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高考数学模拟卷2014年河南省郸城一高高三12月月考数学文试题


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高考数学模拟卷 2014 年河南省郸城高三 12 月月考数学文试题
一、选择题(本题共 12 道小题) 1. 已知集合 A. B. C. D.

A ? {x | ?1 ? x ? 2, x ? Z} ,集合 B ? {0, 2, 4}

,则

A ? B 等于





{?1, 0,1, 2, 4} {?1,0, 2, 4}

{0, 2, 4}
{0,1, 2, 4}

2. 已知设 i 是虚数单位,若 A. B. C. D.

1 ? 7i ? a ? bi (a, b ? R ) ,则 a 2 ? b 2 的值是 2?i





8 10 3
2

3. 条件

p : x ? 1, y ? 1,条件 q : x ? y ? 2, xy ? 1 ,则条件 p 是条件 q 的





A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 为了得到函数 A. 向左平移 B. C. D.

y ? sin 2 x 的图象,只需把函数 y ? cos 2 x 的图象





? 4 ? 向右平移 4 ? 向左平移 2 ? 向右平移 2
第 1 页,总 10 页

理科教学贴心服务专家 5. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a2 A. B. C. D.

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? a3 ? ?5, S5 ? ?20, 则 a10 等于(



?90 ?27 ?25

0

6. 已知 x ? 0, y A. B. C. D.

且 9 x ?y ? ?0, x y

, 不等式 ax ?

则正实数 a 的最小值为 y ? 25 对任意正实数 x ,y 恒成立,





3
4

5

6

7. 已知向量 a A. B. C. D.

?

? ? ? ? (cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , ? cos ? ) ,则 | a ? b | 的最大值为





2
2

2 2
4

8. 已知 a 是函数 A. B. C. D.

f ( x) ? 2x ? log2 x 的零点,若 0 ? x0 ? a ,则 f ( x0 ) 的值满足





f ( x0 ) ? 0 f ( x0 ) ? 0 f ( x0 ) ? 0 f ( x0 ) 符号不确定

9. 给出如下四个命题: ①若“

p?q

”为假命题,则

p , q 均为假命题;

第 2 页,总 10 页

理科教学贴心服务专家 ②命题“若

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a ? b ,则 2a ? 2b ? 1 ”的否命题为“若 a ? b ,则 2a ? 2b ? 1 ”;
2

③“ ?x ? R, x ④给出四个函数 A. B. C. D.

? 1 ? 1 ”的否定是“ ?x0 ? R, x02 ? 1 ? 1”
( )

y ? x?1 , y ? x, y ? x2 , y ? x3 ,则在 R 上是增函数的有 3 个.其中不正确的命题个数是

4

3
2 1

10. 已知数列的通项公式为 an

? 2n(n ? N * ) ,把数列 {an } 的各项排列成如图所示的三角形数阵:记 M (s, t ) 表示该数


阵中第 s 行的第 t 个数,则数阵中的偶数 2010 对应于(

A. B. C. D.

M (45,15) M (45, 25) M (46,16) M (46, 25)

11. 已知双曲线 原点.若 OM

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 M a 2 b2
,则双曲线的离心率为 ( )

, N 两点, O 为坐标

? ON

A.

?1 ? 3 3

第 3 页,总 10 页

理科教学贴心服务专家 B.

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1? 3 2 ?1 ? 5 2 1? 5 2

C.

D.

12. 对于函数 时, f

如果存在区间 [m, n] , 同时满足下列条件: ① f ( x ) 在 [m, n] 内是单调的; ②当定义域是 [m, n] y ? f ( x) , 称是该函数的“梦想区间”.若函数

( x) 的值域也是 [m, n] ,则 [m, n ]


1 f ( x) ? a ? (a ? 0) 存在“梦想区间”, x

则 a 的取值范围是( A. B. C. D.

4 ( , 2) 3 3 ( , ??) 2 1 5 ( , ) 2 2

(2, ??)

二、填空题(本题共 4 道小题) 13. 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 形的形状是______.

A, B, C 的对边,且 a, b, c 成等差数列, sin A,sin B,sin C

成等比数列,则三角

14.

?x ? y ?1 ? 0 ? 在平面直角坐标系 xOy 中,设 D 是由不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 表示的区域, E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的 ?y ? 0 ?

区域,向 E 中随机投一点,则所投点落在 D 中的概率是_______.

15. 函数

f ( x) 对任意正整数 a , b 满足条件 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) 且 f (1) ? 2 ,则

f (2) f (4) f (6) f (2014) ? ? ??? ? ________ f (1) f (3) f (5) f (2013)

第 4 页,总 10 页

理科教学贴心服务专家 16. 给出下列命题: ①若 a

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?b

,则
2

1 1 ? 成立的充要条件是 ab ? 0 a b



②若不等式 x ③数列

? ax ? 4 ? 0 对任意 x ? (?1,1) 恒成立,则 a 的取值范围为 (?3,3) ;

{an } 满足 a1 ? 2068 ,且 an?1 ? an ? n2 ? 0(n ? N * ) ,则 a11 ? 2013 ;
x ? 1 ,则

④设 0 ?

a2 b2 2 ? 的最小值为 (a ? b) x 1? x

其中所有真命题的序号是______________.

试卷答案 1. 答案:A 分析:∵ 又∵ B ∴

A ? {x | ?1 ? x ? 2, x ? Z} ,∴ A ? {?1,0,1, 2}

? {0, 2, 4}

A ? B ? {?1,0,1, 2, 4} ,故选 A .

2. 答案:B

分析:∵

1 ? 7i (1 ? 7i)(2 ? i) 2 ? i ? 14i ? 7i 2 ?5 ? 15i ? ? ? ? ?1 ? 3i 2?i (2 ? i)(2 ? i) 5 5



1 ? 7i ? a ? bi (a, b ? R ) ,∴ ?1 ? 3i ? a ? bi , 2?i
? ?1 , b ? 3 ,则 a2 ? b2 ? (?1)2 ? 32 ? 10 .

∴a

故选 B .

3. 答案:A 分析:∵条件

p : x ? 1, y ? 1 ? 条件 q : x ? y ? 2, xy ? 1 ;
? 10 , y ?

则反之不成立:例如取 x 则

1 2



p 是 q 的充分不必要条件.故选 A .

4. 答案:B 第 5 页,总 10 页

理科教学贴心服务专家 分析:由于函数

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y ? sin 2 x ? cos( ? 2 x) ? cos(2 x ? ) ? cos 2( x ? ) , 2 2 4

?

?

?

故把

y ? cos 2 x 的图象向右平移

? 个单位,即可得到函数 y ? sin 2 x 的图象, 4

故选 B .

5. 答案:C 分析:设数列 {an } 的首项为 a1 ,公差为 d ,则 2a1 ? 3d

? ?5,5a1 ? 10d ? ?20 ,所以

a1 ? 2, d ? ?3, a10 ? a1 ? 9d ? ?25 .

6. 答案:B 分析:因为 x ? 0, y

? 0 ,且 x ? y ? xy ,

所以

9 1 ? ?1, y x 9 1 9ax y y ? (ax ? y )( ? ) ? 9 ? a ? ? y x y x

又 ax ?

? 9?a?2

9ax y ? ? 9?a?6 a , y x

当且仅当

9ax y ? 时取等号, y x

由 ax ?

y ? 25 对任意正实数 x, y 恒成立,
; a ? 25 ,解得 a ? 2 ,或 a ? ?8 (舍去)

得9?a?6 所以 a

? 4 ,即 a 的最小值为 4 ;

故选: B .

7. 答案:B 分析:因为 a

?

? ? (cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , ? cos ? ) ,
第 6 页,总 10 页

理科教学贴心服务专家 则| a ? b

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?

?

|? (cos ? ? sin ? ) 2 ? (sin ? ? cos ? ) 2

? 2 ? 2cos? sin ? ? 2sin ? cos ? ? 2 ? 2sin(? ? ? ) ,
因为 ?1 ? sin( ? 所以 2 ? 2sin( ? 所以

?? ) ? 1, ? ? ) ?[0, 4] ,

2 ? 2sin(? ? ? ) ?[0,2] ,
? ?

所以 | a ? b | 最大值为 2 , 故选 B .

8. 答案:C 分析:由于 a 是函数 又因为函数 所以当 0 ?

f ( x) ? 2x ? log2 x 的零点,则 f (a) ? 0 ,

f ( x) ? 2x ? log2 x 在 (0, ??) 上是增函数,
x ? a 时, f ( x) ? f (a) 即 f ( x) ? 0 .

故答案选 C .

9. 答案:B 分析:①若“ ②命题“若 a

p ? q ”为假命题,则 p , q 中至少一个为假命题,故①错误;

? b ,则 2a ? 2b ? 1 ”的否命题为“若 a ? b ,则 2a ? 2b ? 1 ”正确;
2

③“ ?x ? R, x ④四个函数

? 1 ? 1 ”的否定是“ ?x0 ? R, x02 ? 1 ? 1”,故③错误;

y ? x?1 , y ? x, y ? x2 , y ? x3 ,则在 R 上是增函数的有 y ? x 与 y ? x3 ,共 2 个,故④错误;

综上所述,不正确的命题个数是 3 个, 故选: B .

10. 答案:A 分析:设 2010 位于第 n ? 1 行 m 列,即 M (n ? 1, m) , 第 7 页,总 10 页

理科教学贴心服务专家 故前 n 行共有

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n(n ? 1) 个偶数, 2

所以 (n ? 1)(n ? 2) ? 2010 ? n(n ? 1) . 所以 n

? 44 ,又

n( n ? 1) ? m ? 1005 ,所以 m ? 15 ,选 A . 2

11. 答案:D 分析:由题意知三角形 OMN 为等腰直角三角形, 所以

MF ? OF ? c, 所以点 M (c, c),


c2 y 2 b2 当 x=c 时, 2 ? 2 ? 1, 得 | y |? a a b
所以由

y ?

b2 ? c 得 b2 ? ac a

即c

2

? a2 ? ac, c2 ? ac ? a2 ? 0,
2

所以 e

? e ? a ? 0,
1? 5 ,故选 D. 2

解得离心率 e ?

12. 答案:D 分析:∵ (显然若 x ? 0 则 f ? x ? ? 0 矛盾). f ? x ? 在 ? 0, ??? 上为增,

∴?

? ? f ?m? ? m ,故 f ? x ? ? x 在 ? 0, ??? 上有两极 ? ? f ?n? ? n
2

即x ∴?

? ax ? 1 ? 0 在 ? 0, ??? 上有两正极,又 a ? 0

? a 2 ? 4 ? 0 ,∴ a ? 2 .

13. 答案:等边三角形 分析:因为 a, b, c 成等差数列,所以 2b 又因为 sin

? a ? c ,再由正弦定理可得 2sin B ? sin A ? sin C .

A,sin B,sin C 成等比数列,所以 sin 2 B ? sin A sin C .
第 8 页,总 10 页

理科教学贴心服务专家 所以 sin 再由 sin
2

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A ? sin 2 C ? 2sin Asin C ? 4sin Asin C,(sin A ? sin C)2 ? 0 ,解得 sin A ? sin C .
B ? sin A sin C 可得 sin A ? sin C ? sin B ,故有 a ? b ? c ,三角形的形状是等边三角形.

2

故答案为等边三角形.

14. 答案:

1

?

?x ? y ?1 ? 0 ? 分析:根据题意可得点 M ( x, y ) 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,其构成的区域 D 如图所示的三角形,面积为 S1 ? 1 , E 表示的 ?y ? 0 ?
平面区域是以原点为圆心, 以 1 为半径的圆及其内部, 面积为 S2 故向 E 中投一点, 落入 D 中的概率为 P ? ?? ,

S1 1 ? S2 ?

.

故答案为:

1

?

.

15. 答案: 2014 分析:令 a

? n, b ? 1,得 f (n ? 1) ? f (n) ? f (1) ,因为 f (1) ? 2 ,所以 f (n ? 1) ? f (n) ? 2 ? 2 f (n) ,由此可得

f (n ? 1) f (2) f (4) f (6) f (2014) ? 2 ,分别令 n ? 1,3,5,..., 2013 ,得 ? ? ? ... ? ? 2, f (1) f (3) f (5) f (2013) f ( n)
所以

f (2) f (4) f (6) f (2014) ? ? ? ... ? ? 1007 ? 2 ? 2014 . f (1) f (3) f (5) f (2013)

故答案为: 2014 .

第 9 页,总 10 页

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16. 答案:①③④ 分析:①因为 a

? b ,故 a ? b ? 0 ,由

1 1 1 1 b?a ? ? ? ?0? ? 0 ? ab ? 0 . ①是正确的; a b a b ab

②要使 x

2

? f (?1) ? 0 ?1 ? a ? 4 ? 0 ? ax ? 4 ? 0 对任意 x ? (?1,1) 恒成立,令 f ( x) ? x2 ? ax ? 4 ,只要 ? ,即 ? , ? f (1) ? 0 ?1 ? a ? 4 ? 0

得 a 的范围是 [?3,3] ,②是不正确的; ③因为 an?1 ? an 所以 a3

? n2 ? 0

①, 用 n ? 1 代替 n , 得 an?2 ①

? an?1 ? (n ? 1)2 ? 0 ②,两式相减,得 an?2 ? an ? ?2n ?1 ,

? a1 ? ?2 ?1 ?1

a5 ? a3 ? ?2 ? 3 ? 1②


a11 ? a9 ? ?2 ? 9 ?1 ⑤,
将以上五个等式相累加,得 a11 ? a1 ④0 ?

? ?2(1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9) ? 5 ,又 a1 ? 2068 ,所以 a11 ? 2013 ,故③是正确的;

x ? 1 ? 0 ? 1 ? x ? 1 ,又 x ? (1 ? x) ? 1 ,

所以

a2 b2 a2 b2 ? ?( ? )[ x ? (1 ? x)] x 1? x x 1? x
1? x x ? b2 ? x 1? x

? a 2 ? b2 ? a 2 ?

? a 2 ? b 2 ? a 2b 2 ?

1? x x ? x 1? x
1? x x a ? b2 ? ,即 x ? x 1? x a?b
2

? (a ? b)2 ,当且仅当 a 2 ?
所以

时取等号,

a2 b2 ? x 1? x

的最小值是 (a ? b) ,即结论④正确;

故答案为:①③④.

第 10 页,总 10 页


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