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2017届一轮复习人教A版 集合及其运算 学案


1.集合与元素 (1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于两种,用符号∈或?表示. (3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法 集合 符号 自然数集 N 正整数集 N*(或 N+) 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R

2.集合间的基本关系 关系 自然语言 集合 A 中所有元素都在集合 B 中(即若 x∈A,则 x∈B) 集合 A 是集合 B 的子集, 且集合 B 中至 少有一个元素不在集合 A 中 集合 A, B 中元素相同或集合 A, B 互为 子集 符号语言 A?B(或 B ?A) Venn 图

子集

真子集

A?B(或 B?A)

集合相等

A=B

3.集合的运算 集合的并集 图形 符号 A∪B={x|x∈A 或 x∈B} A∩B={x|x∈A 且 x∈B} ?UA={x|x∈U,且 x?A} 集合的交集 集合的补集

【知识拓展】 1.A∪B=A?B?A,A∩B=A?A?B. 2.A∩A=A,A∩?=?. 3.A∪A=A,A∪?=A. 4.A∩(?UA)=?,A∪(?UA)=U,?U(?UA)=A. 5.A?B?A∩B=A?A∪B=B??UA??UB?A∩(?UB)=?. 6.若集合 A 中含有 n 个元素,则它的子集个数为 2n,真子集的个数为 2n-1,非空真子集的 个数为 2n-2. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( × ) (2)若{x2,1}={0,1},则 x=0,1.( × (3){x|x≤1}={t|t≤1}.( √ ) )

(4)对于任意两个集合 A,B,关系(A∩B)?(A∪B)恒成立.( √ ) (5)若 A∩B=A∩C,则 B=C.( × ) (6)含有 n 个元素的集合有 2n 个真子集.( × )

1.设 A={x|x2-4x-5=0},B={x|x2=1},则 A∪B 等于( A.{-1,1,5} C.{1,5} 答案 A 解析 ∵A={-1,5},B={-1,1}, ∴A∪B={-1,1,5}. B.{-1,5} D.{-1}

)

2.(2015· 四川)设集合 A={x|-1<x<2},集合 B={x|1<x<3},则 A∪B 等于( A.{x|-1<x<3} C.{x|1<x<2} 答案 A 解析 借助数轴知 A∪B={x|-1<x<3}. 3.(2015· 浙江)已知集合 P={x|x2-2x≥0},Q ={x|1<x≤2},则(?RP)∩Q 等于( A.[0,1) C.(1,2) 答案 C 解析 ∵P={x|x≥2 或 x≤0},?RP={x|0<x<2}, B.(0,2] D.[1,2] B.{x|-1<x<1} D.{x|2<x<3}

)

)

∴(?RP)∩Q={x|1<x<2},故选 C. 4.(2015· 陕西)设集合 M={x|x2=x},N={x|lgx≤0},则 M∪N 等于 ( A.[0,1] C.[0,1) 答案 A 解析 由题意得 M={0,1},N=(0,1],故 M∪N=[0,1],故选 A. 5.已知集合 A={(x,y)|x,y∈R,且 x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,且 y=x},则 A∩B 的元素个数为________. 答案 2 解析 集合 A 表示圆心在原点的单位圆,集合 B 表示直线 y=x,易知直线 y=x 和圆 x2+y2 =1 相交,且有 2 个交点,故 A∩B 中有 2 个元素. B.(0,1] D.(-∞,1] )

题型一
例1 ( )

集合的含义

(1)设集合 A={1,2,4},集合 B={x|x=a+b,a∈A,b∈A},则集合 B 中的元素个数为

A.4B.5C.6D.7 (2)已知集合 A={m+2,2m2+m},若 3∈A,则 m 的值为________. 3 答案 (1)C (2)- 2 解析 (1)∵a∈A,b∈A,x=a+b,∴x=2,3,4,5,6,8, ∴B 中有 6 个元素,故选 C. 3 (2)由题意得 m+2=3 或 2m2+m=3,则 m=1 或 m=- ,当 m=1 时,m+2=3 且 2m2+m 2 3 1 =3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意;当 m=- 时,m+2= ,而 2m2+m=3, 2 2 3 故 m=- . 2 思维升华 (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条 件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型集合;(2)集合中元素的互异性常常容易忽 略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题. (1)设集合 A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则 M 中的元 素个数为( )

A.3B.4C.5D.6

b ? ? (2)设 a,b∈R,集合{1,a+b,a}=?0,a,b?,则 b-a=________.
? ?

答案 (1)B (2)2 解析 (1)因为集合 M 中的元素 x=a+b,a∈A,b∈B,所以当 b=4 时,a=1,2,3,此时 x= 5,6,7. 当 b=5 时,a=1,2,3,此时 x=6,7,8. 所以根据集合元素的互异性可知,x=5,6,7,8. 即 M={5,6,7,8},共有 4 个元素. b ? ? (2)因为{1,a+b,a}=?0,a,b?,a≠0,
? ?

b 所以 a+b=0,得 =-1, a 所以 a=-1,b=1,所以 b-a=2.

题型二
例2

集合间的基本关系
)

(1)已知集合 A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件 A?C?B

的集合 C 的个数为( A.1B.2C.3D.4

(2) 已知集合 A= {x|x2 - 2017x+ 2016<0},B= {x|x<a} ,若 A?B,则实数 a 的取值范围是 ________. 答案 (1)D (2)[2016,+∞) 解析 (1)由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 x=2, ∴A={1,2}. 由题意知 B={1,2,3,4}. ∴满足 A?C?B 的集合 C 可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}共 4 个. (2)由 x2-2017x+2016<0,解得 1<x<2016, 故 A={x|1<x<2016},又 B={x|x<a},A?B 如图所示,

得 a≥2016. 思维升华 (1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则 会造成漏解;(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的 关系,进而转化为参数所满足的关系.常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题. (1)已知集合 A={x|y=ln(x+3)},B={x|x≥2},则下列结论正确的是( A.A=B C.A?B B.A∩B=? D.B?A )

(2)已知集合 A={x|log2x≤2},B={x|x<a},若 A?B,则实数 a 的取值范围是________. 答案 (1)D (2)(4,+∞) 解析 (1)A={x|x>-3},B={x|x≥2},结合数轴可得:B?A. (2)由 log2x≤2,得 0<x≤4, 即 A={x|0<x≤4}, 而 B={x|x<a}, 由于 A?B,如图所示,则 a>4.

题型三

集合的基本运算

命题点 1 集合的运算 例3 1 (1)设全集为 U=R,集合 A={x||x|≤2},B={x| >0},则(?UA)∩B 等于( x-1 B.(2,+∞) D.(-∞,-2)
x(x-2)

)

A.[-2,1] C.(1,2] (2)设集合 U=R,A={x|2

<1},B={x|y=ln(1-x)},则图中阴影部分表示的集合为(

)

A.{x|x≥1} C.{x|0<x≤1} 答案 (1)B (2)B

B.{x|1≤x<2} D.{x|x≤1}

解析 (1)A={x|-2≤x≤2},B={x|x>1},则(?UA)∩B={x|x<-2 或 x>2}∩{x|x>1}={x|x>2}, 选 B. (2) 易知 A = {x|2x(x
- 2)

<1} = {x|x(x - 2)<0} = {x|0<x<2} , B = {x|y = ln(1 - x)} = {x|1 - x>0} =

{x|x<1},则?UB={x|x≥1}, 阴影部分表示的集合为 A∩(?UB)={x|1≤x<2}. 命题点 2 利用集合运算求参数 例4 (1)已知集合 A={1,3, m},B={1,m},A∪B=A,则 m 等于( B.0 或 3 D.1 或 3 ) )

A.0 或 3 C.1 或 3

(2)集合 M={x|-1≤x<2},N={y|y<a},若 M∩N≠?,则实数 a 的取值范围一定是( A.-1≤a<2 C.a≥-1 答案 (1)B (2)D B.a≤2 D.a>-1

解析 (1)由 A∪B=A 得 B?A, 有 m∈A, 所以有 m= m或 m=3, 即 m=3 或 m=1 或 m=0,

又由集合中元素的互异性知 m≠1,故选 B. (2)∵M={x|-1≤x<2},N={y|y<a},且 M∩N≠?,如图只要 a>-1 即可.

思维升华 (1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用 Venn 图表示;集合中的元素若是 连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况.(2)运算过程中要注意集合间的特殊关 系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化. (1)(2015· 天津 ) 已知全集 U = {1,2,3,4,5,6,7,8} ,集合 A = {2,3,5,6} ,集合 B = {1,3,4,6,7},则集合 A∩(?UB)等于( A.{2,5} C.{2,5,6} ) B.{3,6} D.{2,3,5,6,8}

b (2)已知集合 A={x|x>2 或 x<-1},B={x|a≤x≤b},若 A∪B=R,A∩B={x|2<x≤4},则 = a ________________________________________________________________________. 答案 (1)A (2)-4 解析 (1)由题意知,?UB={2,5,8}, 则 A∩(?UB)={2,5},选 A. (2)由 A={x|x>2 或 x<-1},A∪B=R,A∩B={x|2<x≤4},可得 B={x|-1≤x≤4},则 a= -1,b=4, b 故 =-4. a

题型四

集合的新定义问题

例 5 若集合 A 具有以下性质: (Ⅰ)0∈A,1∈A; 1 (Ⅱ)若 x∈A,y∈A,则 x-y∈A,且 x≠0 时, ∈A. x 则称集合 A 是“好集”.下列命题正确的个数是( (1)集合 B={-1,0,1}是“好集”; (2)有理数集 Q 是“好集”; (3)设集合 A 是“好集”,若 x∈A,y∈A,则 x+y∈A. A.0B.1C.2D.3 答案 C 解析 (1)集合 B 不是“好集”,假设集合 B 是“好集”,因为-1∈B,1∈B,所以-1-1= -2∈B, 这与-2?B 矛盾. (2)有理数集 Q 是“好集”, 因为 0∈Q,1∈Q, 对任意的 x∈Q, y∈Q, 1 有 x-y∈Q,且 x≠0 时, ∈Q,所以有理数集 Q 是“好集”.(3)因为集合 A 是“好集”, x )

所以 0∈A,若 x∈A,y∈A,则 0-y∈A,即-y∈A,所以 x-(-y)∈A,即 x+y∈A. 思维升华 解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:(1)紧扣新定义.首先分析新定义 的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破 解新定义型集合问题难点的关键所在;(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以 使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质. (2015· 湖北)已知集合 A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2, x,y∈Z},定义集合 A?B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则 A?B 中元素的 个数为( )

A.77B.49C.45D.30 答案 C 解析

如图,集合 A 表示如图所示的所有圆点“”,集合 B 表示如图所示的所有圆点“”+所有圆 点“”,集合 A?B 显然是集合{(x,y)||x|≤3,|y|≤3,x,y∈Z}中除去四个点{(-3,-3),(- 3,3),(3,-3),(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),即集合 A?B 表示 如图所示的所有圆点“”+所有圆点“”+所有圆点“”,共 45 个.故 A?B 中元素的个数 为 45.故选 C.

1.遗忘空集致误 典例 设集合 A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R}.若 B?A,则实数 a 的 取值范围是________. 易错分析 集合 B 为方程 x2+2(a+1)x+a2-1=0 的实数根所构成的集合,由 B?A,可知集 合 B 中的元素都在集合 A 中,在解题中容易忽视方程无解,即 B=?的情况,导致漏解. 解析 因为 A={0,-4},所以 B?A 分以下三种情况: ①当 B=A 时,B={0,-4},由此知 0 和-4 是方程 x2+2(a+1)x+a2-1=0 的两个根,由 根与系数的关系,得 Δ=4?a+1? -4?a -1?>0, ? ? ?-2?a+1?=-4, ? ?a2-1=0,
2 2

解得 a=1;

②当 B≠?且 B?A 时,B={0}或 B={-4}, 并且 Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0, 解得 a=-1,此时 B={0}满足题意; ③当 B=?时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得 a<-1. 综上所述,所求实数 a 的取值范围是 a≤-1 或 a=1. 答案 (-∞,-1]∪{1} 温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容.解答此类问题的关键是抓住 集合间的关系以及集合元素的特征. (2)已知集合 B,若已知 A?B 或 A∩B=?,则考生很容易忽视 A=?而造成漏解.在解题过程 中应根据集合 A 分三种情况进行讨论.

[方法与技巧] 1. 集合中的元素的三个特征, 特别是无序性和互异性在解题时经常用到. 解题后要进行检验, 要重视符号语言与文字语言之间的相互转化. 2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求 其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号能否取到. 3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助 Venn 图.这是数形结合思想的又 一体现. [失误与防范] 1. 解题中要明确集合中元素的特征, 关注集合的代表元素(集合是点集、 数集还是图形集). 对 可以化简的集合要先化简再研究其关系运算. 2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解. 3.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系. 4.Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示 法时要特别注意端点是实心还是空心.

A组
1.下列集合中表示同一集合的是( A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={2,3},N={3,2} )

专项基础训练

(时间:30 分钟)

C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={2,3},N={(2,3)} 答案 B 解析 选项 A 中的集合 M 表示由点(3,2)所组成的单点集,集合 N 表示由点(2,3)所组成的单 点集,故集合 M 与 N 不是同一个集合.选项 C 中的集合 M 表示由直线 x+y=1 上的所有点 组成的集合,集合 N 表示由直线 x+y=1 上的所有点的纵坐标组成的集合,即 N={y|x+y= 1}=R,故集合 M 与 N 不是同一个集合.选项 D 中的集合 M 是数集,而集合 N 是点集,故 集合 M 与 N 不是同一个集合. 对选项 B, 由集合元素的无序性, 可知 M, N 表示同一个集合. 2.(2015· 浙江)已知集合 P={x|x2-2x≥3},Q={x|2<x<4},则 P∩Q 等于( A.[3,4) B.(2,3]C.(-1,2) D.(-1,3] 答案 A 解析 ∵P={x|x≥3 或 x≤-1},Q={x|2<x<4}. ∴P∩Q={x|3≤x<4}.故选 A. 3.(2015· 课标全国Ⅰ)已知集合 A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合 A∩B 中 元素的个数为( ) )

A.5B.4C.3D.2 答案 D 解析 A={?,5,8,11,14,17,?},B={6,8,10,12,14},集合 A∩B 中有两个元素. 4.(2015· 课标全国Ⅱ)已知集合 A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则 A∩B 等于 ( ) B.{0,1} D.{0,1,2}

A.{-1,0} C.{-1,0,1} 答案 A

解析 由 A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0}={x|-2<x<1},得 A∩B={-1,0}, 故选 A. 5.设集合 M={y|y=2sinx,-5≤x≤5},N={x|y=log2(x-1)},则 M∩N 等于( A.{x|1<x<5} C.{x|-2≤x≤0} 答案 D 解析 M={y|y=2sinx,-5≤x≤5}={y|-2≤y≤2}, N={x|y=log2(x-1)}={x|x>1},∴M∩N={y|-2≤y≤2}∩{x|x>1}={x|1<x≤2}.故选 D. 6.设集合 A={3,x2},B={x,y},若 A∩B={2},则 y 的值为( A.1 C.4 B.2 D.3 ) B.{x|-1<x≤0} D.{x|1<x≤2} )

答案 B 解析 由 A∩B={2}得 x2=2,∴x=± 2,故 y=2. 7.已知集合 M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则 P 的子集共有( A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个 答案 B 解析 ∵M={0,1,2,3,4},N={1,3,5}, ∴M∩N={1,3}. ∴M∩N 的子集共有 22=4 个. 8.已知集合 A={x|-1<x<0},B={x|x≤a},若 A?B,则 a 的取值范围为( A.(-∞,0] C.(-∞,0) 答案 B 解析 用数轴表示集合 A,B(如图), B.[0,+∞) D.(0,+∞) ) )

由 A?B 得 a≥0. 9.已知集合 A={x|x2-2x+a>0},且 1?A,则实数 a 的取值范围是________. 答案 (-∞,1] 解析 ∵1?{x|x2-2x+a>0},∴1∈{x|x2-2x+a≤0},即 1-2+a≤0,∴a≤1. 10.已知 U=R,集合 A={x|x2-x-2=0},B={x|mx+1=0},B∩(?UA)=?,则 m 的可能取 值组成的集合为________. 1 答案 {0,1,- } 2 1 解析 A={-1,2},B=?时,m=0;B={-1}时,m=1;B={2}时,m=- . 2 11. 已知集合 A={(0,1), (1,1), (-1,2)}, B={(x, y)|x+y-1=0, x, y∈Z}, 则 A∩B=________. 答案 {(0,1),(-1,2)} 解析 A、B 都表示点集,A∩B 即是由 A 中在直线 x+y-1=0 上的所有点组成的集合,代入 验证即可. 12.已知集合 A={x∈R||x+2|<3},集合 B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且 A∩B=(-1,n),则 m=________,n=________. 答案 -1 1 解析 A={x∈R||x+2|<3}={x∈R|-5<x<1}, 由 A∩B=(-1,n)可知 m<1, 则 B={x|m<x<2},画出数轴,可得 m=-1,n=1.

B 组 专项能力提升
(时间:15 分钟) 13.已知集合 A={(x,y)|y=log2x},B={(x,y)|y=x2-2x},则 A∩B 的元素有( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 答案 B 解析 在同一直角坐标系下画出函数 y=log2x 与 y=x2-2x 的图象,如图所示: )

由图可知 y=log2x 与 y=x2-2x 图象有两个交点, 则 A∩B 的元素有 2 个. 14.(2015· 山东桓台第二中学检测)全集 U=R,集合 A={x|x2-3x+2>0},B={x|x-a≤0}, 若?UB?A,则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,1) C.[1,+∞) 答案 D 解析 A={x|x2-3x+2>0}=(-∞,1)∪(2,+∞),B={x|x≤a},则?UB=(a,+∞).∵(a, +∞)?(-∞,1)∪(2,+∞),∴a≥2.故选 D. x-5 15. 定义在 R 上的运算?: x?y= .若关于 x 的不等式 x?(x+3-a)>0 的解集为 A, B=[- 2-y 3,3],若 A∩B=?,则 a 的取值范围是________. 答案 [4,+∞) x-5 x-5 解析 x?(x+3-a)>0? <0.由 A∩B=?得,当 x∈[-3,3]时, ≥0 或 x+1-a x+1-a x+1-a =0, 由于在[-3,3]上, x-5<0, 所以 x+1-a≤0, 即 a≥x+1 在[-3, 3]上恒成立, 所以 a≥4. 2 ? ? 16.已知全集 U={-2,-1,0,1,2},集合 A=?x|x=n-1,x,n∈Z?,则?UA=________.
? ?

)

B.(-∞,2] D.[2,+∞)

答案 {0} 2 ? ? 解析 因为 A=?x|x=n-1,x,n∈Z?,
? ?

当 n=0 时,x=-2;n=1 时不合题意; n=2 时,x=2;n=3 时,x=1; n≥4 时,x?Z;n=-1 时,x=-1;

n≤-2 时,x?Z.故 A={-2,2,1,-1}, 又 U={-2,-1,0,1,2},所以?UA={0}. 17. 已知集合 A={x|1≤x<5}, C={x|-a<x≤a+3}. 若 C∩A=C, 则 a 的取值范围是________. 答案 (-∞,-1] 解析 因为 C∩A=C,所以 C?A. 3 ①当 C=?时,满足 C?A,此时-a≥a+3,得 a≤- ; 2 -a<a+3, ? ? ②当 C≠?时,要使 C?A,则?-a≥1, ? ?a+3<5, 3 解得- <a≤-1. 2 综上,a 的取值范围是(-∞,-1]. 18.已知集合 A={(x,y)|y=a},B={(x,y)|y=bx+1,b>0,b≠1},若集合 A∩B 只有一个 真子集,则实数 a 的取值范围是________. 答案 (1,+∞) 解析 由于集合 B 中的元素是指数函数 y=bx 的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图 象上的所有点,要使集合 A∩B 只有一个真子集,那么 y=bx+1(b>0,b≠1)与 y=a 的图象只 能有一个交点,所以实数 a 的取值范围是(1,+∞).


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