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高中数学 (3.1.1 倾斜角与斜率)示范教案 新人教A版必修2


第三章

直线与方程

本章教材分析 直线与方程是平面解析几何初步的第一章 ,用坐标法研究平面上最简单的图形——直 线. 本章首先在平面直角坐标系中,介绍直线的倾斜角、斜率等概念;然后建立直线的方程: 点斜式、斜截式、两点式、截距式等;通过直线的方程,研究直线间的位置关系:平行和垂直, 以及两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式等. 解析几

何研究问题的主要方法是坐标法 ,它是解析几何中最基本的研究方法.坐标法的 基本特点是,首先用代数语言(坐标及其方程)描述几何元素及其关系,将几何问题代数化;解 决代数问题,得到结果;分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题. 本章自始至终贯穿数形结合的思想.在图形的研究过程中,注意代数方法的使用;在代数 方法的使用过程中,加强与图形的联系. 直线是最基本、最简单的几何图形,它既能为进一步学习做好知识上的必要准备,又能 为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.只有学好本章才能为第四章 的圆与方程做好准备和铺垫.教学中一定要注重由浅及深的学习规律,多采用变式教学,同 时渗透常用的数学思想方法(数形结合、分类讨论、类比、推广、特殊化、化归等),体现 由特殊到一般的研究方法,化难为易、化抽象为具体,深入浅出的引导学生自己发现规律, 大胆质疑、积极思考、合作探究、激发他们学习的兴趣,教师合理诱导并且及时鼓励,使同 学们能愉快的、轻松的学习,并且提高他们应用所学知识解决问题(尤其是实际问题)的能 力,真正体现出“在用中学,在学中用,为用而学,学而能用”,这一点也正符合新课标的 要求和精神. 本章教学时间约 9 课时,具体分配如下(仅供参考) : 3.1.1 3.1.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 及 3.3.4 倾斜角与斜率 两直线平行与垂直的判定 直线的点斜式方程 直线的两点式方程 直线的一般式方程 两条直线的交点坐标 两点间的距离 点到直线的距离及两条平行线间的距离 本章复习 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时

3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率 整体设计 教学分析 直线是最基本、最简单的几何图形,它既能为进一步学习作好知识上的必要准备,又能 为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.事实上,只有透彻理解并熟 练掌握直线的倾斜角和斜率这两个基本概念,学生才能对直线及其位置进行定量的研究.对 直线的倾斜角和斜率,必须要求学生理解它们的准确涵义和作用,掌握它们的导出,并在运 用上形成相应的技能和熟练的技巧. 本小节从一个具体的一次函数与它的图象入手, 引入直线的倾斜角概念, 注重了由浅及
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深的学习规律,并体现了由特殊到一般的研究方法.引导学生认识到之所以引入直线在平面 直角坐标系中的倾斜角和斜率概念,是进一步研究直线方程的需要. 三维目标 1.理解直线的倾斜角和斜率的定义, 充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻划直线相对 于 x 轴倾斜程度的两个量这一事实,在教学中培养学生数形结合的数学思想. 2.掌握经过两点 P1(x1,y1)和 P2(x2,y2)的直线的斜率公式:k=

y 2 ? y1 (x1≠x2) ,培养学生 x 2 ? x1

树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 3.培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力,认识事物之间的相互联系,培养相互 合作意识,培养学生思维的严谨性,注意学生语言表述能力的训练. 重点难点 教学重点:直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式. 教学难点:斜率公式的推导. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.如图 1 所示,在直角坐标系中,过点 P 的一条直线绕 P 点旋转,不管旋转多少周, 它对 x 轴的相对位置有几种情形?教师引入课题:直线的倾斜角和斜率.

图1 思路 2.我们知道,经过两点有且只有(确定)一条直线.那么,经过一点 P 的直线 l 的位置能确 定吗?这些直线有什么联系和区别呢?教师引入课题:倾斜角与斜率. 推进新课 新知探究 提出问题 ①怎样描述直线的倾斜程度呢? ②图 2 中标出的直线的倾斜角 α 对不对?如果不对,违背了定义中的哪一条?

图2 ③直线的倾斜角能不能是 0°?能不能是锐角?能不能是直角?能不能是钝角?能不能是 平角?能否大于平角? ④日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量? ⑤正切函数的定义域是什么? ⑥任何直线都有斜率么? ⑦我们知道两点确定一条直线, 那么已知直线上两点坐标, 如何才能求出它的倾斜角和斜率 呢?如:已知 A(2,3)、B(-1,4),则直线 AB 的斜率是多少?

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活动:①与交角有关.当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向之 间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角 . ... 可见:平面上的任一直线都有唯一的一个倾斜角,并且倾斜角定了,直线的方向也就定了. ②考虑正方向. ③动手在坐标系中作多条直线,可知倾斜角的取值范围是 0°≤α <180°.在此范围内,坐 标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角,而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向.倾 斜角直观地表示了直线对 x 轴正方向的倾斜程度. 规定: 当直线和 x 轴平行或重合时, 直线倾斜角为 0°, 所以倾斜角的范围是 0°≤α <180°. ④联想小时候玩的滑梯,结合坡度比给出斜率定义,直线斜率的概念. 倾斜角不是 90°的直线, 它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率, 常用 k 表示, 即 k=tanα . ⑤教师介绍正切函数的相关知识. ⑥说明:直线与斜率之间的对应不是映射,因为垂直于 x 轴的直线没有斜率. (倾斜角是 90°的直线没有斜率) ⑦已知直线 l 上的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),且直线 l 与 x 轴不垂直,如何求直线 l 的斜 率?教学时可与教材上的方法一样推出. 讨论结果:①用倾斜角. ②都不对.与定义中的 x 轴正方向、直线向上方向相违背. ③直线的倾斜角能是 0°,能是锐角,能是直角,能是钝角,不能是平角,不能大于平角. ④有,常用的有坡度比. ⑤90°的正切值不存在. ⑥倾斜角是 90°的直线没有斜率. ⑦过两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率公式 k= 应用示例 思路 1 例 1 已知 A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线 AB,BC,CA 的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角 还是锐角. 活动:引导学生明确已知两点坐标,由斜率公式代入即可求得 k 的值; 而当 k=tanα <0 时,倾斜角 α 是钝角; 而当 k=tanα >0 时,倾斜角 α 是锐角; 而当 k=tanα =0 时,倾斜角 α 是 0°. 解:直线 AB 的斜率 k1=

y 2 ? y1 . x 2 ? x1

1 >0,所以它的倾斜角 α 是锐角; 7

直线 BC 的斜率 k2=-0.5<0,所以它的倾斜角 α 是钝角; 直线 CA 的斜率 k3=1>0,所以它的倾斜角 α 是锐角. 变式训练 已知 A(1,3 3 ),B(0,2 3 ),求直线 AB 的斜率及倾斜角.

解:kAB=

3 3?2 3 ? 3, 1? 0

∵直线倾斜角的取值范围是 0°—180°, ∴直线 AB 的倾斜角为 60°.
3

例 2 在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为 1,-1,2 及-3 的直线 a,b,c,l. 活动:要画出经过原点的直线 a,只要再找出 a 上的另外一点 M.而 M 的坐标可以根据直线 a 的斜率确定. 解:设直线 a 上的另外一点 M 的坐标为(x,y),根据斜率公式有:1=

y?0 ,所以 x=y. x?0

可令 x=1,则 y=1,于是点 M 的坐标为(1,1).此时过原点和点 M(1,1),可作直线 a. 同理,可作直线 b,c,l. 变式训练 1.已知直线的倾斜角,求直线的斜率: (1)α =0°; (2)α =60°;(3)α =90°. 活动:指导学生根据定义直接求解. 解:(1)∵tan0°=0, ∴倾斜角为 0°的直线斜率为 0. (2)∵tan60°= 3 ,∴倾斜角为 60°的直线斜率为 3 . (3)∵tan90°不存在,∴倾斜角为 90°的直线斜率不存在. 点评:通过此题训练,意在使学生熟悉特殊角的斜率. 2.关于直线的倾斜角和斜率,下列哪些说法是正确的( ) A.任一条直线都有倾斜角,也都有斜率 B.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大 C.平行于 x 轴的直线的倾斜角是 0 或 π ;两直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等 D.直线斜率的范围是(-∞,+∞) 答案:D 思路 2 例 1 求经过点 A(-2,0),B(-5,3)的直线的斜率和倾斜角. 解:kAB=

3?0 =1,即 tanα =-1, ? 5 ? (?2)

又∵0°≤α <180°, ∴α =135°. ∴该直线的斜率是-1,倾斜角是 135°. 点评:此题要求学生会通过斜率公式求斜率,并根据斜率求直线的倾斜角. 变式训练 求过下列两点的直线的斜率 k 及倾斜角 α . (1)P1(-2,3),P2(-2,8); (2)P1(5,-2),P2(-2,-2). 解: (1)∵P1P2 与 x 轴垂直,∴直线斜率不存在,倾斜角 α =90°. (2)k=tanα =

? 2 ? ( ? 2) =0,∴直线斜率为 0,倾斜角 α =0°. ?2?5

例 2 已知三点 A、B、C,且直线 AB、AC 的斜率相同,求证:这三点在同一条直线上. 证明: 由直线的斜率相同, 可知直线 AB 的倾斜角与 AC 的倾斜角相等, 而两直线过公共点 A, 所以直线 AB 与 AC 重合,因此 A、B、C 三点共线. 点评: 此题反映了斜率公式的应用, 即若有共同点的两直线斜率相同, 则可以判断三点共线. 变式训练

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1.若三点 A(2,3),B(3,2),C( 解:kAB=

9 m?3 =-1.∴m= . 1 2 ?2 2 1 1 2.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则 + 的值等于_____________. a b 1 答案: 2
∵A、B、C 三点共线,∴kAB=kAC.∴ 例 3 已知三角形的顶点 A(0,5),B(1,-2),C(-6,m),BC 的中点为 D,当 AD 斜率为 1 时, 求 m 的值及|AD|的长. 分析:应用斜率公式、中点坐标公式、两点间距离公式. 解:D 点的坐标为(-

2?3 m?3 =-1,kAC= , 1 3?2 ?2 2

1 ,m)共线,求实数 m 的值. 2

5 m?2 , ), 2 2

m?2 ?5 5 5 ∴kAD= 2 =1.∴m=7.∴D 点坐标为(- , ). 5 2 2 ? ?0 2
∴|AD|= ( ) ? (5 ? ) ?
2 2

5 2

5 2

5 2 . 2

变式训练 过点 P(-1,-1)的直线 l 与 x 轴和 y 轴分别交于 A、B 两点,若 P 恰为线段 A 的中心, 求直线 l 的斜率和倾斜角. 答案:k=-1,倾斜角为

3? . 4

知能训练 课本本节练习 1、2、3、4. 拓展提升 已知点 A(-2,3),B(3,2),过点 P(0,-2)的直线 l 与线段 AB 有公共点,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 分析:利用数形结合同时注意直线斜率不存在的特殊情形. 答案:(-∞,

4 5 )∪(- ,+∞). 3 2

课堂小结 通过本节学习,要求大家: (1)掌握已知直线的倾斜角求斜率; (2)直线倾斜角的概念及直线倾斜角的范围; (3)直线斜率的概念; (4)已知直线的倾斜角(或斜率) ,求直线的斜率(或倾斜角)的方法. 作业

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习题 3.1 A 组 3、4、5. 设计感想 本节教学设计注重引导学生通过观察来获得新知, 在实际教学中教师要及时引导, 加强 师生交流,学生通过自主观察、分析还是能得到正确结论的,要给学生充分的思考时间.

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