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6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质(1)——正弦函数和余弦函数的图像与性质


2012 学年高一第二学期教案

2013.03.26

6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质(1)
——正弦函数和余弦函数的图像 教学目标 1、理解正弦函数、余弦函数的概念; 2、熟悉将单位圆上的正弦线转化为正弦函数 y ? sin x, x ? ?0,2? ?的图像,并利用诱导公式

sin ?x ? 2k? ? ? sin x, k ? Z 得到 y ? sin x, x ? R 图像的过程;余弦函数的情况类似;

3、会用“五点法”绘制正弦函数、余弦函数在一个周期内的图像,掌握这两个函数的图形 特征; 4、理解函数 y ? cos x 的图像可由 y ? sin x 的图像经由平移后得到。 教学重难点 重点:正弦函数与余弦函数的图像; “五点法”绘制正弦函数与余弦函数在一个周期内的大致图像 难点:余弦函数的图像与正弦函数的图像之间的关系

教学过程 一、复习引入 1、复习 (1)函数的概念 在某个变化过程中有两个变量 x 、 y ,若对于 x 在某个实数集合 D 内的每一个确定的 值,按照某个对应法则 f , y 都有唯一确定的实数值与它对应,则 y 就是 x 的函数,记作

y ? f ?x ?, x ? D 。

(2)三角函数线 设任意角 ? 的顶点在原点 O ,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点 P( x, y) ,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ;过点 A(1, 0) 作单位圆的切线,设它与角 ? 的终 边(当 ? 在 第一、四象限角时)或其反向延长线(当 ? 为第二、三象限角时)相交于 T . 规定:当 OM 与 x 轴同向时为正值,当 OM 与 x 轴反向时为负值; 当 MP 与 y 轴同向时为正值,当 MP 与 y 轴反向时为负值; 当 AT 与 y 轴同向时为正值,当 AT 与 y 轴反向时为负值; 根据上面规定,则 OM ? x , MP ? y , 由正弦、余弦、正切三角比的定义有:
[网]

sin ? ? cos ? ? tan ? ?

y y ? ? y ? MP ; r 1 x x ? ? x ? OM ; r 1 y MP AT ? ? ? AT ; x OM OA

这几条与单位圆有关的有向线段 MP, OM , AT 叫做角 ? 的正弦线、余弦线、正切线。

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二、讲授新课 【问题驱动 1】——结合我们刚学过的三角比,就以正弦(或余弦)为例,对于每一个给定的 角和它的正弦值(或余弦值)之间是否也存在一种函数关系?若存在, 请 对这种函数关系下一个定义;若不存在,请说明理由. 1、正弦函数、余弦函数的定义 (1)正弦函数: y ? sin x, x ? R ; (2)余弦函数: y ? cos x, x ? R 概念生成: 任意一个实数 x 都对应着唯一确定的角(在弧度制中其弧度数等于这个实数 x ), 而这个 角又对应着唯一确定的正弦值 sin x (或余弦值 cos x )。 这样,对任意一个实数 x 都有唯一确定的值 sin x (或 cos x )与它对应。 按照这个对应法则所建立的函数,表示为 y ? sin x (或 y ? cos x ),它叫做正弦函数 (sine function)(或余弦函数(cosine function)) 【问题驱动 2】——如何作出正弦函数 y ? sin x, x ? R 、余弦函数 y ? cos x, x ? R 的函数 图象? 2、正弦函数 y ? sin x, x ? R 的图像 (1) y ? sin x, x ? ?0,2? ?的图像 【方案 1】——代数描点法 步骤 1:列表——查三角函数表得三角函数值; 步骤 2:描点——描点 ?x, sin x ? ; 步骤 3:连线——用光滑的曲线顺次连结各个点 小结:由于表中部分值只能取近似值,再加上描点时的误差,所以画出的图象误差大。 【方案 2】——几何描点法 步骤 1:等分、作正弦线——将单位圆等分,作三角函数线(正弦线)得三角函数值; 步骤 2:描点——平移定点,即描点 ?x, sin x ? ; 步骤 3:连线——用光滑的曲线顺次连结各个点

小结:几何描点法作图精确,但过程比较繁。
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【方案 3】——五点法 步骤 1:列表——列出对图象形状起关键作用的五点坐标; 步骤 2:描点——定出五个关键点; 步骤 3:连线——用光滑的曲线顺次连结五个点

小结: y ? sin x, x ? ?0,2? ?的五个关键点是 ?0,0? 、 ? (2) y ? sin x, x ? R 的图像

?? ? ? 3? ? ,1? 、 ?? ,0? 、 ? ,0 ? 、 ?2? ,0? 。 ? 2 ? ?2 ?

?k ? Z , k ? 0? 上的图像与在区间 ?0,2? ? 上的图像形状一样,只是位置不同. 于是我们只要将函数 y ? sin x, x ? ?0,2? ?的图像向左、右平行移动(每次平行移动 2?
个单位长度),就可以得到正弦函数 y ? sin x, x ? R 的图像。

由 sin ?2k? ? x ? ? sin x, k ? Z ,所以函数 y ? sin x 在区间 ?2k? ,2k? ? 2? ?

3、余弦函数 y ? cos x, x ? R 的图像

(1) y ? cos x, x ? ?0,2? ? 的图像 【方案 1】——几何描点法 步骤 1:等分、作余弦线——将单位圆等分,作三角函数线(余弦线)得三角函数值; 步骤 2:描点——竖立、平移定点,即描点 ?x, cos x ? ; 步骤 3:连线——用光滑的曲线顺次连结各个点

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【方案 2】——五点法 步骤 1:列表——列出对图象形状起关键作用的五点坐标; 步骤 2:描点——定出五个关键点; 步骤 3:连线——用光滑的曲线顺次连结五个点

小结: y ? cos x, x ? ?0,2? ? 的五个关键点是 ?0,1? 、 ? (2) y ? cos x, x ? R 的图像

?? ? ? 3? ? ,0 ? 、 ?? ,?1? 、 ? ,0 ? 、 ?2? ,1? 。 ? 2 ? ?2 ?

?k ? Z , k ? 0? 上的图像与在区间 ?0,2? ? 上的图像形状一样,只是位置不同. 于是我们只要将函数 y ? cos x, x ? ?0,2? ? 的图像向左、右平行移动(每次平行移动 2?
个单位长度),就可以得到正弦函数 y ? cos x, x ? R 的图像。

由 cos?2k? ? x ? ? cos x, k ? Z ,所以函数 y ? cos x 在区间 ?2k? ,2k? ? 2? ?

【另法】——图像平移法 由 sin ? x ?

? ?

??

? ? ? cos x ,可知只须将 y ? sin x, x ? R 的图像向左平移 即可。 2 2?

【注】正弦函数、余弦函数的作图 (1)代数描点法(误差大) ; (2)几何描点法(精确但步骤繁) ; (3)五点法(重点掌握) ; (4)平移法。 三、例题举隅 例 1、 (1)作出函数 y ? 1 ? sin x, x ? ?0,2? ? 的大致图像;

(2)作出函数 y ? cos x, x ? ?? ? , ? ?的大致图像。 【设计意图】——考察利用“五点法”作正弦函数、余弦函数图像 【解】 (1)①列表

x
sin x y ? 1 ? sin x

0

? 2
1 2

?
0 1

0 1

3? 2 ?1 0

2?

0 1

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②描点 在直角坐标系中,描出五个关键点:

?0,1? 、
③连线 (2)①列表

?? ? ? 3? ? ? ,2 ? 、 ?? ,1? 、 ? ,0 ? 、 ?2? ,1? ; ? 2 ? ?2 ?

x
y ? cos x

??
?1

?

?

2 0

0
1

? 2
0

?
?1

②描点 在直角坐标系中,描出五个关键点:

?? ? ,?1? 、
③连线

? ? ? ?? ? ? ? ,0 ? 、 ?0,1? 、 ? ,0 ? 、 ?? ,?1? ; ? 2 ? ?2 ?

练习: 作出函数 y ? 值范围。 【解】当 y ? 0 时, x ? ? 0,

1 ? sin x, x ? ?0,2? ? 的大致图像,并分别写出使 y ? 0 与 y ? 0 的 x 的取 2

? ? ? ? 5? ? ? ? ? ,2? ? ; ? 6? ? 6 ? ? ? 5? ? 当 y ? 0 时, x ? ? , ?。 ?6 6 ?

四、课时小结 1、数学知识:正弦函数和余弦函数的图像 2、数学思想方法:数形结合、转化与化归 五、作业布置 1、练习册 6.1A 组第 1、2 题; 练习册 6.1B 组第 1、2 题; 2、金牌教练 6.1 第 1 课时——正弦函数和余弦函数的图像与性质 【第 5、7、10、12 题】 六、课后反思

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6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质(6)

? cos( ? ) 的图象中相邻两对称轴的距离. 3 3 6 2 6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质(6)(答案) 1、 解:③ 对于①, sin x ? cos x ? 0 ? ...

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