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2012-2013高二数学必修2月考(教师版)


北京宏志中学高二年级月考数学试题
班级 姓名 考号

2012.10.10 成绩 B )

一、选择题 1.设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是(

A.若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? B.若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? C.若 l //? , m ? ? ,则 l //m D.若 l //? , m//? ,则 l //m 2.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( B ) A.2 B.1 C.

2 3

D.

1 3

3.下列命题正确的是(C ) A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 4.平面 ? 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 ? 的距离为 2, 则此球的体积 B A. 6π B.4 3π C.4 6π D.6 3π
?

5.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45 ,腰和上底边均为 1 的等腰 梯形,则这个平面图形的面积是 A. (B ) C. 1 ? 2 D. 1 ?

1 2 ? 2 2

B. 2 ? 2

2 2

6.如图在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在 ( A ) A.直线 AB 上 B.直线 BC 上 C.直线 AC 上 D.△ABC 内部 解析:由 AC⊥AB,AC⊥BC1,得 AC⊥平面 ABC1,AC? 平面 ABC,∴平面 ABC1⊥平面 ABC,C1 在面 ABC 上的射影 H 必在二平面交线 AB 上. 二、填空题 7. 如图, 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, ? AD ? 3cm ,AA1 ? 2cm , AB 则四棱锥 A ? BB1 D1 D 的体积为 6 cm3.

8.已知正方体的棱长为 a ,半径为 R1 的球与该正方体各面都相切, 该正方体的各个顶点在半径为 R2 的球上,则 R1 : R2 = 1: 3 9. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的体积为 10. 已知两条不同直线 m 、 l ,两个不同平面 ? 、 ? ,给出下列命题: ①若 l 垂直于 ? 内的两条相交直线,则 l ⊥ ? ;②若 l ∥ ? ,则 l 平行于 ? 内的所有直线; ③若 m ? ? , l ? ? 且 l ⊥ m ,则 ? ⊥ ? ;

3 ? 3



④若 l ? ? , l ? ? ,则 ? ⊥ ? ; ⑤若 m ? ? , l ? ? 且 ? ∥ ? ,则 m ∥ l ; 其中正确命题的序号是 答题卡: 一、选择题: 题号 答案 二、填空题 7. 6 8. 1 B ①④ . (把你认为正确命题的序号都填上)

2 B

3 C

4 B

5 B

6 A

1:

3

9.

3 ? 3

10.

①④

三、解答题 11.如图所示,在长方体 ABCD ? A B C D 中, AB ? AD ? 1 , 1 1 1 1

AA1 ? 2 , M 是棱 CC1 的中点
(Ⅰ)求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值; (Ⅱ)证明:平面 ABM ⊥平面 A1B1M

12.已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P,PA⊥平面 ABCD,E、F 分别是 AB、PC 的中点. (1) 求证:EF∥平面 PAD; (2) 求证:EF⊥CD; (3) 若∠PDA=45° ,求 EF 与平面 ABCD 所成的角的大小.
E

P

F A C D

45°

B

13.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明:PA∥平面 EDB; (2)证明:PB⊥平面 EFD. (3)求二面角 D ? PB ? C 的正切值. 证明: (1)连接 AC, 交 BD 于点 D. AC 连接 EO, 如图. ∵ 底面 ABCD 是正方形. ∴ 点 O 是 AC 的中点. 在△PAC 中,EO 是中位线, ∴ PA∥EO. 而 EO 平面 EDB 且 PA 平面 EDB. 所以 PA∥平面 EDB. (2)∵ PD⊥底面 ABCD 且 DC 底面 ABCD. ∴ PD⊥DC. ∵ PD=DC,可知△PDC 是等腰直角三角形,而 DE 是斜边 PC 的中线, ∴ DE⊥PC.同样由 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥BC. ∵ 底面 ABCD 是正方形,有 DC⊥BC, ∴ BC⊥平面 PDC.而 DE 平面 PDC, ∴ BC⊥ED. 由①和②推得 DE⊥平面 PBC. 而 PB 平面 PBC,∴ DE⊥PB. 又 EF⊥PB 且 DE∩EF=E, ∴ PB⊥平面 EFD. (3) 3 14. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,AD⊥CD,DB 平分∠ADC,E 为 PC 的中点,AD=CD=1,PC= 3 . (1)证明 PA∥平面 BDE; (2)证明 AC⊥平面 PBD; (3)求三棱锥 D ? PAC 的体积

解:(1)证明:设 AC∩BD=H, 连结 EH.在△ADC 中,因为 AD=CD,且 DB 平分 ∠ADC,所以 H 为 AC 的中点. 又由题设,E 为 PC 的中点,故 EH∥PA. 又 EH?平面 BDE 且 PA?平面 BDE, 所以 PA∥平面 BDE. (2)证明:因为 PD⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD, 所以 PD⊥AC. 由(1)可得,DB⊥AC. 又 PD∩DB=D, 故 AC⊥平面 PBD. (3) VD ? PAC ?

2 3


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