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上海市格致中学2012届高三数学第三轮复习 第8部分 空间图形题型整理分析


第八部分

空间图形

57、平面的基本性质是高考中立体几何的重点内容.要掌握平面的基本性质,特别注意: 57、平面的基本性质是高考中立体几何的重点内容.要掌握平面的基本性质,特别注意:不 共线的三点确定一个平面.考察点和平面的位置关系时, 共线的三点确定一个平面.考察点和平面的位置关系时,要注意讨论点在平面的同侧还是两 侧,会根据不同的情况作出相应的图形. 会根据不同的情况作出相应的图形. [举例 1]已知线段 AB 长为 3,A、B 两点到平面 α 的距离分别为 1 与 2,则 AB 所在直线与 平面 α 所成角的大小为_________; 分析: 分析:要注意到点 A、B 是平面 α 同侧还是在平面 α 的两侧的情况.当 A、B 在平面 α 的同侧 时,AB 所在直线与平面 α 所成角大小为 arcsin 线与平面 α 所成角为

π
.

1 ;当 A、B 在平面 α 的两侧时,AB 所在直 3

2

“平面 α 上有不共线的三点到平面 β 的距离相等,则平面 α 与平面 β [举例 2]判断命题: 是平行平面”的真假. 分析:这是一个假命题.只有当这三点在平面 β 的同侧时,两平面才平行. 分析: 58、线面关系中三类平行的共同点是“无公共点” 三类垂直的共同点是“ 90°” °”. 58、线面关系中三类平行的共同点是“无公共点”;三类垂直的共同点是“成角 90°”. 线面平行、面面平行,最终化归为线线平行.线面垂直、面面垂直,最终化归为线线垂直. 线面平行、面面平行,最终化归为线线平行.线面垂直、面面垂直,最终化归为线线垂直. 已知平面 α , β , 直线 a, b .有下列命题:1) ( [举例] 举例]

α // β ? α ⊥ β? ( ? ? a // β ;2) ? ? a // α a ? α? a⊥β?

a // b ? a // b ? ? ? (3) a ⊥ α ? ? α // β ;(4) a ? α ? ? α // β .其中正确的命题序号是______. b ⊥ β? b ? β? ? ?
分析: 立体几何中的符号语言所描述的问题是高考命题中的重点, 基本上每年的高考在选择 分析: 或填空题中都会有涉及,要充分理解符号语言所体现的几何意义.(1)体现的是两平面平行 的一个性质:若两平面平行,则一个平面内的任一直线与另一平面平行.(2)要注意的是直 线 a 可能在平面 α 内.(3)注意到直线与平面之间的关系:若两平行直线中的一条与一个 平面垂直,则另一条也与这个平面垂直.且垂直于同一直线的两个平面平行.(4)根据两平 面平行的判定知,一个平面内两相交直线与另一个平面平行,两平面才平行.由此知:正确 的命题是(1)与(3). 59、 59、直线与平面所成角的范围是 [0,

π π 一般情况下, ] ;两异面直线所成角的范围是 (0, ] .一般情况下, 2 2

求二面角往往是指定的二面角,若是求两平面所成二面角只要求出它们的锐角(直角) 求二面角往往是指定的二面角,若是求两平面所成二面角只要求出它们的锐角(直角)情 况即可. 况即可. (1)A 是直线倾斜角的取值范围; (2) [举例]设 A、B、C、D 分别表示下列角的取值范围: 举例] B 是锐角;(3)C 是直线与平面所成角的取值范围;(4)D 是两异面直线所成角的取值范 围.用“ ? ”把集合 A、B、C、D 连接起来得到__________.

1

分析: 分析:直线倾斜角的范围是 [0, π ) ,锐角的范围是 (0,

π
2

) .由此: B ? D ? C ? A .

60、立体几何中的计算主要是角、距离、体积、面积的计算.两异面直线所成角、 60、立体几何中的计算主要是角、距离、体积、面积的计算.两异面直线所成角、直线与平 面所成角的计算是重点(二面角的计算文科不要求) 面所成角的计算是重点(二面角的计算文科不要求).求两异面直线所成角可以利用平移的 方法将角转化到三角形中去求解, 也可以利用空间向量的方法 要在方便建立坐标系时用) (要在方便建立坐标系时用) , 方法将角转化到三角形中去求解, 特别要注意的是两异面直线所成角的范围. 其所成角的大小应为 特别要注意的是两异面直线所成角的范围.当求出的余弦值为 a 时 ,其所成角的大小应为

arccos | a | .
C1 [举例]正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 AB 中点,则异面 举例] 直线 DE 与 BD1 所成角的大小为______. 分析:取 CD 中点 F,则 BF//DE.那么 ∠ D1BF 是异面直线 分析: DE 与 BD1 所成的角(或补角).设正方体的棱长为 2,可求 得: BD1 = 2 3 , BF = D1 C A E A1 B1

F

B

5 , D1 F = 5 .在△BFD1 中,求得

D

cos ∠D1 BF =

15 15 ,所以异面直线 DE 与 BD1 所成角的大小为 arccos . 5 5

对于异面直线所成角的计算,在便于建系的立体图形中(垂直关系明显:如正方体、长方体 或有一侧棱与底面垂直的棱锥等)也可以利用建系的方法进行求解, z 但要注意到空间坐标系的建立方法,确定好坐标轴. C1 B1 建立如图坐标系,设正方体的棱长为 2,则 D1 (2,0,2) D1 A1

B (0,2,0) , D ( 2,0,0) , E (1,2,0) . BD1 = {2,?2,2} ,

C

B A E

y

DE = {?1,2,0} ,设向量 BD1 与 DE 所成角为 θ ,则
cos θ = BD1 ? DE | BD1 || DE | 15 . 5 = ?6 2 3? 5 =?

x

D

15 . 所 以 异 面 直 线 DE 与 BD1 所 成 角 的 大 小 为 5

arccos

特别需要注意的是:两向量所成的角是两向量方向所成的角,它与两向量所在的异面直线 所成角的概念是不一样的.本题中的向量 BD1 与 DE 所成的角大小是两异面直线 DE 与 BD1 所成角的补角. 61、直线与平面所成角的求解过程中,要抓住直线在平面上的射影, 61、直线与平面所成角的求解过程中,要抓住直线在平面上的射影,转化到直角三角形中 去求解.点到平面的距离的求解可以利用垂线法,也可以利用三棱锥的体积转化. 去求解.点到平面的距离的求解可以利用垂线法,也可以利用三棱锥的体积转化. 举例] (1) [举例]正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长是 2,BC1 与平面 ACC1A1 所成角为 30°.试求: 三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积;(2)点 C 到平面 BAC1 的距离. C1 分析:(1)求三棱柱的体积,只要求出其高即可.由 BC1 与平面 分析 A1 B1
2

E A

C B

ACC1A1 所成角为 30°,则要作出 BC1 在平面 ACC1A1 上的射影. 取 AC 中点 E,则 BE ⊥ AC ,所以 BE ⊥ 平面 ACC1A1,则 EC1 是 BC1 在平面 ACC1A1 上的射影.有 ∠BC1 E =30°.由 BE =

3,

知 C1 E = 3 ,所以 CC1 = 2 2 .则三棱柱的体积 V= CC1 ? S ?ABC =2 6 . (2)若直接求点 C 到平面 BAC1 的距离,则需要作垂线、定垂足,比较麻烦.利用体积转化

则比较简单.注意到三棱锥 C—ABC1 即为三棱锥 C1—ABC,其体积为

2 6 ,设 C 到平面 BAC1 3

的距离为 h ,则

2 6 1 = ? h ? S ?ABC1 .容易求得 S ?ABC1 = 11 ,所以点 C 到平面 BAC1 的距离 3 3



2 66 . 11

62、长方体 正方体是最基本的几何体,要熟练掌握它们中的线面关系.长方体的长、 62、长方体、正方体是最基本的几何体,要熟练掌握它们中的线面关系.长方体的长、宽、 高分别为 a , b, c ,对角线长为 l ,则 l = a + b + c .利用这一关系可以得到下面两个结
2 2 2 2

(1 若长方体的对角线与三棱所成角分别为 α , β , γ , cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 ; 则 论 : 1) (
2 2 2 (2)若长方体的对角线与三面所成角分别为 α , β , γ ,则 cos α + cos β + cos γ = 2 .

[举例]长方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 AC1 与过 A 点的三条棱所成的角分别为 α , β , γ ,若 举例]

α=
A、

π
4

,β =

π
3

,则 γ =――――――――――――――――――――――――(



π

π
B、 ; C、

π
、 D、不确定.



6

4

3

2 2 2 2 分析: 分析:根据 cos α + cos β + cos γ = 1 得 cos γ =

1 1 π ,则 cos γ = , γ = .选 C. 4 2 3

63、正方体中线面关系可以说是高考中的重点内容, 63、正方体中线面关系可以说是高考中的重点内容,相当一部分的高考题是以正方体作为 载体进行命题,或是截取正方体的一部分进行命题. 载体进行命题,或是截取正方体的一部分进行命题.请特别关注正方体表面按不同形式的展 开图,会由展开的平面图形想象立体图形. 开图,会由展开的平面图形想象立体图形. [举例 1]如图是一正方体的平面展开图,在这个正方体中: (1)AF 与 CN 所在的直线平行; (2)CN 与 DE 所在的直线异面; (3)CN 与 BM 成 60°角; (4)DE 与 BM 所在的直线垂直. 以上四个命题中正确的命题序号是___________; 分析: 分析:将此展开图还原成正方体(如图).可以看出:(2)、(3)、(4)是正确命题.
3

N D C M

N E F D

M

E

A

B F

C B A [举例 2]ABCD-A1B1C1D1 是单位正方体,黑、白两只蚂蚁从点 A 出发以相同速度沿棱向前爬 行,每爬完一条棱称为“爬完一段”.白蚂蚁爬行的路线是 AA1 → A1 D1 → LL ,黑蚂蚁 爬行的路线是 AB → BB1 → LL ,在爬行过程中它们都遵循如下规则:所爬行的第 n + 2 段与第 n 段所在直线必须是异面直线(其中 n ∈ N ).设黑、白两只蚂蚁都爬完 2007 段后各 自停止在正方体的某个顶点处,这时黑、白两个蚂蚁的距离是――――――( ) A、1; B、 2 ; C、 3 ; D、0.

分析: 分析:注意到它们的运动规律, 都是呈周期运动,运动周期为 6. A1 经过 2007 次运动, 由 2007 = 6 × 334 + 3 知, 它们运动后所停位置就是 第 3 次运动后所停位置. A 则它们都到达 C1 点,所 以这两蚂蚁之间的距离为 0,选 D.

D1
5
D 6

4 3 B1 2

C1 A1
1
A

D1
2

3

C1 B1
4 5
C

C

D

1

B

6

B

64、三棱锥顶点在底面三角形内射影为三角形的外心、内心、垂心的条件要分清楚. 64、三棱锥顶点在底面三角形内射影为三角形的外心、内心、垂心的条件要分清楚. 外心:三侧棱相等或三侧棱与底面所成的角相等(充要条件); 外心:三侧棱相等或三侧棱与底面所成的角相等(充要条件); 内心:三侧面与底面所成的二面角相等(充要条件); 内心:三侧面与底面所成的二面角相等(充要条件); 垂心:相对的棱垂直(充要条件)或三侧棱两两垂直(充分条件) 垂心:相对的棱垂直(充要条件)或三侧棱两两垂直(充分条件). 举例] 三棱锥的 “三侧棱与底面所成的角相等且底面是正三角形” “三棱锥为正三棱锥” 是 [举例] 的――――――――――――――――――――――――――――――――――( ) A、充分不必要条件;B、必要不充分条件;C、充要条件;D、既不充分又不必要条件. 分析: 分析:三侧棱与底面所成的角相等,则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心,又底面是 正三角形,则外心就是中心,知此三棱锥是正三棱锥.反之也成立,选 C. 65、关注正棱锥中的几个直角三角形. 65、关注正棱锥中的几个直角三角形. (1)高、斜高、底面边心距组成的直角三角形;(2)侧棱、斜高、底面棱长的一半组成 斜高、底面边心距组成的直角三角形;(2 侧棱、斜高、 ;( 的直角三角形;(3)底面上的边心距、底面外接圆半径、底面棱长的一半组成的直角三角 的直角三角形;(3 底面上的边心距、底面外接圆半径、 形.(4)高、侧棱、底面外接圆半径组成的直角三角形. 侧棱、底面外接圆半径组成的直角三角形. 进一步关注的是:侧棱与底面所成角、 进一步关注的是:侧棱与底面所成角、侧面与底面所成二面角的平面角都体现在这些 直角三角形中. 直角三角形中.
4

3a 3 举例] ,则此三棱锥的侧棱与底面所成角的 [举例]若一正三棱锥的底面边长是 a ,体积为 12
大小为____; 侧面与底面所成二面角的大小为____; 此三棱锥的侧面积为____. 分析: 分析:如图,设正三棱锥 A—BCD 的高为 h .由题知: A

1 3 2 3 3 ? a ?h = a ,则 h = a .设 BC 中点为 E,顶点 A 3 4 12
在底面上的射影为 O.注意三角形 ADO 中含有侧棱与底面所 成角即 ∠ADO 与侧面底面所成二面角的平面角即 ∠AEO .由 底面是正三角形且边长为 a 知 EO = B E C O D

3 3 a, DO = a ,则 6 3

tg∠ADO = 3 , tg∠AEO = 2 3 .所以侧棱与底面所成角大小为
角大小为 arctg 2 3 .由 AE =

π
,侧面与底面所成二面

3

39 39 2 a 知,可求得侧面积为 a .求侧面积也可以利用面 6 4

积射影定理,由侧面与底面所成二面角正切值为 2 3 ,则此二面角的余弦值为

1
,正三

13

S底
棱锥各侧面与底面所成的二面角都相等,则

S侧

=

1 13

,所以 S 侧 =

39 2 a . 4

66、直线与直线所成的角,直线与平面所成的角,二面角在计算过程中都有射影定理. 66、直线与直线所成的角,直线与平面所成的角,二面角在计算过程中都有射影定理.两直 线所成角余弦值的大小是一直线上的线段在另一直线上的射影长( 线所成角余弦值的大小是一直线上的线段在另一直线上的射影长(过此线段两端点向另一 直线作垂线,两垂足之间的线段长,若两直线垂直,则两垂足重合, 直线作垂线,两垂足之间的线段长,若两直线垂直,则两垂足重合,射影长为 0)与原线段

S/ 长的比;二面角的平面角(或其补角) 是一个半平面上的图形面 长的比;二面角的平面角(或其补角)的余弦值等于 ,其中 S 是一个半平面上的图形面 S
积, S / 是此图形在另一平面上的射影图形面积. 是此图形在另一平面上的射影图形面积. [举例]如图,E 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 CD 的中 举例] 点,则异面直线 BE 与 CD1 所成角的大小为______. 分析: 分析:B 点在直线 CD1 上的射影是 C 点,过 E 作 EF ⊥ CD1 于 F,则 F 是 E 在直线 CD1 上的射影.设正方体棱长为 2, 则 BE = 5 , CF = A1 B1 F D A E B C D1 C1

2 .设 BE 与 CD1 所成角为 α ,则 2

cos α =

CF 10 10 .所以 BE 与 CD1 所成角大小为 arccos . = BE 10 10

说明:利用这种方法在解选择、填空等问题时比较方便,但要注意的此法解大题时慎用.

5

67、特别注意有一侧棱与底面垂直且底面为正方形、直角梯形、菱形等四棱锥, 67、特别注意有一侧棱与底面垂直且底面为正方形、直角梯形、菱形等四棱锥,关注四个 面都是直角三角形的三棱锥.它们之间的线面关系也是高考命题的热点内容. 面都是直角三角形的三棱锥.它们之间的线面关系也是高考命题的热点内容. [举例 1]如图三棱锥 S-ABC 中,SA ⊥ 平面 ABC, ∠ACB = 90°,则此三棱锥的四个面中 的直角三角形的个数有_____个. 分析: 分析:此三棱锥的四个面都是直角三角形.此图中有三垂线定理 S (?

?SA ⊥ 面ABC ? BC ⊥ SC );线面角( ∠SCA 是 SC 与平面 ? BC ⊥ AC
A B C

ABC 所成的角, ∠SBA 是 SB 与平面 ABC 所成的角);二面角的 平面角( ∠SCA 是二面角 S—BC—A 的平面角)等. [举例 2]如图在底面是直角梯形的四棱锥 S-ABCD 中, ∠ABC = 90°,SA ⊥ 平面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD= (1)求四棱锥 S-ABCD 的体积; 分析: 分析:(1)底面积 S=

1 . 2

(2)求 SC 与 AB 所成角的大小.

1 3 1 1 ( AD + BC ) ? AB = , V = ? S ? SA = . 2 4 3 4

(2)建立如图坐标系,则

S (0,01), C (1,1,0), B(0,1,0), SC = {1,1,?1}, AB = {0,1,0} ,
设向量 SC 与 AB 所成角为 α ,

z
S

y
B A D C

3 = 则 cos α = , 3 | SC || AB |
即 SC 与 AB 所成角的大小为 arccos

SC ? AB

x

3 . 3

68、对平面图形的翻折问题要有所了解:翻折后,在同一半平面内的两点、 68、对平面图形的翻折问题要有所了解:翻折后,在同一半平面内的两点、点线及两线的 位置关系是不变的,若两点分别在两个半平面中,两点之间的距离一般会发生变化. 位置关系是不变的,若两点分别在两个半平面中,两点之间的距离一般会发生变化.要认清 从平面图形到空间图形之间的联系,能够从平面图形的关系过渡到空间图形的关系, 从平面图形到空间图形之间的联系,能够从平面图形的关系过渡到空间图形的关系,根据 的关系过渡到空间图形的关系 问题画出空间图形. 问题画出空间图形. [举例]如图在正三角形 ABC 中,D、E、F 分别是各边的中点,G、H、I 分别是 DE、FC、EF 举例] 的中点.将三角形 ABC 沿 DE、EF、DF 折成三棱锥后,BG 与 IH 所成角的大小为――( )

π
A、 ; B、

π


6
A

3

C、 arccos

2 ; 3
ABC H

D、 arccos

3 . 3

D G B E I

F H C D G E I F 6

分析: 分析:平面图形翻折成三棱锥后,A、B、C 重合于一点,BG 是△BED 的中线,HI//BE.所以

π
BG 与 HI 所成角为 .选 A.

6
69、图形的分解、组合是立几命题的新思路,学会平面到空间、空间到平面的转化. 69、图形的分解、组合是立几命题的新思路,学会平面到空间、空间到平面的转化. [举例]下面的一组图形为一四棱锥 S-ABCD 的侧面与底面.

A

a

D
a

a

a

a

2a

2a

B a a C a a a (1)请画出四棱锥 S-ABCD 的示意图,是否存在一条侧棱垂直于底面?如果存在的话,指 出是示意图中的哪一条,说明理由. (2)求出此四棱锥的体积; (3)设 E 是最长侧棱的中点,F 是底面正方形 ABCD 的边中与最长侧棱异面的边的中点,求 EF 与最短侧棱所成角的大小. S 分析: 分析:这是一道比较新颖的立体几何题.要能根据侧面与底面 的形状先把它拼起来后,再解题.问题是从立几中解决,因此 对于作图能力有一定的要求,作不出图则无法解决. E A (1)如图知,侧棱 SA ⊥ 底面 ABCD.因为侧面 SAB、SAD D 都是等腰直角三角形. F C 1 3 B (2)该四棱锥的体积 V = a ;

3

(3)最长侧棱是 SC,E 是 SC 中点,取底面边 AB 的中点为 F,最短侧棱为 SA.即求 EF 与 SA

π
所成角的大小.不难求出此角为 .

4

7


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