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2015高考数学(文)一轮复习题有答案解析阶段示范性金考卷四


阶段示范性金考卷四
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设直线 m、n 和平面 α、β,下列四个命题中,正确的是( A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β C.若 α⊥β,m?α,则 m⊥β D.若 α⊥β,m⊥β,m?α,则 m∥α 解析:选项 A

中,两条直线同时平行于同一个平面,则两直线 的位置关系有三种;选项 B 中,只有 m、n 相交时成立;选项 C 中, 只有 m 垂直于交线时成立.选 D. 答案:D )

2 2.如图所示,正四棱锥 P-ABCD 的底面积为 3,体积为 2 ,E 为侧棱 PC 的中点,则 PA 与 BE 所成的角为( π A.6 π C.3 π B.4 π D.2 )

解析:连接 AC、BD 交于点 O,连接 OE,OP,易得 OE∥PA, ∴所求角为∠BEO.∵PO⊥OB,OB⊥OA,∴OB⊥平面 PAC,OB⊥ 6 1 2 OE.由所给条件易得 OB= 2 , OE=2PA= 2 , 在△OBE 中, tan∠OEB π = 3,∴∠OEB=3,选 C. 答案:C

3.如图,三棱锥 A-BCD 的底面为正三角形,侧面 ABC 与底面 垂直且 AB=AC,若该四棱锥的正(主)视图的面积为 2,则侧(左)视图 的面积为( 3 A. 3 2 C.3 ) B. 3 1 D.3

解析:由题意可知,该四棱锥的正(主)视图为△ABC,设底面边 长为 2a,BC 中点为 O,则 AO⊥BC,则 AO⊥平面 BCD,设 AO=h, 1 1 则△ABC 的面积为2· 2a· h=ah=2,侧(左)视图为△AOD,则面积为2 1 3 OD· AO=2· 3a· h= 2 ah= 3. 答案:B

4.如图,在正三棱锥 A-BCD 中,E、F 分别是 AB、BC 的中点, EF⊥DE,且 BC=1,则正三棱锥 A-BCD 的体积是( 2 A. 12 3 C. 12 2 B. 24 3 D. 24 )

解析:∵EF⊥DE,EF∥AC,∴AC⊥DE,易知 AC⊥BD, 2 1 1 ∴AC⊥平面 ABD.由 AB=AC=AD= 2 ,可得所求体积为3×2 2 2 2 2 × 2 × 2 × 2 = 24 . 答案:B

5.如图,半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱,当圆柱的侧面积最 大时,球的体积与该圆柱的体积之比是( )

A.2π C. 2

4 2 B. 3 2 D. 3

解析:设圆柱的底面半径为 r,故其侧面积 S 侧=2πr· 2 R2-r2= R2 2 4π r ?R -r ?,当 S 侧最大时,r =R -r ,r = 2 ,所以 r= 2 R,此
2 2 2 2 2 2 2

4 3 3πR V球 4 2 时圆柱的高 h= 2R, = = 3 ,选 B. V圆柱 2 π×? 2 R?2× 2R 答案:B 6.[2012· 长春一模]设 a,b 是两条不同的直线,α,β 是两个不 同的平面,有下列四个命题: ①若 a⊥b,a⊥α,b?α,则 b∥α;②若 a∥α,α⊥β,则 a⊥β; ③若 α⊥β,a⊥β,则 a∥α 或 a?α;④若 a⊥b,a⊥α,b⊥β, 则 α⊥β. 其中正确命题的个数为( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 )

解析:在如图所示的长方体中,A1A⊥A1B1,A1A⊥平面 ABCD, A1B1?平面 ABCD,则 A1B1∥平面 ABCD,①正确;设 A1B1 为 a, 平面 AC 为 α,平面 A1B 为 β,显然有 a∥α,α⊥β,但得不到 a⊥β,

②不正确;可设 A1A 为 a,平面 AC 为 β,平面 A1D 或平面 B1C 为 α, 满足③的条件且得 a∥α 或 a?α,③正确;设 A1B1 为 a,平面 A1D 为 α,A1A 为 b,平面 AC 为 β,满足④的条件且得到 α⊥β,④正确. 答案:C 7.一个空间几何体的三视图如图,则该几何体的体积为( )

A.2 3 4 3 C. 3

B.2 5 5 3 D. 3

解析:该几何体是三棱柱中截去一个棱锥,三棱柱的底面边长为 2,高是 2,截去的三棱锥底面边长是 2,高是 1,所以该几何体的体 1 1 1 5 3 积是 V=2×2× 3×2-3×2×2× 3×1= 3 . 答案:D

8.如图,四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形,SD⊥底面 ABCD, 则下列结论中不正确的是( A.AC⊥SB B.AB∥平面 SCD C.SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D.AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 解析: AB 与 SC 所成的角是∠SCD, DC 与 SA 所成的角是∠SAB, 而这两个角显然不相等,故 D 不正确. 答案:D 9.在矩形 ABCD 中,若 AB=3,BC=4,PA⊥平面 AC,且 PA =1,则点 P 到对角线 BD 的距离为( A. 29 2 ) 13 B. 5 D. 119 5 )

17 C. 5

解析:过 A 作 AE⊥BD 于 E.连接 PE.因为 PA⊥平面 AC,BD? 平面 AC,所以 PA⊥BD,所以 BD⊥平面 PAE,所以 BD⊥PE,即 PE 3×4 AB· AD 12 就是点 P 到 BD 的距离,因为 AE= BD = 2 2= 5 ,PA=1, 3 +4 13 所以 PE= 5 . 答案:D

10.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 a,顶点都在 一个球面上,则该球的表面积为( A.πa2 11 C. 3 πa2 ) 7 B.3πa2 D.5πa2

解析: 由题意知, 该三棱柱为正三棱柱, 且侧棱与底面边长相等, 均为 a. 如图,设 O1、O 分别为上、下底面的中心,且球心 O2 为 O1O 的 3 3 a 中点,则 AD= 2 a,AO= 3 a,OO2=2,设球 O2 的半径为 R,则 1 2 1 2 7 2 R2=AO2 2= a + a = 3 4 12a .∴该球的表面积 S πa2. 答案:B


7 7 =4πR2=4π×12a2=3

11.已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,CC1=2 2,E 为 CC1 的中点,则直线 AC1 与平面 BED 的距离为( A. 2 C. 2 B. D. 1 3 )

解析:连接 AC,与 BD 交于点 O,连接 OE,因为 O,E 分别是

1 AC,CC1 的中点,所以 OE∥AC1,且 OE=2AC1,所以 AC1∥平面 BED,直线 AC1 与平面 BED 的距离等于点 C 到平面 BED 的距离.过 C 作 CF⊥OE 于 F,则 CF 即为所求距离.因为正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 的底面边长为 2,高为 2 2,所以 AC=2 2,OC= 2,CE OC· CE = 2,OE=2,利用等面积法得 CF= OE =1,选 D. 答案:D

12.如图,边长为 a 的等边△ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交于 点 G,已知△A′DE(A′?平面 ABC)是△ADE 绕 DE 旋转过程中的一 个图形,对于下列叙述错误的是( A.平面 A′FG⊥平面 ABC B.BC∥平面 A′DE 1 C.三棱锥 A′-DEF 的体积最大值为64a3 D.直线 DF 与直线 A′E 可能共面 解析: A 项中, 由已知可得四边形 ADFE 是菱形, 则 DE⊥GA′, DE⊥GF,所以 DE⊥平面 A′FG,所以平面 A′FG⊥平面 ABC,A 项正确;又 BC∥DE,∴BC∥平面 A′DE,B 项正确;当平面 A′DE 1 1 ⊥平面 ABC 时,三棱锥 A′-DEF 的体积达到最大,最大值为3×4 )

3 3 1 × 4 a2× 4 a=64a3,C 项正确;在旋转过程中 DF 与直线 A′E 始终 异面,D 项不正确. 答案:D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填 在题中的横线上) 13 . 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 该 几 何 体 的 体 积 为 ________.

解析:由三视图知,该几何体是一个圆柱和三棱锥的组合体.圆 柱的底面半径为 1,高为 1,所以圆柱的体积为 π×12×1=π;三棱锥 的底面是等腰直角三角形,两直角边为 2,三棱锥的高为 3,所以 1 1 3 三棱锥的体积为3×2× 2× 2× 3= 3 ,所以该几何体的体积为 π 3 +3. 3 答案:π+ 3 14.在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,PA=2,底面△ABC

是边长为 2 的正三角形,则此三棱锥外接球的半径为________. 解析:底面△ABC 是边长为 2 的正三角形,PA⊥底面 ABC,可 得此三棱锥的外接球即为以△ABC 为底面、以 PA 为高的正三棱柱的 外接球.∵△ABC 是边长为 2 的正三角形,∴△ABC 的外接圆半径 r 2 3 = 3 ,球心到△ABC 的外接圆圆心的距离 d=1,故球的半径 R= r2+d2= 7 21 = 3 3 .

21 答案: 3

15.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 为 AA1 的中点,在对角面 BB1D1D 上取一点 M,使 AM+ME 最小,其最 小值为________. 解析:取 CC1 的中点 F,连接 EF,MF,EF 交平面 BB1D1D 于点 N,则 EN=FN,所以 F 点是 E 点关于平面 BB1D1D 的对称点,

则 AM+ME=AM+MF,所以当 A,M,F 三点共线时,AM+ 3a MF 最小,即 AM+ME 最小,此时 AM+MF=AF= 2 . 3a 答案: 2

16.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,M,N,P,Q 分别在 棱 A1D1,A1B1,B1C1,BC 上移动,则四面体 MNPQ 的最大体积是 ________. 解析:由图可知,四面体 MNPQ 的体积就是三棱锥 Q-MNP 的 体积,而三棱锥的高是 a,当底面△MNP 的面积最大时体积最大,S
△MNP 最大

1 1 1 1 =2a2,所以四面体 MNPQ 的最大体积是3×2a2×a=6a3.

1 答案:6a3.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字 说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)如图为一简单组合体,其底面 ABCD 为 正方形,PD⊥平面 ABCD,EC∥PD,且 PD=AD=2EC. (1)求证:BE∥平面 PDA; (2)求证:平面 PBD⊥平面 PBE.

证明:(1)∵EC∥PD,PD?平面 PDA, EC?平面 PDA,∴EC∥平面 PDA, 同理可得 BC∥平面 PDA, 又 EC∩BC=C, 故平面 BEC∥平面 PDA. 又∵BE?平面 EBC,因此 BE∥平面 PDA. (2)连接 AC 交 BD 于点 O,取 PB 的中点 F,连接 OF. 由于 FO∥PD,又∵EC∥PD, ∴FO∥EC,且 FO=EC,

因此 OCEF 为平行四边形,于是 OC∥EF. 又∵OC⊥平面 PBD,∴EF⊥平面 PBD, 又∵EF?平面 PBE, 故平面 PBD⊥平面 PBE. 18.(本小题满分 12 分)如图(1),在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底 面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,E 为侧棱 PD 上一点,F 为 AB 上 一点.该四棱锥的正视图和侧视图如图(2)所示.

(1)求四面体 PBFC 的体积; (2)证明:AE∥平面 PFC; (3)证明:平面 PFC⊥平面 PCD. 解:(1)由侧视图可得 F 为 AB 的中点,BF=1, 1 所以△BFC 的面积 S=2 ×1×2=1. 因为 PA⊥平面 ABCD, 1 1 2 所以四面体 PBFC 的体积 VP-BFC=3S△BFC×PA=3×1×2=3.

(2)取 PC 的中点 Q,连接 EQ,FQ. 由正视图可得 E 为 PD 的中点, 1 所以 EQ∥CD,EQ=2CD. 1 又因为 AF∥CD,AF=2CD, 所以 AF∥EQ,AF=EQ. 所以四边形 AFQE 为平行四边形,所以 AE∥FQ. 因为 AE?平面 PFC,FQ?平面 PFC, 所以 AE∥平面 PFC. (3)因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥CD. 因为底面 ABCD 为正方形,所以 AD⊥CD. 所以 CD⊥平面 PAD. 因为 AE?平面 PAD,所以 CD⊥AE. 因为 PA=AD,E 为 PD 的中点,所以 AE⊥PD. 所以 AE⊥平面 PCD. 由(2)知 AE∥FQ,所以 FQ⊥平面 PCD. 因为 FQ?平面 PFC,所以平面 PFC⊥平面 PCD.

19. (本小题满分 12 分)如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是平行四边形,∠BCD=60° ,AB=2AD,PD⊥平面 ABCD,点 M 为 PC 的中点. (1)求证:PA∥平面 BMD; (2)求证:AD⊥PB. 证明:(1)连接 AC,AC 与 BD 相交于点 O,连接 MO, ∵ABCD 是平行四边形, ∴O 是 AC 的中点. ∵M 为 PC 的中点, ∴MO∥AP. ∵PA?平面 BMD,MO?平面 BMD, ∴PA∥平面 BMD.

(2)∵PD⊥平面 ABCD,AD?平面 ABCD,

∴PD⊥AD. ∵∠BAD=∠BCD=60° ,AB=2AD, ∴BD2=AB2+AD2-2AB· AD· cos60° =AB2+AD2-2AD2 =AB2-AD2. ∴AB2=AD2+BD2. ∴AD⊥BD. ∵PD∩BD=D,PD?平面 PBD,BD?平面 PBD, ∴AD⊥平面 PBD. ∵PB?平面 PBD, ∴AD⊥PB.

20. (本小题满分 12 分)如图, 已知三棱锥 A-BCD 中, AB⊥BD, AD⊥CD,E,F 分别为 AC,BC 的中点,且△BEC 为正三角形. (1)求证:CD⊥平面 ABD; (2)若 CD=3,AC=10,求点 C 到平面 DEF 的距离. 解:(1)∵△BEC 为正三角形,F 为 BC 的中点,∴EF⊥BC. ∵EF∥AB,∴AB⊥BC. 又∵AB⊥BC,∴AB⊥平面 BCD, ∴AB⊥CD,又∵AD⊥CD,AB∩AD=A, ∴CD⊥平面 ABD.

(2)设点 C 到平面 DEF 的距离为 h, ∵AC=10,∴BE=BC=5,∴AB=2EF=5 3, 1 5 在 Rt△BDC 中,∵F 为 BC 的中点,∴DF=2BC=2, 1 25 3 ∴S△EFD=2DF· EF= 8 , 1 25 3 ∴VC-EFD=3S△EFD· h= 24 h. 1 在 Rt△BCD 中,∵CD=3,BC=5,∴BD=4,∴S△DFC=2S△DBC =3, 1 5 3 ∴VE-DFC=3S△DFC· EF= 2 , 12 ∵VC-EFD=VE-DFC,∴h= 5 , 12 ∴点 C 到平面 DEF 的距离为 5 . 21. (本小题满分 12 分)如图(1), △BCD 是等边三角形, AB=AD, ∠BAD=90° ,M,N,G 分别是 BD,BC,AB 的中点,将△BCD 沿 BD 折叠到△BC′D 的位置,使得 AD⊥C′B,如图(2).

(1)求证:平面 GNM∥平面 ADC′; (2)求证:C′A⊥平面 ABD. 解:(1)因为 M,N 分别是 BD,BC′的中点, 所以 MN∥DC′. 因为 MN?平面 ADC′,DC′?平面 ADC′, 所以 MN∥平面 ADC′. 同理,NG∥平面 ADC′. 又因为 MN∩NG=N, 所以平面 GNM∥平面 ADC′.

(2)因为∠BAD=90° ,所以 AD⊥AB. 又因为 AD⊥C′B,且 AB∩C′B=B,所以 AD⊥平面 C′AB. 因为 C′A?平面 C′AB,所以 AD⊥C′A. △BC′D 是等边三角形,AB=AD, 不妨设 AB=1,则 BC′=C′D=BD= 2,可得 C′A=1. 由勾股定理的逆定理,可得 AB⊥C′A. 因为 AB∩AD=A,所以 C′A⊥平面 ABD.

22. (本小题满分 12 分)如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 2 是边长为 2 的正方形,侧面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA=PD= 2 AD, E、F 分别为 PC、BD 的中点.

(1)求证:EF∥平面 PAD; (2)求证:平面 PAB⊥平面 PDC; (3)求三棱锥 C-PBD 的体积. 解:(1)连接 AC,易知 AC 交 BD 于点 F,∵四边形 ABCD 为正 方形,F 为 AC 的中点,E 为 PC 的中点,∴EF∥PA. 又 PA?平面 PAD,EF?平面 PAD,∴EF∥平面 PAD. (2)∵平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 四边形 ABCD 为正方形,CD⊥AD,CD?平面 ABCD, ∴CD⊥平面 PAD. ∴CD⊥PA. 2 又 PA=PD= 2 AD,∴PAD 是等腰直角三角形, π 且∠APD=2,即 PA⊥PD. ∵CD∩PD=D,且 CD、PD?平面 PDC, ∴PA⊥平面 PDC. 又 PA?平面 PAB, ∴平面 PAB⊥平面 PDC. (3)取 AD 的中点 O,连接 OP,OF. ∵PA=PD,∴PO⊥AD. ∵侧面 PAD⊥底面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PO⊥平面 ABCD, ∵O、F 分别为 AD、BD 的中点,∴OF∥AB,又四边形 ABCD 是正方形,∴OF⊥AD. 2 ∵PA=PD= 2 AD,∴PA⊥PD,OP=OA=1.

1 1 2 故三棱锥 C-PBD 的体积 VC-PBD=VP-BCD=3×2×2×2×1=3.


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