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4.2.2圆的切线方程


掌握圆的切线方程的 类型,及求切线方程 的方法。

直线与圆的位置关系及判别方法 : y y
y
d d r
d

O

x

O

r

x

O

r

x

相交
几何法 d < r 代数法 Δ> 0

相切 d=r

相离 d>r Δ< 0

Δ= 0

圆的切线方程的几种基本类型:
1.过圆上一点的切线方程 2.过圆外一点的切线方程

3.已知斜率的切线方程

一、过圆上一点的切线方程:
结论一: 过圆 x ? y ? r 上一点 M ( x0 , y0 ) 切线
2 2 2

方程是

x0 x ? y0 y ? r

2

y

M ( x0 , y0 )
O

x

结论二:

过圆( x ? a) ? ( y ? b) ? r 上一点( x0 , y0 )的切
2 2 2

线方程为:
y

( x0 ? a)( x ? a) ? ( y0 ? b)( y ? b) ? r .
2

M ( x0 , y0 )
(a,b)

O

x

结论三:

过圆x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0上一点( x0 , y0 )的切线 x ? x0 y ? y0 方程为: xx0 ? yy0 ? D ?E ? F ? 0. y 2 2
2 2

M ( x0 , y0 )

O

x

例1: 求与圆x ? y ? 13切于P(?3, 2)
2 2

点的切线方程。 解: ? P(?3,2)是切点

? 可直接写出切线方程: ? 3x ? 2 y ? 13 ? 3x ? 2 y ? 13 ? 0

二、过圆外一点的切线方程:
设切线方程为 y-yo= k(x-xo) 圆心到切线的距离等于圆半径 (1) 利用 _______________________________ 待定 k; 联立方程组消去一元后判别式等于零 (2) 利用 _______________________________ 待定 k; 注:此时切线一般有两条,故 k 有二解, k 不存在 若只求出一解,需考虑 ___________

例2 : 求过点A( 2,4)向圆x ? y ? 4所引
2 2

的切线方程。
解:设所求圆的切线方 程为: y ? 4 ? k ( x ? 2) ?圆心?0,0?, r ? 2, kx ? y ? 4 ? 2k ? 0

y A( 2 ,4 )

o

x

?

k ? 0 ? 0 ? 4 ? 2k 1? k
2

3 ? 2? k ? 4

但斜率不存在时, x?2 故切线方程为 3: x ? 4 y ? 10 ? 0或x ? 2

补充:过圆外一点P ? x0 , y0 ?引圆? 标准方程、一般方程? 的切线长为: d?

? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ?
2 2 0 2 0

2

?r

2

? x ? y ? Dx0 ? Ey0 ? F

练习: 过点A( 2,4)向圆x ? y ? 4引切线,
2 2

求切线长。

y A( 2 ,4 )
2 2

d ? x0 ? y0 ? 4 ? 2 ?4 ?4
2 2

o

x

? 4 ?4

2

三、已知斜率的切线方程:
例3 : 设圆的方程为x ? y ? 13, 它与斜率 2 为 ? 的直线相切,求切线方程。 3 2 解:设圆的切线方程为 :y ? ? x ? b 3 ?0,0?, r ? 13,2 x ? 3 y ? 3b ? 0 ?圆心
2 2

?

0 ? 0 ? 3b

22 ? 32 ?圆 的 切 线 方 程 为 2: x ? 3 y ? 13 ? 0或2 x ? 3 y ? 13 ? 0

13 ? 13 ? b ? ? 3

已知直线L:y=x+b与曲线C:y ? 1 ? x
y

2

有两个不同的公共点,求实数b的取值范围。

1? b ? 2
B

l2 l1

A o

x

【总一总★成竹在胸】
圆的切线
几何法 代数法

圆上一点

圆外一点

斜率已知

结论1

结论2

结论3 应用

1、预习圆和圆有哪几种的 位置关系; 2、预习圆和圆的位置关系 的判定方法。


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