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【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习 大题规范练6 概率与统计 文 北师大版


高考大题规范练(六)

概率与统计

1.(2015·北京卷)某超市随机选取 1 000 位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四 种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买。

商品 顾客人数









100 217 200 300 85 98 (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;

√ × √ √ √ ×

× √ √ × × √

√ × √ √ × ×

√ √ × × × ×

(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率; (3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大? 解 (1)从统计表可以看出,在这 1 000 位顾客中有 200 位顾客同时购买了乙和丙,所

200 以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 =0.2。 1 000 (2)从统计表可以看出,在这 1 000 位顾客中,有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁, 另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了 2 种商品。 100+200 所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为 =0.3。 1 000 (3)与(1)同理,可得: 200 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 =0.2, 1 000 100+200+300 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 =0.6, 1 000 100 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 =0.1。 1 000 所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大。 2.(2015·福建卷)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指 标。根据相关报道提供的全网传播 2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指 数的数据, 对名列前 20 名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计, 结果如表所示。

1

组号 1 2 3 4

分组 [4,5) [5,6) [6,7) [7,8]

频数 2 8 7 3

(1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家进行调研, 求至少有 1 家的融合指数在[7,8]内的概率; (2)根据分组统计表求这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数。 解 解法一:(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为 A1,A2,A3;融合指数

在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为 B1,B2。 从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家的所有基本事件 是: {A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,

B2},{B1,B2},共 10 个。
其中,至少有 1 家融合指数在[7,8]内的基本事件是:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3}, {A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},共 9 个。 9 所以所求的概率 P= 。 10 2 8 7 (2)这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于 4.5× +5.5× +6.5× + 20 20 20 3 7.5× =6.05。 20 解法二:(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为 A1,A2,A3; 融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为 B1,B2。 从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家的所有的基本事 件是: {A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,

B2},{B1,B2},共 10 个。
其中,没有 1 家融合指数在[7,8]内的基本事件是:{B1,B2},共 1 个。 1 9 所以所求的概率 P=1- = 。 10 10 (2)同解法一。 3 .(2015·广东卷 ) 某城市 100 户居民的月平均用电量 (单位:度 ),以 [160,180) , [180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直 方图如图。
2

(1)求直方图中 x 的值; (2)求月平均用电量的众数和中位数; (3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中, 用分层抽样的方法抽取 11 户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户? 解 (1)由(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5)×20=1,得 x=

0.007 5, 所以直方图中 x 的值是 0.007 5。 220+240 (2)月平均用电量的众数是 =230。 2 因 为 (0.002 + 0.009 5 + 0.011)×20 = 0.45<0.5 , 所 以 月 平 均 用 电 量 的 中 位 数 在 [220,240)内,设中位数为 a, 由(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(a-220)=0.5,得 a=224, 所以月平均用电量的中位数是 224。 (3)月平均用电量在[220,240)的用户有 0.012 5×20×100=25(户), 月平均用电量在[240,260)的用户有 0.007 5×20×100=15(户), 月平均用电量在[260,280)的用户有 0.005×20×100=10(户), 月 平 均 用 电 量 在 [280,300] 的 用 户 有 0.002 5×20×100 = 5( 户 ) , 抽 取 比 例 为 11 1 = , 25+15+10+5 5 1 所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取 25× =5(户)。 5 4.为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药,B 药)的疗效,随机地选取 20 位患者 服用 A 药,20 位患者服用 B 药,这 40 位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡 眠时间(单位:h)。试验的观测结果如下: 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6'1.2'2.7'1.5'2.8'1.8'2.2'2.3'3.2 3.5'2.5'2.6'1.2'2.7'1.5'2.9'3.0'3.1 2.3'2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间:
3

3.2'1.7'1.9'0.8'0.9'2.4'1.2'2.6'1.3 1.4 1.6'0.5'1.8'0.6'2.1'1.1'2.5'1.2 2.7'0.5 (1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?



- - (1)设 A 药观测数据的平均数为 x ,B 药观测数据的平均数为 y 。

由观测结果可得 -

x = (0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7

1 20

+2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.5)=2.3, -

y = (0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9

1 20

+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)=1.6。 - - 由以上计算结果可得 x > y ,因此可看出 A 药的疗效更好。 (2)由观测结果可绘制如下茎叶图:

7 从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有 的叶集中在茎 2,3 上,而 B 药疗效的 10 7 试验结果有 的叶集中在茎 0,1 上,由此可看出 A 药的疗效更好。 10 5.(2015·河北唐山一模)为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况,得 如下实验数据: 天数 t(天) 繁殖个数 y(千个) (1)求 y 关于 t 的线性回归方程; (2)利用(1)中的回归方程,预测 t=8 时,细菌的繁殖个数。 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
4

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5

7 6

- - ?ti- t ??yi- y ? ^ i=1 ^ - ^- b= ,a= y -b t 。 n - ? ?ti- t ?2 i=1

?

n



- - (1)由表中数据计算得, t =5, y =4,

- - ? (ti- t )·(yi- y )=8.5, ? (ti

n

n

i=1
- 2 - t ) =10, - - ?ti- t ??yi- y ? ^ i=1 ^ - ^- b= =0.85,a= y -b t =-0.25。 n - ? ?ti- t ?2 i=1

i=1

?

n

^ 所以回归方程为y=0.85t-0.25。 ^ (2)将 t=8 代入(1)的回归方程中得y=0.85×8-0.25=6.55。 故预测 t=8 时,细菌繁殖个数为 6.55 千个。

5


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