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闰土教育南京市、盐城市2015届高三第一次模拟考试数学试卷(含答案)


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南京市、盐城市 2015 届高三年级第一次模拟考试
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1.设集合 M ? ?2,0, x? ,集合 N ? ?0,1 ? ,若 N ? M ,则 x ? 答案:1 2.若复数 z ? 答案:-1 3.在

一次射箭比赛中,某运动员 5 次射箭的环数依次是 9,10,9, 7,10 ,则该组数据的方差 是 答案: ▲ . ▲ .

a?i (其中为虚数单位)的实部与虚部相等,则实数 a ? i



.

6 5
▲ .

4.甲、乙两位同学下棋,若甲获胜的概率为 0.2 ,甲、乙下和棋的概率为 0.5 ,则乙获胜的概率为 答案: 0.3 解读:为了体现新的《考试说明》 ,此题选择了互斥事件,选材于课本中的习题。 5.若双曲线 x2 ? y 2 ? a2 (a ? 0) 的右焦点与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点重合,则 a ? 答案: ▲ .

2 2
▲ .

6.运行如图所示的程序后,输出的结果为 答案:42 解读:此题的答案容易错为 22。

? 2x ? y ? 0 ? x? y 7.若变量 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 2 的最大值为 ? x?0 ?



.

i←1 S←0 While i<8 i←i + 3 S←2? i + S End While Print S END 第 6 题图

答案:8 8.若一个圆锥的底面半径为,侧面积是底面积的 2 倍,则该圆锥的体积为 答案:



.

3? 3

9.若函数 f ( x) ? sin(? x ? 心对称, x0 ? [0, 答案:

?
6

)(? ? 0) 图象的两条相邻的对称轴之间的距离为
▲ .

?
2

? ,且该函数图象关于点 ( x0 ,0) 成中 2

] ,则 x0 ?

5? 12

10.若实数 x , y 满足 x ? y ? 0 ,且 log 2 x ? log 2 y ? 1,则 答案:4

x2 ? y 2 的最小值为 x? y



.

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11.设向量 a ? (sin 2? , cos ? ) , b ? (cos ? ,1) ,则“ a//b ”是“ tan ? ? 不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要”) . 答案:必要不充分

1 ”成立的 2



条件 (选填“充分

12.在平面直角坐标系 xOy 中,设直线 y ? ? x ? 2 与圆 x2 ? y 2 ? r 2 ( r ? 0) 交于 A, B 两点, O 为坐标原点,若圆 上一点 C 满足 OC ? 答案: 10
x 13.已 知 f ( x ) 是 定 义 在 [?2, 2] 上 的 奇 函 数 ,当 x ? (0, 2] 时 , f ( x )? 2 ,函 数 g ( x) ? x2 ? 2 x ? m . 如 ? 1

5 3 OA ? OB ,则 r ? 4 4



.

果对于 ?x1 ?[?2, 2] , ?x2 ?[?2, 2] ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) ,则实数 m 的取值范围是 答案: [?5, ?2]



.

14.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? ?1 , a2 ? a1 , | an?1 ? an |? 2n (n ? N * ) ,若数列 ?a2n?1? 单调递减,数列 ?a2 n ? 单调 递增,则数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ▲ .

? ?2n ? 1 , n为奇数 ? ( ?2) n ? 1 ? 3 答案: ( 说明:本答案也可以写成 ? n ) 3 2 ? 1 ? , n为偶数 ? ? 3

二、解答题: 15. 在平面直角坐标系 xOy 中, 设锐角 ? 的始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边与单位圆交于点 P( x1 , y1 ) , 将射线 OP 绕坐标原点 O 按逆时针方向旋转 (1)求函数 f (? ) 的值域; 若 f (C) ? 2 ,且 a ?

? 后与单位圆交于点 Q( x2 , y2 ) . 记 f (? ) ? y1 ? y2 . 2
y Q α O P x

(2)设 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,

2 , c ? 1 ,求 b . ? 解: (1)由题意,得 y1 ? sin ? , y2 ? sin(? ? ) ? cos ? , ………4 分 2 ? 所以 f (? ) ? sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ? ) , ………………6 分 4 ? ? ? 3? ) ,故 f (? ) ? (1, 2] . 因为 ? ? (0, ) ,所以 ? ? ? ( , 2 4 4 4 ? ? ? (2)因为 f (C ) ? 2 sin( ? C ) ? 2 ,又 C ? (0, ) ,所以 C ? , 4 2 4
2 2 2 在 ?ABC 中,由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos C ,即 1 ? 2 ? b 2 ? 2 2 ?

第 15 题图

………………8 分 ………………10 分

2 b, 2
………………14 分
D1 C1 B1 O D C

解得 b ? 1 . (说明:第(2)小题用正弦定理处理的,类似给分) 16.(本小题满分 14 分) 我要去看得更远的地方
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如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, O, E 分别为 B 1 D, AB 的中点. (1)求证: OE // 平面 BCC1B1 ; (2)求证:平面 B1DC ? 平面 B1DE . 证明(1) :连接 BC1 ,设 BC1

B1C ? F ,连接 OF , ………2 分
1 DC , 2
D1 A1 O ……………8 分 ………… 10 分 A D1 A1 B1 D E B C1 B1 F C C1

因为 O,F 分别是 B1D 与 B1C 的中点,所以 OF // DC ,且 OF ? 又 E 为 AB 中点,所以 EB // DC ,且 EB ?

1 DC , 2
……………6 分

从而 OF // EB, OF ? EB ,即四边形 OEBF 是平行四边形, 所以 OE // BF , 又 OE ? 面 BCC1B1 , BF ? 面 BCC1B1 , 所以 OE // 面 BCC1B1 . 所以 BC1 ? DC , 又 BC1 ? B1C ,且 DC, B1C ? 面 B1DC , DC 所以 BC1 ? 面 B1DC ,…………12 分 而 BC1 // OE ,所以 OE ? 面 B1DC ,又 OE ? 面 B1DE , 所以面 B1DC ? 面 B1DE . ………14 分 (2)因为 DC ? 面 BCC1B1 , BC1 ? 面 BCC1B1 ,

B1C ? C ,

y B

x2 y 2 17.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右 a b 准线方程为 x ? 4 ,右顶点为 A ,上顶点为 B ,右焦点为 F ,斜率为 2
的直线经过点 A ,且点 F 到直线的距离为

D
O


F A

l x

C

2 5 . 5

A

B E P 第 16 题图

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)将直线绕点 A 旋转,它与椭圆 C 相交于另一点 P ,当 B, F , P 三点共线时,试确定直线的斜率. 解: (1)由题意知,直线的方程为 y ? 2( x ? a) ,即 2 x ? y ? 2a ? 0 ,

第 17 题图

……………2 分

2 5 ,? a ? c ? 1 , ……………4 分 5 5 a2 a2 2 ? 4 ,所以 c ? 又椭圆 C 的右准线为 x ? 4 ,即 ,将此代入上式解得 a ? 2, c ? 1 ,? b ? 3 , c 4 2 2 x y ? 1; ……………6 分 ? 椭圆 C 的方程为 ? 4 3 (2)由(1)知 B(0, 3) , F (1, 0) , ? 直线 BF 的方程为 y ? ? 3( x ?1) , ……………8 分 8 ? ? y ? ? 3( x ? 1) x ? ? ? 5 8 3 3 ? ? ?x ? 0 联立方程组 ? x 2 y 2 ,解得 ? 或? (舍) ,即 P ( , ? ) , …………12 分 5 5 ?1 ? ? ?y ? 3 ?y ? 3 3 ? 3 ?4 ? 5 ?
? 右焦点 F 到直线的距离为

2c ? 2a

?

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? 直线的斜率 k ?
其他方法:

0 ? (?

3 3 ) 5 ?3 3. 8 2 2? 5

……………14 分

方法二: 由(1)知 B(0, 3) , F (1, 0) , ? 直线 BF 的方程为 y ? ? 3( x ?1) ,由题 A(2, 0) ,显然直线的斜

? 2k ? 3 ?x ? ? k? 3 3 3 ? ? y ? ? 3( x ? 1) 率存在, 设直线的方程为 y ? k ( x ? 2) , 联立方程组 ? , 解得 ? , 代入椭圆解得: k? 2 ? ? y ? k ( x ? 2) ? y ? ? 3k ? k? 3 ?
或k ? ?

? 3k 3 3 3 ,又由题意知, y ? . ? 0 得 k ? 0 或 k ? ? 3 ,所以 k ? 2 2 k? 3

? y ? k ( x ? 2) ? 方法三:由题 A(2, 0) ,显然直线的斜率存在,设直线的方程为 y ? k ( x ? 2) ,联立方程组 ? x 2 y 2 ,得 ? ? 1 ? 3 ?4 2 k , ? 4k 2 ? 3? x 2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 12 ? 0 , xA ? xP ? 416 2 k ?3 16k 2 8k 2 ? 6 ?12k x ? ? 2 ? 所以 P , yP ? ,当 B, F , P 三点共线时有, kBP ? kBF , 2 2 4k 2 ? 3 4k ? 3 4k ? 3 ?12k ? 3 2 ? 3k 3 3 3 ? 3 4 k ? 3 即 ,解得 k ? 或k ? ? ,又由题意知, y ? ? 0 得 k ? 0 或 k ? ? 3 ,所 ? 2 8k ? 6 2 2 1 k? 3 4k 2 ? 3 3 3 以k ? . 2
18.某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆,其 案侧面的外轮廓线如图乙所示:曲线 AB E 为 圆 心 的 圆 的 一 部 分 , 其 中 E (0, t ) ( 0 ? t ? 25 ,单位:米) ;曲线 BC 是抛
y B C

设 计 方 是 以 点 物 线

y? ?a 5 x 0? (的 一 a ?部 0 分) ; CD ? AD ,且 CD 恰好等于圆 E 的半径. 建体育馆的高 OB ? 50 米.
2

·E
F A 第 18 题-甲 O 第 18 题-乙

D

x

假 定 拟 求 与

(1) 若要求 CD ? 30 米,AD ? 24 5 米, 的值; (2)若要求体育馆侧面的最大宽度 DF 不超过 75 米,求 a 的取值范围; (3)若 a ?

a

1 ,求 AD 的最大值. 25

(参考公式:若 f ( x) ?

a ? x ,则 f ?( x) ? ?

1 ) 2 a?x
…………… 2 分

解: (1)因为 CD ? 50 ? t ? 30 ,解得 t ? 20 . 我要去看得更远的地方
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此时圆 E : x ? ( y ? 20) ? 30 ,令 y ? 0 ,得 AO ? 10 5 ,
2 2 2

所以 OD ? AD ? AO ? 24 5 ? 10 5 ? 14 5 ,将点 C (14 5,30) 代入 y ? ?ax2 ? 50(a ? 0) 中, 解得 a ?

1 . 49

………… 4 分

(2)因为圆 E 的半径为 50 ? t ,所以 CD ? 50 ? t ,在 y ? ?ax2 ? 50 中令 y ? 50 ? t ,得 OD ? 则由题意知 FD ? 50 ? t ?

t , a

t ………… 8 分 ? 75 对 t ? (0, 25] 恒成立, a 25 25 1 25 所以 恒成立,而当 t ? ,即 t ? 25 时, t ? 取最小值 10, ? t? a t t t 1 1 ? 10 ,解得 a ? . ………… 10 分 100 a 1 (3)当 a ? 时, OD ? 5 t ,又圆 E 的方程为 x2 ? ( y ? t )2 ? (50 ? t )2 ,令 y ? 0 ,得 x ? ?10 25 ? t ,所以 25 AO ? 10 25 ? t ,
故 从而 AD ? f (t ) ? 10 25 ? t ? 5 t (0 ? t ? 25) , 又因为 f ?(t ) ? 5(? ………… 12 分

2 1 5( 25 ? t ? 2 t ) ,令 f ?(t ) ? 0 ,得 t ? 5 , ………… 14 分 ? )? 25 ? t t 25 ? t ? t 当 t ? (0,5) 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 单调递增;当 t ? (5, 25) 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 单调递减,从而当 t ? 5 时,
f (t ) 取最大值为 25 5 .
答:当 t ? 5 米时, AD 的最大值为 25 5 米. (说明:本题还可以运用三角换元,或线性规划等方法解决,类似给分) (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)对于正整数 k , m, l ( k ? m ? l ) ,求证: “ m ? k ? 1 且 l ? k ? 3 ”是“ 5ak , am , al 这三项经适当排序后能 构成等差数列”成立的充要条件; (3)设 数 列 ?bn ? 满 足 : 对 任 意 的 正 整 数 n , 都 有 a1bn ? a2bn?1 ? a3bn?2 ? …………16 分

19.设数列 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,其前 n 项和为 Sn ,若 a1a5 ? 64 , S5 ? S3 ? 48 .

? anb1

? b ? ? 3 ? 2n?1 ? 4n ? 6 ,且集合 M ? ?n | n ? ? , n ? N * ? 中有且仅有 3 个元素,试求 ? 的取值范围. ? an ? 2 解: (1) 数列 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,? a1a5 ? a3 ? 64 ,? a3 ? 8 ,
S5 ? S3 ? 48 ,?a4 ? a5 ? 8q2 ? 8q ? 48 ,? q ? 2 ,? an ? 8 ? 2n?3 ? 2n ; ………… 4 分 (2) (ⅰ)必要性:设 5ak , am , al 这三项经适当排序后能构成等差数列, ①若 2 ? 5ak ? am ? al ,则 10 ? 2k ? 2m ? 2l ,?10 ? 2m?k ? 2l ?k ,?5 ? 2m?k ?1 ? 2l ?k ?1 ,

m ? k ?1 ? ?1 ?m ? k ? 1 ?2 ? ? l ? k ?1 , ?? . ………… 6 分 ?4 ? ?l ? k ? 3 ?2 ②若 2am ? 5ak ? al ,则 2 ? 2m ? 5 ? 2k ? 2l ,? 2m?1?k ? 2l ?k ? 5 ,左边为偶数,等式不成立, ③若 2al ? 5ak ? am ,同理也不成立,

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综合①②③,得 m ? k ? 1, l ? k ? 3 ,所以必要性成立. (ⅱ)充分性:设 m ? k ? 1 , l ? k ? 3 , 所以充分性也成立. 综合(ⅰ) (ⅱ) ,原命题成立. (3)因为 a1bn ? a2bn?1 ? a3bn?2 ? 即 2 bn ? 2 bn?1 ? 2 bn?2 ?
1 2 3

…………8 分

则 5ak , am , al 这三项为 5ak , ak ?1 , ak ?3 ,即 5ak , 2ak ,8ak ,调整顺序后易知 2ak ,5ak ,8ak 成等差数列, …………10 分

? anb1 ? 3 ? 2

n?1

? 4n ? 6 ,

? 2 b1 ? 3? 2
n
2 3

n?1

(*) ? 4n ? 6 ,
4

? 当 n ? 2 时, 21bn?1 ? 22 bn?2 ? 23 bn?3 ?

(**) ? 2n?1b1 ? 3 ? 2n ? 4n ? 2 , (***) ? 2n b1 ? 3 ? 2n?1 ? 8n ? 4 ,

则(**)式两边同乘以 2,得 2 bn?1 ? 2 bn?2 ? 2 bn?3 ?

? (*)-(***) ,得 2bn ? 4n ? 2 ,即 bn ? 2n ? 1(n ? 2) ,
2 又当 n ? 1 时, 2b1 ? 3 ? 2 ?10 ? 2 ,即 b1 ? 1 ,适合 bn ? 2n ? 1(n ? 2) ,?bn ? 2n ? 1 .………14 分

?

bn 2n ? 1 b b 2n ? 1 2 n ? 3 5 ? 2 n ? n ,? n ? n?1 ? n ? n?1 ? , an 2 an an?1 2 2 2n bn bn?1 b b ? 0 ,即 2 ? 1 ; ? n ? 2 时, ? an an?1 a2 a1

? n ? 3 时,

bn bn?1 ?b ? ? ? 0 ,此时 ? n ? 单调递减, an an?1 ? an ? b1 1 b2 3 b3 5 b4 7 7 1 ? , ? , ? , ? ,? ? ? ? . 又 a1 2 a2 4 a3 8 a4 16 16 2
x

……………16 分

20.已知函数 f ( x) ? e , g ( x) ? mx ? n . (1)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) . ① 若函数 h( x) 在 x ? 0 处的切线过点 (1, 0) ,求 m ? n 的值; ② 当 n ? 0 时,若函数 h( x) 在 (?1, ??) 上没有零点,求 m 的取值范围;

1 nx ? ,且 n ? 4m(m ? 0) ,求证:当 x ? 0 时, r ( x) ? 1 . f ( x) g ( x) x x 解: (1)由题意,得 h?( x) ? ( f ( x) ? g ( x))? ? (e ? mx ? n)? ? e ? m , 所以函数 h( x) 在 x ? 0 处的切线斜率 k ? 1 ? m , ……………2 分 又 h(0) ? 1 ? n ,所以函数 h( x) 在 x ? 0 处的切线方程 y ? (1 ? n) ? (1 ? m) x , 将点 (1, 0) 代入,得 m ? n ? 2 . ……………4 分 1 x (2)方法一:当 n ? 0 ,可得 h?( x) ? (e x ? mx)? ? e x ? m ,因为 x ? ?1 ,所以 e ? , e 1 ①当 m ? 时, h?( x) ? e x ? m ? 0 ,函数 h( x) 在 (?1, ??) 上单调递增,而 h(0) ? 1 , e 1 1 1 1 所以只需 h( ?1) ? ? m ? 0 ,解得 m ? ? ,从而 ? ? m ? . ……………6 分 e e e e 1 x ②当 m ? 时,由 h?( x) ? e ? m ? 0 ,解得 x ? ln m ? (?1, ??) , e 当 x ? (?1,ln m) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递减;当 x ? (ln m, ??) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递增. 所以函数 h( x) 在 (?1, ??) 上有最小值为 h(ln m) ? m ? m ln m ,
(2)设函数 r ( x) ? 我要去看得更远的地方
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令 m ? m ln m ? 0 ,解得 m ? e ,所以

1 ?m?e. e
……………10 分

1 e 方法二:当 n ? 0 , e x ? mx ①当 x ? 0 时,显然不成立;
综上所述, m ? [? , e) . ②当 x ? ?1 且 x ? 0 时, m ?

x ex ex e x x ? e x e ? x ? 1? ,令 y ? ,则 y? ? ,当 ?1 ? x ? 0 时, y? ? 0 ,函数 ? x x x2 x2 ex ex ex y ? 单调递减, 0 ? x ? 1 时, y? ? 0 ,函数 y ? 单调递减,当 x ? 1 时, y? ? 0 ,函数 y ? 单调递增,又 x x x 1 1 y x ??1 ? ? , y x?1 ? e ,由题意知 m ? [? , e) . e e n x 1 nx 1 1 4x (3)由题意, r ( x) ? , ? ? x? m ? x? n e f ( x) g ( x) e x ? 4 x? m 1 4x ? 1 等价于 ex (3x ? 4) ? x ? 4 ? 0 , 而 r ( x) ? x ? e x?4 x 令 F ( x) ? e (3x ? 4) ? x ? 4 , ……………12 分 x 则 F (0) ? 0 ,且 F ?( x) ? e (3x ?1) ? 1 , F ?(0) ? 0 , 令 G( x) ? F ?( x) ,则 G?( x) ? ex (3x ? 2) , 因 x ? 0 , 所以 G?( x) ? 0 , ……………14 分 所以导数 F ?( x) 在 [0, ??) 上单调递增,于是 F ?( x) ? F ?(0) ? 0 , 从而函数 F ( x) 在 [0, ??) 上单调递增,即 F ( x) ? F (0) ? 0 . ……………16 分

附加题答案
21. A、 (选修 4—1:几何证明选讲) 如图,已知点 P 为 Rt ?ABC 的斜边 AB 的延长线上一点,且 PC 与 Rt ?ABC 的外接圆相切,过点 C 作 AB 的垂线,垂足为 D ,若 PA ? 18 , PC ? 6 ,求线段 CD 的长. 解:由切割线定理,得 PC ? PA ? PB ,解得 PB ? 2 , 所以 AB ? 16 ,即 Rt ?ABC 的外接圆半径 r ? 8 ,……5 分 记 Rt ?ABC 外接圆的圆心为 O ,连 OC ,则 OC ? PC ,
2

C

A

D

B P

第 21-A 题图

在 Rt ?POC 中,由面积法得 OC ? PC ? PO ? CD ,解得 CD ? B、 (选修 4—2:矩阵与变换)

24 . 5

………………10 分

? 2 2? ? ? ? 2 2 ? 的变换下所得曲线的方程. 求直线 x ? y ? 1 ? 0 在矩阵 M ? ? ? 2 2? ? ? ? 2 2 ? 解:设 P( x, y ) 是所求曲线上的任一点,它在已知直线上的对应点为 Q( x?, y?) ,
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? ? ? 则? ? ? ?

? 2 2 2 x? ? y? ? x ( x ? y) ? x? ? ? 2 2 2 ,解得 ? , 2 2 2 ? x? ? y? ? y y? ? ( y ? x) ? 2 2 ? 2 2 2 代入 x? ? y? ? 1 ? 0 中,得 ( x ? y) ? ( y ? x) ? 1 ? 0 , 2 2 2 化简可得所求曲线方程为 x ? . 2
C、 (选修 4—4:坐标系与参数方程)

………………5 分

………………10 分

) ? 1 的距离. 3 解:将圆 ? ? 2cos ? 化为普通方程为 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 ,圆心为 (1, 0) ,

在极坐标系中,求圆 ? ? 2cos ? 的圆心到直线 2 ? sin(? ?

?

………………4 分

1 3 ) ? 1 ,即 2 ? ( sin ? ? cos ? ) ? 1 , 3 2 2 所以直线的普通方程为 3x ? y ?1 ? 0 ,
又 2 ? sin(? ? 故所求的圆心到直线的距离 d ? D、解不等式 x ?1 ? x ? 2 ? 4 . 解:当 x ? ?1 时,不等式化为 ? x ? 1 ? 2 ? x ? 4 ,解得 ?

?

………………8 分 ………………10 分

3 ?1 . 2

3 ? x ? ?1 ; 2 当 ?1 ? x ? 2 时,不等式化为 x ? 1 ? 2 ? x ? 4 ,解得 ?1 ? x ? 2 ; 5 当 x ? 2 时,不等式化为 x ? 1 ? x ? 2 ? 4 ,解得 2 ? x ? ; 2 3 5 所以原不等式的解集为 ( ? , ) . 2 2
如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC , AB ? 3 , AC ? 4 , 动点 P 满足 CP ? ?CC1 (? ? 0) ,当 ? ? (1)求棱 CC1 的长;

………………3 分 ………………6 分 ………………9 分 ………………10 分
A1 C1

22. (本小题满分 10 分)

1 时, AB1 ? BP . 2

B1

P

? ,求 ? 的值. 3 解: (1)以点 A 为坐标原点, AB, AC, AA1 分别为 x, y , z 轴,
(2)若二面角 B1 ? AB ? P 的大小为 建立空间直角坐标系, 设 CC1 ? m ,则 B1 (3,0, m) , B(3, 0, 0) , P(0, 4, ? m) , 所以 AB1 ? (3,0, m) , PB ? (3, ?4, ??m) , AB ? (3,0,0) ,

A

C

B 第 22 题图

………………2 分

1 1 时,有 AB1 ? PB ? (3, 0, m) ? (3, ?4, ? m) ? 0 2 2 解得 m ? 3 2 ,即棱 CC1 的长为 3 2 .
当? ? (2)设平面 PAB 的一个法向量为 n1 ? ( x, y, z) , 我要去看得更远的地方
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………………4 分

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则由 ?

? AB?n1 ? 0 ? ? ? PB?n1 ? 0

,得 ?

?3x ? 0 ? ? ?x ? 0 ,即 ? , ? ? ?3x ? 4 y ? 3 2? z ? 0 ?4 y ? 3 2? z ? 0

3 2? 3 2? ,所以平面 PAB 的一个法向量为 n1 ? (0, ? ,1) ,………………6 分 4 4 又平面 ABB1 与 y 轴垂直,所以平面 ABB1 的一个法向量为 n2 ? (0,1,0) , ? 因二面角 B1 ? AB ? P 的平面角的大小为 , 3
令 z ? 1 ,则 y ? ?

3 2? 2 6 4 所以 cos n1 , n2 ,结合 ? ? 0 ,解得 ? ? . ………………10 分 9 3 2? 2 ( ) ?1 4 * 23.设集合 S ? ?1,2,3,L , n? (n ? N , n ? 2) , A, B 是 S 的两个非空子集,且满足集合 A 中的最大数小于集合 B 中 1 ? ? 2 ?
的最小数,记满足条件的集合对 ( A, B) 的个数为 P n. (1)求 P2 , P 3 的值; 解: (1)当 n ? 2 时,即 S ? ?1,2? ,此时 A ? ?1? , B ? ?2? ,所以 P 2 ?1, 若 A ? ?2? 或 A ? ?1,2? ,则 B ? ?3? ;所以 P 3 ? 5. (2)当集合 A 中的最大元素为“ k ”时,集合 A 的其余元素可在 1, 2, 合 A 共有 C
0 k ?1

(2)求 P n 的表达式.

………………2 分

当 n ? 3 时,即 S ? ?1,2,3? ,若 A ? ?1? ,则 B ? ?2? ,或 B ? ?3? ,或 B ? ?2,3? ; ………………4 分 ,所以集 , k ? 1 中任取若干个(包含不取) 共有

………………6 分 ? C ? 2 种情况, 此 时 , 集 合 B 的 元 素 只 能 在 k ? 1, k ? 2, , n 中 任 取 若 干 个 ( 至 少 取 1 个 ) ,所以集合 B
1 k ?1 2 k ?1

?C

?C

?

k ?1 k ?1

k ?1

C

1 n ?k

?C

2 n ?k

?C

3 n ?k

?

?C

n ?k n ?k

?2

n ?k

?1 种情况,
………………8 分 ………………10 分

所以,当集合 A 中的最大元素为“ k ”时, 集合对 ( A, B) 共有 2k ?1 (2n?k ?1) ? 2n?1 ? 2k ?1 对, 当 k 依次取 1, 2,3,

, n ? 1 时,可分别得到集合对 ( A, B) 的个数,

n?1 求和可得 P ? (20 ? 21 ? 22 ? L ? 2n?2 ) ? (n ? 2) ? 2n?1 ?1 . n ? (n ?1) ? 2

我要去看得更远的地方
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