弦定理求解。 2 例 1.短轴长为 5 ,离心率 e ? 的椭圆的两焦点为 F1 、 F2 ,过 F1 作直线交椭圆于 A、B 3

两点,则 ?ABF2 的周长为________; 2.设 P 是等轴双曲线 x 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) 右支上一点, F1、 F2 是左右焦点, 若 PF2 ? F1 F2 ? 0 , |PF1|=6,则该双曲线的方程为; 3.椭圆

x2 y 2 → → ? ? 1 的焦点为 F1、F2,点 P 为椭圆上的动点,当PF 2·PF1<0 时,点 P 的横坐标 9 4

的取值范围是; 4.在 RtΔ ABC 中,AB=AC=1,如果一个椭圆通过 A,B 两点,它的一个焦点为 C 点,另一个焦点 在 AB 上,则这个椭圆的离心率为 9、弦长公式:若直线 y ? kx ? b 与圆锥曲线相交于两点 A、B,且 x1 , x2 分别为 A、B 的横坐 标, 则 AB = 1 ? k
2

x1 ? x2 , 若 y1 , y2 分别为 A、 B 的纵坐标, 则 AB = 1 ?
2

1 y1 ? y 2 , k2

特别地, :如①抛物线 y =2px(p>0)的过焦点的弦长为 x1 ? x2 ? 2 p ; ② 圆的弦长 AB=2

r2 ? d 2 .
例 1.过抛物线 y =4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点,若 x1+x2=6, 那么|AB|等于_______; 2.过抛物线 y ? 2 x 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,已知|AB|=10,O 为坐标原点,则Δ
2
2

ABO 重心的横坐标为_______; 10、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 例 1.若椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的弦被点 A(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是; 36 9

x2 y 2 2.已知直线 y=-x+1 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点,且线段 AB 的中点在 a b
直线 L:x-2y=0 上,则此椭圆的离心率为_______; 3.试确定 m 的取值范围,使得椭圆

x2 y2 ? ? 1上有不同的两点关于直线 y ? 4 x ? m 对称; 4 3

特别提醒:因为 ? ? 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称 问题时,务必别忘了检验 ? ? 0 ! 11.你了解下列结论吗? x2 y2 x2 y2 (1)双曲线 2 ? 2 ? 1 的渐近线方程为 2 ? 2 ? 0 ; a b a b

(2)以 y ? ?

b x2 y2 x 为渐近线(即与双曲线 2 ? 2 ? 1 共渐近线)的双曲线方程为 a a b

x2 y2 ? ? ? (? 为参数, ? ≠0)。 a2 b2

如:与双曲线

x2 y2 ? ? 1 有共同的渐近线,且过点 (?3,2 3) 的双曲线方程为_______; 9 16
2 2

(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 mx ? ny ? 1 ;

2b 2 (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为 ,抛物线的通径为 2 p 。 a
(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦为 AB, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则
2



| AB |? x1 ? x2 ? p ;② x1 x2 ?

p2 , y1 y2 ? ? p 2 4

12.动点轨迹方程: (1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围; (2)求轨迹方程的常用方法: ①直接法:直接利用条件建立 x, y 之间的关系 F ( x, y) ? 0 ; 如已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 x ? 3 的距离之和等于 4,求 P 的轨迹方程;(答:

y 2 ? ?12( x ? 4)(3 ? x ? 4) 或 y 2 ? 4 x(0 ? x ? 3) );
②待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程,再 由条件确定其待定系数。 ③定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线, 再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程; 例 1.由动点 P 向圆 x ? y ? 1 作两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,∠APB=60 ,则动点 P
2 2
0

的轨迹方程为
2 2


2 2

2.点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 l:x ? 5 ? 0 的距离小 1,则点 M 的轨迹方程是_____ ; 3.一动圆与两圆⊙M: x ? y ? 1 和⊙N: x ? y ? 8x ? 12 ? 0 都外切, 则动圆圆心的轨迹为 ;

④代点法:动点 P ( x, y ) 依赖于另一动点 Q( x0 , y0 ) 的变化而变化,并且 Q( x0 , y0 ) 又在某已 知曲线上, 则可先用 x, y 的代数式表示 x0 , y0 , 再将 x0 , y0 代入已知曲线得要求的轨迹方程;
2 例 1.动点 P 是抛物线 y ? 2x ? 1 上任一点,定点为 A(0,?1) ,点 M 满足 PM ? 2MA ,

????

????

则 M 的轨迹方程为__________;


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