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高二文科数学1-2分类解析


高中数学必做 100 题—选修 1-2
班级: 姓名: (说明: 《选修 1-2》部分共精选 8 题, “◎”表示教材精选, “☆”表示《精讲精练.选修 1-2》精选) 1. 考点:①会画散点图②能利用公式求线性回归方程 某种产品的广告费用支出 x (万元)与销售额 y (万元)之间有如下的对应数据: (1)画出散点图; x 2 4 5 6 8 (2)求回归直线方程;

y 30 40 60 50 70 (3)据此估计广告费用为 9 万元时,销售收入 y 的值.

? ? bx ? a , 其 中 参考公式: 回归直线的方程 y
b?

? ( xi ? x )( yi ? y )
i ?1

n

?(x ? x )
i ?1 i

n

?

?x y
i ?1 n

n

i i 2 i

? nx y ? nx
2

2

?x
i ?1

, a ? y ? bx .

解: (1)作出散点图如下图所示:

1 1 (2) x ? ? (2 ? 4 ? 5 ? 6 ? 8) ? 5 , y ? ? (30 ? 40 ? 60 ? 50 ? 70) ? 50 , 5 5 2 2 x ? 145 y ? 13500 x y ? 1380 . ? i ,? i ,? i i ? ? ? xi yi ? 5 x y ? 1380 ? 5 ? 5 ? 50 ? 6.5 , a ? ? y ? bx ? 50 ? 6.5 ? 5 ? 17.5 . b 2 2 2 145 ? 5 ? 5 ? xi ? 5 x
y ? 6.5 x ? 17.5 ; 因此回归直线方程为 ? (3) x ? 9 时,预报 y 的值为 y ? 9 ? 6.5 ? 17.5 ? 76 (万元) .
2. 考点:①会根据数据绘制 2 ? 2 列连表②能利用公式判断两个量之间的相关性(独立性检验) 甲乙两个班级均为 40 人,进行一门考试后,按学生考试成绩及格与不及格进行统计,甲班及格人数为 36 人,乙班及格人数为 24 人. (1)根据以上数据建立一个 2 ? 2 的列联表; (2)试判断是否成绩与班级是否有关? (◎P17 练习改编) n(ad ? bc)2 参考公式: K 2 ? ;n ? a ?b?c?d (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) P(K2>k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83 解: (1)2× 2 列联表如下: 不及格 甲班 乙班 总计 (2) K 2 ? 4 (a) 16 (c) 20 及格 36 (b) 24 (d ) 60 总计 40 40 80

n(ad ? bc)2 80 ? (4 ? 24 ? 16 ? 36) 2 ? ? 9.6 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 40 ? 40 ? 20 ? 60
1

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由 P( K 2 ? 7.879) ? 0.005 ,所以有 99.5%的把握认为“成绩与班级有关系”. 3. 考点:合情推理及证明 1 已知 f ( x) ? x ,分别求 f (0) ? f (1) , f (?1) ? f (2) , f (?2) ? f (3) ,然后归纳猜想一般性结论,并 3 ? 3 证明你的结论. 1 解:由 f ( x) ? x ,得 3 ? 3

f (0) ? f (1) ?

1 3 ? 3
0

?

1 3 ? 3
1

?

3 1 1 3 ; f (?1) ? f (2) ? ?1 ; ? 2 ? 3 3 3 ? 3 3 ? 3 ? 3 . 3

f (?2) ? f (3) ?

1 3 ? 3
?2

?

1 3 ? 3
3

归纳猜想一般性结论为 f (? x) ? f (1 ? x) ? 证明如下:

3 . 3

f (? x) ? f ( x ? 1) ?

1 1 3x 1 ? ? ? x ?1 ?x x ?1 x 3 ? 3 3 ? 3 1 ? 3 ?3 3 ? 3 x 3?3 1 3?3x ? 1 3 ?3x ? 1 3 ? ? ? ? ? x ?1 x ?1 x ?1 x 3?3 3 ? 3 3 ?3 3(1 ? 3 ?3 ) 3

4. (同上)考点:合情推理及证明

1 r (a ? b ? c) ,根据类 2 比思想,若四面体的内切球半径为 R,四个面的面积分别为 S1 , S2 , S3 , S4 ,则此四面体的体积 V= . (2) ( 2003 年 全 国 卷 ) 在 平 面 几 何 里 有 勾 股 定 理 : “ 设 ?ABC 的 两 边 A B, A C互 相 垂 直 , 则 2 2 2 AB ? AC ? BC .” 拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积之间的 关系, 可以得出的正确结论是: “设三棱锥 A ? BCD 的三侧面 ABC, ACD, ADB 两两垂直, 则 .”
(1)若三角形的内切圆半径为 r,三边的长分别为 a,b,c,则三角形的面积 S ? 解: (1)设四面体内切球的球心为 O,则球心 O 到四个面 S1 , S2 , S3 , S4 的距离都是 R,所以四面体的体积 等于以 O 为顶点,分别以 S1 , S2 , S3 , S4 为底面的四个三棱锥体积的和.

1 所以, V ? R( S1 ? S2 ? S3 ? S4 ) . 3 2 2 2 2 (2)线的关系类比到面的关系,猜测: S? BCD ? S?ABC ? S?ACD ? S?ADB . 证明如下: 如图作 AE ? CD 连 BE ,则 BE ? CD . 1 1 1 2 2 2 2 2 S? CD2 ? BE 2 ? CD2 ( AB 2 ? AE 2 ) ? ( AC 2 ? AD2 ) AB 2 ? S? ACD ? S?ABC ? S?ACD ? S?ADB BCD ? 4 4 4
5. 考点:综合法、分析法、反证法的步骤和格式 试分别用综合法、分析法、反证法等三种方法,证明下列结论: 已知 0 ? a ? 1 ,则

1 4 ? ?9. a 1? a

?0 ? a ? 1 1 4 1 ? 3a ? ?9? ?9? ? 2 a 1? a a(1 ? a) ?1 ? 3a ? 9a(1 ? a) ? (3a ? 1) ? 0 1 4 1 ? 3a 【反证法】 :假设 ? ? 9. ? 9 ,通分得 a (1 ? a ) a 1? a
解: 【分析法】 : ∵ 0 ? a ? 1 , ∴ 1 ? 3a ? 9a(1 ? a) , 整理得 (3a ? 1)2 ? 0 ,这与平方数不小于 0 矛盾.

2

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1 4 ? ?9. a 1? a 【综合法】 :由 (3a ? 1)2 ? 0 ,变形得 1 ? 3a ? 9a(1 ? a) . 1 4 1 ? 3a ∵ 0 ? a ?1, ∴ ? 9, 即 ? ?9. a (1 ? a ) a 1? a
∴ 假设不成立, 则 6.考点:证明方法的合理利用 已知 x, y ? k? ?

?

2

(k ? Z ) , sin x是 sin ? , cos? 的等差中项, sin y 是 sin ? ,cos? 的等比中项.

2(1 ? tan 2 x) 1 ? tan 2 y 1 求证: (1) cos 2 x ? cos 2 y ; (2) . (☆P18 9,◎P43 例 6) ? 1 ? tan 2 x 1 ? tan 2 y 2 6. 证明: (1)∵ sin ? 与 cos? 的等差中项是 sin x ,等比中项是 sin y ,

∴ sin? ? cos? ? 2sin x ,
2


2

sin ? cos? ? sin 2 y ,
2


2

① -②×2,可得 (sin ? ? cos? ) ? 2sin ? cos? ? 4sin x ? 2sin y , 即 4sin 2 x ? 2sin 2 y ? 1 . 1 ? cos 2 x 1 ? cos 2 y 1 ∴ 4? ? 2? ? 1 , 即 2 ? 2cos 2 x ? (1 ? cos 2 y) ? 1 .故证得 cos 2 x ? cos 2 y . 2 2 2 2 2 sin y sin x 1? 1? 2 1 ? tan 2 x 1 ? tan 2 y cos 2 y cos x (2)要证 ,只需证 , ? ? 2 2 2 1 ? tan x 2(1 ? tan y) sin x sin 2 y 1? 2(1 ? ) cos 2 x cos 2 y 即证
cos2 x ? sin 2 x cos 2 y ? sin 2 y 1 1 ,即证 cos2 x ? sin 2 x ? (cos2 y ? sin 2 y) ,只需证 cos 2 x ? cos 2 y . ? 2 2 2 2 cos x ? sin x 2(cos y ? sin y) 2 2

1 由(1)的结论, cos 2 x ? cos 2 y 显然成立. 2

所以,

2(1 ? tan 2 x) 1 ? tan 2 y . ? 1 ? tan 2 x 1 ? tan 2 y

7.考点:①复数的运算②复数的共轭 (1)已知 z1 ? 5 ? 10i , z2 ? 3 ? 4i , (2)已知 (1 ? 2i) z ? 4 ? 3i ,求 z 及

1 1 1 ? ? ,求 z. (◎P65 3) z z1 z2

z . (◎P65 B1) z 1 1 5 ? 10i 1 ? 2i 1 1 3 ? 4i 解: (1)? ? , ? ? ? ? z1 5 ? 10i (5 ? 10i)(5 ? 10i) 25 z2 3 ? 4i 25 25 25(4 ? 2i) 5 1 1 4 ? 2i ,故 z ? ? ? ? ? ?5? i z1 z2 25 4 ? 2i 20 2 4 ? 3i 10 ? 5i (2)? z ? ? ? 2?i 1 ? 2i 5 z 2 ? i 3 ? 4i ? z ? 2 ? i, ? ? 5 z 2?i
8. 考点:复数的几何意义(对应复平面上的点) z 已知 z 是复数,z+2i、 均为实数,且复数 ( z ? ai ) 2 在复平面上对应的点在第一象限,求实数 a 的取值 2?i 范围. 解:根据题意,设复数 z=c+di, 则 z+2i=c+(d+2)i 为实数,即 d ? 2 ? 0, 解得d ? ?2 ,解得 所以 z ? c ? 2i .
书山有路勤为径 3

z c ? 2i 2c ? 2 ? (c ? 4)i c?4 为实数,即 ? ? ? 0, 解得c ? 4, 所以z ? 4 ? 2i . 2?i 2?i 5 5 而 ( z ? ai)2 ? (4 ? 2i ? ai)2 ? 16 ? (2 ? a)2 ? 8(2 ? a)i 对应的点在第一象限,


?16 ? (2 ? a) 2 ? 0 ??2 ? a ? 6 ?? ?? , 解得 2<a<6. ?a ? 2 ? ?8(2 ? a) ? 0 所以实数 a 的取值范围是 2<a<6.

9. 考点:利用空间向量解决立体几何问题(涉及空间直角坐标系的建立、空间点坐标的表示、空间向量 数量积的运算、平面向量定理、空间向量垂直的判定) ??? ? ??? ? 3 如图,PD 垂直正方形 ABCD 所在平面,AB=2,E 是 PB 的中点, cos ? DP , AE ) ? . 3 (1)建立适当的空间坐标系,写出点 E 的坐标; (2)在平面 PAD 内求一点 F,使 EF⊥平面 PCB. 解: (1)以 DA、DC、DP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间坐标系,则 A(2,0,0) ,B(2,2,0) ,C(0,2,0). 设 P(0,0,2m) ,则 E(1,1,m). ??? ? ??? ? ∴ AE ? (-1,1,m) , DP =(0,0,2m) , 2 ??? ? ??? ? 2m 3 ∴ cos ? DP , AE ?? ,解得 m ? 1 . ? 2 3 1 ? 1 ? m ? 2m ∴ 点 E 坐标是(1,1,1). ??? ? (2)∵ F ? 平面 PAD, ∴ 可设 F(x,0,z) ? EF =(x-1,-1,z-1). ??? ? ??? ? ∵ EF⊥平面 PCB ,∴ EF ? CB ? ( x ? 1 ,-1, z ? 1) ?( 2,0, 0) ? 0 ? x ? 1 . ??? ? ??? ? ∵ EF ? PC , ∴ ( x ? 1 ,-1, z ? 1) ? ( 0,2,-2 ) ? 0 ? z ? 0 . ∴ 点 F 的坐标是(1,0,0) ,即点 F 是 AD 的中点. ??? ? ???? ??? ? ??? ? 另解:由平面向量定理,设 DF ? aDP ? bDA ,即 F (2b,0,2a),? EF ? (2b ? 1, ?1,2a ? 1) ??? ? ??? ? ?a ? 0 ??? ? ? 4 b?2 ?0 ? ? E F? B C?0 ? ? ? E F? 面 P C ? B ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? 1 ,即 F ?1,0,0 ? a? 2 ? 0 ?b ? ? 0 ? ?2 ? 4 ? ? E F? P C 2 ?

10. 考点:①求概率②求随机变量的分布列和期望 (07 年北京高考.理 18) 某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动 (以下简称活动) . 该 校合唱团共有 100 名学生,他们参加活动的次数统计如图所示. (1)求合唱团学生参加活动的人均次数; (2)从合唱团中任意选两名学生,求他们参加活动次数恰好相等的概率. 解:由图可知,参加活动 1 次、2 次和 3 次的学生人数分别为 10、 50 和 40. (1)该合唱团学生参加活动的人均次数为 1 ? 10 ? 2 ? 50 ? 3 ? 40 230 ? ? 2.3 . 100 100 10 ? 9 ? 50 ? 49 ? 40 ? 39 41 (2) 从合唱团中任选两名学生, 他们参加活动次数恰好相等的概率为 P0 ? . ? 100 ? 99 99

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11. 考点:数学归纳法(步骤) 数列 ?an ? 满足 Sn ? 2n ? an , n ? N ? . ( S n 为前 n 项和) (1)计算 a1 , a2 , a3 , a4 ,并由此猜想 an ; (2)用数学归纳法证明(1)中的结论. 解: (1) a1 ? s1 ? 2 ? a1 ,? a1 ? 1 ,

3 7 , s3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 2 ? 3 ? a3 ,? a3 ? , 2 4 15 s4 ? s3 ? a4, ? 2 ? 4 ? a4 ? s3 ? a4 , a4 ? , 8 1 * 猜想 an ? 2 ? n?1 (n ? N . ) 2 1 (2)证明:①当 n=1 时, a1 ? 2 ? 1?1 ? 1 ? 1 ? 1 ,猜想结论成立. 2 1 ②假设当 n ? k (k ? 1) 时结论成立,即 ak ? 2 ? k ?1 . 2 当 n=k+1 时 ak ?1 ? sk ?1 ? sk =2 (k ? 1) ? ak ?1 ? 2k ? ak ,
s2 ? a 1? a 2? 2 ? 2 ? a , 2 ? a2 ?

ak 1 1 = 1 ? 1 ? k ? 2 ? ( k ?1) ?1 . 2 2 2 所以当 n=k+1 时,猜想结论成立.
2ak ?1 ? 2 ? ak , ak ?1 ? 1 ?
由(1)和(2)可知,对一切 n(n ? N * ) 结论成立.

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