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幂函数习题精选精讲


幂函数
一、分类讨论的思想 例1 已知函数 y ? x
n2 ? 2 n ?3

(n ? Z) 的图象与两坐标轴都无公共点,且其图象关于 y 轴对称,求 n 的值,并画出函数的图象.

二、数形结合的思想

1? ? 4? ? 问当 x 为何值时有: (1) f ( x) ? g ( x) ; (2) f ( x) ? g ( x) ; (3) f ( x) ? g ( x) .
例2

已知点 ( 2, 2) 在幂函数 f ( x) 的图象上,点 ? ?2, ? ,在幂函数 g ( x) 的图象上.

三、转化的数学思想 例3 函数 y ? (mx ? 4 x ? m ? 2)
2 ? 1 4

? (m2 ? mx ? 1) 的定义域是全体实数,则实数 m 的取值范围是(

) .

A. ( 5 ? 1 , 2) B. ( 5 ? 1 , ? ∞)

2) C. (?2,
D. (?1 ? 5 , ? 1 ? 5) 幂函数中的三类讨论题 类型一:求参数的取值范围 例1 已知函数 f ( x) ? x
?2 m2 ? m ?3

(m ? Z) 为偶函数,且 f (3) ? f (5) ,求 m 的值,并确定 f ( x) 的解析式.

类型二:求解存在性问题 例2

? 4? 是 已知函数 f ( x) ? x , 设函数 g ( x) ? ?qf [ f ( x)] ? (2q ? 1) f ( x) ? 1 , 问是否存在实数 q(q ? 0) , 使得 g ( x) 在区间 ? ?∞,
2

0) 上是增函数?若存在,请求出来;若不存在,请说明理由. 减函数,且在区间 (?4,

类型三:类比幂函数性质,讨论函数值的变化情况

例3

讨论函数 y ? (k ? k ) x
2

k 2 ? 2k ?1

在 x ? 0 时随着 x 的增大其函数值的变化情况.

幂函数习题 例1 若 (m ? 1)
?1

? (3 ? 2m)?1 ,试求实数 m 的取值范围.

例2

若 (m ? 1) ? (3 ? 2m) ,试求实数 m 的取值范围.
3 3

例 3 若 (m ? 1) 2 ? (3 ? 2m) 2 ,试求实数 m 的取值范围.

1

1

例4

若 (m ? 1) ? (3 ? 2m) ,试求实数 m 的取值范围.
4 4

总结

对于形如 [ f ( x)] ? [ g ( x)] ( ? 是常数)型的不等式的解法有了以下体会:

?

?

(1)当 ? ? ?1 , ? , ? , ,解法同例 1 (2)当 ? ? 1 , 3,, 5,, ,解法同例 2

1 3

1 5

1 3

1 5

1 1 1 2 4 6 ? 4, ? 6, ,解法同例 4. (4)当 ? ? ?2,

(3)当 ? ? ? , ,解法同例 3 ? , ? ,,


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