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【解析版】广东省华南师大附中2013届高三第二次月考数学试卷(文科)


广东省华南师大附中 2013 届高三第二次月考 数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. 分)已知集合 M={﹣2,﹣1,0,1,2},N= (5 ( ) A.{﹣1,0,1} ; ,则 M∩N=

B.{﹣2,﹣1,0,1, {0,1} C. 2}

D.{﹣1,0}

考点: 交集及其运算. 分析: 由题意集合 M={﹣2,﹣1,0,1,2},N=
.

,解出集合 M,

N,然后根据交集的定义和运算法则进行计算. 解答: x+1 解:由 <2 <8 得 2 <2 <2 , ∴﹣1<x+1<3, ∴﹣2<x<2, ∴M∩N={﹣1,0,1}. 故选 A. 点评: 此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则,概念不清会导致部分同学失分. 2. 分) (5 (2010?深圳一模)设 a∈R,若(a﹣i) i(i 为虚数单位)为正实数,则 a=( A.2 B.1 C.0 D.﹣1
2
﹣1

x+1

3



考点: 复数的基本概念. 专题: 计算题. 分析: 化简复数到最简形式,由题意知,此复数的实部大于 0,虚部等于 0,解出 a 的值. 2 2 2 2 解答: 解:∵(a﹣i) i=(a ﹣1﹣2ai)i=2a+(a ﹣1)i 为正实数,∴2a>0,且(a ﹣1) =0, ∴a=1, 故选 B. 点评: 本题考查两个复数代数形式的乘法,复数为正实数的条件.
.

3. 分)一组数据 20,30,40,50,50,60,70,80 的平均数、中位数、众数的大小关 (5 系是( ) A.平均数>中位数>众数 B. 平均数<中位数<众数 C. 中位数<众数<平均数 D.众数=中位数=平均数 考点: 众数、中位数、平均数. 专题: 概率与统计.

.

分析: 众数是数据中出现次数最多的数;中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新 排列后,最中间的那个数(或最中间两个数的平均数) ,叫做这组数据的中位数;平 均数是把所有数据求和后除以数据个数所得到的数.根据众数、中位数、平均数的概 念分别计算. 解答: 解:从小到大数据排列为 20、30、40、50、50、60、70、80, 50 出现了 2 次,为出现次数最多的数,故众数为 50;共 8 个数据,第 4、5 两个数的 平均数为 50,故中位数是 50; 平均数=(20+30+40+50+50+60+70+80)÷8=50. ∴平均数=中位数=众数. 故选 D. 点评: 本题为基础题,考查平均数、众数与中位数的求法.

4. 分)若 (5 A. B. ﹣



,则 sin2θ=( C.

) D. ﹣

考点: 二倍角的正弦;同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 由已知 θ 的范围及 sinθ 可求出 cosθ,然后利用二倍角正弦公式即可求解 sin2θ 解答: 解:∵ ,
.

∴ 则 sin2θ=2sinθcosθ=

= =

故选 C 点评: 本题主要考查了同角平方关系及二倍角的正弦公式的简单应用, 利用同角平方关系求 值时,一定要判断三角函数值的符号,属于基础试题 5. 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=3,S6=24,则 a9=( (5 ) A.13 B.14 C.15 D.16 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 利用等差数列的前 n 项和公式列出有关首项、公差的方程组,求出首项、公差;利用 等差数列的通项公式求出. 解答: 解:设等差数列的首项为 a1,公差为 d 据题意有
.

解得 ∴a9=a1+8d=15 故选 C 点评: 解决等差数列、等比数列有关的问题,一般利用它们的通项公式、前 n 项和公式列出 方程组,求出基本量再解决. 6. 分)已知﹣7,a1,a2,﹣1 四个实数成等差数列,﹣4,b1,b2,b3,﹣1 五个实数成 (5 等比数列,则 A.1 =( B.2 ) C.﹣1 D.±1

考点: 等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据﹣7,a1,a2,﹣1 成等差数列,写出中间两项的差,根据﹣4,b1,b2,b3,﹣1 成等比数列,得到中间一项的平方,根据等比数列的隔项同号的规律,可求结果. 解答: 解:由题意 a2﹣a1= =2, =(﹣4) (﹣1)=4,
.

又因为 b2 是等比数列中的第三项,所以与第一项同号,即 b2=﹣2 ∴ =﹣1

故选 C. 点评: 本题考查等差数列和等比数列的性质,利用数列的性质来解题是解决问题的关键,属 基础题.

7. 分)函数 y=2sin( (5 A. [0, ] B. [

﹣2x) (x∈[0,π])为增函数的区间是( ] C. [ , ] D.

) [ ,π]

考点: 复合三角函数的单调性. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 利用正弦函数的单调性,确定单调区间,结合 x 的范围,可得结论. 解答: 解:由正弦函数的单调性可得 ≤ ﹣2x≤ (k∈Z)
.

∴﹣

﹣kπ≤x≤﹣

﹣kπ

k=﹣1,则 故选 C. 点评: 本题考查函数的单调性,考查学生的计算能力,属于基础题.

8. 分)已知函数 (5

,其反函数为 g(x) ,则 g(x )是(

2



A.奇函数且在(0,+∞)上单调递减 C. 奇函数且在(﹣∞,0)上单调递减

B. 偶函数且在(0,+∞)上单调递增 D.偶函数且在(﹣∞,0)上单调递增

考点: 反函数. 专题: 证明题. 2 分析: 先根据原函数的解析式求出反函数 g(x)的解析式,换元可得 g(x )的解析式,通 过解析式研究其性质. 解答: 解:∵函数 ,
.

∴x=

,f(x)>0,

∴反函数为 y=

(x>0) ,

故 g(x)=

(x>0) .

∴g(x )=

2

,定义域为{x|x≠0},是偶函数,

在(﹣∞,0)上单调递增. 故选 D. 点评: 本题考查反函数的定义,求一个函数的反函数的方法,体现了换元的思想.

9. 分) (5 (2012?金华模拟)△ ABC 中,∠C=60°,且 CA=2,CB=1,点 M 满足 则 A. =( ) B. C.7 D.9



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 先利用向量的加法运算,再利用向量的数量积,即可求得
.

的值.

解答: 解:由题意可得 ∴ =1+2( =( )? )?

=1×2×cos60°=1, = ﹣2 + =1+2 =1+8﹣2=7,

=1+2

故选 C. 点评: 本题考查平面向量数量积的运算, 解题的关键是利用向量的加法运算, 正确表示向量, 再利用数量积运算公式求解. 10. 分)函数 y=logax 在[2,+∞)上恒有|y|>1,则实数 a 的取值范围是( (5 ) A. B. C.(1,2) D. ( ,1)∪(1,2) (0, )∪(1,2) (0, ) (2, ∪ +∞)

考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数函数的单调性和特殊点,根据 x≥2 时,logax>1 恒成立,分 a>1 和 1>a> 0 两种情况,分别求出实数 a 的取值范围,再取并集,即得所求. 解答: 解:由题意可得,当 x≥2 时,|logax|>1 恒成立. 若 a>1,函数 y=logax 是增函数,不等式|logax|>1 即 logax>1, ∴loga2>1=logaa,解得 1<a<2. 若 1>a>0,函数 y=logax 是减函数,函数 y=log x 是增函数,
.

不等式|logax|>1 即 log

x>1.

∴有 log

2>1=log



得 1< <2,解得

<a<1.

综上可得,实数 a 的取值范围是 ( ,1)∪(1,2) , 故选 A. 点评: 本题考查绝对值不等式的解法,对数函数的单调性及特殊点,体现了分类讨论的数学 思想. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11. 分)若 (5 6 . 考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 计算题. 分析: 利用向量垂直的充要条件得到 ,再一次利用向量垂直的充要条件及向量的运
.





(k

) ,则实数 k 的值为

算律得到关于 k 的方程,求出 k 的值. 解答: 解:∵ ∴

∵ ∴∵ 即 ∵ ∴2k﹣12=0 ∴k=6 故答案为 6 点评: 解决向量垂直的问题,应该利用向量垂直的充要条件:向量的数量积为 0;解决向量 模的问题常利用向量模的性质:向量的模的平方等于向量的平方. 12. 分) (5 (2012?绍兴一模)阅读下列程序框图,该程序输出的结果是 729 .

考点: 程序框图. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用 是计算并输出 S=9×9×9 的值. 解答: 解:分析框图可得该程序的作用是计算并输出 S=9×9×9 的值. ∵S=9×9×9=729 故答案为:729 点评: 要判断程序的运行结果, 我们要先根据已知判断程序的功能, 构造出相应的数学模型, 转化为一个数学问题.
.

13. 分)一同学在电脑中打出如下若干个圆(图中● 表示实圆,○ 表示空心圆) (5 : ● ○ ● ● ○ ● ● ● ○ ● ● ● ● ○ ● ● ● ● ● ○ ● ● ● ● ● ● ○ 若将此若干个圆依次复制得 到一系列圆,那么在前 2005 个圆中,有 61 个空心圆. 考点: 数列的应用. 专题: 计算题;综合题. 分析: 先找规律,研究圆的总数,再看第 2005 个圆在第几组内,由空心球的个数等于组数
.

求解. 解答: 解:观察一下,以“实心个数加空心个数”为一组,这样圆满的总数是: 2+3+4+…+=2005 而(2+63)*62/2=2015 说明第 2005 个圆在第 62 组中,因空心球排在每一组的末尾,所以第 62 组没有空心 球. 空心球的个数=组数 2005 个球中空心的有:61 个. 故答案是 61. 点评: 本题主要考查从圆的变化规律中寻求规律建立数列模型的能力. 14. 分) (5 (2013?潮州二模)如图,⊙O 的割线 PAB 交⊙O 于 A、B 两点,割线 PCD 经过 圆心,已知 PA=6, ,PO=12,则⊙O 的半径为 8 .

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题. 分析: 设出圆的半径,根据切割线定理推出 PA?PB=PC?PD,代入求出半径即可; 解答: 解:设圆的半径为 r, ∵PAB、PCD 是圆 O 的割线, ∴PA?PB=PC?PD,
.

∵PA=6,PB= ∴6×
2 2

=

,PC=12﹣r,PD=12+r,

=(12﹣r)×(12+r) ,

r =12 ﹣80=64 ∴r=8, 故答案为:8.

点评: 本题主要考查切割线定理等知识点,熟练地运用性质进行计算是解此题的关键. 三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

15. (12 分) (2012?汕头二模)某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,将测试结果按如下方式分成五组;第一组[13,14) ,第二组[14,15) ,…,第五组 [17,18],下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. (1)若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为良好,求该班在这次百米测试中成绩良好的 人数; (2)设 m,n 表示该班某两位同学的百米测试成绩,且已知 m,n∈[13,14)∪[17,18], 求事件“|m﹣n|>1”的概率.

考点: 用样本的频率分布估计总体分布;频率分布直方图;古典概型及其概率计算公式. 专题: 计算题. 分析: (1) 利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出绩大于或等于 14 秒且小 于 16 秒的频率;利用频数等于频率乘以样本容量求出该班在这次百米测试中成绩良 好的人数. (2)按照(1)的方法求出成绩在[13,14)及在[17,18]的人数;通过列举得到 m, n 都在[13,14)间或都在[17,18]间或一个在[13,14)间一个在[17,18]间的方法数, 三种情况的和为总基本事件的个数; 分布在两段的情况数是事件“|m﹣n|>1”包含的基 本事件数;利用古典概型的概率公式求出事件“|m﹣n|>1”的概率. 解答: (1)由直方图知,成绩在[14,16)内的人数为:50×0.16+50×0.38=27(人) 解: , 所以该班成绩良好的人数为 27 人、 (2)由直方图知,成绩在[13,14)的人数为 50×0.06=3 人, 设为为 x,y,z;成绩在[17,18]的人数为 50×0,08=4 人,设为 A、B、C、D. 若 m,n∈[13,14)时,有 xy,xz,yz 共 3 种情况; 若 m,n∈[17,18]时,有 AB,AC,AD,BC,BD,CD,共 6 种情况; 若 m,n 分别在[13,14)和[17,18]内时, A B C D x xA xB xC xD y yA yB yC yD z zA zB zC zD 有 12 种情况、 所以,基本事件总数为 3+6+12=21 种,事件“|m﹣n|>1”所包含的基本事件个数有 12 种、
.



(12 分)

点评: 本题考查频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距、 考查频数等于频率乘以样本

容量、考查列举法求完成事件的方法数、考查古典概型的概率公式. 16. (12 分) (2011?甘肃模拟)已知函数 , (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)在△ ABC 中,已知 A 为锐角,f(A)=1, ,求 AC 边的长.

考点: 正弦定理;三角函数的周期性及其求法. 专题: 综合题. 分析: (1)把 f(x)利用诱导公式,二倍角的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数值化简 得到一个角的正弦函数,利用周期的公式求出周期即可;
.

(2)根据 f(A)=1 利用同角三角函数间的基本关系化简得到 sinA=cosA 即 A= 然后根据正弦定理即可求出 AC 的值. 解答: 解: (1)由 f(x)=cos x+sinxcosx= = ( cos2x+ =π;
2 2



得到:

+ ,

sin2x)+ =

∴T=

(2)∵f(A)=cos A+sinAcosA=1 2 2 移项得:sinAcosA=1﹣cos A=sin A,因为 A 为锐角,所以 sinA≠0 ∴sinA=cosA,则 根据正弦定理得: = 即 = ,

所以 AC=

=



点评: 考查学生灵活运用诱导公式、二倍角公式、同角三角函数间的基本关系及特殊角的三 角函数值化简求值,会利用正弦定理解决实际问题. 17. 分) (14 (2008?闸北区二模) 已知 A、 C 的坐标分别为 A B、 (4, , (0, , (3cosα, 0) B 4) C 3sinα) . (1)若 α∈(﹣π,0) ,且| (2)若 ⊥ ,求 |=| |,求角 α 的大小; 的值.

考点: 平面向量数量积的运算;向量的模;弦切互化;二倍角的正弦;二倍角的余弦. 专题: 计算题. 分析: (1)利用点的坐标求出向量的坐标,根据向量模的平方等于向量的平方得到三角函 数的关系,据角的范围求出角. (2)利用向量垂直的充要条件列出方程利用三角函数的二倍角公式、切化弦公式化 简三角函数,利用三角函数的平方关系求出值. 解答: 解: (1) ,
.

, ∵ ∴25﹣24cosα=25﹣24sinα ∴sinα=cosα 又 α∈(﹣π,0) , ∴α= (2)∵ . ∴

即(3cosα﹣4)×3cosα+3sinα×(3sinα﹣4)=0 解得 所以 1+2 ∴ 故 = =2sinαcosα=

点评: 本题考查向量坐标的求法、向量模的坐标公式、由三角函数值求角、三角函数中的二 倍角公式、平方关系. 18. (14 分)函数 f(x)是定义在[﹣1,1]上的偶函数,当 x∈[﹣1,0]时,f(x)=x ﹣3ax (a 为常数) . (1)当 x∈[0,1]时,求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)在[0,1]上的最大值. 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)设 x∈[0,1],则﹣x∈[﹣1,0],利用已知表达式即可求得 f(﹣x) ,由偶函数性 质可得 f(﹣x)=f(x) ,从而可求 f(x) ; 2 2 (2)x∈[0,1]时,f′(x)=﹣3x +3a=﹣3(x ﹣a) ,按 a 范围分类讨论 f(x)在[0, 1]的单调性,由单调性即可求得最值;
.

3

解答: (1)设 x∈[0,1],则﹣x∈[﹣1,0],所以 f(﹣x)=﹣x3+3ax, 解: 又因为 f(x) 是偶函数,所以 f(﹣x)=f(x) , 3 故 f(x)=﹣x +3ax,x∈[0,1]; 3 2 2 (2)x∈[0,1]时,f(x)=﹣x +3ax,f′(x)=﹣3x +3a=﹣3(x ﹣a) , ⅰ)当 a≤0 时,f′(x)≤0 恒成立,f(x)在[0,1]上单调递减. fmax(x)=f(0)=0; ⅱ)当 a>0 时,由 f′(x)=0 得 x= , ①当 a≥1 时,f′(x)≥0 恒成立,f(x)在[0,1]上单调递增. fmax(x)=f(1)=﹣1+3a; ②当 0<a<1 时,f′(x)=﹣3(x+ ) (x﹣ ) , 当 0≤x< 时,f′(x)>0,f(x)在递增,当 <x≤1 时,f′(x)递减, 所以 fmax(x)=f( )=2a . 综上所述:当 a≤0 时,fmax(x)=0;当 a≥1 时,fmax(x)=﹣1+3a;当 0<a<1 时, fmax(x)=2a . 点评: 本题考查偶函数性质、函数最值及函数解析式的求法,考查分类讨论思想,考查学生 分析解决问题的能力.

19. (14 分)设 实数根. (1)求 f(x)的解析式;

(b,c 为常数) ,若

,且

只有唯一

(2)令 a1=1,an=f(an﹣1)求数列{an}的通项公式. 考点: 数列与函数的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)根据题意利用待定系数法,先列出关于 a,b 的方程组,解方程组即可求出 a,b 的值,从而得出 f(x)的解析式; (2) (1) 根据 中求出的 f x) ( 的解析式, 分两种情况分别求解数列{an}的通项公式. 一
.

种情况是直接利用等比数列的通项公式求解;另一种情况是通过变形得到 ( +1) ,所以数列{ +1}是等比数列,写出数列{

+1=2

+1}的通项公式,变形后即

可得到{an}的通项公式. 解答: 解: (1)∵ (b,c 为常数) ,若 一实数根,

,且

只有唯











解得 b=0,c=4,或 b=1,c=2

∴ (2)当

或 时得

an=f(an﹣1)= an﹣1,又 a1=1, ∴数列{an}是一个首项为 1,公式为 的等比数列, ∴数列{an}的通项公式为:an= 当 时得 ;

an=f(an﹣1)= ∴ = +1,

, +1) ,

+1=2(

又 a1=1, ∴数列{ +1}是一个首项为 2,公式为 2 的等比数列,
n



+1=2 ,∴an=



∴数列{an}的通项公式为:an=



点评: 此题考查学生掌握等比数列的性质并会确定一个数列为等比数列, 灵活运用等比数列 的通项公式,是一道综合题. 20. (14 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n ﹣n(n∈N ) (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 an+log3n=log3bn,求数列{bn}的前 n 项和; (3)若正数数列{cn}满足 cn
n+1 2 *

=

(n∈N ) ,求数列{cn}中的最大值.

*

考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)根据 n≥2 时,有 an=Sn﹣Sn﹣1,求出 an; (2)由 an+log3n=log3bn,及对数的运算性质求出 bn,用错位相减法求出数列{bn}的 前 n 项和 Tn ;
.

(3)确定 lncn=
2

,构造 f(x)=

,确定函数的单调性,即可得到结论.

解答: (1)∵Sn=n ﹣n,∴当 n=1 时,有 a1=S1=0 解:

当 n≥2 时,有 an=Sn﹣Sn﹣1=(n ﹣n)﹣( (n﹣1) ﹣(n﹣1) )=2n﹣2 当 n=1 时也满足. * ∴数列 {an}的通项公式为 an=2n﹣2(n∈N ) 2n﹣2 * (2)由 an+log3n=log3bn,得:bn=n?3 (n∈N ) 0 2 4 2(n﹣1) ∴数列{bn}的前 n 项和 Tn =1×3 +2×3 +3×3 +…+n3 , 2 4 6 2(n﹣1) 2n 故 9Tn =1×3 +2×3 +3×3 +…+(n﹣1)3 +n?3 , 相减可得﹣8Tn =1+3 +3 +…+3
2 4 2(n﹣1)

2

2

﹣n?3 =

2n

﹣n?3 ,

2n

∴Tn=



(3)由 cn

n+1

=

可得:cn

n+1

=n+1,∴lncn=

令 f(x)=
*

,则 f'(x)=



∴n≥2(n∈N )时,{lncn}是递减数列, 又 lnc1<lnc2, ∴数列{cn}中的最大值为 c2= .

点评: 本题考查数列的通项, 考查数列的求和, 考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题.


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