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四川省成都七中2013-2014学年高一下学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案


成都七中高 2013 级 2013-2014 学年度下期数学半期考试
一、选择题(本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1. sin 75 ? ( A. ) D.

6? 2 6? 2 6? 2 B. C. 4 2 4 2 3 4 5 ,? ,...的一个通项公式是( ) 2. 数列

,? , 3 9 27 81 n n ?1 n ?1 n ? 1 n n A. ( ?1) B. ( ?1) C. (?1) n ?1 n n 3 3 3 3. 已知 a ? (2,1), b ? ( x, ?2), 若 a ? b ,则 x ? ( ) A. ?4 B. ?1 C. 1 3? 1 4. 已知 sin ? ? ? ,且 ? ? (? , ) ,则 sin 2? ? ( )
3
2
A.

6? 2 2

D. (?1) n ?1

n 3n

D.

4

?

2 2 9

B.

2 2 9

C. ?

4 2 9

D.

4 2 9

5. D 是 ?ABC 的边 AB 的中点,则向量 CD =( ) A. CB ?

1 BA 2

B. CB ?

1 BA 2

C. BC ?

1 BA 2

D. BC ?

1 BA 2

6. 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A,B,C 的对边, 若 a ? 1 , b ? A. 135 B. 45 C. 45 或 135 )

6 , A ? 60 ,则 B ? ( ) 3
D. 无法确定

7. tan 20 ? tan 40 ? 3 tan 20 ? tan 40 ? ( A.

3 3

B.

3 2

C.

1

D.

3

4 , 且 ? 为第二象限角,则 tan(2? ) ? ( ) 5 24 24 24 24 A. ? B. ? C. D. 7 25 7 25 a?c 2 B ? 9. 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A,B,C 的对边,若 cos .则 ?ABC 的形状为( ) 2 2a
8. 若 sin(? ? ? ) sin ? ? cos( ? ? ? ) cos ? ? A. 直角三角形 B. 正三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 10. ? , ? 均为锐角,且 sin ? ? sin ? ? ? , cos ? ? cos ? ? A.

1 2

7 3

B. ?

7 3

C.

?

7 3

1 , 则 tan( ? ? ? ) 的值为( ) 2 5 7 D. ? 3

二、填空题(本大题共 5 题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 数列 {an } 满足 an ? 3an?1 ? 2 , a1 ? 0 ,则 a3 ? 12. ?ABC 的内角 A, B, C 满足: B 是 A 与 C 的等差中项,则 B ? 13. 己知 a ? (?1,3), b ? (?2, 2), 则 (a ? b)(a ? b) ? 14. 已知 ? 为锐角, cos( ? ? .

. .

?

3 ? ) ? , 则 cos( 2? ? ) ? 6 5 12
1

.

15. 给出下列命题: ①若 a ? 0, 则由 b ? c 能推出 a ? b ? a ? c ,由 a ? b ? a ? c 也能推出 b ? c . ② 在 ?ABC 中,则由 A ? B 能推出 sin A ? sin B ,由 sin A ? sin B 也能推出 A ? B . ③已知 a ? (3,4), b ? (0, ?1), 则 a 与 b 的夹角的正弦值为

3 . 5

④函数 f ( x) ? sin 4 x ? cos4 x 的最小正周期为 ? . 其中正确命题的序号是 (请将所有正确命题的序号都填上). 三、解答题(本大题共 6 题,16~19 题每题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分,共 75 分. 解答 应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. 等差数列 {an } 的首项为 a1 ,公差为 d ,前 n 项和为 Sn ,且满足 a2 ? a7 ? 2a3 ? 3 , (1)求 a1 和 d 的值; (2)若 Sn ? 100 ,求 n 的值. 17. 若 sin(? ? 的值. 18. 已知 | a |? 2 , | b |? 3 , a 与 b 的夹角为 120 , (1)求 | a ? 2b | 的值; (2)求 a ? 2b 在 a 方向上的投影. 19. 已知 a ? (2cos x,sin x) , b ? (cos x,sin x ? 3cos x) ,设函数 f ( x) ? a ? b , (1)求 f ( x) 图象的对称轴方程; (2)求 f ( x) 在 [

?
2

)?

? ? ? ?? ? 10 2 5 o s ( ) ,cos( ? ? ) ? , 且 ? ? ? ? ,? ? ? ? 0 , 求c 2 2 2 2 10 5

5? , ? ] 上的最大值和最小值. 12

20. 在 ?ABC 中,有 2S?ABC = ? BA ? BC ? 3 2 , (1)求角 B 的大小; (2)求 AC sin( A ? B)sin( B ? C ) 的值; (3)若 2BD ? BC ,求 AD 的最小值.
n n ? ? (0, ) ,且 21. 在 ?ABC 所在平面上,有 AP n ? cos ? AB ? sin ? AC ,其中 n ? N ? ,
2

2

?

2

令 ?n ? cosn ? ? sin n ? , (1)若 AP 1 / / AP 2 ,求 ? 的值; (2)若 P n 在 ?ABC 内部,求 n 的取值范围; (3)若 ?3 ? m?2 ? (1 ? m)?1 ,求实数 m 的取值范围.

2

成都七中高 2013 级 2013-2014 学年度下期数学半期考试 参考答案
一、选择题 1 2 C B 二、填空题 11.8 12. 3 C 4 D 5 A 6 B 7 D 8 A 9 A 10 B

60

13.

(-24,40)

14.

17 2 50

15. ②③

三、解答题 16. 解: 【26】(1) 数列 {an } 的通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d ,

?a2 ? 3 ?a ? d ? 3 ………………………………………………………2 分 ?? 1 ? ?a7 ? 2a3 ? 3 ?a1 ? 6d ? 2(a1 ? 2d ) ? 3 ?a ? d ? 3 ?a ? 1 . …………………………………………………………………………6 分 ?? 1 ?? 1 ??a1 ? 2d ? 3 ?d ? 2
n( n ? 1) d ? 100 …………………………………………………………8 分 2 n(n ? 1) ? n? ? 2 ? 100 ? n 2 ? 100 ? n ? 10 . ……………………………12 分 2 【28】 17. 解: ? ? ? ? 5? 由 ? ? ? ? , ? ? ? ? 0 ,知 ? ? ? ? . 2 2 2 2 4
【27】 (2) S n ? 100 ? na1 ?

? ? ? ? ) ? 0 ,知 ? ? ? ? ? ,则 cos(? ? ) ? 0 . …………………………2 分 2 2 2 2 ? 5 ? 2 5 由 sin(? ? ) ? ,知 cos(? ? ) ? ? . …………………………………………………4 分 2 5 2 5 ? ? ? ? 由 ? ? ? ? , ? ? ? ? 0 ,知 ? ? ? ? ? . 2 2 4 2 ? ? ? ? ? 又由 cos( ? ? ) ? 0 ,知 ? ? ? ? ,则 sin( ? ? ) ? 0 . ……………………………6 分 2 4 2 2 2 ? 10 ? 3 10 由 cos( ? ? ) ? ,知 sin( ? ? ) ? . …………………………………………………8 分 2 10 2 10 ? ?? ? ? ) ? cos[(? ? ) ? ( ? ? )] 则 cos( 2 2 2 ? ? ? ? ? cos(? ? )cos( ? ? ) ? sin(? ? )sin( ? ? ) ……………………10 分 2 2 2 2 5 10 2 5 3 10 2 ? (? ) ? ? ? ? . …………………………………………12 分 5 10 5 10 2
又由 sin(? ?
2 2

18. 解: 【29】 (1) | a ? 2b | = a +4a ? b +4b

= 22 +4 ? 2 ? 3 ? cos120 +4 ? 32

…………………………………………………………2 分
3

=2 7 .

……………………………………………………………………………………6 分

【30】 (2) a ? 2b 在 a 上的投影为
2

(a ? 2b) ?a , ……………………………………………………………8 分 |a|

(a ? 2b) ? a a ? 2b ? a 4 ? 2 ? 2 ? 3 ? cos120 而 ? ? 2 |a| |a| …………………………………………………………………………………12 分 ? ?1 .
19. 解: 【31】 (1) f ( x) ? a ? b ? 2cos2 x ? sin x(sin x ? 3cos x)

? 2cos2 x ? sin 2 x ? 3sin x ? cos x 1 ? cos 2 x 1 ? cos 2 x sin 2 x ? 2? ? ? 3? 2 2 2 1 3 3 …………………………………………………2 分 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 2 2 ? 3 ? ? sin(2 x ? ) ? . …………………………………………………………4 分 6 2 ? ? 由 2 x ? ? k? ? ( k ? Z ) ,得 6 2 k? ? ? (k ? Z ) . …………………………………………………6 分 函数 f ( x) 的对称轴方程: x ? 2 3 ? 2? 11? 5? ], ,? ] 得 u ? [ , 【32】 (2)令 u ? 2 x ? ,由 x ? [ 12 6 3 6 2? 3? 3? 11? 3 , ) 上单增,在 ( , ) 上单减, ………………………7 分 函数 y ? ? sin u ? 在 ( 2 3 2 2 6 3? 5? 当u ? ,即 x ? 时取最大值, 2 6 5? 故 f ( x) max ? f ( ) ………………………………………………………………………………8 分 6 5 ? ………………………………………………………………………………9 分 2 2? 11? ? ? sin 又 ? sin , ……………………………………………………………………………10 分 3 6 3 5? 2? 函数 y ? ? sin u ? 在 u ? ,即 x ? 时取最小值, 2 12 3 5? 故 f ( x) min ? f ( ) ………………………………………………………………………………11 分 12 3? 3 ………………………………………………………………………………12 分 ? 2
20. 解: 【33】 (1) 设角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,有

3? . ………………………………………………………4 分 4 【34】 (2) 由正弦定理,得 a sin B ? b sin A , c sin B ? b sin C ,则
解得 ac ? 6 , tan B ? ?1 ,即 B ?
4

?3 2 1 1 ? = ac sin B ? ? S?ABC = ac sin B ,则 ? 2 ,……………………………………………………2 分 2 2 ? ? BC ? BA ? ac cos B ??3 2 ? ac cos B ? ?

A C s i n (A ? B) sin B ?( C? 2 ) b s C in s Ai n ? b sin C ? b sin A ? c sin B ? a sin B ……………………6 分 2 =ac sin 2 B ? 6 ? ( ) 2 ? 3 . ……………………8 分 2 a 【35】 (3) 在⊿ABD 中, BD ? ,由余弦定理,得 2 2 a a AD ? ( ) 2 ? c 2 ? 2 ? ? c ? cos B ………………………………………………………10 分 2 2 a a 2 ? ( ? c)2 ? ac ? ac cos B ? ( ? c)2 ? 6(1 ? ), 2 2 2 a 当 ? c ,且 ac ? 6 ,即 a ? 2 3 , c ? 3 时, 2 2 2 ). ………………………………………………………………………13 分 AD 的最小值为 6(1 ? 2
21. 解:
2 2 【36】 (1)由 AP 2 ? k AP 1 ,即 cos ? AB ? sin ? AC =k (cos? AB ? sin ? AC ) , 1 / / AP 2 ,得 AP

2

?cos 2 ? ? k cos ? ? ? 有? ,即 cos ? ? sin ? ,解之,得 ? ? . 2 4 ? ?sin ? ? k sin ?
【37】(2) APn ? cosn ? AB ? sin n ? AC ? ?n ( 令 AQn ? 由

………………3 分

cosn ?

?n

AB ?

sin n ?

?n

AC ) ,

cosn ?

?n
?

AB ?

sin n ?

?n

AC ,

cosn ?

sin n ?

?n

?n

? ? 1 , ? ? (0, ) 可知 Qn 在线段 BC 上(不含端点), 2

而 AP n 在 ?ABC 内部,必有 ?n ? 1 ,又数列 {?n } 是递减数列,则 n ? ?n AQn ,若 P ……………………………………………………………………………6 分 ?1 ? ?2 ? ?3 ,且 ?2 ? 1 , 故当 n ? 3 时,满足题设. ……………………………………………………………………………………8 分 3 3 2 2 【38】(3) ?3 ? cos ? ? sin ? ? (cos? ? sin? )[cos ? ? sin ? ? cos? sin ? ]

? (cos ? ? sin ? )[cos 2 ? ? sin 2 ? ? ? ?1 (1 ?

(cos ? ? sin ? ) 2 ? 1 ] 2

?12 ? 1
2

),

………………………………………………………10 分

由 ? ? (0, ) ,有 ?1 ? cos ? ? sin ? ? 2 sin(? ?

?

?
4

2

) ? (1, 2] ,

依题设,知 ?1 (1 ? 那么 m ? (1,1 ?

?12 ? 1
2

) ? m ? (1 ? m)?1 ,整理得 m ?

?1 (?1 ? 1) , ………………12 分 2

2 ]. 2

…………………………………………………………………………………14 分

5


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