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2014高考数学(文)二轮专题升级训练:专题4 第1讲 等差数列、等比数列


专题升级训练

等差数列、等比数列

(时间:60 分钟 满分:100 分) 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分)
1.已知数列{an}满足 a1=1,且,则 a2 014=( A.2 012 C.2 014 B.2 013 D.2 015 ) )

2.已知各项均为正数的等比数列{a

n}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6=( A.5 C.6 B.4 D.7

3.(2013·山东青岛模拟,6)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 4a1,2a2,a3 成等差数列.若 a1=1,则 S4=( A.7 C.15 B.8 D.16

)

4.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若=a1+a200,且 A,B,C 三点共线(该直线不过原点 O),则 S200=( A.100 C.200 B.101 D.201 )

)

5.在等差数列{an}中,an>0,且 a1+a2+…+a10=30,则 a5· a6 的最大值等于( A.3 C.9 B.6 D.36

6.设{an},{bn}分别为等差数列与等比数列,且 a1=b1=4,a4=b4=1,则以下结论正确的是( A.a2>b2 C.a5>b5 B.a3<b3 D.a6>b6

)

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分)
7.定义“等积数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数,那么这个数列叫做等积数列, 这个常数叫做该数列的公积,已知数列{an}是等积数列,且 a1=3,公积为 15,那么 a21=
*

.

8.在数列{an}中,如果对任意 n∈N 都有=k(k 为常数),则称数列{an}为等差比数列,k 称为公差比.现给出下列命题: ①等差比数列的公差比一定不为零; ②等差数列一定是等差比数列; ③若 an=-3n+2,则数列{an}是等差比数列; ④若等比数列是等差比数列,则其公比等于公差比. 其中正确命题的序号为 . .

9.已知 a,b,c 是递减的等差数列,若将其中两个数的位置互换,得到一个等比数列,则=

三、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

10.(本小题满分 15 分)已知数列{an}为公差不为零的等差数列,a1=1,各项均为正数的等比数列{bn}的第 1 项、第 3 项、第 5 项分别是 a1,a3,a21. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)求数列{anbn}的前 n 项和. 11.(本小题满分 15 分)(2013·山东东营模拟,19)已知三个正整数 2a,1,a2+3 按某种顺序排列成等差数列. (1)求 a 的值; (2)若等差数列{an}的首项、公差都为 a,等比数列{bn}的首项、公比也都为 a,前 n 项和分别为 Sn,Tn,且>Sn-108, 求满足条件的正整数 n 的最大值. 12.(本小题满分 16 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1+,S3=9+3. (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn; (2)设 bn=(n∈N*),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列. ##
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分) 1.C 解析:由,可得 an=n,故 a2 014=2 014. 2 .A 解析:(a1a2a3)·(a7a8a9)==50,且 an>0,

∴a4a5a6==5. 3.C 解析:设数列{an}的公比为 q,则由题意得 4a2=4a1+a3,即 4a1q=4a1+a1q2,即 q2-4q+4=0,得 q=2.∴S4==15. 4 .A 解析:∵=a1+a200,且 A,B,C 三点共线,

∴a1+a200=1,故根据等差数列的前 n 项和公式得 S200==100. 5.C 解析:∵a1+a2+…+a10=30,得 a5+a6==6,又 an>0, ∴a5·a6≤=9. 6 .A 解析:设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q,由 a1=b1=4,a4=b4=1,得 d=-

1,q=,∴a2=3,b2=2;a3=2,b3=;a5=0,b5=;a6=-1,b6=.故选 A. 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分) 7.3 解析:由题意知 an·an+1=15,即 a2=5,a3=3,a4=5,…观察可得:数列的奇数项都为 3,偶数项都为 5.故 a21=3.

8.①③④ 解析:若 k=0,{an}为常数列,分母无意义,①正确;公差为零的等差数列不是等差比数列,②错误;=3,满足 定义,③正确;设 an=a1qn-1(q≠0),则=q,④正确. 9.20 解析:依题意得①或者②或者③

由①得 a=b=c,这与 a,b,c 是递减的等差数列矛盾; 由②消去 c 整理得(a-b)(a+2b)=0. 又 a>b,因此有 a=-2b,c=4b,故=20; 由③消去 a 整理得(c-b)(c+2b)=0. 又 b>c,因此有 c=-2b,a=4b,故=20. 三、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 10.解:(1)设数列{an}的公差为 d(d≠0),数列{bn}的公比为 q(q>0), 由题意得=a1a21, ∴(1+2d)2=1× (1+20d),∴4d2-16d=0. ∵d≠0,∴d=4.∴an=4n-3.

于是 b1`=1,b3=9,b5=81,{bn}的各项均为正数, ∴q=3.∴bn=3n-1. (2)anbn=(4n-3)3n-1, ∴Sn=30+5× 31+9× 32+…+(4n-7)× 3n-2+(4n-3)× 3n-1,3Sn=31+5× 32+9× 33+…+(4n-7)× 3n-1+(4n-3)× 3n. 两式两边分别相减得 -2Sn=1+4× 3+4× 32+4× 33+…+4×3n-1-(4n-3)× 3n =1+4(3+32+33+…+3n-1)-(4n-3)× 3n =1+-(4n-3)× 3n =(5-4n)× 3n-5,∴Sn=. 11.解:(1)∵2a,a2+3 是正整数,∴a 是正整数,∴a2+3>2a>1,∴4a=a2+3+1,∴a=2. (2)Sn=2n+·2=n2+n, Tn==2n+1-2,∴=2. ∴Sn<110,即 n2+n-110<0, ∴-11<n<10. ∵n 是正整数,∴n 的最大值是 9. 12.解:(1)由已知得 ∴d=2. 故 an=2n-1+,Sn=n(n+). (2)由(1)得 bn==n+. 假设数列{bn}中存在三项 bp,bq, br(p,q,r 互不相等)成等比数列,则=bpbr,即(q+)2=(p+)(r+), ∴(q2-pr)+(2q-p-r)=0. ∵p,q,r∈N*,∴ ∴=pr,(p-r)2=0. ∴p=r,这与 p≠r 矛盾. ∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列.


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