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2015届高考数学总复习第二章 第十五节用导数解决生活中的优化问题课件 理


第二章 第十五节 用导数解决生活中的 优化问题 利润最大问题 【例1】 某工厂每天生产某种产品最多不超过40件,产品的 ,每生 正品率P与日产量x(x∈N*)件之间的关系为P= 产一件正品盈利4 000元,每出现一件次品亏损2 000元.(注: 正品率=产品中的正品件数÷产品总件数×100%) (1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数; (2) 该厂的日产量为多

少件时,日利润最大?并求出日利润的 最大值. 自主解答: 解析:(1)∵y=4 000· =3 600x- x3 , · x-2 000· · x ∴所求的函数关系式是y=- x3+3 600x(x∈N*,1≤x≤40). (2)由(1)知y′=3 600-4x2. 令y′=0,解得x=30. ∴当1≤x<30时,y′>0; 当30<x≤40时,y′<0. ∴函数y=- x3+3 600x(x∈N*,1≤x≤40)在(1,30)上是单调递 增函数,在(30,40)上是单调递减函数. ∴当x=30时,函数y=- x3+3 600x(x∈N*,1≤x≤40)取得 最大值,最大值为- ×303+3 600×30=72 000(元). ∴该厂的日产量为30件时,日利润最大,最大值为72 000元. 点评:(1)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤: ①分析实际问题中各量之间的关系,构造出实际问题的 数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系 y =f(x) ,并 根据实际意义确定定义域; ②求函数y=f(x)的导数f′(x),解方程f ′(x)=0得出定 义域内的实根,确定极值点; ③比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小,获得 所求的最大(小)值; ④还原到实际问题中作答. (2) 在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点, 则只需根据实际情况判断是最大值还是最小值即可,不必再 与端点的函数值比较. 变式探究 1.(2012· 泉州检测) 某公司生产一种产品,每生产1 千件需 投入成本81万元,每千件的销售收入R(x)(单位:万元)与年产量 x(单位:千件)满足关系:R(x)=-x2+324(0<x≤10).该公司为 了在生产中获得最大利润(年利润=年销售收入-年总成本),则 年产量应为( A.5千件 C.9千件 ) B.6 千件 D.10千件 解析: 依题意,年利润 y = x( - x2 + 324) - 81x =- x3 + 243x(0<x≤10) ,求导得 y′ =- 3x2 + 243 ,令 y′ = 0 ,得 x = 9(舍去负值),因为0<x<9时,y′>0,x>9时,y′<0,所以当x =9时,y有最大值.故选C. 答案:C 与分段函数有关的优化问题 【例2】 (2013· 佛山、江门二模)某水域一艘装载浓硫酸的货船 发生侧翻,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染.为减少对环 境的影响,环保部门迅速反应,及时向污染河道投入固体碱,1 个单位的固体碱在水中逐渐溶化,水中的碱浓度f(x)与时间x(小 时)的关系可近似地表示为:f(x)= 只有 1 当污染河道水中碱的浓度不低于 时,才能对污染产生有效的 3 抑制作用. (1) 如果只投放 1个单位的固体碱,则能够维持有效的抑 制作用的时间有多长? (2) 第一次投放 1单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓 度减少到时,马上再投放1个单位的固体碱,设第二次投放后 水 中 碱 浓 度 为 g(x) , 求 g(x) 的 函 数 式 及 水 中 碱 浓 度 的 最

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