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2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学


2015 年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学

绝密★启用前

2015 年普通高等学校招生全国统一考试

理 科 数 学
注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必先将自己的姓名、准考证 号码填写在答题卡上。 2.回答第 I 卷时,选出每小题的答案

后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第 II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1) 已知集合 A={-2,-1,0,1,2} ,B={x|(X-1) (x+2)<0},则 A∩B=( (A) {--1,0} (B) {0,1} (C) {-1,0,1} (D) {,0,,1,2} ) )

(2)若 a 为实数且(2+ai) (a-2i)=-4i,则 a=( (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2

(3) 根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量 (单位: 万吨) 柱形图。 以下结论不正确的是(

)

(A) 逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 (B) 2007 年我国治理二氧化硫排放显现 (C) 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 (D) 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 (4)等比数列{an}满足 a1=3, a1 ? a3 ? a5 =21,则 a3 ? a5 ? a7 ? ( (A)21 (B)42 (C)63 (D)84 )

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(5)设函数 f ( x) ? ? (A)3

?1 ? log 2 (2 ? x), x ? 1,
x ?1 ?2 , x ? 1,

, f (?2) ? f (log 2 12) ? ( (D)12

)

(B)6

(C)9

(6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值 为

(A)

1 8

(B)

1 7

(C)

1 6

(D)

1 5

D1

C1

A1 D

B1 C

A

B

(7)过三点 A(1,3) ,B(4,2) ,C(1,-7)的圆交于 y 轴于 M、N 两点,则 MN = (A)2 6 (B)8 (C)4 6 (D)10

(8)右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图,若输 入 a,b 分别为 14,18,则输出的 a=

A.0

B.2

C.4
2

D.14

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(9)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90,C 为该球面上的动点,若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36,则 球 O 的表面积为 A.36π B.64π C.144π D.256π 10.如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,记∠BOP=x.将动 点 P 到 A、B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x) ,则 f(x)的图像大致为

(11)已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,?ABM 为等腰三角形,且顶角为 120°,则 E 的离心率 为 (A)√5 (B)2 (C)√3 (D)√2

(12)设函数 f’(x)是奇函数 f ( x)( x ? R ) 的导函数,f(-1)=0,当 x ? 0 时, xf ( x) ? f ( x) ? 0 ,则使得 f ( x) ? 0
'

成立的 x 的取值范围是 (A) (C) 二、填空题 (13)设向量 a , b 不平行,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 平行,则实数 ? ? _________. (B) (D)

? x ? y ? 1 ? 0, ? (14)若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0, ,则 z ? x ? y 的最大值为____________. ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?
(15) (a ? x)(1 ? x) 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a ? __________.
4

(16)设 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a1 ? ?1 , an ?1 ? S n S n ?1 ,则 S n ? ________. 三.解答题 (17)?ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠ BAC,?ABD 是?ADC 面积的 2 倍。
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(Ⅰ )求

sin ?B ; sin ?C

(Ⅱ ) 若 AD =1, DC =

2 求 BD 和 AC 的长. 2

(18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 20 个用户,得到用户对产品的满意度 评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ )根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散 程度(不要求计算出具体值,得出结论即可) ; (Ⅱ )根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个不等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

记时间 C:“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根 据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求 C 的概率 19. (本小题满分 12 分) 如图,长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点 E,F 分 别在 A1B1,D1C1 上,A1E = D1F = 4,过点 E,F 的平面 α 与此长方体的面相交, 交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由) ; (2)求直线 AF 与平面 α 所成的角的正弦值。 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C: 9 x2 ? y 2 ? m2 (m ? 0) ,直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M。 (1)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; A B

D1

F

C1

A1

E D

B1 C

m (2)若 l 过点 ( , m) ,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时 l 的斜 3 率;若不能,说明理由。
21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? emx ? x2 ? mx 。 (1)证明: f ( x) 在 (??,0) 单调递减,在 (0, ??) 单调递增; (2)若对于任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ? 1 ,求 m 的取值范围。

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请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时请写清题号 22. (本小题满分 10 分) 选修 4 - 1:几何证明选讲 A 如图, O 为等腰三角形 ABC 内一点,⊙ O 与 ΔABC 的 底边 BC 交于 M, N 两点,与底边上的高 AD 交于点 G,且与 AB,AC 分别相 切于 E,F 两点。 (1)证明:EF∥ BC; G (2)若 AG 等于⊙ O 的半径,且 AE ? MN ? 2 3 ,求 积。 B 23. (本小题满分 10 分) 选修 4 - 4:坐标系与参数方程
? x ? t cos ? 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1: ? (t 为参数,t ≠ 0) ,其中 0 ≤ α < π,在以 O 为极点,x 轴正半轴 ? y ? t sin ?

E O M D

F

四边形 EBCF 的面

N

C

为极轴的极坐标系中,曲线 C2: ? ? 2sin ? ,C3: ? ? 2 3 cos? 。 (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (2)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求 | AB | 的最大值。 24. (本小题满分 10 分) 选修 4 - 5:不等式选讲 设 a,b,c,d 均为正数,且 a + b = c + d,证明: (1)若 ab > cd;则 a ? b ? c ? d ; (2) a ? b ? c ? d 是 | a ? b |?| c ? d | 的充要条件。

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2015年普通高等学校招生全国统一考试新课标2(理科数学)详细解析

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