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2008-2009学年度祁东二中高三第一轮复习训练题(24)(文科 综合卷二)


2008-2009 学年度祁东二中高三第一轮复习训练题

数学(二十四) (文科 ? 综合卷二)
一、选择题:本大题共有 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合要求的。 1.已知集合 M={-1,1,2},N={y|y=x2,x∈M},则 M∩N 是 A.{1,2,4} B.{1,4} C.{1} D.

?

2.设命题 p:x<-1 或 x>1;命题 q:x<-2 或 x>1,则 ? p 是 ? p 的 A.充分不必要条件 条件 3.已知 sinα +cosα = A. B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要

4 5

7 ,且 tanα >1,则 cosα 的值为 5 3 3 B. C. ? 5 5

D. ?

4 5

4.设平面 a∩平面β =l,点 A、B∈平面α ,点 C∈平面β ,且 A、B、C 均不在直线 l 上, 给出四个命题: ① l ? AB ? ? ? ? ? ? l ? AC? ③ ②
l ? AC? ? ? 平面? ? 平面ABC l ? BC ?

? ??

? ? ? l ? 平面ABC AB ? BC?

④ AB ∥ l ? l ∥ 平面ABC

其中正确的命题是 A.①与②
2

B.②与③

C.①与③

D.②与④

5.设 f ( x) ? x(ax ? bx ? c)(a ? 0)在x ? 1和x ? ?1 处均有极值,则下列点中一定在 x 轴 上的 A.(a,b) B.(a,c) C.(b,c) D.(a+b,c)

6.三人传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过 5 次传球后,球仍回到甲手中,则 不同的传球方式共有 A.6 种 B.8 种 C.10 种 D.16 种

7.若奇函数 f(x)(x∈R)满足 f(2)=1,f(x+2)=f(x)+f(2),则 f(1)等于
本试题共 9 页(第 1 页)

A.0

B.1

C.-

1 2

D.

1 2

8.已知数列{log 2 (a n -1)}(n∈N*)为等差数列,且 a 1 =3,a 2 =5,则

1 1 ? a 2 ? a1 a3 ? a 2

1 , 1 1 1 1 3 D.1- n ?1 A. n ?1 B. n C.1- n 2 2 2 2 , 5 9.在半径为 10cm 的球面上有 A、B、C 三点,如果=8 3 cm,∠ACB=60°,则球心 O 到 平面 ABC 的距离为 A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm

+? ?

1 =) a n ?1 ? a n

10.在数列{a n }中,如果存在非零常数 T,使得 a m?T ? am 对于任意正整数 m 均成立,那么 就称数列{a n }为周期数列,其中 T 叫做数列{a n }的周期. 已知数列{x n }满足 x n?1 = |x n -x n?1 |(n≥2,n∈N)如果 x 1 =1,x 2 =a(a≤1,a≠0),当数列{x n }的周期为 3 时,则该数列的前 2007 项的和为 A.668
2

B.669

C.1336

D.1338

11.抛物线 y =ax(a≠0)的准线与 x 轴交于点 P,直线 l 经过点 P,且与抛物线有公共点,则 直线 l 的倾斜角的取值范围是( π A.[0, ] 4 ) π 3π C.[ , ] 4 4 π π π 3π D.[ , )∪( , ] 4 2 2 4

π 3π B.[0, ]∪[ ,π) 4 4

12.已知函数 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? d 在(0,2)内是减函数,且 2 是方程 f ( x) ? 0 的根,则 A. f (1) ?

1 2

B. f (1) ? 1

C. f (1) ? 2

D. f (1) ?

5 2

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分. 13.已知 ( x ?

1 2? x
3

) n 展开式中第 4 项为常数项,则展开式的各项的系数和为

14.工厂生产了某种产品 180 件, 它们来自甲、乙、 3 条生产线, 丙 为检查这批产品的质量, 决定采用分层抽样的方法进行抽样,已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个 等差数列,则乙生产线生产了__________件产品. 15 . 点 P(3 , 1) 在 椭 圆

本试题共 9 页(第 2 页)

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0)的右准线上, 过P点且方向向量为 ? (?2,?5) 的光线径直 a a2 b2
线 y=-2 反射后通过椭圆的右焦点,则这个椭椭圆的离心率为 16.关于函数 f ( x) ? 2 sin ? 3x ? .

? ?

3 ? ? ? ,有下列命题 4 ?
②其图像由 y ? 2 sin 3 x向左平移

①其最小正周期为

2 ?; 3

?
4

个单位而得到;

③其表达式写成 f ( x) ? 2 cos? 3x ? 则其中真命题为

? ?

3 ? ? ?; 4 ?

④在 x ? ?

?? 5 ? , ? 为单调递增函数; ?12 12 ? ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)已知函数 g(x)= 平移得到函数 f(x)=acos2(x+

2? ? 1 1 sin(2x+ )的图象按向量 m=(- , ) 3 4 2 2

? )+b 的图象. 3

1 , (2)设函数 ? (x)=g(x)- 3 f ( x) ,求函数 ? (x)的单调增区间. 3 , 18. (本小题满分 12 分) 某车间准备从 10 名工人中选配 4 人到某生产线工作, 为安全生产, 5 (1)求实数 a、b 的值; 工厂规定:一个生产线上熟练工人不得少于 3 人,已知这 10 名工人中有熟练工人 8 人,学 徒 2 名。 (1)求工人配置合理的概率; (2)为了督促安全生产,工厂安全部门每月对工人配置情况进行两次检查,求两次检查得 到结果不一致的概率? 19.(本小题满分 12 分)如图正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面边 长为 a,侧棱长为 2 a,若经过对角线 AB1 且与对角线 BC1 平行的平 2

面交上底面于 DB1. (1)试确定点 D 的位置,并证明你的结论; (2)求二面角 A1-AB1-D 的大小.

本试题共 9 页(第 3 页)

20.(本小题满分 12 分)已知数列 {an } 、 {bn } 都是各项均为正的数列, a1 ? 1, b1 ? 2 ,
2 2 2 对任意的自然数 n 都有 an , bn , an?1 成等差数列, bn , an?1 , bn?1 成等比数列.

(1)试问数列 {bn } 是否是等差数列?并求 {bn } 的通项公式.

21.(本小题满分 13 分)直线 AB 过抛物线 x2=2py(p>0)的焦点 F,并与其相交于 A、B 两点,Q 是线段 AB 的中点,M 是抛物线的准线与 y 轴的交点,O 是坐标原点. (1)求 MA· 的取值范围; MB (2)过 A、B 两点分别作此抛物线的切线,两切线相交于 N 点.。求证: MN · ? 0 , OF

NQ ∥OF .
22.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=x3-ax2,其中 a 为实常数. (1)设当 x∈(0,1)时,函数 y = f(x)图象上任一点 P 处的切线的斜线率为 k,若 k ≥-1,求 a 的取值范围; (2)当 x∈[-1,1]时,求函数 y=f(x)+a(x2-3x)的最大值.

2008-2009 学年度祁东二中高三第一轮复习训练题

数学(二十四) (文科 ? 综合卷二)
一、选择题 题号 答案 1 C 2 A 3 B 4 D 5 A 6 C 7 D 8 C

参考答案

9 C

10 D

11 B

12

二、填空题 13.

1 32

14.60

15.

3 3

16. ①③④

三、解答题 17.解:(1)依题意按向量 m 平移 g(x)得 f(x)-

1 , 3 , 5

? 2? 1 1 = sin[2(x+ )+ ]……………………………………(2 分) 4 3 2 2
本试题共 9 页(第 4 页)

? 1 1 sin(2x+ )+ ……………………………………………(4 分) 6 2 2 ? ? a a 2 又 f(x)=acos (x+ )+b=- sin(2x+ )+ +b 3 6 2 2
得 f(x)=- 比较得 a=1,b=0…………………………………………………………………(6 分) (2) ? (x)=g(x)- 3 f(x)=

2? 2? 1 3 3 sin(2x+ )- cos(2x+ )- 3 3 2 2 2

=sin(2x+ 2kπ -

? 3 )- ………………………………………………………(9 分) 3 2

? ? ? ≤2x+ ≤2kπ + (k∈Z) 2 3 2 5? ? ≤x≤kπ + (k∈Z) ?kπ - 12 12 5? ? ∴ ? (x)的单调增区间为[kπ - ,kπ + ](k∈Z)………………(12 分) 12 12
18.解:(1)配量合理的概率为 P ?
3 1 C8 C2 ? C84 91 13 ? ? ………………………6 分 4 C10 105 15

(2)两次检查看成两次独立实验∴ ? ~B( 2,
1 ? P ? (? ? 1) ? C2 ?

13 ) 15

13 13 52 (1 ? ) ? ……………………………………11 分 15 15 225 52 答:两次检查得到结果不一致的概率为 ………………………………………………12 分 225
19.解: (1)D 为 A1C1 的中点. …………………………………2 分 连结 A1B 与 AB1 交于 E, 则 E 为 A1B 的中点,DE 为平面 AB1D 与平面 A1BC1 的交线, ∵BC1∥平面 AB1D ∴BC1∥DE,∴D 为 A1C1 的中点. ……………………………6 分 (2) 解法一:过 D 作 DF⊥A1B1 于 F, 由正三棱柱的性质,AA1⊥DF,∴DF⊥平面 AB1, 连结 EF、DE,在正三角形 A1B1C1 中, ∵D 是 A1C1 的中点,∴B1D= 又在直角三角形 AA1D 中, ∵AD= AA2+A1D2= 1 3 a,∴AD=B1D. …………………………………8 分 2
本试题共 9 页(第 5 页)

3 3 A B = a,…………………7 分 2 1 1 2

∴DE⊥AB1,∴可得 EF⊥AB1,

则∠DEF 为二面角 A1-AB1-D 的平面角. …………………………………10 分 可求得 DF= 3 a, 4

∵△B1FE∽△B1AA1, 得 EF= 3 π a,∴∠DEF= ,即为所求. ……………12 分 4 4

(2)解法(二)(空间向量法) 建立如图所示空间直角坐标系,则 1 1 2 3 2 A(0,- a,0)、B1(0, a, a)、C1(- a,0, a)、 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 A1(0,- a, a)、D(- a,- a, a). 2 2 4 4 2 ∴ AB1 =(0,a, 2 3 3 a), B1D =(- a,- a,0). ……8 分 2 4 4

设 n1 =(x,y,z)是平面 AB1D 的一个法向量,

?? ?

? 2 ?? ???? az ? 0 ?ay ? ?n1 ? AB1 ? 0 ? ? 2 则可得 ? ?? ???? ,即 ? . ? n1 ? B1 D ? 0 ? ?? 3 ax ? 3 ay ? 0 ? ? 4 ? 4 ?? ? ∴ n1 =(- 3,1,- 2). …………………………10 分
又平面 AB1 的一个法向量

?? ? 3 n2 = OC =(- 2 a,0,0),设 n1 与 n2 的夹角是 θ, ?? ?? ? n1 ? n2 2 则 cosθ= ?? ?? = . ? 2 n1 ? n2
又可知二面角 A1-AB1-D 是锐角, π ∴二面角 A1-AB1-D 的大小是 . 4
2 20.解:由题意得: an ? an?1 ? 2bn ①…………………………………1 分 2 2 2 an?1 ? bn ? bn?1 ②…………………………………2 分

∵{an}、{bn}都是各项均为正的数列 由②得 an?1 ? bn ? bn?1 ,

? an ? bn?1bn (n ? 2) 代入①得…………………………………4 分
本试题共 9 页(第 6 页)

2 2bn ? bn?1bn ? bn bn?1 , 又bn ? 0

∴ 2bn ? bn?1 ? bn?1 (n ? 2) …………………………………7 分 ∴数列{bn}是等差数列…………………………………8 分 由 a1=1,b1= 2 及①②两式得 a 2 ? 3, b2 ? 21.解:(1)由条件得 M(0,- y=kx+

3 2 2 ,? bn ? (n ? 1) ……………12 分 2 2

p p ),F(0, ).设直线 AB 的方程为 2 2

p ,A( x1 , y1 ),B( x2 , y 2 ). 2

2 2 则 x1 ? 2 py1 , x2 ? 2 py2 ,Q(

x1 ? x 2 y1 ? y 2 , ). 2 2

p ? ? y ? kx ? 由? 2 得 x 2 ? 2 pkx ? p 2 ? 0 . ? x 2 ? 2 py ?
∴由韦达定理得 x1 + x2 =2pk, x1 · x2 =- p 2 从而有 y1 y 2 =
2 x12 x2 p2 ? 4 4 p2

y1 + y 2 =k( x1 + x2 )+p= 2pk 2 ? p ………………(4 分)

? MA ? MB ? ( x1 , y1 ?

p p )( x 2 , y 2 ? ) 2 2

? x1 x 2 ? y1 y 2 ?

p p2 ( y1 ? y 2 ) ? 2 4

p2 p p2 2 ? ?p ? ? (2 pk ? p) ? 4 2 4
2

? p2k 2 ? 0
? ? MA? MB 的取值范围是 ?0, ?? .……………………………………………(6 分)
(2)抛物线方程可化为 y ?

1 2 1 x ,求导得 y ? x . 2p p

? kNA ? y?

x ? x1

?

x1 , kNB ? y? p

x ? x2

?

x2 . p

本试题共 9 页(第 7 页)

∴切线 NA 的方程为:y-

x12 x1 x x2 ? ( x ? x1 ) 即 y ? 1 x ? 1 . 2p p p 2p

切线 NB 的方程为: y ?

x2 x2 x ? 2 ………………………………………(8 分) p 2p

? ?y ? ? 由? ?y ? ? ?

x1 ? x2 ? ?x ? 2 x ? x2 x1 x2 ? 解得 ? ∴N( 1 , ) 2 x1 ·2 x 2 2p x2 x2 ?y ? x? ? 2p p 2p ?
x1 x2 x? 1 p 2p

从而可知 N 点 Q 点的横坐标相同但纵坐标不同. ∴NQ∥OF.即 NQ∥OF …………………………………………………………(9 分) 又由(Ⅰ)知 x1 + x2 =2pk, x1 · x2 =-p 而 M(0,-
2

∴N(pk,-

p ).……………(11 分) 2

p ) ∴ MN ? ( pk, 0) 2 p 又 OF ? (0, ) . ∴ MN · ? 0 .………………………………………………(12 分) OF 2
22.解:(1)? k ? f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax, x ? (0,1).

由 k≥-1,得 3x2-2ax+1≥0,即 a≤

3x 2 ? 1 1 1 ? (3x ? ) 恒成立…………(2 分) 2x 2 x

∴a≤

1 1 (3x+ ) ………………………………………………………………(4 分) x min 2
1 1 3 ≥2 3 x· =2 3 ,当且仅当 x= 时取等号. x 3 x

∵当 x∈(0,1)时,3x+



1 1 (3x+ ) = 3 .故 a 的取值范围是(-∞, 3 ].……………………(6 分) 2 x min

(2)设 g(x)=f(x)+a(x2-3x)=x3-3ax,x∈[-1,1]则 g′(x)=3x2-3a=3(x2-a).………………………………………………………(8 分) ①当 a≥1 时,∴g′(x)≤0.从而 g(x)在[-1,1]上是减函数. ∴g(x)的最大值为 g(-1)=3a-1.…………………………………………(9 分) ②当 0<a<1 时,g′(x)=3(x+ a )(x- a ). 由 g′(x) >0 得,x> a 或 x<- a :由 g′(x)< 0 得,- a <x< a . ∴g(x)在[-1,- a ],[ a ,1]上增函数,在[- a , a ]上减函数.
本试题共 9 页(第 8 页)

∴g(x)的极大值为 g(- a )=2a a .…………………………………………(10 分) 由 g(- a )-g(1)=2a a +3a-1=( a +1) ·(2 a -1)知 当 2 a -1<0,即 0≤a<
2

1 时,g(- a )<g(1) 4

∴g(x) max =g(1)=1-3a.…………………………………………(11 分) 当 2 a -1≥0,即

1 <a<1 时,g(- a )≥g(1) 4

∴g(x) max =g(- a )=2a a .………………………………………………(12 分) ③当 a≤0 时,g′(x)≥0,从而 g(x)在[-1,1]上是增函数. ∴g(x) max =g(1)=1-3a………………………………………………………(13 分)

综上分析,g(x) max

? ?3a ? 1 ? ? ? ?2a a ? ? ?1 ? 3a ?

(a ? 1); 1 ( ? a ? 1); ………………………………(14 分) 4 1 (a ? ). 4

本试题共 9 页(第 9 页)


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