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2016高考数学大一轮复习 13.1合情推理与演绎推理试题 理 苏教版


2016 高考数学大一轮复习 13.1 合情推理与演绎推理试题 理 苏教 版
一、填空题 1 1.已知 x>0,由不等式 x+ ≥2 3 x x 4 1 4 x x 4 x· =2,x+ 2= + + 2≥3 · · 2=3,?, x x 2 2 x 2 2 x
*

x

我们可以得出推广结论:x+ n≥n+1(n∈N

),则 a=________. 解析 再续写一个不等式:
3 3 4 x x x 33 3 x x x 3 x+ 3= + + + 3≥4 · · · 3=4, x 3 3 3 x 3 3 3 x

a x

由此可得 a=n . 答案 n
n

n

1 1 1 3 5 2.设 n 为正整数,f(n)=1+ + +?+ ,计算得 f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16) 2 3 n 2 2 >3,观察上述结果,可推测一般的结论为________. 解析 由前四个式子可得,第 n 个不等式的左边应当为 f(2 ),右边应当为 得一般的结论为 f(2 )≥ 答案 f(2 )≥
n n n

n+2
2

,即可

n+2
2

.

n+2
2
?Sn? ?n?

3.若等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,前 n 项的和为 Sn,则数列? ?为等差数列,且通 项为 =a1+(n-1)· .类似地, 若各项均为正数的等比数列{bn}的首项为 b1, 公比为 q, n 2 前 n 项的积为 Tn,则数列{ Tn}为等比数列,通项为________. 解析 由等差数列与等比数列的运算类比,可得 Tn=b1( q) 答案

Sn

d

n

n

n-1

.

n

Tn=b1( q)n-1

4.如果函数 f(x)在区间 D 上是“凸函数”,则对于区间 D 内任意的 x1,x2,?,xn,有

f?x1?+f?x2?+?+f?xn? ?x1+x2+?+xn? ≤f? ?成立.已知函数 y=sin x 在区间[0, n n ? ?
π ]上是“凸函数”,则在△ABC 中,sin A+sin B+sin C 的最大值是________. 解析 由凸函数定义,知 sin A+sin B+sin C≤

1

3sin? 答案

?A+B+C?=3 3. ? ? 3 ? 2
3 3 2
* *

5.将正奇数排列如图形式,其中第 i 行第 j 个数表示 aij(i∈N ,j∈N ),例如 a32=9,若

aij=2 009,则 i+j=________.
1 3 7 13 5 9 11 15 17 19 ? 解析 根据正奇数排列的正三角图表知,2 009 是第 1 005 个奇数,应排在 i 行(其中 i ∈N ), 则 1+2+3+?+(i-1)= >1 005②; 验证 i=45 时, ①②式成立, 所以 i=45; 第 45 行第 1 个奇数是 2×44×452+1=1 981, 而 1 981+2(j-1)=2 009,∴j=15;所以,2 009 在第 45 行第 15 个数,则 i+j=60; 答案 60 6.圆 x +y =r 在点(x0,y0)处的切线方程为 x0x+y0y=r ,类似地,可以求得椭圆 + = 8 2 1 在(2,1)处的切线方程为________. 解析 由类比结构可知,相应的切线方程为: 代入点坐标,所求切线方程为: + =1. 4 2 答案
2 2 2 2 *

i?i-1?
2

<1 005①, 且 1+2+3+?+i=

i?i+1?
2

x2 y2

x0x y0y
8 + 2

=1,

x y

x y

+ =1 4 2

7.现有一个关于平面图形的命题:如图所示,同一个平面内有两个边 长都是 a 的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个 正方形重叠部分的面积恒为 .类比到空间,有两个棱长均为 a 的正 4 方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ________. 解析 在已知的平面图形中, 中心 O 到两边的距离相等(如右图), 即

a2

OM=ON.四边形 OPAR 是圆内接四边形,Rt△OPN≌Rt△ORM,因此 S 四
边形 OPAR

1 2 =S 正方形 OMAN= a .同样地,类比到空间,如图. 4

2

1 3 两个棱长均为 a 的正方体重叠部分的体积为 a . 8 答案

a3
8

8.观察下列等式: ①cos 2α =2cos α -1; ②cos 4α =8cos α -8cos α +1; ③cos 6α =32cos α -48cos α +18cos α -1; ④cos 8α =128cos α -256cos α +160cos α -32cos α +1; ⑤cos 10α =mcos α -1 280cos α +1 120cos α +ncos α +pcos α -1. 可以推测 m-n+p=________. 解析 m=2 =512,p=5×10=50. 又 m-1 280+1 120+n+p-1=1,∴n=-400. 答案 962 9.如图是一个数表,第一行依次写着从小到大的正整数,然后把每行相邻的两个数的和写 在这两个数的下方,得到下一行,数表从上到下与从左到右均为无限项,则这个数表中 的第 13 行,第 10 个数为________. 1 2 3 5 8 ? 3 4 5 6 7 ? 7 9 11 13 ? 12 16 20 24 ? ? ?
0, 1, 2 3 9 10 8 6 4 2 8 6 4 2 6 4 2 4 2 2

解析 观察数表可知,每行数分别构成公差为 2 2 2 ,2 ,?的等差数列,所以第 13 行 的公差为 2 . 又每行第一个数分别为 1,3=2+1×2 8=2 +2×2,20=2 +3×2 48=2 +4×2 256= 2 +5×2 ,?故第 13 行第一个数为 2 +12×2 =7×2 ,第 10 个数为 7×2 +9×2 = 16×2 =2 . 答案 2 (或 65 536) 10.已知结论:“在三边长都相等的△ABC 中,若 D 是 BC 的中点,点 G 是△ABC 外接圆的圆 心,则 =2”.若把该结论推广到空间,则有结论:“在六条棱长都相等的四面体 ABCD 中, 若点 M 是△BCD 的三边中线交点, O 为四面体 ABCD 外接球的球心, 则 =________”.
3
16 12 16 5 4 12 11 12 12 12 0, 2 3 2, 4 3, 12

AG GD

AO OM

解析 如图,设四面体 ABCD 的棱长为 a,则由 M 是△BCD 的 重心,得 BM= 3 6 6 a,AM= a,设 OA=R,则 OB=R,OM= 3 3 3 6 ? 3 ?2 ? 6 ?2 a? +? a-R? ,解得 R= a, 4 ?3 ? ?3 ?

a-R,于是由 R2=?
6 a 4

所以 =

AO OM

6 6 a- a 3 4

=3.

答案 3 二、解答题 11.平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质,例如在三角形中:(1)三角形 1 两边之和大于第三边;(2)三角形的面积 S= ×底×高;(3)三角形的中位线平行于第三 2 1 边且等于第三边的 ;?? 2 请类比上述性质,写出空间中四面体的相关结论. 解 由三角形的性质,可类比得空间四面体的相关性质为: (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积; 1 (2)四面体的体积 V= ×底面积×高; 3 1 (3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的 . 4 1 12.设 f(x)= x ,先分别求 f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳出 3+ 3 一个一般结论,并给出证明. 解

f(0)+f(1)=

1
0

3+ 3 3 . 3



1 1 3-1 3- 3 3 = + = + = . 2 6 3 3+ 3 1+ 3 3+ 3

1

同理 f(-1)+f(2)=

f(-2)+f(3)=

3 . 3

由此猜想:当 x1+x2=1 时,

f(x1)+f(x2)=

3 . 3

证明:设 x1+x2=1,则

4

f(x1)+f(x2)=

1 + 3x1+ 3 3x2+ 3

1



?3x1+ 3?+?3x2+ 3? ?3x1+ 3??3x2+ 3? 3x1+3x2+2 3 3x1+x2+ 3?3x1+3x2?+3 3x1+3x2+2 3 3?3x1+3x2?+2×3 3x1+3x2+2 3 3?3x1+3x2+2 3? = 3 . 3







故猜想成立. 13.在等差数列{an}中,Sn 是其前 n 项的和,则 , 写出类似的结论,并给出证明.
1 1 1

Sn S2n S3n , 成等差数列.在等比数列{bn}中 n 2n 3n

解 设各项为正数的等比数列中,Tn 是其前 n 项的积,则(Tn)n,(T2n)2n,(T3n)3n成等比数 列.此结论是正确的,证明如下: 因为{bn}成等比数列,所以有性质: 若 m+n=p+q,则 bm·bn=bp·bq. 从而有 T3n=b1b2?bn+1bn+2?b2nb2n+1?b3n =[(b1b2?bn)(b2n+1b2n+2?b3n)](bn+1bn+2?b2n) =[(b1b2n+1)(b2b2n+2)?(bnb3n)](bn+1bn+2?b2n) =(bn+1·bn+2?b2n)(bn+1·bn+2?b2n)=(bn+1bn+2?b2n) ,
1 1 2 2 2 3

又 bn>0,所以(T3n)3n=(bn+1bn+2?b2n)n,
1 1 1 1

因此有(Tn)n·(T3n)3n=(b1b2?bn)n(bn+1bn+2?b2n)n
1 1 2 =(T2n)n=[(T2n) ] , 2n 1 1 1

所以(Tn)n,(T2n)2n,(T3n)3n成等比数列. 14.对于 n∈N ,将 n 表示为 n=a0×2 +a1×2
*

k

k-1

+a2×2

k-2

+?+ak-1×2 +ak×2 ,当 i=0
0,

1

0

时, ai=1, 当 1≤i≤k 时, ai 为 0 或 1.记 I(n)为上述表示中 ai 为 0 的个数(例如: 1=1×2 4 =1×2 +0×2 +0×2 ,故 I(1)=0,I(4)=2),求(1)I(12)的值;(2) ?2
2 1 0 127

I(n)

的值.

n=1

解 (1)12=1×2 +1×2 +0×2 +0×2 .∴I(12)=2.
5

3

2

1

0

(2)I(1)=0,I(2)=1,I(3)=0,I(4)=2,I(5)=1,I(6)=1,I(7)=0,I(8)=3,I(9) =2,I(10)=2,I(11)=1,I(12)=2,I(13)=1,I(14)=1,I(15)=0,?,又 2 =2 =1=3 2 33,2 2
I(31) I(8)
0 0, I(2)

I(1)

+2
I(10)

I(3)

= 2 + 2 = 3,2
I(15)
3

1

0

I(4)

+2
2

I(5)

+2

I(6)

+2
0

I(7)

= 2 +2×2 + 2 = (2 + 1) =
3 3, I(16)

2

1

0

2

+2

I(9)

+2

+?+2

=2 +3×2 +3×2 +2 = (2 +1) = 3 2
5, I(64)

1

+2

I(17)

+?+

=3 2
I(n)

4, I(32)

+2

I(33)

+?+2

I(63)

=3 2

+2

I(65)

+?+2

I(127)

=3 ,

6

∴ ?2
n=1

127

1×?1-3 ? 0 1 6 =3 +3 +?+3 = =1 093. 1-3

7

6


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